Skip to main content

Математическое познание: от гипотезы к теории - методологический анализ математического познания как метаисследования (Войцехович) 1984 год - старые книги

Советская нехудожественная литература

Математическое познание: от гипотезы к теории - методологический анализ математического познания как метаисследования (Войцехович) 1984

Описание: Книга рассчитана на специалистов в области философских вопросов математики и естествознания.

В монографии рассматривается процесс познания в математике. Исследуется связь этой науки с естествознанием и действительностью, методы математического творчества (в особенности метод гипотезы). Анализируются процесс формирования математической теории и закономерности развития математики.

© Издательство «Университетское» Минск 1984

Авторство: Вячеслав Эмерикович Войцехович

Формат: PDF Размер файла: 12.8 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие. 3

Глава I

Становление метода гипотезы в научном познании . 9

  • 1. Возникновение и развитие понятия гипотезы 9
  • 2. Применение метода математической гипотезы в физическом исследовании 19

Глава П

Методы исследования и изложения

математического знания 35

  • 1. Аксиоматический метод . . 38
  • 2. Генетический метод 49
  • 3. Эволюция взглядов математиков на методы исследования 60

Глава III.

Метаисследование и его роль в генезисе и обосновании гипотезы, превращении ее в математическую теорию 79

  • 1. Диалектическое понятие метаисследования 79
  • 2. Формальное метаисследование . 96
  • 3. О природе математического знания ПО
  • 4. Превращение математической гипотезы в теорию (метапроверка) . 129

Заключение 140

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатную книгу времен СССР - Математическое познание: от гипотезы к теории - методологический анализ математического познания как метаисследования (Войцехович) 1984 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ
  • 4. Превращение математической гипотезы в теорию (метапроверка)

Весьма распространенным является понимание математики как дедуктивной науки. Условием, достаточным для обоснования математического знания, считается непротиворечивость.

Непротиворечивость МГ91 понимается в двух смыслах— как внутренняя и как внешняя. Внутренняя (синтаксическая) означает недоказуемость формулы А&"|А. Обычно показать это для МГ очень трудно, поэтому прибегают к доказательству внешней (семантической) непротиворечивости — посредством интерпретации МГ на истинной теории Т. Интерпретация производится следующим образом (предположим, МГ и Т — это АС). Пусть все аксиомы AL МГ интерпретируются истинными суждениями Аь в Т. Тогда всякая теорема А из МГ интерпретируется в Т утверждением А', которое выводится в Т из Аг и, следовательно, А—истинно. Здесь предполагается, что правила вывода в МГ и Т совпадают (обычно это классическая логика предикатов)92.

МГ становится теорией, истинной относительно теории Т, играющей для МГ роль «действительности». Впервые этот метод применяется для доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского относительно евклидовой геометрии. Дж. Буль одним из первых говорил о независимости аксиоматически заданных теорий от их конкретных интерпретаций, т. е. для истинности теории он считал достаточным ее внутреннюю непротиворечивость. Этот принцип получил признание лишь в начале XX в. после работ Гильберта93. Действительно, согласно теореме Лёвенгейма — Сколема о существовании счетной модели и теореме Гёделя о полноте узкого исчисления предикатов, каждая непротиворечивая дедуктивная теория выполнима в области натуральных чисел (имеет арифметическую интерпретацию). Из внутренней непротиворечивости следует внешняя.

91 Термин «математическая гипотеза» (МГ) имеет два значения (в зависимости от контекста): 1) гипотеза в математическом познании (полное определение дано в конце § 3 гл.II); 2) метод физического исследования (и его результат), описанный в § 2 гл. I.

92 Новиков П. С. Аксиоматический метод.— В кн.: Математическая энциклопедия. М., 1977, т. 1, с. ПО.

93 Хрестоматия по истории математики, с. 122.

С точки зрения некоторых математиков (Гильберт, Новиков и др.) метод доказательства семантической истинности существенно недостаточен, поскольку носит относительный характер. Эта слабость метода неизбежна — невозможно «абсолютное» доказательство непротиворечивости МГ. Действительно, редукция интерпретации приводит к арифметике. Теоремы Гёделя показали невозможность финитйого доказательства непротиворечивости арифметики, что находит объяснение в положении диалектико-материалистической методологии о невозможности полного обоснования гипотез внутренними средствами данной науки, без обращения к материальной действительности, к практике как критерию истины.

В интуиционистском и конструктивном направлениях понятию непротиворечивости придается гораздо меньшее значение. Главное различие между классической математикой, с одной стороны, и интуиционистской и конструктивной — с другой, связано с понятием существования. В КлН непротиворечивость эквивалентна существованию. В ИН и КН отвергаются «чистые теоремы существования», требуется доказательство возможности построения объекта. Конструктивная теория (например, математический анализ) считается истинной, если построена с помощью КЛ. Здесь истинность также зависит от логических средств. Интуиционистские и конструктивные объектные «теории» — всё еще МГ: они не нашли применения в эмпирических науках. Таким образом, внутрима* тематические критерии не достаточны для обоснования МГ, для превращения их в истинное знание.

Высшим критерием истины в математике, как и во всякой другой науке, необходимо признать практическую, материальную деятельность. «.Практикой своей доказывает человек объективную правильность своих идей, понятий, знаний, науки»,— писал В. И. Ленин 94. К такому же выводу приходили в конечном счете многие выдающиеся математики как прошлого, так и современности, например Д. Гильберт, А. А. Марков, Ван Хао, У. Куайн и др. «Хотя геометрия Евклида и является системой понятий, непротиворечивой в самой себе,— писал Гильберт,— но отсюда. еще не следует, что она выполняется в действительности. Это может решить только наблюдение и опыт»95. Марков признает существенным

94 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 173.

95 Гильберт Д. Основания геометрии, с. 342.

требованием к теории ее пригодность «для обслуживания естествознания и техники»96. Ван Хао также считает непротиворечивость и конструктивность недостаточными для математического существования 97. По Куайну, истинность математической теории означает ее соответствие объективной реальности98 99.

В то же время некоторые ученые высказывают мнение, что непротиворечивость и есть применение критерия практики в математическом исследовании ". Пусть это — косвенное применение, но вполне достаточное для неэмпирической науки. Так, логические правила вывода находят свое основание в каждодневном опыте человека, его практической деятельности 10°. Основание логики ищут также в глубинных языковых структурах 101. Последние определяются психикой, культурой, материальными условиями жизни людей, т. е. в конечном счете опять-таки объективной реальностью.

Все это так. Но дает ли одна логика гарантию того, что современные математические теории не стали знанием «в себе» и «для себя»? Если непротиворечивая конструкция, выраженная на языке математики, не используется ни внутри математики, ни вне ее (в практической деятельности, например, в естествознании), то такую конструкцию нельзя признать истинным знанием — это всего лишь разновидность гипотезы. Подобного рода непротиворечивые конструкции постоянно создаются математиками, но, не выходя за пределы, творческой лаборатории ученого, они остаются неизвестными широкому кругу специалистов по данной проблеме и поэтому не оказывают влияния на развитие математики. Но если непротиворечивая конструкция способствует развитию из-в.естных теорий, дает новые результаты, то ее следует

96 Марков А. А. Комментарии.— В кн.: Гейтинг А. Интуиционизм, с. 165.

97 Wang Нао. A survey of mathematical logic. Peking, 1962, p. 334.

98 Куайн У. В. Основания математики.— В кн.: Математика в современном мире. М., 1967, с. 108.

99 Беляев Е. А., Киселева Н. А., Перминов В. Я. Некоторые особенности развития математического знания. М., 1975, с. 75.

100 «.Практическая деятельность человека,— пишет В. И. Ленин,— миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» (В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, с. 172).

101 Слобин Д., Грин Дж. Психолингвистика. М., 1976, с. 214.

считать истинной теорией, поскольку она функционирует внутри математики и опосредованно способствует познанию материальной действительности 102 103.

А может быть, математика — только язык науки? Так считает немало ученых. Тогда вопрос об истинности математических структур вообще отпадает. Язык не может быть истинным или ложным, он может быть только удобным или неудобным. Однако мы уже выяснили, что и эта точка зрения неудовлетворительна.

Интересно ставит вопрос об истине в математике И. Лакатос. Он обращает внимание на то, что одни ученые (Д. Гильберт, Б. Рассел и др.) понимают эту науку как евклидову, аксиоматическую дисциплину, в которой истина распространяется методом дедукции от аксиом к теоремам. Другие (Г. Вейль, Дж. Нейман, А. Мостовский, Л. Кальмар) рассматривают математику как ква- зиэмпирическую науку, в которой от посылок (подобных эмпирическим предложениям) с помощью индукции и дедукции переходят к следствиям. При этом от исходных положений на систему может распространяться не только истина, но и ложь (поскольку в системе используются эмпирические предложения и индукция). Какова же математика в действительности: евклидова или ква- зиэмпирическая наука? Ответа Лакатос не дает ,03.

С нашей точки зрения, дилемму Лакатоса, а также вопрос о практике как критерии истины в математике разрешает понимание математики как формальной метанауки (по отношению к естествознанию). Как мы уже выяснили, на этапе метаэмпирического исследования индуктивным методом строится генетическая (конструктивная) система (сходная с квазиэмпирической системой Лакатоса). На этапе метаумозрительного исследования методами комбинирования и выбора формируется система аксиом (принципов), из которой на этапе мета- теоретического исследования дедуцируются теоремы. Метатеория (аксиоматическая, евклидова система) объясняет старые конструктивные системы, полученные ин

102 В непрерывном продуцировании новых математических теорий (запаса на будущее) заинтересованы все науки, так как математика должна идти впереди практики, что особенно важно при плановом социалистическом ведении хозяйства.

103 Lakatos I. A renaissance of empiricism in the recent philosophy of mathematics.— British journal for the philosophy of science (Aberdeen), 1976, v. 27, N 3.

дуктивным способом, и предсказывает новые. Таким образом, математическая теория — это метатеоретическая система, совмещающая в себе свойства и квазиэмпирической и евклидовой систем.

Метатеоретическая гипотеза должна подвергнуться метапроверке. Гипотеза в математике должна способствовать развитию либо других математических теорий (тогда она получает опосредованную эмпирическую интерпретацию), либо естествознания (через прямую интерпретацию МГ). Только так, через опосредованную связь с практикой, математические конструкции получают действительное обоснование.

Но, пожалуй, главный довод в пользу необходимости метапроверки гипотез математики следующий. Если выдвинута фундаментальная МГ, то как проверить ее предсказания, скажем, значения новых интегралов? С чем их сравнить? (Так было, например, в случае с «воображаемой» геометрией Лобачевского.) Можно ли считать новую теорию истинной, если несколько авторитетных ученых проверят обоснованность основных положений, безукоризненность доказательств и согласятся с автором? А если не согласятся? Поэтому необходима и достаточна проверка МГ в целом как системы, что возможно только на уровне более фундаментальном, чем математический,— на эмпирическом уровне. Окончательная проверка осуществляется через интерпретацию (прямую или опосредованную)104 * *. Такого рода метапроверку прошли все фундаментальные математические теории.

Принципиально новый результат не с чем сравнить, кроме самой действительности. При этом не обязательно строить интерпретацию самой фундаментальной, ме- татеоретической гипотезы. Если это гипотезы высшего метауровня (теория категорий или метаматематика конструктивизма и др.), то они должны сыграть роль методологии при создании гипотез более низкого (объектного) уровня, например конструктивного матанализа. Лишь последний требует интерпретации и фактуальной проверки.

104 Того же мнения придерживаются и другие авторы (см., напр.:

Рыбников К. А. Об истинности математического знания.— В кн.: Ис

тория и методология естественных наук. М„ 1982, вып. 29).

сказательной функций естественнонаучной гипотезы, а также соответствие предсказаний данным опыта.

Новая математическая конструкция должна быть непротиворечива (удовлетворять критерию осмысленности), должна использовать известную логику (классическую, конструктивную и т. д.) или вводить новую. Из МГ должны следовать и уже известные результаты (теоремы или даже теории), и новые. Она должна решать известные классы задач (возможно, более простыми методами) и давать решения новых классов задач. Новые результаты, следующие из МГ, требуют проверки на уровне более фундаментальном, чем математический,—на эмпирическом. Конструкция получает опосредованную эмпирическую интерпретацию, если она способствует развитию старых математических теорий (ранее интерпретированных) либо из нее следует новая МГ («низшего» уровня общности),допускающая прямую интерпретацию.

Осмысленность, логические и математические критерии относятся к внутренним критериям истинности математической теории, остальные — к внешним. Если МГ удовлетворяет данному виду критериев, то она отражает соответствующий слой «действительности» — слой осмысленности либо логический, математический или эмпирический. Слой осмысленности — совокупность знаковых систем, удовлетворяющих перечисленным условиям осмысленности; логический слой — совокупность всевозможных логических исчислений, как используемых в математике, так и не используемых; математический слой — совокупность истинных математических теорий и осмысленных МГ; эмпирический — совокупность истинных естественнонаучных теорий.

Осмысленность, логические и математические критерии необходимы, но не достаточны для истинности математических теорий. Лишь эмпирический критерий, устанавливающий связь МГ с материальной действительностью, и необходим и достаточен. В процессе построения формальной метатеории эти критерии применяются последовательно, так что выполнение каждого следующего вида критериев предполагает выполнение предыдущих 113.

113 Нетрудно видеть взаимодополнительность внутренних и внешних критериев истинности. О дополнительности семантики и синтаксиса, непрерывного и дискретного в математике см.; Kuyk W. Complementarity in mathematics. Dordrecht, 1977.

Нетрудно заметить, что каждый вид критериев опирается на последующий: осмысленность обосновывается логическими средствами; логика, используемая МГ, либо оправдывается практикой математического познания (и обыденной деятельностью), либо требует подтвердить эффективность введения новых правил вывода новыми математическими результатами; предсказания в области математики требуют их подтверждения в естествознании. И только эмпирические предсказания (после интерпретации МГ) обосновываются практической деятельностью.

Примерами МГ, ставших истинными метатеориями, являются все фундаментальные математические теории— арифметика, евклидова геометрия, комплекс теорий матанализа, геометрии Лобачевского, Римана, теория групп, аксиоматические теории множеств, геометрия Гильберта и некоторые другие, т. е. метатеории, прошедшие метапроверку (получившие прямую или опосредованную эмпирическую интерпретацию и применение в естественных, общественных или технических науках).

Не становятся новыми истинными математическими теориями: 1) противоречивые МГ; 2) МГ, не дающие новых результатов; 3) МГ, не способствующие развитию математики (не используемые в ней, так сказать, боковые ответвления от «математического древа», не соединяющиеся с другими «ветвями»); 4) МГ, не имеющие хотя бы опосредованной эмпирической интерпретации и опосредованного применения в естествознании.

Каждый критерий является специфическим отражением практики как критерия истины в области формального метаисследования. Каждый из них отражает и свойства практики, например абсолютность и относительность114. Так, абсолютность непротиворечивости состоит в том, что она достаточна для установления ложности теории, а относительность — в том, что 1) она оставляет достаточный простор для совершенствования МГ и использования ее в качестве объектной «теории» при формировании метатеории и 2) непротиворечивость недостаточна для установления истинности теории.

В связи с проблемой метапроверки возникает вопрос о причинах неправильного понимания некоторыми математиками проблемы проверки истинности математических теорий. Обычные ошибки в этом вопросе таковы:

114 Ленин, В. И. Поли. собр. соч., т. 18, с. 145—146.

1. Преувеличение роли формальных методов, а также внутренних факторов в развитии математики, недооценка содержательных методов и внешних факторов — естествознания, практики.

2. Игнорирование предсказательной функции МГ, в особенности метаэмпирических (индуктивных) законов (теорем). До сих пор еще ряд математиков полагает, что предсказательная функция — автоматическое следствие объяснительной, или даже считает предсказательную функцию необязательной.

3. Отождествление формальной метаумозрительной концепции (либо программы, схемы, гипотезы) с математической теорией, идущее от игнорирования процедуры проверки.

4. Преувеличение роли внутренних критериев истинности (непротиворечивости, предсказательной и объяснительной функций гипотез, выдвигаемых в математике). Внутренние критерии необходимы, но не достаточны. Лишь эмпирическая проверка 1,5 законов, полученных на основе математической гипотезы, является необходимым. и достаточным критерием.

Отсюда видно, что основной методологический корень ошибочного понимания проверки МГ (прежде всего конвенционалистского заблуждения) таится в неверной философской интерпретации относительной независимости формального метаисследования от исследования в естествознании, от практики. Возникает иллюзия эмпирической непроверяемости математического знания либо полной внутренней свободы метаумозрительного творчества, свободы, не ограничиваемой внешними факторами. Математическое исследование в этом случае останавливается на одной из стадий метаумозрительного либо метатеоре- тического исследования, не доходя до метатеории115 116.

115 Хотя бы опосредованная — через другие математические теории.

116 О логических, психологических и других ошибках см.: Кузьмин Е. Н. О причинах математических ошибок.— В кн.: Методологические проблемы математики. Новосибирск, 1979, с. 76—82.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для нашего времени, когда наука стала непосредственной производительной силой, характерно пристальное внимание к ее развитию, а значит и к методам научного исследования. Как уже говорилось, методология науки делится на общую и конкретную. Общая методология — это материалистическая диалектика. Ее категории и законы проявляются в развитии каждой науки, в любой процедуре научного исследования. Специфические для данной науки проявления общедиалектических закономерностей дают конкретную методологию. Условно можно выделить два типа конкретных методов математического исследования — логические и нелогические. К логическим относятся индукция, дедукция и традукция. К нелогическим относятся многообразные проявления творческого воображения (интуиция), которые так или иначе включают в себя идеализацию и замещение элементов старого знания, комбинирование и выбор подходящей комбинации с помощью селективных принципов. Нелогичские методы являются основными методами формирования новых понятий. При этом используются философские принципы, играющие немаловажную роль в построении фундаментальных математических теорий. И логические и нелогические методы связаны с правдоподобными утверждениями, с гипотезами. Гипотеза в математике понимается в двух основных смыслах: как предположение, вероят

ное высказывание — гипотеза в широком смысле; как математическая теория, не прошедшая стадию проверки (применения в математике или в естествознании),— гипотеза в узком смысле.

Анализ роли гипотезы в математическом исследовании показывает, что построение математической теории представляет собой процесс восхождения от старого знания через гипотетическое, правдоподобное, к новому истинному знанию.

Природа математического познания раскрывается с помощью диалектического понятия ме.таисследования, под которым понимается познание процесса исследования — взаимодействия субъекта с объектом исследования. С этой точки зрения построение новой математической теории оказывается формальным метаисследованием предшествующих фундаментальных теорий.

Математическая теория проходит три основных этапа развития: метаэмпйрический (индуктивный), метаумозрительный и метатеоретический. Здесь в семиотическом (знаковом) плане реализуется идея Маркса о познании как восхождении от конкретного, нерасчлененного образа объекта к абстрактному его определению и далее к конкретному как синтезу многих определений. Диалектический метод, примененный Марксом к математическому познанию, привел к открытию и другой особенности исследования в формальных науках — методу оборачивания: когда наступает необходимость в построении нового знания, то исследование из содержательной плоскости перемещается в формальную, где отыскивается форма, адекватная проблемной ситуации, после чего познание возвращается на содержательный уровень путем интерпретации формы.

Из диалектики математического исследования становится ясным, что математика прогрессирует благодаря взаимодействию содержательных и формальных методов. В математическом познании действует закон формализации, состоящий в том, что метатеория обобщает прежде всего форму, аппарат объектных теорий.

Понятие формального метаисследования в применении к математическому познанию расщепляется на понятия предметного (конкретного, собственно математического) метаисследования и гносеологического (гильбертовского, метаматематического) метаисследования, относящегося к основаниям математики.

Данная концепция математического познания позволяет разрешить дилемму Лакатоса: является ли математика индуктивной или дедуктивной, квазиэмпирической или аксиоматической наукой? Математическая теория оказывается своеобразным синтезом генетической и аксиоматической систем. Метатеория, сформированная аксиоматически, объясняет старые и предсказывает новые метаэмпирические (индуктивные) конструкции, строящиеся главным образом генетическим методом.

Истинность знания устанавливается в процессе разрешения вопроса: соответствует ли новое знание материальной действительности? Это можно установить только в ходе практической деятельности. Математика же связана с действительностью не прямо, а через посредство естественных, технических и общественных наук. Поэтому внутренними средствами математика не способна обосновать в полном объеме истинность своих теорий. Так, гипотеза в широком смысле может быть либо недоказанной теоремой известной теории, либо аксиомой будущей теории. В первом случае она становится истинным знанием с помощью внутренних средств математики — путем вывода в рамках старой теории. Во втором случае она развертывается в гипотезу в узком смысле и проверяется. Необходимость внешних критериев истинности для проверки гипотез в узком смысле, т. е. применение в эмпирических науках, признают многие математики (Г. Вейль, Дж. Нейман, А. А. Марков, А. Мостов- ский, Н. А. Шанин и др.).

В процессе проверки математической гипотезы в общем случае используется следующая иерархия критериев истинности: осмысленность, логические критерии, математические и эмпирические. Первые три критерия не являются достаточными. Эмпирические критерии и необходимы, и достаточны: гипотеза, удовлетворяющая им хотя бы опосредованно, становится истинной математической теорией. Таким образом, понятие истины в математике «расслаивается».

Развиваемый в этой книге подход к математическому познанию не является чем-то принципиально новым. Это очередной шаг в направлении синтеза наук, характерном для XX века, в направлении сближения математики с реальными запросами естественных, технических и общественных наук, с практикой.

Рассмотренные проблемы методологии математического познания, связи математики с материалистической диалектикой и естествознанием приобретают все большее значение вследствие широкой математизации науки и производства, вследствие формирования нового, синтетического типа науки, характерного для социалистического общества.

Наука нового типа все шире проникает во все сферы общественной жизни и становится их неотъемлемым компонентом. Сама наука преобразовалась в «единую систему, интегрирующую естественные, технические и общественные науки в управляемый комплекс, планомерно развивающийся и применяемый в качестве органической части всей системы управления общественными процессами на основе разработки долгосрочной стратегии развития науки»1. Одним из наиболее существенных компонентов этого научного комплекса стала математика.

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Философия математики, Автор - Войцехович В.Э.

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНОЕ ИЗ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА (НАУКА)

БОЛЬШЕ НЕТ

НАУКА МАТЕМАТИКА СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика