Все обзорные статьи снабжены библиографическими указателями, использование которых поможет читателям получить более полную информацию; при этом редакция сознательно избегала труднодоступных источников.

Принцип расположения статей в Словаре — алфавитный; исключение представляет статья МАТЕМАТИКА, помещённая в начале Словаря.

Вторая часть — «Биографический словарь» — посвящена биографиям учёных-математиков. Здесь около 900 биографических статей-справок, многие из них снабжены портретами, списком основных сочинений и литературой об учёных. В частности, даны статьи о всех учёных, упомянутых d основной части Словаря. (Подробнее об этой части Словаря см. в отдельном редакционном вступлении.)

В третьей части Словаря — «Математика в энциклопедиях прежних лет», носящей хрестоматийный характер, читатель найдёт написанные выдающимися учёными математические статьи для энциклопедий прошлого. В частности, впервые на русском языке публикуются переводы отдельных математических статей французского математика Ж. Д’Аламбера из знаменитой «Энциклопедии» Д. Дидро, а также воспроизводятся «Предуведомление» и примеры статей из «Лексикона чистой и прикладной математики» (1839) академика В. Я. Буняковского. В «Предуведомлении», в частности, сказано: «Всякое сочинение, как дело человеческое, имеет свои недостатки. Я очень знаю, что мой труд, более, нежели многие другие, должен, по сущности своей, подать повод к справедливым критическим замечаниям. Разнообразие предметов, которые для полноты должны входить в состав Лексикона Чистой и Прикладной Математики, трудность соразмерить объём статей с относительною их важности и не упустить из виду единства в изложении, решительная невозможность избежать в некоторых случаях повторений, необработанность нашего математического языка, — всё это заставляет меня думать, что несмотря па все мои старания, книга моя далёко еще не удовлетворит условиям хорошего лексикографическая руководства. Может быть, отечественные математики найдут также, что некоторые термины и речения переданы не совсем удачно в моем Лексиконе; заранее прошу их быть снисходительными к таким недостаткам». Полностью разделяя это высказывание В. Я. Буняковского, Редколлегия настоящего Словаря с благодарностью примет все замечания читателей, что позволит улучшить Словарь при возможном переиздании.

В качестве отдельного приложения даётся «Словарь школьной информатики», содержащий определения понятий нового учебного предмета средней школы — «Основы информатики и вычислительной техники».

I.        ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ И ТЕХНИКОЙ

Математика (греч. цаОтщанха, от цаОцца — знание, наука) — наука о коли­чественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и коли­чественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это послед­нее в стороне как нечто безразличное» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 37). Абстрактность М., однако, не означает есотрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техни­ки и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что данное выше опреде­ление М. наполняется всё более богатым содержанием.

Математика и другие пауки. Приложения М. весьма разнообразны. Прин­ципиально область применения математич. метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математич. метода в различных случаях различны. Никакая определённая математич. схема не исчерпывает всей конкретности действительных яв­лений, поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борь­бе двух тенденций: с одной стороны, выделения формы изучаемых явле­ний и логич. анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изуче­ния какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математич. метод отступает на задний план; в этом случае диалектич. анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнён математич. схематизацией. Если, наоборот, сравнительно прос­тые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специаль­ного математич. исследования, в частности создания специальной символич. записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математич. метода.

Типичным примером полного господства математич. метода является небес­ная механика, в частности учение о движении планет. Имеющий очень простое математич. выражение закон всемирного тяготения почти полностью определи-

ет изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение фор­мой и размерами небесных тел — замена их «материальными точками». Но ре­шение возникающей здесь задачи движения п материальных точек под действием сил тяготения уже в случае п=3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математич. анализа принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все труд­ности заключаются в извлечении математических следствий из принятой схемы.

С переходом от механики к физике ещё не происходит заметного уменьше­ния роли математич. метода, однако значительно возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребле­ния весьма развитого математич. аппарата, но часто основная трудность ис­следования заключается не в развитии математич. теории, а в выборе предпо­сылок для математич. обработки и в истолковании результатов, полученных математич. путём.

На примере ряда физич. теорий можно наблюдать способность математич. метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с од­ной ступени на следующую, более высокую и качественно новую. Классич. об­разцом может служить соотношение между макроскопич, теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределённым непрерывно, и статистич. теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирую­щего вещества удовлетворяет определённому дифференциальному уравнению с частными производными. К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изуче­ние различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффу­зии с очень большой точностью передаёт действительный ход явлений, поскольку дело идёт об обычных для нас (макроскопических) пространственных и времен­ных масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определённый смысл. Статистич. теория диффузии исходит из рассмот­рения микроскопич, случайных перемещений диффундирующих частиц под действием молекул растворяющего вещества. Точные количественные законо­мерности этих микроскопич, перемещений нам неизвестны. Однако математич. теория вероятностей позволяет (из общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки и независимости перемещений частицы за два последова­тельных промежутка времени) получить определённые количественные след­ствия: определить (приближённо) законы распределения вероятностей для пе­ремещений частиц за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то за­коны распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определённым, уже не случайным закономерностям для перемещения диф­фундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на к-рых построена непрерывная теория. Приведённый пример достаточно типи­чен в том смысле, что очень часто на почве одного круга закономерностей (и примере — законов движения отдельных частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей (в примере — дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений.

В биологич. науках математич. метод играет более подчинённую роль. В ещё большей степени, чем в биологии, математич. метод уступает своё место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в со­циальных и гуманитарных науках. Применение математич. метода в биологич., социальных и гуманитарных науках осуществляется гл. обр. через кибернети­ку. Существенным остаётся значение М. для социальных дисциплин (как и для биологич. наук) в форме подсобной науки — математич. статистики. В оконча- 8          тельном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия

каждого исторпч. этапа приобретают столь доминирующее положение, что ма- тематич. метод часто отступает на задний план.

Математика и техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из истории, очерка, возникли из непосредственных запросов прак­тики; дальнейшее формирование новых математик, методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своём развитии на запросы практики математик, естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи М. с техникой паще имеют характер применения уже созданных математик, тео­рий к техник, проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых об­щих математик, теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезии, работами; изуиение многих новых типов дифференциальных уравнений с частными производными впервые было начато с решения технич. проблем; операторные методы решения диффе­ренциальных уравнений были развиты в связи с электротехникой и т. д. Из запросов электротехники возник новый раздел теории вероятностей — теория информации. Задачи синтеза управляющих систем привели к развитию новых разделов математик, логики. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближённого решения дифференциальных уравнений играли технич. задачи. Целиком на технич. почве были созданы многие методы приближённого решения дифференциальных уравнений с частными производ­ными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактич. получения числен­ных решений приобретает большую остроту с усложнением технич. проб­лем. В связи с возможностями, к-рые открыли ЭВМ для решения практик, за­дан, всё большее знаиение приобретают кисленные методы. Высокий уровень теоретик. М. дал возможность быстро развить методы вычислительной матема­тики. Выпислительная М. сыграла большую роль в решении ряда крупнейших практик, проблем, включая проблемы использования атомной энергии и космич. исследования.

II.  ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 ВЕКА

В предлагаемой далее периодизации истории М. даётся только её глобальная характеристика, относящаяся на ранних стадиях к Европе, Азии и Северной Африке и не учитывающая ни региональные особенности, иногда довольно су­щественные, ни частое отсутствие синхронности прогресса математич. знаний в различных регионах и странах.

Ясное понимание самостоятельного положения М. как особой науки, име­ющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактич. материала и возникло впервые в Др. Греции в 6—5 вв. до н. э. Развитие М. до этого времени естественно отнести к п е р и о- ду зарождения математики, ак 6—5 вв. до н. э. приурочить на­чало периода элементарной математики, продолжавшего­ся до 16 в. В течение этих двух первых периодов математич. исследования имеют дело преимущественно с весьма ограниченным запасом основных понятий, воз­никших ещё на очень ранних ступенях историк, развития в связи с самыми прос­тыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к скёту предметов, изме­рению коликества продуктов, площадей земельных укастков, определению раз­меров отдельных кастей архитектурных сооружений, измерению времени, ком­мерческим расчётам, навигации и т. п. Первые задачи механики и физики за исключением отдельных исследований Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых, могли ещё удовлетворяться этим же запасом основных математич. понятий. Единственной наукой, к-рая задолго до широкого развития математич. изучения явлений природы в 17—18 вв. сис­тематически предъявляла М. свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, напр., раннее развитие тригонометрии.

В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить своё внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрия, фигур (при проектировании и т. п.). С употребления переменных величин в ана- лптпч. геометрии Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального

исчисления начинается период математики переменных величин.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространст­венных форм, изучаемых М., привело в нач. 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математич. исследований сознательно, поста­вив перед собой задачу систематич. изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание Н. И. Лобачевским его «воображаемой геометрии», получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение М. столь важные черты, что М. в 19 и 20 вв. естественно отнести к особому пери­оду современной математики.

Эта глобальная характеристика четырёх основных периодов будет допол­нена в последующем изложении.

1. Зарождение математики.

Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созда­нию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счис­ления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметич. действий (из к-рых только деление ещё долго пред­ставляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, дли­ны дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметич. действий над дробями. Таким образом накапливался материал, складывающийся постепенно в древнейшую математич. науку — арифметику. Измерение площадей и объё­мов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для даль­нейшего развития науки имело накопление арифметич. и геометрич. знаний в Др. Египте и Вавилоне. В Вавилоне на основе развитой техники арифметич. вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астроно­мии — начатки тригонометрии.

Египет. Сохранившиеся древнейшие математические тексты Др. Египта, относящиеся к нач. 2-го тыс. до н. э., состоят по преимуществу из примеров па решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, к-рые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах; эти решения часто сопровождаются проверкой ответа. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математич. теория в смыс­ле системы взаимосвязанных и, вообще говоря, так или иначе доказываемых общих теорем, видимо, вовсе не существовала. Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее самый запас установленных математич. фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потреб­ностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й пол. 2-го тыс. до н. э. состояние египетской М. того времени может быть охарактери­зовано в следующих чертах. Преодолев трудности действий с целыми числами на основе непозиционной десятичной системы счисления, понятной из примера

П<?<г’?Л1ГММ=2323,

египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробя­ми, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Основную роль при этом играли операции удвоения и раздвоения целых чисел, а также представле­ние дробей в виде сумм долей единицы и, кроме того, дроби ²/_э. Удвоение и разд­воение, как особого рода действия, через ряд промежуточных звеньев дошли до Европы средних веков. Систематически решались задачи на нахождение не­известных чисел, к-рые были бы теперь записаны в виде уравнения с одним не­известным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объёмов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы паралле-

В части тиража «Математического энциклопедического словаря», на стр. 351 за­мечена опечатка dy . d^!y ,  . d"y

напечатано:               + а_г— + ... + а„—.

dy d*y      dⁿy

следует читать: L[y] = а» + а,^ + а,— + ... + а„^.

Математический энциклопедический словарь./Гл. ред. М34 Ю. В. Прохоров; Ред. кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич.— М.: Сов. энциклопедия, 1988.— 847 с., ил.

Словарь состоит из четырёх частей. Основная часть — «Алфавитный словарь тер­минов» — содержит ок. 3500 статей; вторая часть — «Биографический словарь»—ок. 900 статей; в третьей части—«Математика в энциклопедиях прежних лет» —поме­щены статьи выдающихся учёных прошлого, заимствованные из шести энциклопедий; в заключительной части — «Словарь школьной информатики» — даны определения понятий нового учебного предмета средней школы «Основы информатики и вычисли­тельной техники».