В самом деле, последовательность Р 4- Р + Р состоят из сумм вида 0 + 0 + 0, 0 + 0 + 0 + pi + р₂, Pi + Рг + Рз» т. е.

из сумм не более трех простых чисел. Если она содержит все натуральные числа больше единицы, то это значит, что всякое натуральное число больше единицы можно представить в виде суммы не более, чем трех простых чисел, а это как раз и утверждается в гипотезе Гольдбаха.

Если сумма k одинаковых последовательностей А охватывает все натуральные числа, то последовательность А называется базисом (натурального ряда) порядка k (она будет также базисом порядка

Говорят также о базисе к-го порядка для достаточно больших чисел, если сумма k одинаковых последовательностей А охватывает все достаточно большие числа.

Не всякая последовательность является базисом. Так, например, последовательность четных чисел 0, 2, 4. не является базисом какого-либо порядка, так как при сложении чисел этой последовательности нельзя получить ни одного нечетного числа. Не является также базисом ранее упомянутая последовательность Р, так как при сложении ее чисел нельзя получить 1.

Л. Г. Шнирельман ввел понятие плотности последовательности. Пусть А (п) обозначает количество натуральных чисел последовательности (Л), не превосходящих п (при этом подсчете п₀ = 0 не считается). Тогда под плотностью а этой последовательности понимают нижнюю грань отношения (т. е. наибольшее число, которое не превосходит ни одного из значений этого отношения). Таким образом, А (п) ап для любого « 1и0<а<1. Например, последовательность, состоящая из нуля и арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью d, имеет плотность 1/d.

Очевидно, плотность последовательности может принимать только неотрицательные значения и не может быть больше 1.

Если 1 (т. е. если последовательность А не содержит единицы), то а = 0; если плотность последовательности равна 1, то последовательность содержит все натуральные числа.

Л. Г. Шнирельман показал, что плотность суммы любых двух числовых последовательностей Л и В с плотностями а и соответственно 0 не меньше, чем а 4- 0 — а₽. Другими словами, если мы через т обозначим плотность суммы С = А 4- В, то

Т « 4- 0 — ар,

(2)

что можно заменить соотношением:

1 — г С1 — а — ₽ 4- ар,

или

1 — а)<1 — ₽),

(3)

распространимся по индукции на любое конечное число последовательностей.

При помощи предыдущей теоремы Шнирельман доказал следующую основную теорему: всякая последовательность положительной плотности есть базис натурального ряда. Другими словами, если для некоторой числовой последовательности А а 0, то сумма достаточного количества последовательностей А охватывает весь натуральный ряд.

Для доказательства допустим, что у—плотность последовательности С, суммы k последовательностей А плотности а. Тогда согласно (3) 1 — Y (1 — а)*. !

Для достаточно большого k правая часть станет меньше и и вместе с тем у —. Из этого следует, что на любом сегменте [1, и] расположено г у членов с: c_lt с₂, ., c_r.

Если к ним присоединить нуль и числа п — c_lt п —с₂, . п — £ ,то получится всего 2г + 1 п 4- 1 чисел, принадлежащих отрезку 10, п]. Поэтому (по принципу Дирихле¹) среди них должны быть равные, т. е. п —Ct = С/, откуда л = с, + с,.

Другими словами, любое натуральное число п можно получить как сумму двух чисел из С, а это значит, что А есть базис натурального ряда (притом порядка 2 k}, что и требовалось доказать.

Основную теорему Шнирельман постарался применить к решению проблемы Гольдбаха. Сделать это непосредственно не было возможности, так как плотность последовательности Р' 0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 . (Р*), состоящей из нуля, единицы и всех л (х) ,,

простых чисел, имеет плотность, равную нулю, поскольку —-—0, когда оо. Однако Шнирельману удалось доказать знаменитую теорему о том, что последовательность Р' -Г Р' имеет положительную плотность.

Вместе с тем оказывается, что Р' + Р', а следовательно, и Р’ является базисом натурального ряда. Из этого уже нетрудно заключить, что всякое натуральное число N, кроме 1, есть сумма ограниченного, не зависящего от N числа простых чисел.

Метод Шнирельмана, таким образом, позволил решить проблемы Гольдбаха в упрощенной формулировке. Это был первый существенный сдвиг в почти 200 лет казавшейся неприступной проблеме. Для своего времени результат Шнирельмана был фундаментальным и вызвал величайший интерес в математическом мире. Крупнейший специалист по теории чисел Э. Ландау писал: «Работа Л. Г. Шнирельмана содержит одно из величай-

¹ При размещении п -f- 1 предмета в п ящиках по крайней мере в одном из них окажутся два или больше предметов.

паях достижений в теории чисел, до которого мне удалось до* жить».

Исследования с помощью метода Шнирельмана выделились в самостоятельное и весьма плодотворное направление теории чисел.

Большое значение для развития теории чисел имеют работы выдающегося ленинградского математика академика Юрия Владимировича Линника (род. в 1915 г. на Украине в городе Белая Церковь). Неодолимый интерес к математике заставил Ю. В. Линника после двух лет занятий на физическом факультете Ленинградского университета перейти на математический факультет, который он окончил в 1938 г. Представленная им в 1940 г. кандидатская диссертация сразу же была принята как докторская. С 1944 г. Ю. В. Линник — профессор Ленинградского университета, с 1953 г.— член-корреспондент АН СССР, а с 1964 г.— действительный член АН СССР. В 1947 г. Ю. В. Линнику присуждена Государственная премия, а в 1970 г.— Ленинская премия.

Ю. В. Линник работает над трудными задачами, его методы имеют яркий новаторский характер и обычно далеко выходят за пределы их первоначального применения.

Оригинальным аналитико-алгебраическим методом в теории чисел Ю. В. Линник решил проблему представления чисел тернарными (т. е. зависящими от трех переменных) квадратичными формами, которая долгое время не поддавалась усилиям' крупнейших специалистов. Эти исследования привели Ю. В. Линника к непревзойденному до настоящего времени результату — вея*- кое достаточно большое целое число можно представить суммой семи неотрицательных кубов, и к глубоким результатам о распределении целых точек на сфере и двуполостном гиперболоиде.

Методом Шнирельмана Ю. В. Линник в 1943 г. дал новое элементарное решение проблемы Баринга, в основном доказав, что для любого натурального п последовательность 0, 1^л, 2^Л, .

kⁿ. представляет собой базис натурального ряда.

Существенный вклад Ю. В. Линник внес в теорию L-функций Дирихле, которые представляют собой обобщение дзета- функции £ (s) и для распределения простых чисел в арифметической прогрессии играют такую же роль, как функция £ (э) для распределения простых чисел в натуральном ряде. L-функ- ции Дирихле имеют вид

L ($, X) =

где 3 = о + it, а % (п) — характер модуля k.

Характером % (и) в теории чисел называют числовую функцию, определенную для всех целых п и удовлетворяющую следующим условиям:

О X (*t =£ 0» т. е. не равна тождественно нулю, это значит, что существуют значения х («), отличные от нуля;

2) х (/««) = х (т) X (^л) Д^ля всех ^{т и} л;

3) существует такое целое число k (период), что х (я + к) = = X ('О-

Если k наименьший из положительных периодов, то он называется основным модулем, а характер с основным модулем А обозначается х (я, k).

Характером является, например, единичная функция х (л) = = 1, т. е. функция, тождественно равная единице, а также так называемый главный характер по модулю Л, который определяется условиями:

( 0 при (л, k) 1

Относительно функции L (s, х) для не главного характера английские математики Харди и Литлвуд высказали предположение, что ее критические нули так же, как и в случае дзета- функции £ (s), лежат на прямой о = —. Это предположение носит название расширенной гипотезы Римана. Если она справедлива, то из нее вытекали бы многие свойства о простых числах в арифметической прогрессии. Принимая ее, были получены некоторые условные результаты.

В период 1944—1952 гг. Ю. В. Линник разработал новое направление в теории /.-функций — теорию L-функций в среднем, опирающуюся на то, что в среднем L (s, х) данного модуля имеет мало нулей вблизи прямой о = 1.

Для развития этого направления Ю. В. Линник создал также новый метод элементарной теории чисел, названный им «большим решетом». Этот метод, углубляющий метод эрастофе- нова решета, дает возможность высеивать последовательности с помощью простых чисел с возрастающим значением выбрасываемых вычетов.

Значение метода Ю. В. Линника в теории /.-функций заключается в том, что во многих задачах теории чисел он может заменить расширенную гипотезу Римана. Так много лет назад была поставлена проблема о наименьшем простом числе в арифметической прогрессии kx 4- I, т. е. в прогрессии /, I 4- k, I 4- 4-26, ., где k и I числа взаимно простые. Ее можно было бы решить, если была бы верна расширенная гипотеза Римана. Но проблема состояла в том, как обойти эту гипотезу, которая и до сегодняшнего дня еще не доказана.

В 1944 г. Ю. В. Линник дал качественное решение этой проблемы. Он доказал, что в такой прогрессии (при 0 < / < fel содержится простое число р где с — абсолютная (т, е. не зависящая от k) константа.

Заметим, что б 1958 г. китайский математик Пан Чен-тонг, пользуясь методом «Линника, показал, что с 5448, а в 1965 г. Чен Ин-рун доказал, что с 777,

В 1946 г. Ю. В. Линник дал при помощи своего метода новое доказательство теоремы Гольдбаха—Виноградова о представлении достаточно большого нечетного числа суммой трех простых. Вместе с тем было показано, что и здесь расширенную гипотезу Римана, которую Харди и Литлвуд применили для условного доказательства этой теоремы, можно обойти.

Венгерский математик А. Репьи, работавший под руководством Ю. В. Линника, в 1948 г. доказал, что всякое большое четное число можно представить в виде суммы простого числа и произведения не более k простых чисел. Ученик Линника А. И. Виноградов доказал, что каждое достаточно большое четное число является суммой двух целых, каждое из которых содержит не более трех множителей. Наилучший результат в этом отношении получен А, А. Бухштабом в 1965 г. Он показал, что каждое достаточно большое четное число может быть представлено суммой простого числа и произведения не более трех простых чисел.

Развивая метод Линника, А. И. Виноградов получил важные результаты в исследованиях по замене расширенной гипотезы Римана теоремами типа большого решета.

Синтезируя теоретико-числовые и теоретико-вероятностные соображения, Ю. В. Линник развил в 1957—1961 гг. новый метод аналитической теории чисел, названный автором дисперсионным. Этим методом им была, в частности, решена классическая проблема Харди — Литлвуда о представлении каждого достаточно большого целого числа в виде суммы простого числа и двух квадратов целых чисел, т. е. в виде N = р -|- Л² + Р.

Мы коснулись работ академика Ю. В. Линника только в области теории чисел. Почти столько же работ ученого принадлежит теории вероятностей.

Методы Ю. В. Линника пользуются мировой известностью и широко применяются не только у нас, но и за рубежом.

Очень важную роль в теории трансцендентных чисел играет аналитический метод, созданный членом-корреспондентом Академии наук СССР А. О. Гельфондом (1906—1968 гг.).

Александр Осипович родился в 1906 г. в Петербурге. В 1927 г. он закончил Московский государственный университет. С 1931 г. А. О. Гельфонд — профессор в Московском государственном университете, с 1933 г. работает в Математическом институте Академии наук СССР, а с 1939 г. членом-корреспондентом Академии наук СССР. Основное направление научной деятельности А. О. Гельфонда — аналитическая теория чисел и теория интерполирования и приближения аналитических функций комплексных ш ременных.

Исследования по вопросу об арифметической природе за* данных чисел, в особенности выяснение того, являются л« эти числа алгебраическими или трансцендентными, принадлежат к труднейшим задачам современной математики. Только лишь в 1873 г. французским математик Ш. Эрмит доказал трансцен* деятнфсть с, а в <882 г. немецкий математик Ф. Линдеман — траадендеитаюсть числа я.

После результатов, полученных Эрмитом и Линдеманом, долгое время не удавалось добиться новых значительных успехов в рассматриваемой области.

На международном математическом конгрессе в 1900 г. Д. Гильберт в качестве одной из 23 актуальных математических проблем выдвинул задачу (проблема № 7) исследовать, являются ли трансцендентными числа вида а^р, где ан 0.— алгебраические числа, причем а отлично от 0 и 1, а [1 — иррационально (проблема трансцендентности чисел вида а¹³ была впервые в частной форме поставлена Эйлером), и, в частности, является ли трансцендентным число 2^*.

Несмотря на усилия многих ученых, эта проблема долгое время не поддавалась решению. Только в 1929 г. А. О. Гельфон- ду удалось найти частное решение. Углубив свой метод введением в него новых идей, он дал в 1934 г. полное ее решение и доказал, что все числа, о которых идет речь в этой проблеме, являются трансцендентными.

Решение классической проблемы Гильберта принесло автору мировую славу.

Из результата А. О. Гельфонда непосредственно следует, что трансцендентными будут, например, все десятичные логарифмы рациональных чисел, если сами они не являются рациональными числами. Действительно, если бы 1g г, где г— рациональное число, было алгебраически иррациональным, то число 10 ^г согласно результату А. О. Гельфонда должно было бы быть трансцендентным, между тем 10 ^1&г = г — число рациональное.

В 1940 г. А. О. Гельфонд дал новое приложение своего метода и получил глубокие теоремы из теории диофантовых уравнений, например, если а, р, у — алгебраические числа (не все являющиеся алгебраическими единицами, а 7 =f= 2^п, где п — целое рациональное число), то диофантово уравнение а* 4- 4- р» == у^г имеет лишь конечное число решений в целых рациональных числах х, у, z.

А. О. Гельфонд выяснил, и это весьма интересно, что вопро- сы приближения функции целочисленными полиномами связаны е вопросами распределения простых чисел.

В последние десятилетия А. О. Гельфонд, все более совершенствуя свои прежние методы, получил возможность указать wta ряд новых классов трансцендентных чисел. Метод Гельфонда успешно используется также другими авторами, как советскими, так и зарубежными.

Очень важных результатов добился ученик А. О. Гельфонда А. Б. Шидловский, который исследовал вопрос трансцендентности и алгебраической независимости значений функций, являющихся решением некоторых линейных дифференциальных уравнений.

Заметим, что комплексные числа unv называются алгебраическими независимыми, если нет такого многочлена от двух переменных Р (х, у} ф 0 (тождественно не равного нулю) с алгебраическими коэффициентами, для которого Р (и, и) = 0. В противном случае и и v называются алгебраически зависимыми. Это понятие можно распространить на и чисел. При п — 1 определение переходит в определение трансцендентности числа.

Вопросы алгебраической независимости решаются с большим трудом. Так, например, до сих пор проблема алгебраической независимости чисел е и л остается без решения.

В области алгебраической теории чисел и ее приложений к диофантову анализу в 20—40-е годы важные результаты были получены членами-корреспондентами АН СССР Б. Н. Делоне (род. 1890 г.), Н. Г. Чеботаревым (1894— 1947 гг.), Д. К. Фаддеевым (род. 1907 г.).

Н. Г. Чеботарев дал глубокое обобщение известной теоремы Дирихле о бесконечности простых чисел в арифметической прогрессии.

Б. Н. Делоне доказал, что кубическое уравнение Пелля ах³ + у³ = 1 (где а — целое число) может иметь, кроме тривиального решения (0,1), не более одного решения в целых числах. Он показал также, что для каждого заданного значения а можно установить, существует ли нетривиальное решение и как найти его, и доказал также, что уравнение ах³ + Ьх²у + сху² + 4- dy³ = 1 имеет не более 5, а иногда 5 решений в целых числах, и указал алгоритм решения.

До работ Б. Н. Делоне было лишь известно — это доказал норвежский математик А. Туэ в 1909 г.,— что неопределенное уравнение а_ох^п + а^^-у + . + а_пу^п = с (где a_Q, а_г, ., а_п, с — целые и многочлен о₀/" 4- а"^-1 4- . 4- Дя не приводим в поле рациональных чисел) имеет только конечное число целых решений при п 3. Однако метод А. Туэ не позволял найти сами решения, он не давал даже ответа на вопрос, существуют ли вообще у данного уравнения решения.

Ученик Б. Н. Делоне Д. К. Фаддеев развил метод своего учителя и получил новые результаты. Он, в частности, обнаружил более широкий класс уравнений третьей степени, чем уравнения Пелля, допускающих эффективное решение.

Начиная с конца 40-х годов блестящих успехов в алгебраической теории чисел добился другой ученик Б. Н. Делоне — член- корреспондент АН СССР лауреат Ленинской премии Игорь Ростиславович Шафаревич (род. в 1923 г.).

Необыкновенные способности И. Р. Шафаревича проявились рано. В 14 лет он закончил курс математики средней школы, в 16 лет — Московский университет, а к 22 годам им была уже подготовлена докторская диссертация. В 1949 г. И. Р. Шафаревич получил фундаментальный результат в области теории ал- гебраических чисел, а именно он открыл и доказал общий закон взаимности в области теории алгебраических чисел.

Чтобы дать представление об общем законе взаимности Шафаревича, отметим, во-первых, что при помощи квадратичного закона взаимности для нечетных простых чисел можно не только по данному а и простому р определить, является ли а квадратическим вычетом числа р или нет, но и решить более сложную обратную задачу о том, как найти те простые числа р, для которых заданное число а является квадратическим вычетом числа р.

Для случая а = — 1 при помощи указанного закона устанавливается, что минус единица является квадратическим вычетом всех простых чисел вида 4/n 4- 1 и квадратическим невычетом всех простых чисел вида 4/п + 3.

Значимость этого факта вытекает из следующего. Как известно, простыми числами называются числа 2, 3., которые не имеют собственных делителей (т. е. делителей, кроме 1 и самого числа). При этом речь идет о целых рациональных делителях.

Оказывается, что имеет смысл расширить поле рациональных чисел, присоединяя к нему иррациональное число У а, где а — целое рациональное. Тогда получается множество чисел вида х + у У а, где х и у—рациональныечисла.такжеобразующиеполе, так называемое квадратичное поле /? (У а).

Таким расширением является, например, поле комплексных чисел а + Ы. Множество чисел а 4- Ы, где а ид — целые рациональные числа, играют в этом поле такую же роль, как целые числа в поле рациональных чисел. Они образуют кольцо, которое носит название гауссова кольца целых комплексных чисел, поскольку Гаусс первый исследовал его.

В /? (У— 1) простое число 29 уже не является «простым», оно разложимо на множители: 29 = (5 4- 2/)-(5—2i), притом однозначно, если не обращать внимания на порядок следования сомножителей и множителей «единиц», т. е. 1, —1, i, —i.

Но не всякое обычное простое число разложимо в (У— 1), так, например, 31 так разложить нельзя. Оказывается, что из простых чисел р в R (У— 1) разложимы в указанном смысле только простые числа вида 4т 4- 1 (а простые числа вида 4/и 4- 3 неразложимы), т. е. как раз те, для которых 21 является квадратическим вычетом.

Вообще: только те простые числа р, по которым а является квадратическим вычетом, разлагаются в квадратичном поле R (Уа), другие р — нет, Но вопрос квадратичной вычетности 28

решаете* законом взаимности. Таким образом, квадратичный закон взаимности показывает, какова зависимость арифметики квадратичного поля от арифметически рационального поля, так как законы разложимости определяют всю арифметику. Как раз в этом фундаментальность закона взаимности.

Насколько важным является вопрос разложимости в 7? видно из следующего примера, относящегося к 7? (У— 1). Так как число минус единица является квадратическим вычетом для всех р вида 4т 4- 1 и квадратическим невычетом для всех р вида 4т 4- 3, то первые, и только они, всегда представимы формой х² у\ притом еще единственным образом и с условием (к, у) = 1. Это связано с тем, что из р — (х + у У— 1) • (х — — у У— 1) следует р = х² 4- у^2, и наоборот.

Так, с помощью арифметической теории алгебраических чисел очень просто доказываются знаменитые теоремы Ферма и Эйлера относительно простых чисел р вида 4т 4- 1.

Вопросы, аналогичные тем, которые мы только что рассмотрели, возникают при переходах к более сложным полям. Несмотря на большие усилия виднейших ученых (Гаусса, Эйнштейна, Куммера, Гильберта и др.), в течение 150 лет эти вопросы удалось решить только для разных частных случаев. Общий закон взаимности Шафаревича решает указанную проблему в наи- Гюлее общем виде: он устанавливает, как разлагаются на простые множители в поле К простые множители поля fc, т. е. зависимость арифметики поля К от арифметики поля k, где k — произвольное поле алгебраических чисел /n-й степени, а К — его ^п /— расширение, полученное присоединением к нему у а, где а число поля k.

И. Р. Шафаревич решил также другую знаменитую алгебраическую задачу, известную под названием обратной задачи Галуа для разрешимых групп.

В последние годы И. Р. Шафаревич решил третью важнейшую для теории алгебраических чисел задачу о том, является ли любое поле алгебраических чисел подполем одноклассного поля алгебраических чисел. Оказалось, что нет. Этим решена в отрицательном смысле так называемая «проблема башни», поставленная Гильбертом. Работы И. Р. Шафаревича получили международное признание и выдвинули молодого советского ученого в ряды выдающихся математиков современности.

Больших успехов в алгебраической теории чисел добился также ученик И. Р. Шафаревича, лауреат Ленинской премии Юрий Иванович Манин (род. в 1938 г.).

Около 50 лет назад английский математик Морделл высказал предположение («гипотеза Морделла»), которую можно сформулировать так: уравнение f (х, у) = 0, где f (х, у) — многочлен степени 3, достаточно общего характера, имеет лишь конечное число рациональных решений, Использовав созданный им новый

метод «дифференциальных операторов», Ю. И. Манин доказал функциональный аналог этой гипотезы, т. е. ее обобщение для случая, когда коэффициенты и неизвестные являются некоторыми рациональными или алгебраическими функциями.

Результат Ю. И. Манина произвел на математиков всего мира большое впечатление.

* * *

Перечень славных достижений русских и советских математиков в развитии теории чисел можно было бы продолжить. Можно было бы остановиться на теоретико-числовых работах А. Я. Хинчина (1894—1959 гг.), касающихся диофантовых приближений — решения неравенств в целых числах, и связанных с теорией вероятности, на фундаментальных результатах И. П. Кубилюса и его учеников в вероятностной теории чисел; на работах Б. Н. Делоне и Б. А. Венкова (род. 1900 г.) в геометрии чисел и многих других исследованиях.

Однако, на наш взгляд, и перечисленные достижения уже свидетельствуют о выдающемся вкладе русских и советских математиков в развитие теории чисел.