ВВЕДЕНИЕ

Первым и важнейшим этапом решения геометрической задачи является построение чертежа. Нельзя научиться решать достаточно содержательные геометрические задачи, не выработав прочных навыков по изготовлению «хороших» чертежей, не выработав привычки (даже рефлекса) — не начинать решать задачу, пока не сделан «большой и красивый» чертеж, удовлетворяющий не только формально математическим требованиям, но и известным эстетическим критериям. Обращаем внимание на то, что речь идет об этапе собственно решения задачи, а не об оформлении найденного решения на чистовике. И еще — желательно научиться изготовлять чертежи достаточно хорошего качества от руки, поскольку жесткая установка на использование чертежных инструментов может привести к известной закрепощенности, сузить оперативный простор в процессе работы над решением. Мы не будем пока дальше и глубже разрабатывать эту тему, ограничившись уже сказанными общими словами. Более конкретные рекомендации мы будем давать, рассматривая конкретные примеры, предъявляя одновременно оптимальное на наш взгляд графическое оформление.

В качестве основного инструмента, основного метода решения геометрических задач, который следует освоить и отработать в первую очередь, мы выдвигаем алгебраический метод, поскольку этот метод, вернее, основные его модификации могут быть в достаточной степени алгоритмизированы. Имеются в виду две модификации: метод поэтапного решения (аналогия — текстовые арифметические задачи, решаемые «по действиям») и метод составления уравнений (соответственно аналогия — текстовые задачи на составление уравнений). Конечно, граница между этими модификациями условна, а формально-математически можно считать, что первая—частный случай второй, однако, с точки зрения здравого смысла различие между ними очевидно и существенно и педагогически вполне оправдано. Рассматривая каждую задачу вместе с методом ее решения, выделим некоторое множество так

называемых элементарных задач. Под элементарными мы будем понимать задачи в одно действие (при этом под «действием» понимается также и решение одного элементарного, т. е. линейного, квадратного и др. уравнения), сделанного на основании известной теоремы или формулы (свойство подобных треугольников, теорема косинусов, формула для площади стандартной фигуры и т. д.), причем конфигурация, к которой эта формула или теорема применяется, достаточно четко обозначена в условии задачи. Здесь вновь, во второй раз на протяжении одного абзаца приходится говорить об условности, размытости границы, на сей раз — границы множества элементарных задач. Тем не менее выделение указанного множества педагогически представляется оправданным и полезным, поскольку очень часто решение более сложных, более содержательных геометрических задач может быть, как из «кирпичиков», составлено из задач элементарных, простейших. Очень важно постараться определить, если так можно выразиться, оптимальные размеры этих «кирпичиков» — чрезмерно мелкие не слишком удобны для строительства (чрезмерно большие — также, хотя привести примеры таковых мы не можем). Ставя во главу угла алгебраический метод решения геометрических задач, мы тем не менее считаем необходимым предостеречь от чрезмерного увлечения алгеброй и счетом, не забывать о том, что речь идет все же о геометрических задачах, а поэтому, работая над задачей, следует искать геометрические особенности, учиться смотреть и видеть геометрию.

Итак, мы выделили два слагаемых, определяющих умение решать геометрические задачи,— чертеж плюс метод (прежде всего—алгебраический). Добавим сюда третье слагаемое—владение определенным объемом вспомогательных геометрических фактов и теорем, наличие достаточного активно используемого запаса опорных задач. Дело в том, что в школьный курс геометрии, в его теоретическую часть включены, в основном, теоремы, работающие на сам этот курс, необходимые для его дальнейшего развития. Многие теоремы, в известном смысле прикладного характера, областью приложения которых является задача, а не теория, из курса исключены. В связи с этим возникает необходимость в выделении некоторого количества задач, так называемых опорных задач, представляющих из себя набор дополнительных к курсу теорем или иллюстрирующих тот или иной часто встречающийся метод или прием решения задач, которые учащийся должен усвоить и освоить.