Skip to main content

Математика (наука)

Математический анализ - Ученые записки № 277 1971 - Скачать старые книги

Советская нехудожественная литература бесплатно

Математический анализ - Ученые записки № 277 1971

Описание: Настоящий выпуск «Ученых записок» составлен из статей, отражающих вопросы, разрабатываемые на кафедрах математического анализа и математической физики Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина.
Публикуемые статьи распадаются на три цикла. Первый цикл содержит статьи по теории функций, топологии и функциональному анализу; сюда включены статьи И. Л. Бонди, В. И. Рыбакова, Д. А. Райкова, Ю. С. Очана, В. В. Маслова, М. Ф. Бокштейна, В. А. Краснова и А. С. Фох- та, С. Г. Слободника, В. А. Старцева, Е. К. Годуновой, Ф. А. Сысоевой. Второй цикл посвящен работам по математической логике; здесь помеще-ны статьи И. Л. Бонди, Ф. Л. Варпаховского, Л. Л. Цинмана, Е. М. Яковлевой. Наконец, Третий цикл объединяет шесть работ по математической физике; в этот цикл входят статьи Л. Б. Бодрецовой, Г. А. Шадрина, А. А. Хачатурова, М. Л. Смолянского и 3. И. Абарбанеля.
Статьи, помещенные в настоящем сборнике, содержат, наряду с новыми результатами, также постановку интересных проблем, подлежащих дальнейшей разработке; эти статьи, безусловно, могут представить интерес для лиц, занимающихся проблемами теории функций, функционального анализа, топологии, математической логики и дифференциальных уравнений.

© Министерство просвещения РСФСР Московский ордена трудового красного знамени государственный педагогический институт имени В.И. Ленина Москва 1971

Авторство: Редакционная коллегия: академик П. С. НОВИКОВ (ответственный редактор), профессор В. И. ЛЕВИН, профессор Ю.С. ОЧАН

Формат: PDF Размер файла: 1.94 MB

СОДЕРЖАНИЕ

 Предисловие 3

ЧАСТЬ I

Теория функций, топология, функциональный анализ

Бонди И. Л. О представлении обобщенных функций с помощью А-интеграла 7

Рыбаков В. И. А-интегрированис векторных функций 44

Рыбаков В. И. О полноте пространства функций, интегрируемых в смысле Петтиса. 58

Райков Д. А. О замкнутых линейных наложениях 65

О ч а н Ю. С. Пространства с метриками высших размерностей, ч. I (общая теория) 71

Очан Ю. С. Пространства с метриками высших размерностей, ч. II (конкретные n-метрические пространства) 92

Бокштейн М. Ф. Направленные абелевы категории 121

Маслов В. В. Полусинтопогенные пространства. 129

Слободник С. Г. О непрерывности и о дифференцируемости функции нескольких переменных. 144

📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ

Очан Ю. С. Об условиях существования решения уравнения y'=f(x, у) . . 150

Старцев В. А. О симметрической непрерывности относительно множества . 162

Краснов В. А. и ФохтА. С. О некотором представлении многочлена, положительного на интервале (0; 1). 168

Годунова Е. К. Некоторые неравенства типа неравенств Карлемана . . . 176

С ы с о е в а Ф. А. Новые обобщения одного неравенства Харди. 192

Годунова Е. К. и Сысоева Ф. А. Два обобщения неравенства Харди на произвольный вес. 197

Годунова Е. К. Об одной задаче Митриновича. 201

ЧАСТЬ 11

Математическая логика, теория графов

Бонди И. Л. О проблеме разрешения для некоторых формально-логических исчислений 205

Варпаховский Ф. Л. О нереализуемое™ дизъюнкции нереализуемых формул логики высказываний 214

Цинман Л. Л. Некоторые примеры и теоремы из теории рекурсивных функций 218

Яковлева Е. М. Некоторые свойства графов 223

ЧАСТЬ 111

Математическая физика

Бодрецова Л. Б. Решение двумерной задачи теплопроводности в полубесконечной полосе с теплообменом на одной из границ методом двойного преобразования Лапласа 231

Хачатуров А. А. К теории ньютонова потенциала 242

Шадрин Г. А. Исследование существования, полноты и замкнутости системы фундаментальных функций В. А. Стеклова 244

Шадрин Г. А. О колебании жидкости в баке с движущимися стенками 251

АбарбанельЗ. И. и СмолянскийМ. Л. К теории расчета седиментации частиц в поле центробежных сил 255

АбарбанельЗ. И. и СмолянскийМ. Л. Характеристика порошков методом центробежной турбодиметрии 261

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатную книгу времен СССР - Математический анализ - Ученые записки № 277 1971 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

ЧАСТЬ IV

Методика математики

Павленкова И. А. Из опыта преподавания математического анализа в математической школе 265

Часть IV. МЕТОДИКА МАТЕМАТИКИ

ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЕ

ПАВЛЕНКОВА И. А.

В настоящей статье представлена часть экспериментального курса математического анализа для 9 класса математических школ. Предлагаемый материал познакомит с введением понятия дифференцируемой функции на основе идеи наилучшего локального приближения функции. Такое введение дифференцируемых функций акцентирует идейную сторону вопроса, производная же служит лишь вспомогательным аппаратным материалом, отработка которого занимает в курсе подчиненное место.

Материал представлен перечнем определений новых понятий и упражнений, рассчитанных на самостоятельное овладение учащимися новыми понятиями. К моменту изучения предлагаемого материала учащиеся должны владеть понятиями непрерывности и предела функции в точке, изучить свойства функций, непрерывных на отрезке.

Наилучшее локальное приближение функции

Определение. Будем говорить, что в точке b функция g ближе к (не дальше от) функции /, чем функция ср, если \f(b)—g(b)\<Z\f(b)—ср(6)/ - g(6)W/(»)-фОТ|)-

Упражнения. 1) Может ли к функции f в точке b функция g быть ближе, чем функция ср, а функция ср быть ближе, чем функция g?

2) Может ли функция g в точке b быть не дальше от функции Д чем функция ср, а функция ср в той же точке быть не дальше от функции Д чем функция g? Если да, то при каком условии?

3) Если к функции f в точке b функция g ближе (не дальше), чем функция ср, а функция <р ближе (не дальше), чем функция ф, то функция £~ближе (не дальше), чем функция ф.

4) Для каждой из функций ср1(х)=х, <р-2 (х)=2х, <р3 (х)=0,8х, <р4(х)== -■= х, cp5(x)=tgx, cpe(x)=cosx указать среди остальных функций те, которые ближе к (не дальше от) функции f (x)=sin х в точке , чем рассматриваемая функция.

Будем рассматривать функции, определенные в некоторой окрестности точки а.

Определение. Будем говорить, что в окрестности точки а функция g локально ближе (или является лучшим локальным приближением) к функции f, чем функция ср, если существует окрестность точки а, в каждой точке которой (за исключением, быть может, точки а, где функция g не дальше от функции f, чем функция ср) функция g ближе к функции Д чем функция ср.

5) Записать на языке логики утверждение: «Функция g в окрестности точки а локально ближе к функции f, чем функция ср». Построить отрицание этого утверждения, не употребляя знака отрицания.

6) Будет ли в окрестности 0 функция g локально ближе к функции f (х)=х4, чем функция <р, где: а) ср (х)=1; g (х)=0,5;

( 0 при х = 0;

б)ср(х)=—1; g(x)=cosx; в). Ч> 00= | j при х0 ё (х)=0,0001?

0 при х- 0

|х| п. Будет ли в окрестности 0 одна из указанных

х ПРИ

функций ср и g локально ближе к функции f, чем другая, где:

а)ф(х)= —2; g(x)=—3; б) ф (х)=—1; g(x)=— 2;

в)ф(х)=1; g(x)=O; г) <р (х)=0; g(x)=sinx;

д) Ф (х)=0; g (x)=x+l; е) ф (х)=х; g(x)=x— 1?

8) Известно, что ф (a)=f (а). Может ли функция g в окрестности точки а быть локально ближе к функции f, чем функция ф?

9) Функция g в окрестности точки а локально ближе к функции f, чем функция ф. Может ли функция ф в окрестности той же точки быть локально ближе к функции f, чем функция g?

10) Всегда ли из двух данных функций g и ф одна локально ближе к функции f в окрестности точки а, чем другая?

11) Если к функции f в окрестности точки а функция g локально ближе, чем функция ф, а функция ф локально ближе, чем функция ф, то фун- ция g локально ближе чем функция ф.

12) Какая из функций g и ф локально ближе в окрестности 0 к функции /(х)=х6, чем другая, где: a) g (х)=х; ф (х)=2х; б) g (х)=0; ф (х)=2х?

Определение. Пусть М — некоторое множество функций. Функцию gCM назовем наилучшим локальным приближением среди функций множества М к функции f в окрестности точки а, если в окрестности точки а она локально ближе к функции f, чем любая другая функция из множества М.

13) Записать данное определение с помощью языка логики.

14) Не употребляя знака отрицания, записать на языке логики, что:

а) функция ф£М не является наилучшим локальным приближением среди функций множества М к функции f в окрестности точки а;

б) функция f в окрестности точки а не имеет наилучшего локального приближения среди функций множества М.

15) Существует ли наилучшее локальное приближение среди функций множества М к функции f (x)=sin х в окрестности 0, где множество М состоит из следующих функций:

а) ,Ф1 (Х)=Н Ф2 (х)=—0,5; ф3(х)=х; ф4(х)=2х; ф5(х)=/£ х; фв(х)=со$ х;

Г 1 при х = 0

б) ФХ (х)=х; ф2 (х)=3х; ф3 (х) = 0.

( sin л при л и,

в) фх (х)=0; ф2 (х)=х; ф3 (x) = |sin х |; г). ф4 (x)=sin х; Ф2 (х) =

= |sin х| ?

Далее будем рассматривать вопрос о существовании наилучшего локального приближения к функциям среди многочленов.

Введение понятия касательных

16) Можно ли для любой функции f утверждать, что любой многочлен, график которого содержит точку (a; f (а)), локально ближе к функции / в окрестности точки а, чем любой многочлен, график которого не содержит точки (a; f (а))? Справедливо ли указанное утверждение для функции /, непрерывной в точке а?

17) Существует ли в окрестности 1 наилучшее локальное приближение среди констант к функции f, где : a) f (х)=3х; б) f (х)= [х]?

Определение. Наилучшее локальное приближение среди многочленов степени не выше К (где К — целое неотрицательное число) к функции f в окрестности точки а назовем касательной К-ого порядка к функции f в точке а. Касательную 1-ого порядка назовем также линейной касательной.

18) Записать на языке логики утверждение: «Функция f имеет в точке а касательную К-ого порядка». Построить отрицание.

19) Если F — касательная К-ого порядка к функции f в точке а, то F(a)=f(a).

( cos x при x=£n

20) Имеет ли функция f(x) = | $ ПрИ хп касательнУю 2‘го П0

рядка в точке л?

21) Для того, чтобы функция f имела в точке а касательную К-ого порядка, необходимо, чтобы функция f была непрерывна в точке а.

22) Привести пример функции, не имеющей в окрестности точки а=—3 наилучшего локального приближения среди линейных функций (т. е. среди многочленов степени не выше 1-ой).

23) Привести пример функции, не имеющей в точке а линейной.касательной.

24) Для того, чтобы функция f имела в точке а касательную 0-ого порядка, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в точке а.

25) Привести пример функции, имеющей в окрестности точки а наилучшее локальное приближение среди констант (т. е. среди многочленов степени не выше 0-ой).

26) Привести пример функции, имеющей касательную 0-го порядка только в одной точке.

Дифференцируемые функции

Определение. Функция, имеющая линейную касательную (или касательную 1-ого порядка) в точке а, называется дифференцируемой в этой точке.

27) Доказать, что любая линейная функция дифференцируема в любой точке. Написать уравнение линейной касательной для функции у=кх+Ь в точке а.

28) Имеет ли функция, равная константе в некоторой окрестности точки а, линейную касательную в точке а?

29) Существуют ли линейные касательные к функции у = |х| в точках 1; —0,1; 0? Если да, то написать их уравнения.

30) Является ли непрерывность функции в точке а необходимым условием дифференцируемости этой функции в точке а? достаточным условием?

31) Если функция f имеет в точке а экстремум и дифференцируема в этой точке, то y=f (а) является ее линейной касательной в точке а.

32) Доказать, что график функции y=kx+b тогда и только тогда содержит точку (a,f (а)), когда ее уравнение можно представить в виде: y=k-(x—a)+f (а).

33) Достаточно ли для функции /, непрерывной в точке а, установить, что среди линейных функций, графики которых содержат точку (a; f (а)), существует наилучшее локальное приближение к функции f в окрестности точки а, чтобы утверждать дифференцируемость функции в точке а?

34) Доказать, что функция у=х2 дифференцируема в точках 0; 1; а. Написать уравнения линейных касательных в этих точках. Построить график функции, а также графики линейных касательных в точках 0; —2; 1.

35) Существует ли функция, определенная на всей числовой оси, но дифференцируемая только в одной точке?

36) Выполнить задание п. 34 для функций:

a) z/=2x2—3; б) у—х3-, в) у — -у; аУ=0, г) r/=sin х — построить графики линейных касательных в точках 0; л.

37) Доказать, что для того, чтобы функция f была дифференцируема л . • f М — f (а)

в точке а, необходимо и достаточно, чтобы существовал lim —— —.

х^а х — а

гл с V f(x)—f(a)

Определение. Если существует lim —L-L2-, то его

х->а х а

называют значением производной функции / в точке а и обозначают f (а).

38) Вычислить f' (а) для данной функции f:

a) f (х) = с, б) f (х)=х, в) /(х)=-^-, а#=0, г) f (х)=хв,

д) f (х)=хп, n£N, е) f(x) = —n£N, а=/=0, ж) f(x)=sinx,

X

3) f (x) = COS X, и) f (х) = X—CCS 7х.

39) Сформулировать необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции f в точке а, пользуясь понятием значения производной функции f в точке а.

40) Функция f дифференцируема в точке а. Написать уравнение ее линейной касательной в точке а.

41) Дифференцируема ли функция / (x)=arctg (2х—л)+3 в точке

Если да, то написать уравнение линейной касательной в этой точке.

42) Доказать, что разность между функцией f и ее линейной касательной в точке а есть бесконечно малая более высокого порядка, чем х—а.

43) Могут ли существовать две различные линейные функции, отличающиеся от функции f на бесконечно малую более высокого порядка, чем х—а?

44) Доказать, что если функция / непрерывна в точке а и существует линейная функция, отличающаяся от функции f на бесконечно малую более высокого порядка, чем х—а, то функция f дифференцируема в точке а и указанная линейная функция является линейной касательной к функции f в точке а.

Сборники статей по математике

БОЛЬШЕ НЕТ

Математика - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

БОЛЬШЕ НЕТ

МАТЕМАТИКА - ТОПОЛОГИЯ

БОЛЬШЕ НЕТ

МАТЕМАТИКА - УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ

БОЛЬШЕ НЕТ

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Математическая логика, Педагогическое образование, Топология, Функциональный анализ, Дифференциальное и интегральное исчисление, Математика - Сборники статей, Серия - Ученые записки

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНОЕ ИЗ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА (НАУКА)

БОЛЬШЕ НЕТ

НАУКА МАТЕМАТИКА СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика