Skip to main content

Математическое мышление (Вейль) 1989 год - старые книги

Советская нехудожественная литература

Математическое мышление (Вейль) 1989

Описание: Для математиков, физиков, историков науки и философов.

В сборник включены произведения выдающегося математика современности Германа Вейля (1885-1955), посвященные теоретико-познавательным проблемам математики, ее взаимодействиям с науками о природе, роли в исследовании внешнего мира и творчеству замечательных ученых Д. Гильберта, Ф. Клейна, Э. Нетер, А. Пуанкаре, Э. Картанаи В. Паули.

© "НАУКА" Москва 1989 ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Авторство: Герман Вейль, Перевод с английского и немецкого, Составитель Ю.А. ДАНИЛОВ, Под редакцией Б.В. БИРЮКОВА и А.Н. ПАРШИНА

Формат: PDF Размер файла: 34.4 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

Часть I

ПОЗНАНИЕ И ОСМЫСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ МЫШЛЕНИЯ. 6

ТОПОЛОГИЯ И АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА КАК ДВА СПОСОБА ПОНИМАНИЯ В МАТЕМАТИКЕ 24

ПОЗНАНИЕ И ОСМЫСЛЕНИЕ (ВОСПОМИНАНИЕ О ПЕРЕЖИТОМ) 41

О СИМВОЛИЗМЕ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. 55

ЕДИНСТВО ЗНАНИЯ. 70

МАТЕМАТИКА И ЛОГИКА. КРАТКИЙ ОБЗОР, СЛУЖАЩИЙ В КАЧЕСТВЕ ПРЕДИСЛОВИЯ К РЕЦЕНЗИИ НА ’’ФИЛОСОФИЮ БЕРТРАНА РАССЕЛА” 78

1. Сведение математики к теории типов: логический аппарат 78

II. Два примера. 81

III. С уровнями или без уровней? Конструктивная и аксиоматическая точки зрения. 82

📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ

IV. Мир Рассела. 84

V. Конструктивный компромисс 85

VI. Интуиционистская математика Брауэра 87

VII. Аксиоматика по Цермело; множества и классы 88

VIII. Полная формализация и проблема непротиворечивости. Пессимистические выводы. 89

КОНТИНУУМ. КРИТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ СОВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА 93

Предисловие

Содержание

Глава 1

Множество и функция (Анализ образования математических понятий) 96

Логическая часть § 1. Свойство, отношение, существование 96

  • 2. Принципы образования сложных суждений 99
  • 3. Логическое следование. Аксиоматический метод 102

Математическая часть § 4. Множества 106

  • 5. Натуральные числа. Антиномия Ришара ПО
  • 6. Итерация математического процесса. Circulus vitiosus в анализе 112
  • 7. Принцип подстановки и принцип итерации 117
  • 8. Окончательная формулировка оснований. Введение идеальных

элементов 121

Заключительные замечания. 125

Глава II

Понятие числа и континуум (Основания исчисления бесконечно малых) 128

  • 1. Числа натуральные и числа количественные 128
  • 2. Дроби и рациональные числа 133
  • 3. Действительные числа 139
  • 4. Числовые последовательности. Принцип сходимости 145
  • 5. Непрерывные функции 148
  • 6. Наглядно представляемый и математический континуум 153
  • 7. Величины. Меры 160
  • 8. Кривые и поверхности. 163

Часть II

РАСКРЫТИЕ МИРА

ИНЕРЦИЯ И КОСМОС. ДИАЛОГ. 170

I. И все-таки она вертится!. 170

II. Космология 175

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ КАК СТИМУЛ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ 182

ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА. 194

Часть III

ВЕЛИКИЕ МАСТЕРА

ДАВИД ГИЛЬБЕРТ И ЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО 214

Теория инвариантов. 220

/Алгебраические числовые поля. 226

Аксиоматика. 237

Интегральные уравнения 247

Физика 254

ФЕЛИКС КЛЕЙН И ЕГО МЕСТО В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СОВРЕМЕННОСТИ 256

