РАЗВИТИЕ АЛГЕБРЫ ДО XVI В.

В XVII столетии в постоянном многовековом развитии математики произошел скачок, который привел к возникновению новой математики, ставшей рабочим инструментом научного естествознания, основы которого в то время закладывались.

Вновь созданная математика отличалась от предшествующей прежде всего тем, что базировалась она на идее переменной величины. Понятие функциональной зависимости позволило разработать общие методы решения задач, возникающих не только внутри математики, но и в других науках, изучающих природу. Эти методы можно применять к широкому классу задач, обладающих общими закономерностями. До создания таких методов математики древности и средневековья вынуждены были рассматривать отдельно каждую частную задачу и разрабатывать частные методы решения, не обладающие достаточной общностью.

Развитие новых методов стало возможным благодаря тому, что новая математика построена на базе алгебры и пользуется ее единым символическим языком. Это создало предпосылки для построения абстрактных понятий математики. Проникновение алгебры во все области математики и смежных наук позволило разработать алгоритмы, приложимые к определенным классам задач, системы с характерными правилами преобразований и специфической символикой.

Открытию алгоритма дифференциального и интегрального исчислений Ньютоном (1643—1727) и Лейбницем (1646—1716) в конце XVII в. предшествовали значительные достижения в алгебре: решение уравнений третьей и четвертой степеней, введение в науку единой алгебраической символики.

2

Считается, что эллины заимствовали первые сведения по геометрии у египтян, по алгебре — у вавилонян. Так, комментатор Евклида греческий философ-неоплатоник Прокл Диадох (410—485) писал: «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, имела свое происхождение в измерении площадей». Воздействие традиций вавилонской алгебры на математику Древней Греции и алгебраическую школу стран ислама подчеркивается в «Истории математики» Ч

В древнейших египетских источниках — папирусе Райнда и Московском папирусе ^{1 2} — находим задачи на «аха»³, соответствующие современным линейным уравнениям, а также квадратным вида ая² = Ь. В вавилонских клинописных текстах имеется большое число задач, решаемых с помощью уравнений и систем первой и второй степеней, которые записаны без символов, но в специфической терминологии. В этих текстах решаются задачи, приводящие к трехчленным квадратным уравнениям вида ах² — Ьх = с или х² — рх = q. В задачах на «аха» можно обнаружить зачатки алгебры как науки о решении уравнений.

Но если вавилоняне за два тысячелетия до нашей эры умели числовым путем решать задачи, связанные с уравнениями первой и второй степеней, то развитие алгебры в трудах Евклида (365 — ок. 300 гг. до н. э.), Архимеда (287—212 гг. до н. э.) и Аполлония (ок. 260—170 гг. до п. э.) носило совершенно иной характер: греки оперировали отрезками, площадями, объемами, а не числами. Их алгебра строилась на основе геометрии и выросла

¹ См.: История математики. М.: Наука, 1970, т. 1, с. 57.

² Папирус Райнда и Московский папирус относятся примерно к одному времени — XIX в. до н. э. Первый назван по имени Райнда, приобретшего его в 1858 г. Он содержит 84 задачи, размер его 5,25 м X 33 см. Часть папируса Райнда хранится в Британском музее, часть — в Нью-Йорке.

Московский папирус приобретен в конце прошлого века русским востоковедом В. С. Голенищевым, содержит 25 задач; его размер 5,44 м X 8 см. Хранится папирус в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина.

Оба папируса переведены на современные языки и изучены.

³ Термин «аха» означает «куча», «груда». Имеется в виду некоторое количество, неизвестная величина, подлежащая определению.

из проблем геометрии. В XIX в. совокупность приемов древних получила название геометрической алгебры.

В качестве примера геометрической алгебры греков рассмотрим решение уравнения ⁴

х² 4- ах = Ь².

Античные математики решали эту задачу построением и строили искомый отрезок так, как показано на рис. 1. На заданном отрезке А В (равном а) строили прямоугольник АМ со сторонами {а 4- х) и х, равновеликий данному квадрату (&²), таким образом, чтобы избыточная над прямоугольником AL (равная ах) площадь ВМ была квадратом, по площади равным х². Сторона этого квадрата и давала искомую величину х. Такое построение называли гиперболическим приложением площади («гипербола» — окерроХт — по-гречески «избыток»).

Далее, полагая задачу решенной, делили АВ пополам точкой С, на отрезке LM строили прямоугольник MG, равный прямоугольнику ЕС. Тогда прямоугольник АМ будет разностью квадратов DF и LF. Эта разность и квадрат LF известны, поэтому по теореме Пифагора можно получить квадрат DF. После этого находили величину PC (равную ^х1₂а 4- х) и DB (равную х).

Геометрическое построение в точности соответствует преобразованию, с помощью которого в современных обозначениях решается уравнение указанного типа:

1.9 9 / а , V / О. \²

Ъ² = ах 4- х²— 1-^4-я) — Нг

Аналогично решались древними и другие виды квадратных уравнений; например, задача, которую мы сформулировали бы с помощью уравнения

ах — х² — Ь², решалась ими построением, называемым эллиптическим приложением площади («эллипс» — eXXetcptg — по-гречески «недостаток»).

Пусть АВ = а (рис. 2). Разделим АВ точкой С пополам и приложим прямоугольник СК к стороне DB. Получим прямоугольник DE. Тогда прямоугольник АМ будет

⁴ См.: Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.; Л.: ОНТИ, 1938, с. 45.

была переведена на английский язык, в 1802 г.— на французский.

Многим фактам и правилам Ньютон не дал обоснования. Это вызвало обилие комментариев с обширными пояснениями, доказательствами теорем; издания «Всеобщей арифметики» обрастали статьями, комментариями и мемуарами; их объем чуть ли не превосходил основной текст.

Получило дальнейшее развитие начатое Ньютоном построение алгебры на арифметической основе, в связи с чем из книг по алгебре исключались ее геометрические приложения. В «Началах алгебры» французского математика А. Клеро (1713—1768), вышедших в 1746 г., и в «Универсальной арифметике» Л. Эйлера, опубликованной в 1768—1769 гг. в Петербурге, все изложение уже носило арифметический характер.

Широкое распространение нашло данное Ньютоном определение действительного числа. Многие работы математиков XVIII в. посвящены сущности отрицательных чисел и обоснованию действий над ними; эта проблема разрешена полностью только в XIX в. Вместе с тем шло развитие теории комплексных чисел.

Первым из выдающихся математиков, поставившим перед собой задачу дать «Всеобщей арифметике» обширный комментарий, снабдить ее доказательствами и развить дальше, был последователь Ньютона К. Маклорен. Этому он посвятил свой «Трактат по алгебре». Но основной вклад в развитие алгебры внесли математики, занимавшиеся дальнейшей разработкой выдвинутых Ньютоном проблем. Это проблемы приводимости, исключения переменных, численные методы решения уравнений, теория симметрических функций, уточнение и доказательство правил знаков Декарта и Ньютона и др.

Необходимо подчеркнуть, что совершенствование указанных направлений алгебры продолжало традицию Ньютона — основной задачей ставило определение вида корней уравнения и вычисление их. Эта работа завершилась в XIX в.: Ж. Штурм (1803—1855) установил число комплексных, положительных и отрицательных корней уравнения, и Н. И. Лобачевский (1792—1856) создал метод приближенного вычисления всех корней. В то же самое время работами Н. Абеля (1802—1829) и Э. Галуа (1811—1832) были заложены основы нового направления в алгебре, определившего ее движение в XIX и XX вв.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Более четырех тысяч лет человечество умеет решать задачи, приводящие к уравнениям. Ахмес, составитель упомянутого на с. 4 папируса Райнда, указывал, что переписал задачи со старых рукописей, чтобы устранить все тайны, «которые скрывают в себе вещи». Вот, например, задача из этого папируса: «куча» (неизвестное) и ее седьмая часть вместе дают 19; найти «кучу». Значит, нужно решить уравнение

я-|--у-£ = 19.

Очевидно, в те далекие времена знания математики доступны были немногим. И все же «на протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека»¹.

В 1968 г. издательство «Мир» выпустило «Алгебру» С. Ленга. Эпиграфом к книге стоят слова Ф. Севери: «Я предпочитаю называть ее так (абстрактной алгеброй), а не современной алгеброй, потому что она, несомненно, будет жить долго и в конце концов станет древней алгеброй» ². Простая и глубокая мысль, отражающая существо развития.

Если читатель, знакомый со школьной математикой или даже с математикой технического вуза, перелистает «Алгебру» Ленга, он будет поражен обилием совершенно незнакомых понятий, символики, тем, что в ней трудно обнаружить изложение привычной ему теории уравнений, непосредственных приложений к практике, т. е. всего

¹ Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. М.; Л.: ГТТИ, 1947, с. И.

² Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968,

того, что когда-то и составляло основное содержание алгебры. В «Математической энциклопедии» ³ период развития алгебры от античности до середины XVII в., когда разрабатывались способы решения уравнений и в основном было завершено построение алгебраической символики, называется предысторией алгебры. Собственно алгебра создавалась в последующие три столетия, и содержание ее изменялось.

Задачами алгебры XVII—XVIII столетий были преобразования буквенных выражений, решение алгебраических уравнений. В соответствии с этим одно из лучших руководств того времени, «Введение в алгебру» Эйлера, содержало изложение теории целых чисел и дробей, корней, логарифмов, решения уравнений до четвертой степени включительно, теории соединений, прогрессий, бинома Ньютона, диофантовых уравнений. Эти разделы составляли программу алгебры в дореволюционных гимназиях и почти все изучаются в средних школах у нас в настоящее время

В XVIII—XIX столетиях алгебра стала прежде всего алгеброй многочленов; основной задачей ее стало решение уравнений с одним неизвестным. После того как усилиями Тартальи, Кардано и Феррари были найдены способы решения уравнений третьей и четвертой степеней, в течение почти трех столетий предпринимались попытки найти формулы для выражения корней уравнений более высоких степеней через их коэффициенты.

Параллельно с построением методов точного решения уравнений разрабатывались приближенные методы, и достаточно успешно. Думается, не вызовет возражений утверждение, что если в результате точного решения некоторого уравнения получено значение его корня х = ]/2, то оно ничуть не лучше найденного приближенным методом х = 1,41. Значит, математики, отыскивая методы точных решений, рассматривали принципиальную задачу и действовали в этом случае, как говорят в народе, «на характер».

Безуспешные попытки завершились тем, что в 1824 г. Н. Абель доказал неразрешимость уравнений выше чет-

³ См.: Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977, т. 1, с. 114.

вефтои степени в общем случае, а в 1830 г. Э. Галуа установил критерий разрешимости уравнений в радикалах.

В конце XVIII в. К. Гаусс доказал основную теорему алгебры о существовании корня алгебраического уравнения, высказанную ранее Жираром ⁴.

Исследование систем линейных уравнений привело к возникновению теории матриц, впоследствии выделившейся в отдельную ветвь математики, и теории определителей.

С середины XIX в. в связи с расширением и углублением понятия числа и появлением в алгебре новых объектов, отличных от чисел, основное содержание алгебры переместилось на изучение произвольных алгебраических операций. Современное построение алгебры характеризуется тем, что разрозненные ранее алгебраические идеи объединены общей аксиоматической основой, что расширило область ее приложений. Точка зрения на алгебру как на теорию алгебраических операций утвердилась после выхода в 1930 г. монографии Ван дер Вардена «Современная алгебра». Предметом изучения алгебры стали множества с заданными на них алгебраическими операциями, при этом природа множеств безразлична. В силу последнего обстоятельства изучению подвергаются сами алгебраические операции.

Рассмотренный в этой книге период развития алгебры, хотя и относится к ее предыстории, наиболее значителен: алгебра окончательно освободилась от «оков» геометрии, выделилась в самостоятельную ветвь математики, ставшую впоследствии ее основой. Кроме того, математики, увидевшие возможность преодоления казавшихся ранее неприступными твердынь, обрели уверенность в своих силах, что способствовало дальнейшему развитию науки.