ВВЕДЕНИЕ

Какие математические знания применялись в Древней Руси? Какую форму имели средневековые проявления «бытовой математики»? Как изменялся объем и характер математических навыков древнерусского человека в зависимости от социального положения?

Вопросы эти не праздные. Использование элементов математических знаний современным человеком, независимо от его образования, рода деятельности и общественного положения, достаточно велико. В наше время цифровые обозначения встречаются на каждом шагу. Мы к этому привыкли. А как обстояло дело с математикой в X—XI вв.?

Если мы будем знать о математике в быту древнерусского человека, то сможем вернее судить о торговле, финансовой системе, уровне ремесленного производства, строительного и военного дела и других сторонах жизни той эпохи. Поэтому-то вопросы, поставленные в начале книги, актуальны для изучения исторического прошлого.

Как одевались люди на Руси? Что они ели и пили? Каким у них был семейный уклад? Что они читали? Как развлекались? Данные об этом можно найти, перелистывая старинные фолианты. В поисках сведений о древнерусской математике обратимся и мы к литературным источникам. Интерес представляет сравнительно позднее произведение «Стоглав» — сборник церковных постановлений 1551 г. В нем говорится, что в древнерусской школе учили «грамоте, и писати, и пети, и чести». Последнее слово исследователи истолковывают по-разному: «читать» [I]¹ и «считать» [2]. В «Стоглаве» сообщается о состоянии школьного дела. Однако неясно, можно ли относить

¹ Здесь п далее в квадратных скобках указан номер в списке литературы, помещенном в конце книги.

эти сведения к X—XI вв., если согласиться, что там говорится о счете.

В сохранившихся литературных произведениях, памятниках материальной культуры, прикладного искусства и архитектуры определенное отражение получили математические представления людей, которые создавали эти произведения.

Польский историк В. А. Мацеевский одним из первых затронул вопрос о месте математических знаний у славян. Он указал на песню XIII или XIV в., в которой сохранилось предание об арифметике и геометрии, наряду с остальными предметами «учения о семи свободных мудростях», преподававшихся в средневековых школах [3]. Эти «семь мудростей», или «искусств», следующие: грамматика, диалектика, риторика, музыка, арифметика, геометрия, астрономия. Д. Л. Мордовцев допустил возможность обучения математическим предметам в древнерусских школах в связи с учением о семи свободных искусствах, основываясь на источниках XVII в. [4]. В. В. Бобынин пришел к отрицательному выводу на этот счет применительно ко времени до XVI в. [5].

Важные результаты о самом характере математических интересов в Древней Руси были получены советским ученым В. П. Зубовым. Он установил, что в древнерусских рукописях, начиная с XI в., представлено понимание основ математики в духе Аристотеля (384—322 гг. до н. э.)—выдающегося мыслителя Античной Греции [6].

В подходе к математике у Аристотеля проявлялось предвосхищение отдельных черт диалектического материализма, правда, как отмечал В. И. Ленин в «Философских тетрадях», в случайной, неразвитой форме [7, с. 328].

В. И. Ленину нравилось, что Аристотель материалистически, хотя недостаточно последовательно, разрабатывал трудный вопрос о характере математического знания. Так, по поводу одного места в кн. 18, гл. 2, § 23 Аристотелевой «Метафизики» В. И. Ленин написал: «Наивное выражение „трудностей*⁴ насчет „философии матема- тики“ (говоря по современному).» Затем он вернулся к затронутому вопросу, сделав важный вывод: «Книга 13, глава 3 разрешает эти трудности превосходно, отчетливо, Мено, материалистически (математика и другие науки абстрагируют одну из сторон тела, явления, жизни). Но

автор не выдерживает последовательно этой точки зрения» [7, с. 330].

Можно полагать, что на математику Древней Руси благотворное влияние оказывала античная наука. Это — важный факт, свидетельствующий о развитии древнерусской математической мысли на здоровой основе. При этом надо иметь в виду, что достижения античных научных школ не утратили своего значения и для современной науки. Как справедливо замечал Ф. Энгельс в «Анти-Дюринге», «теоретическое естествознание, если оно хочет проследить историю возникновения и развития своих теперешних общих положений, вынуждено возвращаться к грекам» [8].

В настоящее время «бытовая математика» связана главным образом с основами арифметики (нумерацией, элементарными вычислениями). Так ли обстояло дело в средневековый период?

Интересную классификацию математических наук в общей системе наук разработал средневековый ученый ал-Фараби (870—950). На его воззрения оказывали влияние идеи Аристотеля. Ал-Фараби на первое место ставил арифметику, за ней — геометрию, далее у него идут оптика, наука о звездах, наука о музыке, наука о предметах, имеющих вес (механика), и наука «об искусных приемах». Последняя — наука о способах создания искусственных тел на основе теоретического знания, включая архитектуру [9]. Ал-Фараби объяснял, что расположил науки так, «чтобы помочь уяснению того, с чего начать изучение наук и как построить это изучение более естественным и разумным образом» [10].

Любопытно выяснить, как выглядит средневековая система математических знаний (с арифметикой на первом месте) с точки зрения современной иерархии шкал измерения. Оказывается, что только после освоения счета человек оказался способным приступить к «построению пропорциональных шкал для измерения длин, объемов, весов и т. д.» [11]. Выходит, что не случайно ал-Фараби в начале математического познания поставил арифметику, т. е. учение о числе и вычислительных операциях, а затем — геометрию и др. Тем же путем шло историческое развитие математической мысли: «На ранних этапах развития математики наглядность и утилитарность должны были являться существенными стимулами и одновременно

селектирующими фильтрами по отношению к разработке тех или иных направлений в математике. С этой точки зрения, арифметика натуральных чисел, являясь самой простой жесткой и, тем не менее, весьма эффективной моделью определенных отношений между множествами объектов действительности, оказалась самой доступной и перспективной базой развития математики» [11, с. 12].

Видимо, можно не сомневаться, что в быту средневекового человека на первом месте среди математических представлений находились числовые обозначения и счет. Они служили базой формирования математических идей, связанных с измерениями длин, объемов и пр. (геометрические представления). Такое заключение соответствует нашему повседневному опыту, историческому развитию математической мысли, осмыслению этого процесса передовой наукой, начиная с античной древности и средневековья и кончая нашими днями.

Таким образом, наиболее правильным будет начинать изучение математических представлений, которые сопутствовали каждодневной деятельности древнерусских людей, с арифметики, а не с других математических дисциплин средневековья (геометрии, архитектурной математики и пр.).

Арифметические представления (о нумерации, вычислительных операциях) в той или иной степени отразились в сохранившихся памятниках письменной и материальной культуры. Критерием для отбора может служить наличие в тексте определенных числовых характеристик. Числовые записи встречаются в тексте рукописей, различных приписках, в виде единичных цифровых пометок, не связанных с текстом, а также в надписях на камнях, стенах сооружений, на ремесленных изделиях и предметах художественного творчества, включая произведения штемпельной техники, например печати. Значительно расширился круг источников об использовании арифметических представлений в быту человека Древней Руси благодаря открытию берестяных грамот. Тесно связаны с арифметическими представлениями деньги. Анализ особенностей денежной системы может дать интересный материал об употреблявшейся в соответствующее время вычислительной практике. Недаром ведь говорят: «Деньги счет любят».

Древнерусских письменных документов (подлинников) от XI—XIII вв. дошло сравнительно мало, но чем ближе к нашему времени, тем старинных книг и надписей на каждый век приходится больше. Денежная система на Руси не оставалась неизменной на протяжении всего средневековья. Кроме того, она варьировалась в зависимости от территории.

Эти факторы обусловливают необходимость выбора конкретного периода для исследования средневековых форм арифметических представлений на Руси. Наиболее интересной с точки зрения формирования системы числовых обозначений и вычислительных навыков в Древней Руси является древнейшая пора. Поэтому изложение в настоящей работе ограничивается периодом, предшествующим татаро-монгольскому нашествию 1236—1240 гг.

Отсутствие каких-либо надежных литературных свидетельств о месте математических знаний и их проявлении в быту на Руси в X—XIII вв. оставляет единственный путь исследователю — их реконструкцию. Источники, по которым такая реконструкция может производиться, содержат нужную информацию в «переработанном» виде. Это диктует необходимость применения «тонких» методов научного анализа источников, основанных на приведении в систему ряда косвенных данных. Важную часть такого анализа составляет доказательство того, что имеющиеся данные образуют цепь фактов, достаточную для построения той или иной гипотезы.

В последнее время все увеличивается интерес не только к результатам научного исследования, но и к методам, которыми эти результаты получены. Автор стремился удовлетворить взыскательного читателя, раскрывая, по возможности подробно, существо применяемого анализа источников.

В изучении истории математики Древней Руси сделано много. Кроме названных выше исследователей, значительная заслуга в этом принадлежит советским ученым Б. В. Гнеденко и особенно А. П. Юшкевичу.

В наиболее обстоятельных монографиях по истории русской математики древний период справедливо рассматривается как почва и основа дальнейшего развития математической мысли. Но при этом неизбежно авторами в первую очередь обращалось внимание на те стороны средневековых математических знаний, которые разви

вались дальше. Для воссоздания средневекового облика нужно учитывать и «отмершие» элементы математической культуры, тогда суждения о древнерусских математических представлениях станут полнее и точнее [12].

Начало специального изучения средневекового облика древнерусских знаний по математике связано с исследованием И. Г. Спасским истории вычислительного инстру мента — счетов [13]. Эта важная работа по характеру используемых источников касается XVI—XVII и после' дующих веков. Академик Б. А. Рыбаков предложил интересную интерпретацию данным о возможном геометрическом средстве древнерусских зодчих («вавилоне»). Это исследование относится к воссозданию облика средневв' ковой архитектурной математики [14]. М. П. Сотникова открыла неизвестную ранее форму записи чисел на серебряных платежных слитках (гривнах). Исследовательница поставила вопрос о существовании особой «практической арифметики», которую применяли в Древней Руси для расчета сырья при выплавке гривен [15].

Наименее разработанной областью остаются древнерусские арифметические представления X—XIII вв. в их средневековом облике. Ценные результаты, полученные учеными, либо относятся к более позднему времени (И. Г. Спасский), либо касаются геометрических знаний (Б. А. Рыбаков), либо относятся к особой категории арифметических умений (М. П. Сотникова). Целью настоящей работы является в какой-то мере восполнение существующего пробела в изучении средневекового облика арифметики домонгольской Руси.

Глава I

ДРЕВНЕРУССКИЕ ЦИФРЫ

• 1. В 1923 г. историк математики М. Н. Марчевский писал: «У нас в России до введения христианства цифр не было никаких. Только знакомство с греками, сношения с Византией после принятия христианства и перевод священных книг па славянский язык имели своим последствием появление церковно-славянской буквенной нумерации, представляющей подражание греческой системе нумерации в алфавитном порядке» [1].

Прошло свыше полувека после работы М. Н. Марчев- ского. Наука накопила новые факты. Она обогатилась методами научного анализа. Мнение об отсутствии цифр на Руси до принятия христианства до сих пор не имеет обоснования. Оказывается, что противоположная точка зрения — о знакомстве с цифровой символикой в дохристианской Руси — более согласуется с имеющимися данными.

Могут возразить: неясен вопрос о степени развитости фонетической письменности на Руси в языческую пору. Правомерно ли говорить о наличии «цифрового языка» на Руси, прежде чем здесь появилась литература на славянском языке?

И тем не менее постановка такого вопроса в утвердительном значении допустима. О принципиальной возможности употребления цифр прежде появления фонетического письма писал Джон Бернал: «. письменность, это величайшее изобретение руки и ума человека, постепенно возникла из счета» [2]. Это положение недавно получило новое подтверждение при изучении протошумерских текстов рубежа IV—III тысячелетий до н. э. советским историком А. А. Вайманом. Он пришел к выводу о возможности первоначального изобретения цифр, а лишь затем — других знаков.