Skip to main content

Математическое открытие (Пойа) 1976 год - старые книги

Советская нехудожественная литература

 Математическое открытие (Пойа) 1976

Описание: Имя выдающегося математика и педагога Дж. Пойа хорошо известно специалистам-математикам по многочисленным научным работам. Но наибольшую популярность Дж. Пойа приобрел как исследователь процесса математического творчества.
Данная книга в значительной части адресована учителям математики и "учителям учителей" (методистам и преподавателям педагогических учебных заведений).

Решение задач, основные понятия, изучение и преподавание

© Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 1976

Авторство: Джордж Пойа

Перевод с английского В.С. Бермана Под редакцией И.М. Яглома

Формат: PDF Размер файла: 24.2 MB

СОДЕРЖАНИЕ

От редактора 9

Из предисловия автора 13

Советы и указания. 19

Советы учителям и учителям учителей 20

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ

Глава 1. Метод двух геометрических мест. 25

  • 1. Геометрические построения 25
  • 2. От примера к методу. 26
  • 3. Примеры. 27
  • 4. Предположим, что задача решена 29
  • 5. Метод подобия 32
  • 6. Примеры. 33
  • 7. Метод вспомогательных фигур. 37
📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ

Упражнения и дополнительные замечания к главе 1 (1—54) 38

[7. Обозначения. 15. Три маяка. 45. Изъян. 47. Взгляд назад. 48. Три наблюдательных пункта. 49. Замечания по поводу метода двух геометрических мест. 50. Метод трех геометрических мест, 52. О геометрических построениях. 53. Дополнительные задачи. 54. Множества.]

Глава 2. Метод Декарта. 45

  • 1. Декарт и его идея об универсальном методе 45
  • 2. Задачка. 46
  • 3. Составление уравнений 50
  • 4. Школьные задачи. 52
  • 5. Геометрические примеры 56
  • 6. Пример из физики. 61
  • 7. Пример из области головоломок. 64
  • 8. Озадачивающие примеры. 65

Упражнения и дополнительные замечания к главе 2 (1—87: Раздел 1, 1—16: Раздел 2, 17—87) 69

[10. Аналог формулы Герона. 11. Другой аналог теоремы Пифагора. 12. Еще один аналог теоремы Пифагора. 13. Другой аналог формулы Герона. 17. Разное. 28. Как долог был век Диофанта? 29. Египетская задача. 33. Планиметрия. 34. Ньютон о составлении уравнений при решении геометрических задач. 50. Стереометрия. 60. Неравенство. 61. Сферометр. 63. Атом углерода. 64. Фотометр. 65. График движения. 73. Число уравнений равно числу неизвестных. 74. Число уравнений больше числа неизвестных. 76. Число уравнений меньше числа неизвестных. 77. Диофантовы уравнения. 81. Правила Декарта. 82. Обнажите задачу и расчлените ее. 83. Дополнительные сведения, необходимые для решения задачи.

Мобилизация и организация, 84. Независимость и совместность. 85. Единственность решения. Взгляд вперед. 86. Зачем нужны словесные задачи? 87. Дополнительные задачи.]

Глава 3. Рекурсия 85

  • 1. История одного маленького открытия. 85
  • 2. Дар небес 88
  • 3. И все же оно заслуживает внимания. 90
  • 4. Рекурсия 92
  • 5. Абракадабра 94
  • 6. Треугольник Паскаля. 97
  • 7. Математическая индукция. 100
  • 8. В поисках новых подходов. 102
  • 9. Наблюдайте, обобщайте, доказывайте и передоказывайте по-новому 103

Упражнения и дополнительные замечания к главе 3 (1—100: Раздел 1, 1—22; Раздел 2, 23—31; Раздел 3, 32—59; Раздел 4, 60—100) 106

[2. Частный случай эквивалентен общему случаю. 11. Спасение затонувшего судна. 22. Два вида математической индукции. 24. Сочетания. 39. Треуголь- ныечисла. Пирамидальные числа. 43. Числа Фибоначчи. 48. Триномиальные коэффициенты. 55. Гармонический треугольник Лейбница. 56. Паскаль и Лейбниц. 60. Степенные ряды. 66. Биномиальная формула для дробных и отрицательных показателей. 70. Расширение области определения символа С76. Метод неопределенных коэффициентов. 81. Обращение степенного ряда. 87. Дифференциальные уравнения. 99. О числе л. 100. Другие задачи.]

Глава  4. Суперпозиция 127

  • 1. Интерполяция 127
  • 2. Частный случай. 130
  • 3. Решение общей задачи комбинированием частных решений . 131
  • 4. Метод суперпозиции 132

Упражнения и дополнительные замечания к главе 4 (1—37: Раздел 1, 1—17; Раздел 2, 18—37) 134

[11. Линейная комбинация или суперпозиция. 12. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 14. Однородные линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. 15. Числа Фибоначчи. 17. Суперпозиция движений. 18. Разнообразие подходов при решении одной задачи. 19. Что представляет собой неизвестное? 21. Вот уже решенная задача, родственная вашей. 23. Дополнительные сведения. 25. Формула объема призматоида. 31. Никакая цепь не прочнее своего слабейшего звена. 33. Формула Симпсона. 37. Расширение области исследования.]

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

НА ПУТИ К ОБЩЕМУ МЕТОДУ

Глава 5. О задачах

143

  • 1. Что такое задача? 143
  • 2. Классификация задач 144
  • 3. Задачи на нахождение 145
  • 4. Задачи на доказательство. 147
  • 5. Компоненты неизвестного, пункты условия. 149
  • 6. Ищем соответствующую процедуру. 150

Упражнения и дополнительные замечания к главе 5 (1—20) 151

[8. Задача на нахождение или задача на доказательство? 9. Другие задачи. 10. Процедура решения задачи может состоять из неограниченной последовательности операций. 11. Квадратура круга. 12. Следование и следствие. 13. Неудачная терминология, двусмысленность. 14. Данные и неизвестное, условие (предпосылка) и заключение. 15. Число необходимых данных. 20. Изучая решение,]

Глава 6. Расширение области применения метода. 156

  • 1. Расширение области применения метода Декарта. 156
  • 2. Расширение области применения метода двух геометрических мест 160
  • 3. С какого пункта условия следует начинать. 167
  • 4. Расширение области применения. рекурсии. 171
  • 5. Последовательный охват неизвестных 175

Упражнения и дополнительные замечания к главе 6 (1—27) 176

[1. Условие, состоящее из многих пунктов. 9. Сохраните только часть условия. 10. Нить Ариадны. 20. Другие задачи. 21. Промежуточная цель.

22. Графическое представление. 23. Некоторые типы задач нематематического характера. 27. Более тонкая классификация.]

Глава 7. Геометрическое представление процесса решения 184

  • 1. Метафоры 184
  • 2. Что такое задача? 185
  • 3. Есть идея! 186
  • 4. Развитие идеи 188
  • 5. Оформление решения 190
  • 6. Замедленные кинокадры 191
  • 7. Коротко о дальнейшем 193
  • 8. План и программа 194
  • 9. Задачи внутри задач 194
  • 10. Зарождение идеи. 195
  • 11. Умственная работа 195
  • 12. Дисциплина ума. 196

Упражнения и дополнительные замечания к главе 7 (1—6) 196

[1. Другой подход. 4. Поиски доказательства. 5. Простейшие диаграммы.

6. Другие задачи.]

Глава 8. План и программа 205

  • 1. Составление плана как метод. решения задачи. 205
  • 2. Более общий метод. 207
  • 3. Программа. 208
  • 4. Выбор между несколькими планами. 209
  • 5. План и программа. 211
  • 6. Метод и план. 212

Упражнения и дополнительные замечания к главе 8 (1—8) 213

[1. От конца к началу или от начала к концу? В обратном направлении или в прямом направлении? Анализ или синтез? 2. Умный начинает с конца. 4. Выбор между тремя планами. 5. Выбор между двумя планами.

6. Реальный план. 8. Не связывайте себя.]

Глава 9. Задачи внутри задач 219

  • 1. Вспомогательные задачи 219
  • 2. Эквивалентные задачи: двусторонняя редукция. 220
  • 3. Цепочки эквивалентных задач 222
  • 4. Более результативные или менее результативные вспомогательные задачи; односторонняя редукция 222
  • 5. Косвенные вспомогательные задачи. 224
  • 6. Частичная помощь, методологическая помощь, стимулирование, руководство, практика. 225

Упражнения и дополнительные замечания к главе 9 (1—16). 227

[1. Надежные источники вспомогательных задач? 2. Respice finem. 3. Отбрасывание или добавление пункта в условии. 4. Расширение или сужение условия. 5. Изучение более сильной или более слабой теоремы. 11. Поиски противоречащего примера. 12. Годится любое найденное решение. 13. Специализация и обобщение. 14. Аналогия. 15. А что если неудача? 16. Другие задачи.]

Глава 10. Зарождение идеи 237

  • 1. Проблеск света 237
  • 2. Пример 237
  • 3. Характерные черты полезной идеи 241
  • 4. Зависимость идеи от случая 243

Упражнения и дополнительные замечания к главе 10 (1—2). 244

[1. Внезапность появления идеи. Одна цитата и комментарий к ней.

2.  Два эксперимента.]

Глава 11. Умственная работа 245

  • 1. Как мы думаем. 245
  • 2. Стремление решить задачу 245
  • 3. Направленность мышления 246
  • 4. Близость решения 246
  • 5. Предвидение 247
  • 6. Область поисков 248
  • 7. Промежуточные решения. 249
  • 8. Мобилизация и организация 249
  • 9. Распознавание и вспоминание. 251
  • 10. Пополнение и перегруппировка. 251
  • 11. Изоляция и комбинация. 252
  • 12. Диаграмма 253
  • 13. Часть подсказывает целое. 256

Упражнения и дополнительные замечания к главе 11 (1 —11) 257

[1. Ваш опыт, ваше суждение. 2. Мобилизация. 3. Прозрение. 4. Часть подсказывает целое. 5. Распознавание. 6. Перегруппировка. 7. Работа изнутри и работа извне. 8. Эвристический лабиринт. 9. Продвижение вперед. 10. Вы такой же, как я. 11. Мыши и люди.]

Глава 12. Дисциплина ума 261

  • 1. Как надо думать 261
  • 2. Концентрация внимания на цели 261
  • 3. Оценка перспектив 263
  • 4. Блуждания: поиски подхода . 264
  • 5. Блуждания: может быть, есть более обнадеживающий аспект задачи? 265
  • 6. Блуждания: поиски полезных сведений 266
  • 7. Блуждания: может быть, ситуацию следует переоценить? 267
  • 8. Искусство ставить вопросы. 268

Упражнения и дополнительные замечания к главе 12 (1—16) 269

|1. Измените формулировку задачи. 2. Выразите задачу на языке математики. 4. Хорошо составленный и хорошо упорядоченный запас знаний. 5. При помощи каких данных можно определить подобное неизвестное? 6. Из какого условия (предпосылки) можно вывести такое заключение? 7. Сведения, относящиеся к рассматриваемому вопросу. 8. Аналогия между треугольником и тетраэдром. 12. Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? 13. Вернитесь к определениям. 14. Исследование ближайшей окрестности. 15. Внимание и действие. 16. Продуктивное мышление, творческое мышление.]

Глава 13. Законы открытия?. 275

  • 1. Правила бывают разными. 275
  • 2. Рациональность. 276
  • 3. Экономия, но без предвзятости. 277
  • 4. Настойчивость, но и гибкость 278
  • 5. Правила предпочтения 279
  • 6. Части задачи. 280
  • 7. Полезные сведения. 281
  • 8. Вспомогательные задачи. 283
  • 9. Резюме 283

Упражнения и дополнительные замечания к главе 13 (1—3). 284

[1. Одаренный человек, специалист и начинающий. 2. О плодах и планах.

3. Стиль работы.]

Глава 14. Об учении, преподавании и обучении преподаванию. 286

  • 1. Преподавание — не наука. 286
  • 2. Цель обучения. 287
  • 3. Преподавание—это искусство. 288
  • 4. Три принципа изучения. 290
  • 5. Три принципа обучения. 292
  • 6. Примеры 295
  • 7. Как учить преподаванию. 301
  • 8. Позиция учителя. 305

Упражнения и дополнительные замечания к главе 14 (1—29: Раздел 1, 1—5; Раздел 2, 6—29) 311

|2. Високосные годы. 6. Почему именно решение задач? 7. Решение задач и построение теории. 8. Решение задач и общая культура. 9. Язык фигур. 10. Рациональные и иррациональные числа. 11. Строгость рассуждений. 12. Может ли географическая карта быть совершенной? 13. Чему мы должны учить? 14. Генетический принцип. 15. Бесплодные словоизлияния. 16. Путаница в уровнях. 17. Айседора Дункан. 18. Уровни знания. 19. Повторение и контраст. 20. Изнутри и извне. 22. Насколько это трудно? 23. Трудность задачи и ее образовательная ценность. 24. Несколько типов задач. 27. Семестровая работа. 28. О выступлениях на математических конференциях: правила Цермело. 29. Эпилог.}

Глава 15. Догадка и научный метод. 336

  • 1. Научно-исследовательская работа на уровне средней школы . . . 336
  • 2. Пример. . 336
  • 3. Обсуждение. 338
  • 4. Еще один пример. 339
  • 5. Графическое представление индуктивного рассуждения  340
  • 6. Один пример из истории 343
  • 7. Научный метод: догадывайтесь и испытывайте. 350
  • 8. О некоторых чертах задач «научно-исследовательского характера» 351
  • 9. Выводы 352

Упражнения и дополнительные замечания к главе 15 (1—58: Раздел 1, 1—21; Раздел 2, 22—41; Раздел 3, 42—58) 352

[24. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований 25. Буриданов осел. 40. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований в физике, или «Природа не смеет быть непредсказуемой*. 41. п точек сферы. 42. Другие задачи. 45. Периодические дроби. 49. Трапецеидальные числа. 54. Еще одно задание исследовательского характера. 58. 77рсдположение и факт.}

Решения упражнений 364

Библиография. 441

Указатель 444

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатную книгу времен СССР - Математическое открытие (Пойа) 1976 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

Имя выдающегося математика и педагога Дж. Пойа 1) хорошо известно специалистам-математикам по многочисленным (и весьма разнообразным по тематике) научным работам, а также по (совместным с Г. Г. Харди, Дж. Литтльвудом и Г. Сегё) монографиям «Неравенства» и «Изопериметрические неравенства в математической физике», переведенным также и на русский язык 2). Однако наибольшей популярностью в среде любителей математики пользуются его двухтомные «Задачи и теоремы из анализа» [12] 3) (совместно с Г. Сегё), а также более поздние по времени написания книги «Как решать задачу» [13] и «Математика и правдоподобные рассуждения» [14]; все эти сочинения тесно связаны с «Математическим открытием», в связи с чем о них здесь следует сказать подробнее.

Я боюсь, что в настоящее время, столь богатое книгами по математике, рассчитанными на разные категории читателей, написанные более 45 лет назад «Задачи и теоремы из анализа» несколько утратили в глазах начинающих математиков свой былой блеск: их тематика кое-кому может показаться устаревшей (как будто может устареть классический анализ!), а форма — во всяком случае не поражающей воображение (ибо влияние книги [12] на всю последующую литературу привело к появлению и других сборников задач, построенных по тому же плану, ни один из которых, впрочем, нельзя сравнить с основополагающей книгой [12] по широте охвата материала и тщательности исполнения). Однако лет 30 тому назад эта книга не имела конкурентов — и кто знает, скольких ученых породил этот задачник, где отдельные группы задач своей последовательностью и внутренними связями имитировали научное исследование, так что работа над ними вполне могла служить трамплином в область самостоятельного творчества.

Книга [12] доказала серьезный интерес ее авторов к сущности процесса научно-исследовательской работы — и устойчивость этого интереса Дж. Пойа доказал появившимися в послевоенные годы книгами [13] и [14]. В русской и мировой литературе имеется немало книг по методике математики, книг, посвященных процессу преподавания. Гораздо более редкими являются сочинения

*) Дж. Пойа родился в Венгрии в 1888 г.; в предвоенные годы он работал в Швейцарии, Англии и Германии, а в последние десятилетия — в Америке, куда переехал, когда над Европой сгустились тучи фашистского мракобесия. В нашей литературе этот математик известен как Георг Полиа (немецкий вариант его имени и фамилии) и Дьердь Пойа (венгерский вариант); в последние годы его имя чаще всего транскрибируется как Джордж (американский вариант), а фамилия — как Пойа или Пойя (впрочем, в переводе указанной в Библиографии книги И. Ла- катоша, или Лакатоса, он назван Георгом Полья).

2) Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуд и Г. Полиа, Неравенства, ИЛ, 1948; Г. Полиа и Г. Сегё, Изопериметрические неравенства в математической физике, Физматгиз, 1962.

3) Числа в квадратных скобках отсылают читателя к списку литературы на стр. 441—443.

по методологии математики в узком понимании этого термина, т. е. книги, анализирующие процесс математического творчества: ведь написать такую книгу способен лишь большой ученый — а ученого, как правило, больше интересуют сами новые теоремы, чем вопрос о том, как он к ним пришел ’J. И во всей мировой общенаучной и математической литературе можно указать лишь весьма мало книг, сопоставимых с сочинениями [13] и [14]; особенно хочется обратить внимание читателей на книгу [14], равных которой по тонкости анализа и увлекательности изложения сыскать нелегко.

Сходный характер имеет и настоящая книга. «Математическое открытие» — этими словами Дж. Пойа характеризует получение любого (сколь угодно скромного!) математического результата, например, просто решение задачи — также в первую очередь посвящено методологии математики, вопросу о том, как возникают новые математические идеи; с этой точки зрения центральной в книге, видимо, надо считать гл. 7, содержащую анализ самого процесса решения задачи (процесса «математического открытия»). Однако в противоположность ранее упомянутым книгам, в этом сочинении, в значительной части адресованном учителям математики и «учителям учителей» (методистам и преподавателям педагогических учебных заведений), немало места занимают и прямые методические рекомендации (особенно частые в трех заключительных главах книги); это связано с тем, что процесс решения задач автор анализирует в неразрывной связи с процессом обучения решению задач, так что здесь тесно увязаны два вопроса: «Как это решить?» 2) и «Как научить это решать?». Последнее обстоятельство делает книгу ценным пособием для учителя математики в средней школе и для преподавателя педагогического института. Учитывая интересы преподавателей средних школ, Дж. Пойа в этой книге (в противоположность, скажем, «Математике и правдоподобным рассуждениям» или, тем более, «Задачам и теоремам из анализа») основное внимание уделяет задачам школьного уровня, отклоняясь в область «высшей математики» лишь в редких эпизодах (выделяемых с помощью специальной системы обозначений), пропуск которых не отразится на понимании всего остального содержания книги. Наряду с этим «Математическое открытие» очень хочется рекомендовать студентам-математикам младших курсов, увлекающимся математикой школьникам-старшеклассникам и вообще всем любителям нашей древней и мудрой науки.

Специально следует сказать о сопровождающих каждую главу Упражнениях и дополнительных замечаниях. Следуя автору, мы печатаем эти разделы книги мелким шрифтом (система, сознательно не выдержанная в русском издании книги [14]); таким образом, петитом напечатано больше половины всего объема книги. Хочется только подчеркнуть, что употребление мелкого шрифта в этом случае отнюдь не преследует своей целью призыв считать напечатанный петитом текст второстепенным и могущим быть опущенным — оно лишь подчеркивает членение всего объема книги на две разные по характеру (но равноправные по важности!) части. ЕСЛИ ВЫ ХОТИТЕ НАУЧИТЬСЯ ПЛАВАТЬ, ТО СМЕЛО ВХОДИТЕ В ВОДУ, А ЕСЛИ ХОТИТЕ НАУЧИТЬСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ, ТО РЕШАЙТЕ ИХ — этот совет автора (см. стр. 13) хочется особенно подчеркнуть: никакие

’) Пожалуй, единственными известными автору настоящих строк книгами, посвященными процессу математического творчества, являются «Наука и метод» Анри Пуанкаре (русский перевод — Одесса, «Матезис», 1910; ср. также А. Пуанкаре, «Наука и гипотеза», Спб., «Слово», 1906) и «Психология математического творчества» Жака А д а м а р a (J. Н a d a m а г d, Ап Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field, Princeton, 1945); однако эти книги (авторами которых, кстати сказать, являются выдающиеся ученые) по характеру сильно отличаются от книг Пойа (например тем, что они совсем не преследуют учебных целей).

8) How to Solve It? — так называется в оригинале книга £13].

рассуждения и теории не помогут вам так, как собственный опыт, и одна самостоятельно решенная задача даст больше двадцати других, решение которых вы узнали от друзей или прочитали в книге. По-настоящему овладеть изложенными здесь идеями можно лишь перерешав большую часть собранных в книге задач (которые опытный преподаватель Пойа перемежает замечаниями общего характера или просто анекдотами ) — опасность задремать за книгой читателю не угрожает!), после чего можно перейти к другим сочинениям по математике, например к книгам [12] и [14] автора.

Скажем еще несколько слов о лежащей перед вами книге. В английском оригинале она вышла в свет двумя отдельными томами в 1962 и 1965 гг.; в 1968 г. второй том был переиздан с незначительными исправлениями и с Дополнением (Appendix), содержащим 35 новых задач, которые в переводе, следуя желанию автора, размещены на подходящих местах в тексте всех 15 глав. В настоящем издании исправлены также немногочисленные опечатки и мелкие ошибки английского издания, часть которых была указана нам автором, и учтены некоторые другие предложения Дж. Пойа, которого мне приятно поблагодарить за внимание к русскому изданию его книги. Наконец, нами несколько пополнен список рекомендуемой литературы (в основном в части, где перечисляются несколько сборников задач; номера добавленных книг и статей помечены звездочками); кроме того, в книгу включено Предисловие к знаменитому сочинению [12] автора и Г. Сегё и кое-где добавлены немногочисленные подстрочные примечания переводчика и редактора, отмеченные звездочками в отличие от нумерованных сносок автора. Второстепенные и часто очевидные отступления от авторского текста (замена указываемых автором книг их русскими переводами, ссылки на русский язык вместо английского или замена фигурирующего в гл. 6 кроссворда другим, составленным по той же схеме и сохраняющим шутливый стиль автора, но включающим русские, а не английские слова) обычно не оговариваются; заметим только, что к их числу относятся также немногочисленные замены и пропуски в тех местах, где автор слишком явно апеллирует к опыту американской средней и высшей школы (например, ссылается на наглядные пособия, незнакомые русскому читателю). Для понимания некоторых мест книги следует еще отметить, что американская средняя школа насчитывает 12 классов — от 1-го до 12-го,— в течение которых учащиеся изучают курс математики, по объему довольно близкий к тому, который проходят школьники в нашей стране (точное сопоставление затрудняется тем, что американская школа не знает общеобязательной программы и стабильных учебников и что даже в пределах одной школы или одного класса учащиеся могут по собственному желанию выбирать разные наборы учебных предметов).

В заключение мне хочется прибавить несколько слов более личного характера. Называя в своей книге составленный при участии автора настоящих строк сборник задач [31], Дж. Пойа указывает присвоенное этой книге американскими переводчиками название «The USSR Olympiad Problem Book» (буквально — «Советская Олимпиадная Задачная Книга»), видимо, не подозревая, что русское ее название «Избранные задачи и теоремы элементарной математики» не случайно близко к названию перевода книги [12], причем прилагательное «избранные»

’) Напомним, что в оставшихся после смерти выдающегося немецкого математика и крупного педагога Карла Вейерштрасса (1815—1897) записях читанных им лекций, составленных самим автором с присущими немецким ученым полнотой и аккуратностью, изложение в ряде мест прерывалось краткой пометкой: «Hier ein Spitz» («здесь — анекдот»).

было прибавлено составителями после некоторой дискуссии специально для того, чтобы не копировать слишком дословно название сборника Г. Полна и Г. Сеге (это казалось нам непозволительной дерзостью). Мы всегда будем считать Дж. Пойа и Г. Сеге своими учителями, во многом определившими наши взгляды на преподавание математики. И я всегда буду хранить присланный мне автором экземпляр «Математического открытия» с шутливой дарственной надписью «от брата по оружию», ибо хорошо отдаю себе отчет в том, какую роль сыграли «Задачи и теоремы из анализа» в сложившемся под их непосредственным влиянием моем мировоззрении преподавателя математики. Хочется верить, что и влияние книг «Как решать задачу», «Математика и правдоподобные рассуждения», «Математическое открытие» на новое поколение математиков-педагогов будет не меньшим того, которое имела в 30-х и 40-х годах старая и вечно молодая книга [12] замечательных ученых и преподавателей Г. Полна (Дж. Пойа) и Г. Сегё.

И. М. Ямом

Москва, январь 1969

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц, Opuscules, стр. 161 (см. [4]).

Г. Процесс решения задачи представляет собой поиск выхода из затруднения или пути обхода препятствия, — это процесс достижения цели, которая первоначально не кажется сразу доступной. Решение задач является специфической особенностью интеллекта, а интеллект — это особый дар человека; поэтому решение задач может рассматриваться как одно из самых характерных проявлений человеческой деятельности. Цель настоящей книги состоит в том, чтобы разобраться в характере этой деятельности, найти средства для развития соответствующих способностей читателя и, в конечном счете, научить его лучше решать задачи.

2°. Эта книга состоит из двух частей; охарактеризуем кратко роль каждой из них.

Решение задач — практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. И в этой книге вы не найдете волшебного ключа, открывающего все двери, — она не научит вас решать все задачи, но даст много хороших образцов для подражания и возможностей поупражняться. Но помните: если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!

Стремясь извлечь из своих усилий максимальную пользу, старайтесь подмечать в задаче, которую вы решаете, то, что сможет пригодиться и в будущем, при решении других задач. Решение, найденное в результате собственных усилий, или то, с которым вы познакомились по книге, или то, которое вы выслушали (но обязательно с живым интересом и стремлением проникнуть в суть дела), может превратиться в метод, в образец, которому с успехом можно следовать при решении других задач. Первая часть этой книги как раз и ставит своей целью ознакомление читателя с некоторыми полезными методами.

Конечно, подражать уже известному решению легко, если новая задача очень похожа на известную вам; однако если сходство задач невелико, то такое подражание может оказаться гораздо более трудным и даже едва ли осуществимым. В глубине души человек стремится к большему: ему хотелось бы обладать универсальным

методом, позволяющим решить любую задачу. У большинства из нас это желание остается скрытым, но оно иногда проступает наружу в сказках и в произведениях некоторых философов. (Возможно, вы припомните сказку о волшебном слове, открывающем все двери.) Над универсальным методом, пригодным для решения любых задач, размышлял Декарт; наиболее же четко сформулировал идею о совершенном методе Лейбниц. Однако поиски универсального, совершенного метода дали не больший эффект, чем поиски философского камня, превращающего неблагородные металлы в золото: существуют великие мечты, которым суждено оставаться мечтами. Тем не менее такие недостижимые идеалы не остаются бесполезными — пока никто не достиг полярной звезды, но многие, глядя на нее, находили правильный путь. Эта книга не в состоянии предложить вам универсальный метод решения задач (и никакая другая книга никогда не сможет это сделать!), но и несколько маленьких шагов в направлении недостижимого идеала могут развить ваши способности и умение решать задачи. Часть вторая описывает в общих чертах некоторые из этих шагов.

3°. Мне хотелось бы назвать исследование, которое предпринимается в настоящей работе, эвристическим, так как оно посвящается средствам и методам решения задач *). Термин «эвристика», который употреблялся некоторыми философами прошлого, в наше время наполовину забыт, а наполовину дискредитирован, но я не боюсь им пользоваться.

По существу, большая часть настоящей работы представляет собой реальный, практический аспект эвристики: я пытаюсь всеми доступными мне средствами соблазнить читателя заняться решением задач и побудить его задуматься над методами и средствами, которые он при этом применяет.

В большинстве глав основная часть текста посвящена всестороннему раскрытию процесса решения немногих задач. Математику, не интересующемуся методическими вопросами, такое изложение может показаться слишком подробным. И действительно, содержание этих глав представляет собой не простое описание процесса решения, а методический разбор решения задачи. Такой разбор, относящийся к определенной задаче, демонстрирует перед читателем последовательность важнейших шагов, в результате которых, в конце концов, было найдено решение, и вскрывает мотивы и позиции, подсказывающие эти шаги. Кроме того, подробное описание решения отдельной частной задачи имеет своей целью найти общую рекомендацию или метод, которым читатель мог бы

*) Этот термин ведет начало от легендарного возгласа «эврика!» (греч. iupqxa — нашел, открыл), с которым якобы выскочил из ванны Архимед, сообразив, как решить предложенную ему властителем Сиракуз Гиероном задачу (эвристика — наука о том, как делать открытия).

руководствоваться в аналогичных ситуациях. Окончательная формулировка такой рекомендации или метода обычно откладывается до отдельного параграфа, однако предварительные, пробные формулировки зачастую перемежают отдельные моменты методического разбора решения.

Каждая глава заканчивается упражнениями и дополнительными замечаниями. Читатель, выполнивший эти упражнения, получит возможность не только применить и лучше уяснить себе методические замечания, собранные в этой главе, но и расширить их. Дополнительные замечания, разбросанные между упражнениями, либо дают более широкое толкование вопроса, либо являются побочными комментариями.

Разумеется, я упорно стремился возбудить активность читателя — не знаю, насколько мне это удалось. Я пытался перенести на страницы книги наиболее эффективные приемы моих аудиторных занятий. Методическим разбором хода решений я старался ввести читателя в атмосферу научного исследования. Выбором, формулировками и расположением задач (эти формулировки и размещение задач гораздо более важны и стоили мне гораздо большего труда, чем это может вообразить себе непосвященный читатель) я пытался растормошить читателя, возбудить его любопытство, пробудить его инициативу, открыть перед ним широкие возможности для ознакомления со всем многообразием ситуаций, встречающихся в научно-исследовательской работе.

4°. Большая часть этой книги посвящена математическим вопросам. Нематематические задачи встречаются редко, но они всегда скрыто присутствуют на заднем плане. Я постоянно держал их в поле зрения и старался, там где это было возможно, обсуждать математические задачи такими методами, которые проливали бы свет и на задачи иной природы.

Большая часть рассматриваемых в настоящей книге задач относится к элементарной математике. Однако выбор включенного в книгу материала в большой мере определялся более сложными проблемами, хотя ссылки на них встречаются довольно редко. В действительности здесь дело обстояло так: основным источником для меня служили собственные исследования — и обработка большинства элементарных задач отражает опыт, накопленный мною при решении не вошедших в книгу более сложных задач.

5°. Эта книга объединяет теоретическую цель — изучение эвристики — с конкретной практической и притом безотлагательной целью — улучшением подготовки учителей средней школы.

Я имел превосходные возможности для наблюдений и мог составить себе достаточно аргументированное мнение об уровне подготовки учителей математики для средней школы, так как все прочитанные мною за последние пять лет курсы предназначались именно

для этих учителей. Как мне кажется, я могу считаться относительно непредубежденным наблюдателем и с этой позиции должен высказать совершенно определенное мнение: подготовка учителей математики для средней школы неудовлетворительна. Виноваты в этом, как мне кажется, все ответственные за подготовку учителей учреждения и организации; в первую очередь здесь надо указать педагогические учебные заведения и математические отделения в колледжах, которые, если они хотят существенно улучшить положение, должны очень тщательно пересмотреть свои требования к подготовке учителей.

Какие курсы должны читаться в колледжах будущим учителям средней школы? Для того чтобы иметь возможность ответить на этот вопрос, необходимо прежде всего спросить себя: какие требования должна предъявлять к ученикам средняя школа?

Вы, возможно, полагаете, что этот вопрос мало чем может помочь делу из-за своей дискуссионное, — и действительно, на него нельзя, видимо, дать ответ, с которым согласились бы все. Однако существует один аспект этого вопроса, относительно которого по крайней мере специалисты в данной области вполне могут договориться.

Процесс изучения того или иного предмета преследует своей целью как сообщение учащимся той или иной информации, касающейся этого предмета, той или иной суммы знаний, так и создание определенных умений. Если у вас накопился подлинный, bona fide *) опыт математической работы (на любом уровне, элементарном или более высоком), то вы не усомнитесь в том, что в математике владение предметом гораздо важнее, чем одно чистое знание, которое всегда можно пополнить с помощью подходящих справочников. Поэтому как в средней школе, так и в учебных заведениях других рангов мы обязаны не только сообщать учащимся известные знания, но и — и это гораздо важнее — научить их в какой-то степени владеть предметом.

Что означает владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности. Поэтому первая и самая главная обязанность курса математики средней школы состоит в подчеркивании методической стороны процесса решения задач. Таково мое убеждение; вы, может быть, разделяете его не полностью, но я полагаю, что вы согласны с тем, что процесс решения задачи не должен проходить безлично, что какие-то его моменты должны акцентироваться преподавателем, а этого мне пока достаточно.

*) Искренний (лат.)

Учитель обязан хорошо знать то, чему он собирается учить. Он должен показывать учащимся, как решать задачи. Но как он может показать то, чем он сам хорошо не владеет? Учитель должен стараться, чтобы учащиеся лучше овладели предметом, научились лучше рассуждать, его задача — стимулировать и поощрять творческое мышление; однако в программе, по которой он занимался когда-то, не уделялось достаточного внимания овладению основным содержанием предмета, а на выработку у будущего учителя умения рассуждать, решать задачи и творчески мыслить и вовсе не обращалось внимания. В этом, как мне кажется, заключается самый большой недостаток современной системы подготовки учителя математики для средней школы.

Чтобы ликвидировать этот недостаток, программа подготовки учителя должна открывать простор для творческой работы на соответствующем уровне. Я пытался предоставить возможность такой работы, руководя семинарами по решению задач. Настоящая книга содержит материал, который мне удалось собрать для своих семинаров, и указания по его использованию (см. «Советы учителям и учителям учителей», стр. 20). Это, как я надеюсь, поможет улучшить подготовку учителя математики; как бы то ни было, в этом заключается конкретная цель настоящей книги.

Я убежден, что постоянное внимание к двум упомянутым целям, теоретической и практической, позволило мне улучшить изложение. Я надеюсь также, что интересы различных читателей этой книги не будут противоречить друг другу (для одних это могут быть общие вопросы, связанные с решением задач, для других — развитие своих способностей решения задач, для третьих — развитие этих способностей у учащихся, с которыми они занимаются). То, что покажется самым важным одному читателю, может, с большой долей вероятности, иметь значение и для остальных.

6°. Настоящая книга продолжает линию, начатую двумя более ранними книгами автора «.Как решать задачу» и «Математика и правдоподобные рассуждения» [последняя подразделялась на две части: Индукция и аналогия в математике (ч. I) и Схемы правдоподобных умозаключений (ч. И) *)[. Эти книги, существенно не перекрываясь, дополняют друг друга. Предмет, о котором идет речь в одной из них, может рассматриваться также и в другой, но характер обсуждения в ней будет уже несколько иным (другие примеры, другие детали, другие аспекты). Все эти книги независимы одна от другой; читать их можно в любом порядке.

Для удобства читателя в сводном указателе, помещенном в конце этой книги, мы сопоставляем эти три книги и указываем параллельные места.

*) Книга «Математика и правдоподобные рассуждения», подобно настоящей книге, в оригинале издавалась двумя отдельными томами.

7°. Первые четыре главы настоящей книги содержат более широкий набор задач, чем последующие. По существу, часть первая во многих отношениях похожа на собрание задач из анализа [121, составленное Г. Сегё и автором. Однако здесь имеются и очевидные различия: задачи, предлагаемые в данной книге, гораздо более элементарны, а методические указания делаются не мимоходом, а излагаются подробно и затем обсуждаются.

Шестая глава написана под впечатлением недавно появившейся работы Вернера Харткопфа [9]. Я останавливаюсь здесь лишь на некоторых аспектах этой работы Харткопфа, которые показались мне наиболее привлекательными, и излагаю их в такой форме, которая, как мне кажется, наилучшим образом согласуется с моей собственной концепцией эвристики; изложение идей Харткопфа я сопровождаю подходящими упражнениями и дополнительными замечаниями.

Дж. Пойа

Цюрих, Швейцария, декабрь 1961 — октябрь 1964

СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Параграф 5 главы 2 цитируется в любой другой главе как § 5 гл. 2, но в самой главе 2 — просто как § 5; пункт 3° параграфа 5 главы 2 цитируется в любой другой главе как п. 3° § 5 гл. 2, но в самой главе 2 — просто как п. 3° § 5, а в § 5 гл. 2 — еще короче — как п. 3°. Этот же принцип применяется к упражнениям (и дополнительным замечаниям), а также к их решениям.

Книги КРЗ и МПР, на которые я иногда ссылаюсь, — это мои книги «Как решать задачу» и «Математика и правдоподобные рассуждения» (см. (13], [14]).

Звездочка *, предваряющая некоторые упражнения, дополнительные замечания, примеры и параграфы или пункты, указывает, что здесь требуются знания, выходящие за пределы элементарных (см. следующий абзац). Однако в некоторых случаях, когда требующий больших знаний отрывок совсем мал, этот знак опускается.

Основная часть материала книги требует знания только элементарной математики, т. е. такого знакомства с геометрией, алгеброй, построением графиков (использованием системы координат) и тригонометрией, которое предусматривается программой средней школы.

Рассматриваемые в этой книге задачи редко требуют знаний, выходящих за пределы программы средней школы, но по своей трудности они зачастую слегка превышают школьный уровень. Для некоторых задач дается их полное решение (хотя и в сжатом виде), для других намечается только несколько первых шагов решения, а иногда указывается только конечный результат.

Часть задач снабжена указаниями, которые могут облегчить решение. Такие указания могут содержаться также в задачах, находящихся по соседству с рассматриваемой. Особое внимание следует уделять вводным замечаниям, предпосланным в ряде глав отдельным упражнениям или целым группам упражнений.

Читатель, приложивший серьезные усилия к решению некоторой задачи, может извлечь из них пользу даже в том случае, если решить задачу ему не удалось. Он может, например, попытаться использовать информацию, которую доставит ему изложение (в конце книги) начала решения, сопоставив ее с самостоятельными размышлениями; отложив книгу с ее рекомендациями, он может попробовать найти оставшуюся часть решения самостоятельно.

Самое лучшее время для размышления над методикой решения задач наступает, по-видимому, тогда, когда читатель только что самостоятельно решил задачу, или прочел ее решение в книге, или прочел в книге описание методики решения. Когда задание выполнено и впечатления еще свежи, читатель, бросая

ретроспективный взгляд на свои усилия, может хорошо разобраться в характере преодоленных им трудностей. Он может задать себе при этом много полезных вопросов: «Какой момент в процессе решения был самым важным? В чем состояла главная трудность? Что я мог бы сделать лучше? Эту деталь я проглядел,— каким складом ума нужно обладать, чтобы ее увидеть? Нет ли здесь какого-нибудь приема, заслуживающего внимания, который я мог бы применить в следующий раз в аналогичной ситуации?» Все эти вопросы хороши, есть много и других хороших вопросов — но самый лучший из них тот, который естественно приходит в голову сам по себе, без чьей бы то ни было подсказки.

Советы учителям и учителям учителей

Учителя, которые захотят использовать эту книгу в своих профессиональных целях, не должны пренебрегать советами, адресованными всем читателям, но, кроме того, им следует обратить внимание и на следующее:

1°. Основное назначение этой книги состоит в том, чтобы дать будущим учителям средней школы (а также уже работающим в школе учителям) благоприятную возможность для ведения творческой работы на соответствующем уровне. Вряд ли можно предполагать, что рядовому учителю математики в средней школе посильна серьезная научно-исследовательская работа в области современной математики. Однако решение нестандартных математических задач также, бесспорно, относится к творческой деятельности. Задачи, предлагаемые в этой книге [не помеченные знаком *, который, иногда — употребляемый в том же смысле — предваряет и отдельные абзацы текста], не требуют знаний, выходящих за пределы средней школы, но они требуют известной (а иногда и высокой) сосредоточенности и умения рассуждать. Решение задач подобного рода является, как мне кажется, тем видом математического творчества, который необходимо должен быть включен в программу обучения учителей математики средней школы. Решая такие задачи, будущий учитель имеет возможность приобрести подлинную математическую культуру и подготовиться для передачи ее своим ученикам, причем достигается это не путем механического заучивания, а путем применения своих знаний к решению интересных задач. Вместе с тем он приобретает определенные навыки в области элементарной математики и понимание сущности процесса решения задачи. Все это открывает перед учителем возможности для более эффективного руководства работой учащихся и ее оценки.

2°. Содержащиеся в первой части книги задачи, упражнения и замечания можно использовать для занятий в средней школе (в особенности, если они ведутся по расширенной программе). Я рекомендую учителям продумать пути использования в классе той или иной задачи, с которой они познакомились в этой книге. Эти размышления особенно уместны тогда, когда решение задачи уже найдено и хорошо усвоено. Вы бросаете ретроспективный взгляд на задачу и спрашиваете себя: «Нельзя ли еще где-нибудь использовать эту задачу?», «Какими знаниями должны при этом обладать учащиеся?», «Какие задачи надо рассмотреть предварительно?», «Как преподнести эту задачу моему восьмому классу?», «Как преподнести ее Джимми Джонсу?», и т. д.

3°. Основной материал этой книги был апробирован мною в процессе ведения семинаров для учителей по решению задач. Такие семинары я проводил неоднократно и в разных городах; некоторые из моих коллег также руководили подобными семинарами, используя переданные мною им материалы.

После целого ряда попыток я выработал для своего семинара специальный распорядок, описание которого может оказаться полезным!).

Типичные задачи, дающие возможность прийти к полезному общему метолу, обсуждаются и решаются под руководством преподавателя на аудиторных занятиях; текст первых четырех глав воспроизводит эти обсуждения настолько точно, насколько это возможно при изложении устных занятий на страницах книги. Эти задачи приводят, в конце концов, к формулировке некоторых общих положений методического характера, — как это делается, читатель сможет усмотреть из текста соответствующих глав.

Домашнее задание участникам семинара составляется из задач (подобных задачам, помещенным в конце каждой из глав книги), дающим им возможность уяснить, применить и расширить изученный на аудиторных занятиях метод решения (равно как и сопровождающие его методические указания).

4°. Я использовал свой семинар (и это было одной из его существенных черт) для того, чтобы дать его участникам возможность приобрести практические навыки в разъяснении смысла задач и руководства их решением, т. е., по сути дела, предоставить им возможность педагогической практики такого рода, которой обычно уделяется недостаточно внимания.

После того как домашняя работа сдана, тот или иной вопрос (наиболее оригинальное решение, сообщение о какой-нибудь более доступной родственной задаче) излагается (у доски) всей аудитории тем участником семинара, который разобрал этот вопрос особенно хорошо (или, наоборот, особенно плохо). По истечении некоторого времени, когда участники лучше ознакомятся со стилем работы в аудитории, кто-нибудь из участников при проведении дискуссии временно занимает место руководителя семинара. Однако самым хорошим видом педагогической практики являются групповые занятия. Они проводятся в три этапа.

Прежде всего, в самом начале какого-нибудь практического занятия, объединяющего всех участников семинара, каждый участник получает определенную задачу (только одну), которую он должен решить на этом занятии; предполагается, что при этом он не советуется со своими товарищами, но может получать некоторую помощь от преподавателя.

Далее, в промежуток времени между этим занятием и следующим каждый участник должен проверить, дополнить, еще раз обдумать и, если можно, упростить найденное им решение, попытаться найти какой-нибудь другой подход, приводящий к тому же самому результату, и изучить задачу всеми доступными средствами со всей полнотой, на которую он способен. Кроме того, ему необходимо составить план занятия по разбору решения этой задачи. Разумеется, по любому

*) Кое-что из того, о чем говорилось выше и о чем будет еще идти речь в дальнейшем, заимствовано мною из ранее опубликованной статьи (23].

из упомянутых выше вопросов он может получить консультацию у руководителя семинара.

На следующем занятии участники разбиваются на дискуссионные группы. Каждая такая группа состоит, в среднем, из четырех участников. Составы групп определяются самими участниками по взаимному согласию, без вмешательства руководителя семинара. Один из членов группы берет на себя роль преподавателя, остальные играют роль учеников. «Учитель» рассказывает о своей задаче «ученикам», пытается пробудить их инициативу и подвести их к решению в. таком же стиле, в каком делает это на своих аудиторных занятиях руководитель семинара. После того как решение найдено, все участники группы обсуждают прошедшее занятие. Затем роль «учителя» берет на себя другой член группы и излагает свою задачу; эта процедура повторяется до тех пор, пока все члены группы не примут в ней участия. Далее составы групп частично меняются (например, каждая из двух соседних групп может послать одного из своих членов в качестве «учителя» в другую группу), так что каждый из участников имеет возможность отшлифовать свое мастерство, излагая задачу несколько раз. Некоторые особенно интересные задачи или особенно удачные занятия показываются всем участникам семинара и обсуждаются на аудиторных занятиях. Отдельные группы могут по собственной инициативе предпринимать обсуждение задач, неизвестных всем другим участникам; разумеется, это должно поощряться.

Решение задач в дискуссионных группах вскоре приобрело большую популярность, и у меня создалось впечатление, что проводимые мною семинары в целом имели успех. Многие из их участников были опытными учителями, и работа в семинаре подсказала некоторым из них полезные идеи, касающиеся проведения занятий в собственных классах.

5°. Эта книга может оказать помощь коллеге-преподавателю, руководящему семинаром по решению задач (особенно, если ему приходится заниматься этим впервые). При этом он может придерживаться в своей работе процедуры, описанной в пп. 3° и 4°, а для обсуждения в аудиторных занятиях может использовать материал любой из первых глав. Задачи, помещенные в конце каждой главы, хорошо подходят для домашних заданий; заметим, что доведение кратких указаний, собранных в конце книги в разделе «Решения упражнений», до полного решения задачи может иногда потребовать серьезной работы. Преподавателю не рекомендуется выбирать задачи наугад; прежде чем задать какую-нибудь из них, он должен хорошо разобраться как в самой задаче, так и в ее решении, а кроме этого, также в примыкающих к ней задачах. Для работы в дискуссионных группах (см. п. 4°) выбираются более трудные задачи. Они не обязательно должны быть тесно связаны с материалом первых четырех глав, их можно подобрать и из других глав этой книги.

Преподаватель, имеющий некоторый опыт работы, может, конечно, следовать тенденциям этой книги, не слишком придерживаясь ее деталей.

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

БОЛЬШЕ НЕТ

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Автор-учебника - Яглом И.М. , ★ВСЕ➙ Перевод с иностранного, ★Все➙ Для преподавателей ВУЗов, техникумов, ПТУ, Методика преподавания математики, Автор - Джордж Пойа, Математика - Для преподавателей ВУЗов, техникумов, ПТУ, Математика - Перевод с иностранного

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНОЕ ИЗ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА (НАУКА)

БОЛЬШЕ НЕТ

НАУКА МАТЕМАТИКА СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика