8. «Задумайте какое-нибудь число». 98

Часть II. СОЗИДАЮЩАЯ ФОРМА

9. Разбегающиеся числа. 114

10. Неограниченная плотность. 128

11. Мы снова ухватываем бесконечность 145

12. Числовая прямая заполняется. 162

13. «Температурные кривые» разглаживаются 181

14. Существует только одна математика. 198

Добавление о волнах и о тени 214

15. Элементы Киже. 225

16. Секреты ремесла. 247

17. С миру по нитке — голому рубаха. 270

Часть III. САМОКРИТИКА ЧИСТОГО РАЗУМА

18. И все же существует множество математических миров 292

Добавление о четвертом измерении. 308

19. Здание потрясено 312

20. Форма освобождается. 324

21. Перед трибуналом сверхматематики 337

Добавление о представлении, обращенном в бесконечность 348

22 Чего не может математика 352

Прочитавшему книгу. 366

Средства доказательства должны быть столь безупречны, чтобы даже самый критически настроенный интуиционист не мог под них подкопаться.

Математика

Итак, математика как бы раскалывается, расщепляется: с одной стороны, мы имеем полностью формализованные системы с формальными предписаниями игры вместо правил умозаключения; с другой стороны, мы имеем сверхматематику, в которой тщательно исследуется смысл каждого шага и где мы пользуемся лишь абсолютно безупречными, безопасными умозаключениями. Это так называемая метаматематика. Она рассматривает системы, формализованные как бы извне, и главной ее задачей является доказательство непротиворечивости данной теории.

Казалось бы, что если мы хотим выяснить, не приводит ли использование наших правил игры к противоречию, то мы должны анализировать содержание высказываний. Можно было бы рассудить, что от содержания, а не от формы высказывания зависит, содержит ли оно противоречие.

Мы можем избавиться от этих опасений, заметив, что достаточно ограничиться одним только противоречием; скажем, если натуральные числа входят в состав системы, следующим:

1=2.

Эту простую последовательность знаков можно полностью охарактеризовать, исходя из ее структуры: принимаем во внимание, что появление после цифры 1 знака « = » и цифры 2 означает противоречие. Ничего больше нам не нужно. Уже шла речь о том, что существуют шутливые рассуждения, позволяющие провести доказательство равенства 1=2, и тогда же говорилось, что из каждого противоречивого высказывания, которое прокрадывается в умозаключение, можно вывести все, даже 1=2. Поэтому достаточно показать, что в данной системе нельзя вывести формулу 1=2. Показав это, мы можем быть уверены, что в теорию нашу не проникли никакие противоречия.

Поэтому точно сформулированные высказывания метаматематики основываются на доказательстве того, что нельзя, исходя из последовательностей знаков, называемых аксиомами, и используя установленные правила игры, перейти к последовательности знаков вида 1 = 2.

На нескольких простых примерах Гильберт сам дал образцы таких доказательств непротиворечивости. Впоследствии его школа распространила эти методы на более сложные системы. Так постепенно накапливались средства, необходимые исследования какой-то большой, широкой области науки. Прежде всего, естественно, возникает мысль о науке о натуральных числах, или арифметике. Все говорило за то, что необходимо лишь небольшое усилие, чтобы распространить идеи гильбертовского доказательства на всю арифметику вместе со всеми заключенными в ней скользкими местами и опасными понятиями.

И вдруг «теория доказательств» Гильберта, эта новая отрасль науки, которую выстраивали столь изящно, с такой осмотрительностью, — вдруг эта теория испытала серьезное потрясение.

Доказательство непротиворечивости арифметики

Молодой венский математик Гедель обнаружил — пользуясь при этом именно методами теории доказательства (каким образом применял он эту теорию, мы поговорим в заключительном разделе книги),— что нельзя доказать непротиворечивость арифметики, если пользоваться при этом только теми средствами, которые можно формально описать в рамках рассматриваемой системы.

Постараемся это хорошо понять: метаматематика не применяет формальных средств; она должна всегда хорошо знать, что делает. Ее умозаключения должны быть сознательными, а не механическими. Но это тем не менее не означает, что мы не могли бы использовать метаматематические умозаключения в механических правилах игры. Очевидно, мы могли бы это сделать, если бы мы хотели поиграть метама

тематикой независимо от ее собственной цели. Если бы мы формализовали метаматематику, то — как, кажется, само собой разумеется — ее осторожные, избегающие всевозможных опасных элементов методы умозаключения должны позволить формализовать себя в рамках уже много более узких, нежели рассматриваемая теория с ее бесконечными элементами. И в то же время результат Геделя утверждает, что доказательство непротиворечивости можно провести только такими средствами, которые выводят нас за пределы рассматриваемой системы.

Кто же, однако, может счесть утешительным оправдание опасных элементов, если это оправдание достигается средствами, почерпнутыми из еще более обширного арсенала, нежели средства, используемые в исследуемой системе?

Казалось бы, что это открытие знаменует собой окончательный крах теории доказательства и что нет уже никакой надежды на спасение.

Однако Гильберт ни на минуту не поддался панике. Он был уверен, что должен найтись какой-то выход. Должны существовать какие-то способы умозаключения, которые выходят за пределы рассматриваемой системы и, несмотря на это, опираются на конкретные основы нашего конечного разума, так что могут быть приняты также и интуиционистами.

Поиски таких методов ведения доказательства увенчались в конце концов успехом. Ученик Гильберта Гентцен нашел соответствующий инструмент для метаматематики. Инструментом этим оказался некоторый случай так называемой бесконечной индукции. Таким образом была доказана непротиворечивость всей арифметики.

Стадо натуральных чисел может пастись спокойно. Волков среди них нет.

«Бесконечная индукция» — это звучит весьма грозно: однако речь здесь идет о следующей — самой безобидной — мысли.

Если, исходя из произвольно удаленного члена натурального ряда чисел

1, 2, 3, 4, 5, ,

мы начнем двигаться назад, делая при этом шаги произвольной величины, то наверняка сможем сделать только ограниченное число шагов. Если бы мы начали от одного миллиона и продвигались бы при каждом шаге назад всего лишь на одну единицу — все равно, сделав один миллион шагов, мы остановимся на числе 1.

Упорядочим теперь натуральный ряд чисел, например, так: сначала берем все нечетные числа, а затем, «исчерпав» всю бесконечную совокупность нечетных, обращаемся к четным числам:

1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, 8,

Если при таком упорядочении мы будем двигаться от какого-либо числа назад, то есть налево, то, сделав какое-то число шагов, мы рано или поздно закончим наш путь. Ибо если мы начнем с нечетных чисел, то — подобно тому, как это уже имело место в случае натурального ряда, — после конечного числа шагов мы дойдем до единицы. Если же мы начнем

с четного числа, то тем же самым способом легко обнаружить, что после более или менее значительного числа шагов нам не хватит четных чисел, и тогда нам придется переходить к нечетному числу, как бы велико оно ни было. Тем самым мы уже будем двигаться в пределах одной последовательности, построенной так же, как уже исследованный нами натуральный ряд.

Натуральный ряд, очевидно, можно упорядочить самыми разными способами, произвольно увеличивая при этом сложность.

Например, можно разделить натуральный ряд на группы, выписывая вначале числа, делящиеся на 3; затем числа, превышающие их на 1; затем числа, больше их на 2 (для порядка добавляем еще число 0):

0, 3, 6, 9, 1, 4, 7, 10, 2, 5, 8, 11,

Если мы двинемся назад, начиная с какого-либо числа третьей группы, то, сделав конечное число шагов, мы придем во вторую группу, и тогда положение окажется совершенно сходным с тем, что было уже в предыдущем, рассмотренном нами примере.

Мы можем также получить бесконечное число групп, например, если отнесем к первой группе нечетные числа; ко второй группе — числа, делящиеся только на первую степень 2; к третьей — числа, делящиеся на 2²=4; к четвертой — числа, делящиеся на 2³ = 8; и т. д.:

1, 3, 5, 7, 2, 6, 10, 14, 4, 12, 20, 28,

8, 24, 40, 56,

Тот факт, что появляется бесконечное число групп, не должен нас пугать: если мы примем за исходную точку какое-то определенное число, то число это будет находиться в одной из групп и перед этой группой будет расположено только конечное число других групп.

Из всех этих примеров ясно, что, двигаясь назад, мы переходим от образований более сложных к менее сложным. Одновременно оказывается, что после

конечного числа шагов мы должны прийти к обычному натуральному ряду — если только мы исходим из какого-то сложного упорядочения натуральных чисел и двигаемся вспять.

Так вот, Гентцен в своем доказательстве воспользовался тем фактом, что при определенном упорядочении (которое несравненно более сложно, нежели рассматриваемые нами примеры) также можно сделать лишь конечное число шагов назад. Этот факт мы можем без труда «переварить» в нашем конечном и конкретном сознании, и в то же время факт этот выходит за пределы рассматриваемой системы.

Каким образом можно использовать этот результат при доказательстве непротиворечивости?

Ход мысли при доказательстве непротиворечивости всегда таков. Допустим, что кто-то утверждает, что ему удалось вывести противоречивое утверждение, исходя из аксиом системы. Этот некто представляет нам доказательство, которое начинается аксиомами, основывается якобы только на принятых правилах умозаключения и заканчивается формулой 1=2. Мы же хотим показать, что доказательство это содержит ошибку, и собираемся отыскать ее.

Если в представленном на наш суд доказательстве нет никакого опасного элемента, то очевидно, что мы можем найти ошибку. Исходя из истинных утверждений и опираясь на бесспорные правила умозаключения, можно прийти к ложному выводу 1=2 только тогда, когда по ходу дела совершается какая- то ошибка.

Если же в доказательстве выступает какой-то бесконечный элемент, то мы уже не можем быть уверенными, что сумеем найти ошибку. Ибо именно в бесконечном элементе и может сидеть источник противоречия.

Но вывод, полученный в результате проведенного доказательства, выглядит очень скромно: 1=2. Здесь нет и следа какого-то сверхконечного понятия. Если подобное понятие и выступало в процессе доказательства, то лишь таким образом, что (в соответствии со свойствами идеальных элементов) появилось в какой-

то момент, сыграло свою роль и затем вновь исчезло. Нельзя ли провести доказательства без его помощи?

Многие тригонометрические формулы, например, удается вывести как с помощью мнимой единицы г, так и без использования ее.

Если мы имеем дело только с одним опасным элементом или если несколько опасных элементов появляются независимо друг от друга, то действительно возможность эта у нас есть. Гильберт показал, что доказательства такого рода удается преобразовать в доказательства совершенно безопасные, в которых быстро можно обнаружить ошибку.

Однако идеальные элементы, будучи бестелесными, фантастическими существами, способны взаимно оплетать друг друга, появляться в чрезвычайно сложных соединениях и связях. Из очень запутанных доказательств нельзя уже устранить бесконечные элементы столь простым способом.

Тем более интересным оказывается открытие Гентцена, который заметил, что существует аналогия между степенью сложности доказательства и сложными упорядочениями множества натуральных чисел. Если к такому сложному доказательству мы применим метод Гильберта, то хотя и не устраним бесконечные элементы, тем не менее получим доказательство, степень сложности которого соответствует менее сложному упорядочению множества натуральных чисел. То же самое получится, когда мы применим метод Гильберта еще раз — уже к менее сложному доказательству. Таким образом, переходя ко все менее сложным упорядочениям множества натуральных чисел, мы в конце концов — сделав конечное число шагов— придем к последовательности без каких бы то ни было усложнений. Поэтому, используя конечное число раз идею Гильберта, мы получаем доказательство, лишенное всяких сложностей, доказательство, в котором не будет уже бесконечных элементов и в котором мы без труда отыщем ошибку.

Это очень изящное, чисто математическое рассуждение, а полученный нами результат имеет огром- 346

ное значение. Мы восстановили доверие к правильности старых методов, по крайней мере в арифметике.

Многие математики — из тех, кто и слышать не хочет об опасности, — относятся, несмотря ни на что, к теории доказательства недоброжелательно, считая ее скорее философией, нежели математикой. Они признают смысл существования новой области математики только тогда, когда новую теорию можно применить с пользой в других областях математики. Чтобы показать возможности, таящиеся в теории доказательства, Гильберт подал идею применить методы этой теории к самой грандиозной из старых проблем теории множества, так называемой гипотезе континуума.

Гипотеза континуума

Речь здесь идет о следующей проблеме. В области натуральных чисел, упорядоченных в соответствии с их значением, господствует абсолютный порядок. Для каждого числа существует число, непосредственно за ним следующее: за 3 следует 4, за 12 следует 13. В области дробей положение иное. В любой окрестности данной дроби всегда можно найти другие дроби. Явление это выступает еще рельефней, если мы рассмотрим все действительные числа. Они расположены на числовой прямой непрерывно и так, что словно сливаются друг с другом. Именно поэтому мощность множества действительных чисел мы и называем мощностью континуума (слово «континуум» обозначает непрерывную протяженность)

В области введенных Кантором бесконечных мощностей можно также поставить вопрос: существует ли для каждой мощности мощность, непосредственно за ней следующая? Ответ утвердительный. С этой точки зрения бесконечные мощности ведут себя так же, как и натуральные числа. Наименьшей бесконечной мощностью является мощность множества натуральных чисел. Напрашивается вопрос: какая мощность следует непосредственно за ней?

Подсчитаем это число:

2з.З^,-5²-7¹=2-2-2-3-5-5-7=10-10-2-3-7 = 100-42=4200.

Если мы сравним оба разложения на простые множители:

90 = 2* • З² • 5¹ • 1

4200 = 2³ • З¹ - 5²-7¹, то обнаружим, что метаматематическую теорему: «Каждая из формул

1 = 1 или^-] (1 = 1) является отрицанием другой» можно перевести следующим высказыванием: «Числа 90 и 4200 обладают тем свойством, что разложение второго числа на простые множители начинается с 2³, тогда как показатели следующих простых чисел последовательно равны показателям разложения на простые множители первого числа — 90».

В последней фразе нет и следа метаматематики. Это чисто арифметическое утверждение. Однако рассматриваемая система именно для того и служит, чтобы формулировать в ней арифметические утверждения. И поэтому наше арифметическое утверждение, записанное выше, можно также записать при помощи знаков рассматриваемой нами системы, не пользуясь словами. Оно превратится в одну из обычных, заурядных последовательностей знаков, и никто не заметит его двусмысленности. И однако оно имеет два значения. Из него можно вычитать два различных текста. Во-первых, арифметический текст, который мы можем прочесть в каждой формуле системы, когда вдумаемся в первичный смысл знаков. Во-вторых, текст метаматематического утверждения, облаченного в одежды арифметического утверждения.

И именно среди забав с этими двусмысленными последовательностями знаков и соответствующими им числами Геделю встретилось какое-то число — скажем, восемь миллиардов (в действительности мы знаем, каким образом это число составлено из простых 

множителей, но для подсчета этого числа не хватило бы человеческой жизни). И Гедель обнаружил, что найденное число имеет следующее свойство: если так же, как и в случае утверждения только что рассмотренного, мы запишем с помощью знаков системы следующее математическое утверждение:

«Формула, которой соответствует число восемь миллиардов, не может быть доказана в системе»,— и посмотрим, какое число соответствует согласно словарю полученной таким образом формуле, то обнаружим с изумлением, что число это равно. восьми миллиардам! Поэтому «формула, которой соответствует число восемь миллиардов», и есть эта самая формула. Одним из ее значений будет следующее:

«Я сама не могу быть доказанной».

Поймите, что это не только игра слов или какой- то софизм. Перед нами обычная, ничем не примечательная формула, такая же, как и все другие. Если мы посмотрим в словаре, какое побочное значение придает этой последовательности знаков метаматематика, то увидим следующее:

«Я не могу быть доказанной».

Ничего удивительного, что эта формула неразрешима в системе, даже если ее другим значением оказывается совершенно невинное арифметическое утверждение.

Дело в том, что если бы можно было эту формулу доказать, то мы впали бы в противоречие с тем, что формула выражает в метаматематическом смысле: ведь она говорит именно о том, что ее нельзя доказать.

Если же ее можно было бы опровергнуть, то такое опровержение было бы одновременно утверждением истинности того математического высказывания, которое гласит: формулу нельзя доказать. И поэтому опровержение формулы было бы в то же время доказательством ее истинности.

Итак, эту формулу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она неразрешима.

Вопрос о так называемых неразрешимых проблемах

Я подчеркиваю еще раз: если кому-нибудь не придет в голову заглянуть в словарик, то эта последовательность знаков будет обычной, ничем не примечательной формулой системы, невинным высказыванием о сложении и умножении. Гедель показал, что существуют неразрешимые проблемы в каждой содержательной системе. Не исключено, что к проблемам такого рода относится, например, проблема Гольдбаха. Быть может, поэтому ее и не удалось разрешить до сего дня. Возможно, что если из средств, с которыми мы подступались к этой гипотезе, мы составили бы формализованную систему аксиом, то формальным выражением гипотезы Гольдбаха оказалась бы именно та формула, которая на языке нашего словарика промурлычет песенку:

«Я не могу быть разрешена в системе».

Это же можно сказать о всех не разрешенных до сего дня проблемах. Каждый математик должен считаться с такой возможностью.

Можно было бы высказать возражение: все это, мол, получается только как результат несовершенства аксиоматических систем. Возможно, проблемы, на которых ставят крест результаты Геделя, удалось бы все же разрешить, если бы мы не ограничивались некоторой аксиоматической системой. Но это не так.

Алонзо Черч сформулировал проблему, которую нельзя разрешить никакими из тех математических средств, какие только можно сегодня придумать, совершенно независимо от того, будут или нет наши рассуждения ограничены рамками аксиоматической системы.

* * *

Здесь мы, пожалуй, и поставим точку. Мы добрались до пределов современной математической мысли. Наша эпоха — это эпоха пробуждения и развития знаний. В этом математика также сыграла свою роль: она сама открыла границы своих собственных возможностей.

Имеем ли мы, однако, право сказать, что мы достигли последних пределов, непреодолимых преград? Из всех тупиков в истории математики находился всегда какой-то выход. Да и в доказательстве Черча есть один многозначительный момент. Черч должен был точно определить, что он имеет в виду, говоря о «всех математических средствах, какие только можно сегодня представить». Лишь после того как такое определение дано, можно применять к этому понятию математические методы. Однако дать формулировку какого-либо понятия или явления — значит тем самым подвергнуть его одновременно некоторому ограничению. А всякий забор стеснителен. Появляющиеся неразрешимые проблемы не выносят этого стеснения и выскальзывают вовне.

Будущее развитие математики наверняка расширит ее горизонты, хотя сегодня далеко не всегда еще ясно, как именно это может осуществиться. Одно мы должны запомнить раз и навсегда: математика не является чем-то статичным и замкнутым, это наука, живущая все более и более напряженной жизнью, постоянно развивающаяся. Как только ее пытаются замкнуть в какие-то строгие формы, она непременно находит лазейку и рано или поздно вырывается на свободу, утверждая свою жизнеспособность.