АНРИ ПУАНКАРЕ. 270

ЭММИ НЁТЕР 274

ПАНЕГИРИК (ВОЛЬФГАНГ ПАУЛИ) 292

КАРТАН О ГРУППАХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. 297

ОГЛЯДЫВАЯСЬ НАЗАД: ЦЮРИХ В 30-Е ГОДЫ. 302

УНИВЕРСИТЕТЫ И НАУКА В ГЕРМАНИИ 306

А.Н. Паршин. ГЕРМАН ВЕЙЛЬ - МАТЕМАТИК, МЫСЛИТЕЛЬ, ЧЕЛОВЕК 327

Б.В. Бирюков. ’’СВЕТ НЕ ВНЕ МЕНЯ, А ВО МНЕ 338

КОММЕНТАРИИ 360

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 393

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатную книгу времен СССР - Математическое мышление (Вейль) 1989 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Двадцать лет назад издательство ’’Наука” выпустило перевод последней книги одного из самых выдающихся математиков XX века Германа Вейля — его ’’Симметрии”. Вейль был не только математиком, но и крупным философом, он охотно обживал ничейную землю между столь удалившимися теперь друг от друга частями человеческого познания. На русском языке имеется много книг Вейля (см. библиографию в кн.: Вейль Г. Избранные труды. — М.: Наука, 1984, вышедшей в серии ’’Классики науки”) , но они в основном посвящены математике. Его философские сочинения выходили у нас с трудом. Помимо упомянутой выше ’’Симметрии”, которая впрочем и не является чисто философским сочинением, к ним относится еще небольшая книга ”0 философии математики”, вышедшая в 1934 г. и содержащая отрывки из основного философского сочинения Вейля ’’Философия математики и естествознания”. Этому труду Вейля все еще предстоит приити к отечественному читателю.

А пока перед ним сборник статей Вейля по философским вопросам науки, никогда ранее не публиковавшихся вместе. Инициатива этого издания принадлежит Ю.А. Данилову и была поддержена О.А. Ладыженской и Ю.Б. Молчановым. Составительская работа выполнена Ю.А. Даниловым. Книга состоит из трех частей. В первую входят работы Вейля, посвященные общим вопросам научного познания. К ним естественно примыкают сочинения по основаниям математики и логике, и прежде всего книга ’’Континуум”, в которой Вейль подробно развил свои взгляды на проблему обоснования анализа. Чисто философские вопросы затрагиваются в статье ’’Познание и осмысление’’.которая наверняка станет крепким орешком для многих читателей, а работа ”0 символизме в математике и математической физике” содержит большое количество тонких лингвистических наблюдений. Вторая часть книги отдана физике, в основном теории относительности, в которую Вейль внес существенный вклад. И наконец последняя часть, историко-научная по теме, дает нам портреты выдающихся современников Вейля, его учителей и коллег, а заодно представляет весьма живую картину развития науки в Германии в конце прошлого и начале нашего веков.

Большинство статей сборника никогда не появлялись на русском языке. Почти все они переведены Ю.А. Даниловым. Работа ”0 символизме в мате

матике и математической физике” переведена А.В. Ахутиным, а очерк ’’Университеты и наука в Германии” А.П. Василевичем. Книга содержит также краткий очерк жизни и творчества Вейля (А.Н. Паршин), статью о его философских взглядах (Б.В. Бирюков), и комментарии ко всем работам.

Следует отметить, что перевод, редактирование и комментирование текстов Вейля доставило подчас значительные трудности, обусловленные как широтой рассматриваемых в них вопросов, так и вейлевским языком — богатым, сложным, иногда поэтическим; это особенно заметно, когда Вейль говорит о методологических и мировоззренческих проблемах логики и философской науки. При передаче по-русски мыслей Вейля переводчики и редакторы стремились сохранить максимальную близость к оригиналу. Это, в частности, касается ’’Континуума”. При переводе этой работы — так же как и ряда других, особенно помещенных в первой части книги, — пришлось в ряде случаев пойти на сознательное отклонение от принятой ныне математической и логической терминологии, чтобы по возможности сохранить своеобразие рассуждений автора. Стараясь донести до читателя тонкости переводимых текстов, мы во многих случаях приводим (в угловых скобках) термины на языке работ Вейля.

Комментарии к книге составлены Г.Е. Гореликом, Г.Е. Минцем, А.П. Огурцовым и А.Н. Паршиным. При этом не ставилась задача реализации единства их стиля и какой-либо полноты. Однако в проведенном комментировании была сделана попытка введения идей Вейля в современный научный и философский контекст, а также реконструкции хода его мысли.

Редакторы книги отказались от унификации ссылок на литературу. Библиографический аппарат в каждой из помещенных в книге работ Вейля дан в том виде, в каком он фигурирует в соответствующих оригинальных текстах.

В заключение выражаем глубокую признательность профессорам Р.Рем- мерту (Мюнстер) и С. Паттерсону (Гёттинген) за любезную помощь при подготовке данного издания.

Б. В. Бирюков

А.Н. Паришн

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ МЫШЛЕНИЯ*)

Под математическим способом мышления я понимаю, во-первых, особую форму рассуждений, посредством которых математика проникает в науки о внешнем мире — в физику, химию, биологию, экономику и т.д. и даже в наши размышления о повседневных делах и заботах, и, во-вторых, ту форму рассуждений, к которой прибегает в своей собственной области математик, будучи предоставленным самому себе. В процессе мышления мы пытаемся постичь разумом истину; наш разум стремится просветить себя, исходя из своего опыта. Поэтому, подобно самой истине и опыту, мышление по своему характеру есть нечто довольно однородное и универсальное. Влекомое глубочайшим внутренним светом, оно не сводится к набору механически применяемых правил и не может быть разделено водонепроницаемыми переборками на такие отсеки, как мышление историческое, философское, математическое и другое. Мы, математики, не ку-клукс- клан с неким тайным ритуалом мышления. Правда, существуют — скорее внешне — некоторые специфические особенности и различия; так, например, процедуры установления фактов в зале суда и в физической лаборатории заметно различаются. Тем не менее, вряд ли можно ожидать от меня, что математический способ мышления я опишу более ясно, чем, скажем, можно описать демократический образ жизни.

Движение за реформу преподавания математики, совершившее несколько десятилетий назад подлинный переворот в Германии1, где во главе него стоял великий математик Феликс Клейн, выдвинуло в качестве своего лозунга ’’функциональное мышление”. Как провозгласили реформаторы, самое важное из того, чему должен научиться средний образованный человек, пройдя обучение математике, - это умение мыслить в терминах переменных и функций. Функция описывает зависимость одной переменной у от другой переменной х или, говоря более общо, отображает одно множество — область значений переменного элемента х — на другое (или то же самое) множество. Понятие функции, или отображения, — несомненно

*) Выступление на конференции, посвященной двухсотлетию Пенсильванского университета (17 сентября 1940 г.).

одно из самых фундаментальных понятий, и оно встречается в математике на каждом шагу как в теории, так и в приложениях.

Федеральный закон США о подоходном налоге устанавливает налог у в зависимости от дохода х; делает он это довольно неуклюже, ’’склеивая” одну за другой несколько линейных функций, каждая из которых действует в пределах своего интервала изменений дохода — группы налогоплательщиков по доходу. Археолог, который через пять тысяч лет обнаружит в раскопе наши декларации о доходах вместе с руинами инженерных сооружений и математическими книгами, вероятно, датирует их двумя столетиями раньше, наверняка отнеся ко временам до Галилея и Виета. Виет способствовал введению адекватной алгебраической символики, Галилей открыл квадратичный закон свободного падения тел, гласящий, что расстояние $, проходимое в пустоте свободно падающим телом, пропорционально квадрату времени t, истекшего с начала падения:

s = gt2, (1)

где g — константа, имеющая одно и то же значение для любого тела в данном месте. Установив формулу (1), Галилей превратил закон природы, присущий реальному движению тел, в некоторую математическую функцию, построенную a priori, и это то, что физика стремится проделать с каждым явлением. Закон свободного падения тел ’’спроектирован” гораздо лучше, чем наши законы о налогах. Его ’’проект” создан самой Природой, которая составляет свои планы, тонко ощущая математическую простоту и гармонию. К тому же Природа, в отличие от законов о налогах на доходы и сверхприбыли, не ограничена требованием быть понятной юристам и членам торговой палаты.

С самого начала мы сталкиваемся со следующими характерными чертами любой математической процедуры: 1) наличием переменных, подобных г и $ в формуле (1), допустимые значения которых принадлежат некоторой области (в случае свободного падения - области действительных чисел), вполне обозримой, поскольку своим происхождением она обязана нашему же построению; 2) представлением этих переменных с помощью знаков; 3) наличием функций или a priori построенных отображений области значений одной переменной t на область значений другой переменной s. Время есть независимая переменная ”kat exochen”2.

При изучении функции необходимо следить за тем, чтобы независимая переменная пробегала всю область своих допустимых значений. Прежде чем подвергать проверке правильность любого предложения относительно зависимости между теми или иными величинами в природе, мы можем мысленно, еще до его сравнения с экспериментальными данными, проверить, покрывает ли оно всю область допустимых значений независимых переменных. Иногда неприемлемость предполагаемой зависимости сразу проявляется в некоторых простых предельных случаях. Лейбниц, сформулировав свой принцип непрерывности, учил нас рассматривать покой не как противоположность движения, а как его предельный случай. Исходя из

непрерывности, Лейбниц сумел a priori опровергнуть предложенные Декартом законы соударения тел3. Мах дает следующую рекомендацию: ’’Составив определенное заключение на основании одного конкретного случая, надлежит постепенно и как можно шире модифицировать сопутствующие ему обстоятельства, стремясь, насколько это возможно, остаться при первоначальном заключении. Не существует иного способа, который с большей надежностью и меньшими умственными усилиями приводил бы к простейшему объяснению всех явлений природы”4. Большинство переменных, с которыми нам приходится иметь дело при анализе явлений природы, — непрерывные переменные, такие, как время, но хотя непрерывность интуитивно и подразумевается в слове ’’переменная”, математическое понятие переменной отнюдь не ограничено непрерывным случаем. Наиболее важный пример дискретной переменной дает нам последовательность натуральных, или целых положительных, чисел 1, 2, 3, Так, число делителей любого целого числа п есть функция аргумента п.

В логике Аристотеля переход от единичного к общему совершается путем выявления у данного объекта определенных абстрактных свойств и отбрасывания остальных, так что два объекта подпадают под одно и то же понятие или принадлежат к одному и тому же роду, если оба они обладают выделенными свойствами (features). Такого рода описательная классификация, например, описание растений в ботанике и животных в зоологии, ориентирована на реально существующие объекты. Можно сказать, что Аристотель мыслит в терминах субстанции и акциденции, в то время как идея функции господствует при формировании математических понятий (concepts). Возьмем, например, понятие (notion) эллипса. Любой эллипс на плоскости ху есть множество Е точек (х,у), заданное квадратным уравнением

ах2 + 2Ьху + су2 = 1,

коэффициенты а, b и с которого удовлетворяют условиям

а 0, с 0, ас2 - Ь2 0.

Множество Е зависит от коэффициентов а, Ь, с; мы получаем некоторую функцию Е(а, Ь, с), порождающую конкретный эллипс, если переменным коэффициентам а, Ь, с придадим определенные значения. Переход от конкретного эллипса к соответствующему общему понятию не требует отбрасывания каких-либо специфических различий, он совершается благодаря тому, что некоторые характеристики (в нашем примере они представлены коэффициентами) превращаются в переменные, область значений которых a priori обозрима (у нас она задана приведенными выше неравенствами). Таким образом общее понятие распространяется скорее на все возможные, чем на все актуально существующие характеристики* s.

* Ср. в этой связи статью: Cassirer Ernst. Substanzbegriff und Funktionsbegriff. - 1910 и мою критическую заметку: W е i 1 Н. Philosophic der Mathematik und Natur- wissenschaft. — 1923. - S. 111.

После этих предварительных замечаний относительно функционального мышления я перехожу теперь к более систематической аргументации. Математика снискала дурную славу из-за разреженного воздуха абстракций, в котором она живет. Скверная репутация заслужена математикой лишь наполовину. В самом деле, первая трудность, с которой сталкивается человек с улицы, когда его пытаются научить мыслить математически, состоит в том, что ему необходимо усвоить более прямой взгляд на вещи; его вера в слова должна быть поколеблена; ему необходимо научиться мыслить более конкретно и направленно. ’’Высота” — слово, имеющее вполне ясное значение, когда я спрашиваю, как высок потолок в этой комнате, — каково расстояние от пола до потолка. Значение этого слова становится все менее определенным, если мы станем применять его к относительной высоте горных вершин, расположенных на все более обширной территории. Его значение станет совсем зыбким и растворится в воздухе, если мы распространим его на весь земной шар, не подкрепив динамическим понятием потенциала. Потенциал более конкретен, чем высота, поскольку порожден распределением масс в земном шаре и зависит от этого распределения.

Слова — орудия опасные. Созданные для нашей повседневной жизни, они обладают привычным значением лишь при известных ограниченных обстоятельствах, но Пит и человек с улицы склонны распространять их на более широкие сферы, нимало не заботясь о том, сохраняют ли те при этом твердую опору в реальности или нет. Мы все не раз были свидетелями того, к каким тяжким последствиям приводит магия слов в сфере политики, где все слова имеют гораздо более расплывчатое значение и человеческие страсти нередко заглушают голос разума. Ученый обязан пробиваться сквозь туман абстрактных слов и достигать незыблемого скального основания реальности. Такого рода работа особенно тяжела, как мне кажется, в экономических науках, где и поныне требуется затрачивать большие усилия, чтобы жить в соответствии с этим принципом. Так обстоит или должно обстоять дело во всех науках, но физикам и математикам пришлось применять этот принцип к самым фундаментальным понятиям, где догматическое сопротивление особенно сильно, и поэтому следование этому принципу стало их второй натурой. Например, первый шаг в объяснении смысла теории относительности всегда сопряжен с необходимостью пошатнуть догматическую веру в незыблемость временных разграничений — прошлого, настоящего и будущего. Невозможно применять математику, пока слова затемняют реальность.

Я вновь обращаюсь к теории относительности как к иллюстрации первого важного шага, предшествующего математическому анализу, шага, совершаемому под девизом ’’мыслить конкретно”. Первооснову таких слов, как прошлое, настоящее и будущее, относящихся к времени, мы усматриваем в том, что более осязаемо, чем время, а именно, в причинной структуре Универсума. События локализованы в пространстве и во времени; событие малой протяженности происходит в точке пространства-времени, или в мировой точке ’’здесь-теперь”.

Сборники статей по математике

БОЛЬШЕ НЕТ

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Философия математики, История математики, ★Все➙ Для научных работников, аспирантов, Математика - Перевод с иностранного, Математика - Сборники статей, Автор - Герман Вейль

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНОЕ ИЗ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА (НАУКА)

БОЛЬШЕ НЕТ

НАУКА МАТЕМАТИКА СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика