• 10 Введение 79
• 11 Функция 86
• 12 Предел 93
• 13 Непрерывные функции 100
• 14 Производная 103
• 15 Правила дифференцирования 111
• 16 Максимум и минимум. Исследование графиков функций .... 117
• 17 Приращение и дифференциал функции 125
• 18 Формула Тейлора 130
• 19 Интеграл 135
• 20 Неопределенные интегралы. Техника интегрирования 143
• 21 Функции многих переменных 147
• 22 Обобщения понятия интеграла 160
• 23 Ряды 167

Глава III. Аналитическая геометрия (Б. Н. Делоне) 180

• 24 Введение 180
• 25 Две основные идеи Декарта 181
• 26 Простейшие задачи 183
• 27 Исследование линий, выраженных уравнениями 1-й и 2-й степени . . 184
• 28 Метод Декарта для решения алгебраических уравнений 3-йи4-й степени 186
• 29 Общая теория диаметров Ньютона 189
• 30 Эллипс, гипербола и парабола 190
• 31 Приведение общего уравнения 2-й степени к каноническому виду . . 202
• 32 Задание сил, скоростей и ускорений тройками чисел. Теория векторов 206
• 33 Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнение поверхности в пространстве и уравнения линии 211
• 34 Преобразования аффинные и ортогональные 219
• 35 Теория инвариантов 228
• 36 Проективная геометрия 232
• 37 Преобразования Лоренца 238

Заключение 245

Глава IV. Алгебра (Теория алгебраического уравнения) (Б. Н. Делоне) . . 249

• 1 Введение 249
• 2 Алгебраическое решение уравнения 253
• 3 Основная теорема алгебры 266
• 4 Исследование расположения корней многочлена на комплексной плоскости 276
• 5 Приближенное вычисление корней 285

Именной указатель ... 293

СОДЕРЖАНИЕ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ТОМОВ

ТОМ II

Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения {И. Г. Петровский)

Глава VI. Уравнения в частных производных (С. Л. Соболев)

Глава VII. Кривые и поверхности (А. Д. Александров)

Глава VIII. Вариационное исчисление (В. И. Крылов)

Глава IX. Функции комплексного переменного (М. В. Келдыш)

Глава X. Простые числа (К. К. Марджанишвили)

Глава XI. Теория вероятностей (А. Н. Колмогоров)

Глава XII. Приближение функций (С. М. Никольский)

Глава XIII. Приближенные методы и вычислительная техника (В. И. Крылов)

Глава XIV. Электронные вычислительные машины (С. А. Лебедев)

ТОМ III

Глава XV. Теория функций действительного переменного (С. В. Стечкин)

Глава XVI. Линейная алгебра (Д. К. Фаддеев)

Глава XVII. Абстрактные пространства (А. Д. Александров)

Глава XVIII. Топология (П. С, Александров)

Глава XIX. Функциональный анализ (И. М. Гельфанд)

Глава XX. Группы и другие алгебраические системы (А. И, Мальцев)

Математика, ее содержание, методы и значение

ПРЕДИСЛОВИЕ

Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему разветвленных дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит могучим орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности.

В качестве минимума предварительных математических знаний читателя предполагается знание только курса средней школы, однако в отношении доступности материала каждый из трех томов не является однородным. Желающие впервые познакомиться с началами высшей математики, с пользой прочтут несколько первых глав, но для полного понимания следующих глав необходимо изучение соответствующих учебников. В полном объеме книга окажется доступной в основном лишь читателям, уже имеющим некоторые навыки в применении методов математического анализа (дифференциального и интегрального исчисления). Для таких читателей — представителей естественнонаучных и инженерных специальностей, учителей математики — особенно существенными окажутся главы, вводящие их в более новые разделы математики.

Естественно, что в рамках одной книги нельзя исчерпать всего богатства даже основных направлений математических исследований; некоторая свобода в выборе материала при этом необходима. Но в самых общих чертах эта книга должна дать представление о современном состоянии математики, ее происхождении и перспективах развития в целом. Поэтому книга в известной мере рассчитана и на лиц, владеющих основной частью использованного в ней фактического материала. Она должна способствовать устранению некоторой узости перспективы, свойственной иногда некоторым нашим молодым математикам.

Отдельные главы этой книги написаны разными авторами, их фамилии приведены в оглавлении. Однако как целое книга — результат коллективного труда. Ее общий план, отбор материала, варианты текста отдельных глав подвергались коллективному обсуждению и улучшались на основе живого обмена мнениями. Математики многих городов Советского Союза высказали на организованном институтом обсуждении ценные замечания по первоначальному варианту текста. Эти замечания и предложения были учтены авторами.

Некоторые из авторов принимали также непосредственное участие в подготовке окончательного текста других глав: вводная часть главы II написана в основном Б. Н. Делоне; Д. К. Фаддеев принимал активное участие в подготовке глав IV и XX .

В работе участвовал также ряд лиц, не являющихся авторами отдельных глав: Л. В. Канторовичем написан § 4 главы XIV, О. А. Ладыженской написан § 6 главы VI, А. Г. Постниковым написан § 5 главы X, О. А. Олейник участвовала в подготовке текста главы V, Ю. В. Прохоров участвовал в окончательном редактировании текста главы XI.

В. А. Залгаллер написал некоторые разделы глав I,II, VII и XVII. Редактирование окончательного текста осуществлено В. А. Залгаллером и В. С. Видепским при участии Т. В. Рогозкиной и А. П. Леоновой.

Основная часть иллюстраций выполнена Е. П. Сенькиным.

Редакционная коллегия.

Глава I

ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ

Правильное представление о любой науке не складывается из отдельных, касающихся ее сведений, даже если они довольно обширны. Нужно еще иметь верный взгляд на науку в делом, понимать сущность данной науки. Цель этой главы состоит в том, чтобы дать общее представление о сущности математики. Для этого нет большой необходимости входить в подробное рассмотрение новых математических теорий, потому что уже история этой науки и элементарная математика дают достаточно оснований для общих выводов.

• 1 ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИКИ

1. Даже при довольно поверхностном знакомстве с математикой легко заметить характерные ее черты: это, во-первых, ее отвлеченность, во- вторых, точность или, лучше сказать, логическая строгость и как бы непреложность ее выводов и, наконец, чрезвычайная широта ее применений.

Отвлеченность проявляется уже в простом счете. Мы оперируем отвлеченными числами, не заботясь о том, чтобы связывать их каждый раз с конкретными предметами. Мы учим в школе абстрактную таблицу умножения — таблицу умножения чисел вообще, а не числа мальчиков на число яблок или числа яблок на цену яблока и т. п.

Точно так же в геометрии рассматривают, например, прямые линии, а не натянутые нити, причем в понятии геометрической линии отвлекаются от всех свойств, оставляя только протяжение в одном направлении. Вообще понятие о геометрической фигуре является результатом отвлечения от всех свойств реальных предметов, кроме пространственной формы и размеров.

Такого рода отвлечения характерны для всей математики. Понятия о целом числе и о геометрической фигуре—это лишь одни из первоначальных ее понятий. За ними следует едва обозримое множество других, возвышающихся до таких абстракций, как комплексные числа, функции, интегралы, дифференциалы, функционалы, n-мерные и даже бесконечно

мерные пространства и т. д. и т. п. Абстракции эти как будто громоздятся одна на другую, удаляясь в такую отвлечен и ость, где, кажется, теряется уже всякая связь с жизнью и где «простой смертный» не доймет ничего, кроме того, что «все это непонятно».

Иа самом деле это, конечно, не так. И хотя, скажем, понятие п-мер- ного пространства действительно очень абстрактно, оно тем не менее имеет вполне реальное содержание, донять которое вовсе не так трудно. В этой книге будет, в частности, подчеркнут и пояснен реальный смысл перечисленных абстрактных понятий, и читатель убедится, что все они связаны с жизнью и по своему происхождению и в приложениях.

Впрочем, абстракция — не исключительная принадлежность математики: она свойственна всякой науке, да и всему человеческому мышлению вообще. Поэтому отвлеченность математических понятий не исчерпывает еще особенностей математики.

Математика в отношении своих абстракций отличается еще тем, что она, во-первых, оставляет в них прежде всего количественные отношения и пространственные формы, отвлекаясь от всего остального. Во-вторых, математические абстракции возникают через ряд ступеней; они идут в отвлечении гораздо дальше, чем абстракции, обычные в естественных науках. Эти два момента мы дальше подробно выясним на примерах ос-новных понятий математики: числа и фигуры. Наконец,— и это бросается в глаза,— математика, как таковая, сама по себе вообще почти целиком вращается в кругу абстрактных понятий и их связей. Если естествоиспытатель для доказательства своих утверждений постоянно обращается к опыту, то математик доказывает теоремы только рассуждениями и выкладками.

Конечно, и математики для открытия своих теорем и методов постоянно пользуются моделями, физическими аналогиями, обращаются к множеству отдельных, совершенно конкретных примеров и т. п. Все это служит реальным источником теории, служит для нахождения ее теорем, но каждая теорема окончательно входит в математику только тогда, когда она строго доказана логическим рассуждением. Если бы геометр, докладывая о новой открытой им теореме, стал демонстрировать ее на моделях и этим ограничился, никто из математиков не признал бы теорему доказанной. Требование доказать теорему хорошо известно уже из школьного курса геометрии, и оно проходит через всю математику. Мы могли бы измерять углы у оснований тысячи равнобедренных треугольников с огромной точностью, но это не дало бы нам математического доказательства теоремы о том, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Математика требует вывести этот результат из основных понятий геометрии. (Теперь при строгом изложении геометрии свойства основных нонятй точно формулируют в аксиомах.) И так всегда: доказать теорему для математика означает вывести ее путем рассуждения из начальных свойств, присущих тем понятиям, которые фигурируют в этой теореме. Таким образом, не только понятия, но и метод математики оказывается отвлеченным, умозрительным.

Сами математические выводы отличаются большой логической строгостью. Математическое рассуждение проводится с такой скрупулезностью, которая делает его бесспорпым и убедительным для каждого, кто только его поймет. Эта скрупулезность и убедительность математических доказательств хорошо известна уже из курса средней школы. Да и сами математические истины представляются совершенно бесспорными. Недаром говорят: «доказать как дважды два четыре». Здесь математическое соотношение2 X 2 = б берется именно как образец неопровержимости и бесспорности.

Однако строгость математики не абсолютна: она развивается; принципы математики не застыли раз навсегда, а движутся и тоже могут служить и служат предметом научных споров.

В конечном счете источник жизненности математики заключается в том, что ее понятия и выводы при всей своей отвлеченности исходят, как мы убедимся, из действительности и находят широкие применения в других науках, в технике, во всей жизненной практике] это — самое главное для понимания математики.

Исключительная широта применений математики представляет тоже одну из характерных ее особенностей.

Во-первых, мы постоянно, чуть ли не ежечасно, на производстве, в быту, в общественной жизни пользуемся наиболее распространенными понятиями и выводами математики, вовсе не задумываясь об этом. Так, мы применяем арифметику, считая дни или расходы, а подсчитывая площадь квартиры, используем выводы геометрии. Выводы эти, конечно, очень простые, но полезно вспомнить, что когда-то в древности они были одним из высших достижений зарождавшейся тогда математики.

Во-вторых, вся современная техника была бы невозможна без математики. Без более или менее сложных расчетов не обходится, пожалуй, ни одно техническое усовершенствование; в развитии же новых областей техники математика играет очень важную роль.

Наконец, почти все науки более или менее существенно пользуются математикой. «Точные пауки» — механика, астрономия, физика, а также в большой мере и химия — обычно выражают свои законы формулами (как это знакомо каждому еще со школьной скамьи) и развивают свои теории, широко используя математический аппарат. Без математики прогресс этих наук был бы просто невозможен. Поэтому как раз потребности механики, астрономии и физики всегда оказывали прямое, решающее воздействие па развитие математики.

В других науках математика играет меньшую роль, но и там она находит важные применения. Конечно, в изучении таких сложных явлений, как явления биологические и общественные, математический метод по существу не может играть такой же роли, как, скажем, в физике. Всегда,

а здесь тем более, применение математики имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления. Об этом важно помнить, чтобы де сбиваться на простую игру в формулы, за которой не стояло бы никакого реального содержания. Но так или иначе, математика находит приложения почти во всех науках, от механики до политической экономии.

Напомним несколько примеров особенно блестящих применений математики в точных науках и технике.

Одна из самых далеких планет солнечной системы Нептун была открыта в 1846 г. на основании математических расчетов. Анализируя неправильности в движении планеты Уран, астрономы Адамс и Леверье пришли к выводу, что неправильности эти вызваны притяжением другой планеты. Леверье на основании законов механики и закона тяготения вычислил, где эта планета должна была находиться, и наблюдатель, которому он об этом сообщил, увидел ее в телескоп там, где указал Леверье. Это открытие было не только триумфом механики и астрономии, особенно системы Коперника, но также триумфом математического расчета.

Другой, не менее убедительный пример представляет открытие электромагнитных волн. Английский физик Максвелл, обобщая установленные опытами законы электромагнитных явлений, выразил эти законы в виде уравнений. Из уравнений он чисто математически вывел, что могут существовать электромагнитные волны и что они должны распространяться со скоростью света. Опираясь на это, он предложил электромагнитную теорию света, которая затем была всесторонне развита и обоснована. Но, кроме того, вывод Максвелла толкнул на поиски электромагнитных волн чисто электрического происхождения, например испускаемых при колебательном разряде. Такие волны были действительно открыты Герцем. А вскоре А. С. Попов нашел средства возбуждения, передачи и приема электромагнитных колебаний, вывел их в область широких применений и положил тем самым начало всей радиотехнике. В открытии радио, ставшего общим достоянием, сыграли большую роль также результаты чисто математического вывода.

Так от наблюдений,— каковы, например, наблюдения отклонений магнитной стрелки электрическим током,— наука идет к обобщению, к теории явлений, к формулировке законов и их математическому выражению. Из этих законов рождаются новые выводы, и, наконец, теория воплощается в практике, которая в свою очередь дает теории новые мощные импульсы к развитию.

Особенно замечательно, что даже самые абстрактные построения математики, возникшие внутри нее самой, уже без непосредственных толчков со стороны естествознания или техники, находят тем не менее плодотворные применения. Например, мнимые числа появились на свет в алгебре, и долгое время их реальный смысл оставался непонятным, на что показы-вает само их название. Однако после того, как в начале прошлого столетия им было дано геометрическое толкование (см. главу IV, § 2), мнимые числа вполне укрепились в математике, и возникла обширная теория функций комплексной переменной (т. е. переменной вида х + jj/-1). Эта теория, так сказать, «мнимых» функций от «мнимых» переменных оказалась вовсе не мнимым, а очень реальным средством решения вопросов техники. Так, основная теорема Н. Е. Жуковского о подъемной силе крыла самолета доказывается как раз средствами этой теории. Та же тео-рия оказывается полезной, например, при решении задач о просачивании воды под плотинами,— задач, значение которых очевидно в период строительства крупных гидроэлектростанций.

Другой, не менее блестящий пример представляет неэвклидова геометрия х. Она возникла па почве тысячелетних, тянувшихся со времен Эвклида попыток доказать аксиому о параллельных, т. е. из задачи, имевшей чисто математический интерес. Н. И. Лобачевский, создавший эту новую геометрию, сам осторожно называл ее «воображаемой», так как не мог указать ее реального значения, хотя и был уверен в том, что такое значение ее найдется. Выводы его геометрии казались большинству не то что «воображаемыми», но даже невообразимыми и нелепыми. Тем не менее идеи Лобачевского положили начало новому развитию геометрии, созданию теорий разных неэвклидовых пространств; потом эти идеи послужили одной из основ общей теории относительности, причем математическим аппаратом этой теории служит одна из форм неэвклидовой геометрии четырехмерного пространства. Так, казавшиеся по меньшей мере непонятными абстрактные построения математики оказались мощным средством развития одной из важнейших физических теорий. Точно так же в современной теории атомных явлений, в так называемой квантовой механике, существенно используются многие чрезвычайно абстрактные математические понятия и теории, как, например, понятие бесконечномерного пространства и др.

Нет нужды углубляться в перечисление примеров; мы достаточно подчеркнули, что математика имеет широчайшее применение в повседневной практике, в технике, в науке, причем в точных пауках и больших проблемах техники находят также применения теории, выросшие внутри самой математики. Такова одна из характерных особенностей математики наряду с ее отвлеченностью, строгостью и убедительностью ее выводов.

2. Обратив внимание на все эти особенности математики, мы, конечно, не выяснили ее сущности, а указали, скорее, ее внешние признаки. Задача состоит в том, чтобы объяснить эти особенности. Для этого нужно ответить, по крайней мере, на следующие вопросы:

Что отражают абстрактные математические понятия? Каков, иными словами, реальный предмет математики?

1 Здесь мы только указываем этот пример, не вдаваясь в объяснения, которые читатель найдет в главе XVII (том 3).

Почему отвлеченные математические выводы представляются столь убедительными, а первичные понятия столь очевидными? В чем, иными словами, основание метода математики?

Почему при всей своей отвлеченности математика находит широчайшее применение, а не оказывается праздной игрой в абстракции? Иными словами: откуда значение математики?

Наконец, какие силы двигают развитие математики, позволяя ей соединять абстрактность и широту применений? Иными словами: в чем содержание процесса развития математики?

Ответив на эти вопросы, мы получим общее представление о предмете математики, об основаниях ее метода, о ее значении и развитии, т. е. доймем ее сущность.

Идеалисты и метафизики не только путаются в решении этих коренных вопросов, но доходят до полного извращения математики, выворачивая ее в буквальном смысле наизнанку. Так, видя крайнюю отвлеченность и убедительность математических выводов, идеалисты воображают, что математика происходит из чистого мышления.

В действительности математика не дает никаких оснований для идеализма и метафизики; как раз наоборот: рассматриваемая объективно во всех ее связях и развитии, она дает еще одно блестящее подтверждение диалектического материализма и каждым своим шагом опровергает идеализм и метафизику. Мы убедимся в этом, когда попытаемся даже в самых общих чертах ответить на поставленные выше вопросы о сущности математики. Мы убедимся также, что ответ на эти вопросы уже заключается в положениях, установленных классиками марксизма как относительно математики, так и относительно природы науки и познания вообще. Для предварительного выяснения этих вопросов достаточно рассмотреть основания арифметики и элементарной геометрии. К ним мы и обратимся. Дальнейшее проникновение в математику, конечно, углубит и разовьет, но никак не отменит полученные при этом выводы.

• 2 АРИФМЕТИКА

1. Понятие о числе (мы говорим пока только о целых положительных числах) — это понятие, такое для нас привычное, вырабатывалось очень медленно. Об этом можно судить хотя бы по тому, как считали народы, еще совсем недавно стоявшие на разных ступенях первобытно-общинного строя. У некоторых из них не было даже названий для чисел больше двух или трех, у других счет шел дальше, но так пли иначе он сравнительно быстро кончался, и о большем числе они говорили просто «много» или «неисчислимо». Это показывает, что запас ясно различаемых чисел накапливался у людей постепенно.

Вначале люди не имели понятия о числе, хотя и могли по-своему судить о размерах той или иной совокупности вещей, встречавшейся в их практике. Надо думать, что число воспринималось ими непосредственно как неотъемлемое свойство совокупности предметов, которое, однако, еще ими явно не выделялось. Мы настолько привыкли к счету> что едва ли можем себе это представить, но понять это можно .

На более высокой ступени число уже указывается как свойство совокупности предметов, но еще не отделяется от нее как «отвлеченное число», как число вообще, не связанное с конкретными предметами. Это видно из таких названий чисел у некоторых народов, как «рука» для пяти, «весь человек» — для двадцати п т. п. Здесь пять понимается не отвлеченно, а просто как «столько же, сколько пальцев на руке», двадцать — как «столько же, сколько всех пальцев у человека» и т. п. Совершенно аналогично у некоторых народов не было, например, понятий «черный», «твердый», «круглый». Чтобы сказать, что предмет черный, они сравнивали его, допустим, с вороном, а чтобы сказать, что имеется пять предметов, они прямо сравнивали эти предметы с рукой. Бывало и так, что разные названия чисел употреблялись для разного рода предметов: одни числа для счета людей, другие для счета лодок и т. д. до десяти разных сортов чисел. Тут нет отвлеченных чисел, они являются как бы «именованными», относящимися только к определенному роду предметов. У других пародов вообще нет отдельных названий для чисел, например нет слова «три», хотя они могут сказать: «три человека», «в трех местах» и т. п.

Аналогично этому мы легко говорим, что тот или иной предмет черный, но гораздо реже говорим о «черноте» самой по себе,— это понятие представляется более абстрактным .

Число предметов есть свойство некоторой их совокупности, число же, как таковое, иными словами «отвлеченное число», есть это свойство, отвлеченное от конкретных совокупностей и мыслимое уже само по себе, подобно «черноте», «твердости» и т. п. Как чернота есть общее свойство предметов цвета угля, так число «пять» есть общее свойство всех совокупностей, содержащих столько же предметов, сколько пальцев на руке.

При этом сама равно численность устанавливается простым сравнением: беря предмет из совокупности, мы загибаем один палец и так пересчитываем их по пальцам. Вообще сопоставлением предметов двух совокупностей можно, вовсе не пользуясь числами, установить, одинаковое ли в них число предметов. Так, гости, рассаживаясь за столом и ничего не считая, легко поправляют хозяйку, если она забыла один прибор: один гость остался без прибора.

Таким образом, можно дать следующее определение числа: каждое отдельное число, как «два», «пять» и т. и., есть свойство совокупностей предметов, общее для всех совокупностей, предметы которых можно сопоставить по одному, и различное у таких совокупностей, для которых такое сопоставление невозможно.

Для того чтобы обнаружить и ясно выделить это общее свойство, т. е. для того чтобы образовать понятие о том или ином числе и дать ему название «шесть», «десять» и т. д., нужно было сравнить между собой немало совокупностей предметов. Люди считали на протяжении долгих поколений, миллионы раз повторяя одни и те же операции, и так на практике обнаруживали числа и отношения между ними.

2. Действия, операции над числами возникали, в свою очередь, как отражение реальных действий над конкретными предметами. Это заметно и в названиях чисел. Так, например, у некоторых индейцев число «двадцать шесть» произносится, как «на два десятка я кладу сверху шесть». Ясно, что здесь отражается конкретный способ пересчитывания предметов. Тем более ясно, что сложение чисел соответствует складыванию, соединению двух или нескольких совокупностей в одну. Также легко видеть конкретный смысл вычитания, умножения и деления (умножение, в частности, в большой мере происходит, видимо, от счета равными совокупностями: по 2, по 3 и т. п.).

В процессе счета люди открывали и усваивали не только связи между отдельными числами, как, например, то, что два и три будет пять, но устанавливали постепенно и общие законы. На практике обнаруживалось, что сумма не зависит от порядка слагаемых или что результат счета данных предметов не зависит от того, в каком порядке этот счет производится. (Это последнее обстоятельство находит выражение в совпадении «порядковых» и «количественных» чисел: первый, второй и т. д. и один, два и т. д.) Таким образом, числа выступали не как отдельные и независимые, а в связи друг с другом.

Одни числа выражаются через другие даже в названиях и записи. Так, «двадцать» означает «два (раза) десять», по-французски 80 — «четыре-двадцать» (quatre-vingt), 90 — «четыре-двадцать-десять», а, например, римские цифры VIII, IX означают, что 8=5+3, 9 = 10—1.

В общем, возникали не просто отдельные числа, а система чисел с ее связями и законами.

Предмет арифметики составляет именно система чисел с ее связями и законами . Отдельное отвлеченное число само по себе не имеет содержательных свойств, и о нем вообще мало что можно сказать. Если мы спросим себя, например, о свойствах числа 6, то заметим, что 6 = 5+1, 6=3-2, что 6 есть делитель 30 и т. п. Но здесь всюду число 6 связывается с другими числами, так что свойства данного числа состоят именно в его отношениях к другим числам . Тем более ясно, что всякое арифметическое дей-ствие определяет связь, или, иными словами, отношение между числами.

Таким образом, арифметика имеет дело с отношениями между числами. Но отношения между числами являются отвлеченными образами реальных количественных отношений между совокупностями предметов, поэтому можно сказать, что арифметика есть наука о реальных количественных отношениях, рассматриваемых, однако, отвлеченно, так сказать, в чистом виде.

Арифметика, как мы видим, происходит не из чистого мышления, как стараются изобразить идеалисты, а отражает определенные свойства реальных вещей; она возникла в результате долгого практического опыта многих поколений.

3. Чем обширнее и сложнее становилась общественная практика, тем более широкие задачи она ставила. Нужно было не только отмечать количество предметов и обмениваться мыслями об их числе, что уже потребовало формирования понятия числа и названий чисел, но надо было учиться считать все большие совокупности (будь то животные в стаде, предметы при обмене, дни до намеченного срока и т. п.), фиксировать и передавать другим результаты счета, что как раз и требовало совершенствования названий, а затем и обозначений для чисел.

Введение обозначений для чисел, идущее, невидимому, от самого зарождения письменности, сыграло громадную роль в развитии арифметики. Кроме того, это был первый шаг к математическим знакам и формулам вообще. Следующий шаг, состоявший во введении знаков для арифметических действий и буквенного обозначения для неизвестного (ж), был сделан гораздо позже.

Понятие числа, как всякое абстрактное понятие, не имеет одного непосредственного образа, его нельзя представить, а можно только мыслить. Но мысль оформляется в языке, поэтому без названия нет и понятия. Обозначение есть то же название, только не звуковое, а письменное* и оно воспроизводится мыслью в виде зрительного образа. Например, если я ская?у «семь», что вы представляете? Вероятно, не семь каких- нибудь предметов, а прежде всего цифру «7»; опа и служит материальной оболочкой для отвлеченного числа «семь». А такое число, как, например, 18 273, заметно труднее произнести, чем написать, и уж вовсе нельзя с полной точностью представить себе в образе совокупности предметов. Таким образом, обозначения помогли, хотя и не сразу, создать понятие о таких числах, которых уже нельзя было обнаружить в простом наблюдении и непосредственном пересчитывании. В этом была практическая необходимость: с появлением государства нужно было собирать подати, собирать и снабжать войско и т. п., что требовало операций с очень большими числами.

Итак, во-первых, роль обозначений для чисел состоит в том, что они дают простое воплощение понятия отвлеченного числа . Такова роль математических обозначений вообще: они дают воплощение отвлеченных математических понятий. Так, 4- означает сложение, х — неизвестное число, а — любое данное число и т. д. Во-вторых, обозначения чисел дают возможность особенно просто осуществлять действия над ними. Каждый знает, насколько легче «подсчитать на бумаге», чем «в уме». Такое же значение имеют математические знаки и формулы вообще: они позволяют заменять часть рассуждений выкладками, т. е. чем-то почти механическим. К тому же, если выкладка написана, она имеет уже определенную достоверность. Тут все видно, все можно проверить, все определяется точными правилами. Для примера можно вспомнить сложение «столбиком» или любое алгебраическое преобразование, как, например, «перенесение в другую часть равенства с изменением знака».

Из сказанного ясно, что без подходящих обозначений для чисел арифметика не могла бы продвинуться далеко вперед. Тем более современная математика была бы просто невозможна без специальных знаков и формул.

Само собой понятно, что люди далеко пе сразу смогли выработать современный, столь удобный, способ записи чисел. С древних времен у разных народов с начатками культуры появлялись разные числовые обозначения, мало похожие на наши современные не только по начертанию знаков, но и по принципам; не всюду, например, пользовались именно десятичной системой (так, у древних вавилонян была смешанная десятичная и шести-десятиричная система). На прилагаемой таблице показаны для примера

Обозначения чисел у разных народов.

Заимствовано из статьи И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевича «Происхождение

систем счисления» («Энциклопедия элементарной математики», т. I, М., 1951).

некоторые из обозначений чисел у разных народов. В частности, мы видим, что древние греки, а потом и русские пользовались алфавитными обознанениями. Наши современные «арабские» цифры и вообще способ записи чисел происходят из Индии, откуда они были занесены арабами в X в. в Европу, где окончательно укоренились в течение нескольких столетий.

Первая особенность нашей системы состоит в том, что она десятичная. Но особенность эта не очень существенная, потому что можно было бы пользоваться с успехом, скажем, двенадцатиричной системой, введя особые обозначения для десяти и одиннадцати.

Главная особенность нашей системы обозначений состоит в том, что она — «позиционная», т. е. в ней одна и та же цифра имеет разное значение в зависимости от занимаемого места. Так, например, в обозначении 372 цифра 3 обозначает число сотен, а 7 — число десятков. Такой способ записи не только краток и прост, но крайне облегчает вычисления. Римские обозначения куда менее удобны: то же число 372 запишется по-римски так: CCCLXXII, а умножать большие числа, записанные по-римски, совсем неудобно.

Позиционная запись чисел требует, чтобы как-то отмечался пропущенный разряд, так как если его не отмечать, то мы будем путать, например, триста один и тридцать один. На месте пропущенного разряда ставится нуль; так мы различаем 301 и 31. В зачаточном виде нуль появляется уже в поздних вавилонских клинописях. Систематическое введение нуля было достижением индийцев : оно-то и позволило им довести до конца позиционную систему записи чисел, которой мы сейчас пользуемся.

Но этого мало: пуль стал тоже числом, войдя в систему чисел. Сам по себе нуль есть ничто — на санскритском (древнеиндийском) языке он так и называется: «пустой» (^unga), но в связи с другими числами нуль приобретает содержание, приобретает известные свойства,— хотя бы то, что любое число плюс нуль есть то же число, а умноженное на нуль есть нуль.

4. Вернемся к арифметике древних. Старейшие, дошедшие до нас математические тексты из Вавилона и Египта восходят ко второму тысячелетию до н. э. Эти и более поздпие тексты содержат разнообразные арифметические задачи с решениями, и притом даже такие, которые относятся теперь к алгебре, как решения некоторых квадратных и даже кубических уравнений или прогрессии (все это, конечно, на конкретных задачах и численных примерах). Из Вавилона дошли до нас также таблицы квадратов, кубов и обратных чисел. Есть предположение, что там уже складывались математические интересы, не связанные непосредственно с отдельными практическими задачами.

Во всяком случае в древнем Вавилоне и Египте арифметика была хорошо развита. Но она не была еще математической теорией чисел, а набором правил счета и решения различных задач. Так, впрочем, преподают арифметику в начальной школе по настоящее время и так же понимают ее все, кто не занимался специально математикой. Это вполне законно, но все же в таком виде арифметика не есть еще математическая теория: в ней нет общих теорем о числах.

Переход к теоретической арифметике происходил постепенно.

Обозначения, как мы говорили, дают возможность оперировать с такими большими числами, которые уже нельзя наглядно представить в виде совокупности предметов и до которых нельзя дойти, считая подряд от единицы. Если у диких племен числа обрываются на 3,10,100 и т. п., а дальше следует неопределенное «много», то обозначения дали возможность в Китае, Вавилоне, Египте идти за десятки тысяч и даже за миллионы. Тут уже намечалась возможность неограниченного продолжения числового ряда. Но ясно осознана она была не сразу, когда точно, мы нс знаем. Еще Архимед (287—212 гг. до н. э.) в своем знаменитом сочинении «Об исчислении песка» указывал способ назвать число, большее числа песчинок, которое могло бы уместиться в «шаре неподвижных звезд». Возможность назвать и записать такое число, стало быть, еще требовала в то время подробного разъяснения.

Греки к III веку до н. э. уже ясно осознали две важные идеи: во-первых, что ряд чисел можно неограниченно продолжать,и, во-вторых, что можно не только оперировать с любыми данными числами, но и рассуждать о числах вообще, формулируя и доказывая общие теоремы о числах. Это было обобщением огромного предшествующего опыта в оперировании с конкретными числами. Именно из этого опыта выявились общие законы и приемы общих рассуждений о числах. Произошел переход на более высокую ступень абстракции: от отдельных данных (хотя и отвлеченных) чисел к числу вообще, к любому возможному числу.

От простого процесса пересчитывания предметов по одному мы переходим к представлению о неограниченном процессе образования чисел путем прибавления единицы к ранее построенному числу. Ряд чисел мыслится уже неограниченно продолжаемым, и с ним в математику вступает бесконечность. Конечно, мы фактически не можем путем прибавления единиц зайти сколь угодно далеко в ряду чисел: кто сможет досчитать до миллиона миллионов, если даже сто лет содержат почти в 40 раз меньше секунд? Но не в том дело. Процесс накопления единиц, процесс образования сколь угодно больших совокупностей предметов принципиально не ограничен, и, стало быть, есть потенциальная возможность неограниченного продолжения числового ряда. Практическая ограниченность счета тут не при чем, от нее отвлекаются. Общие теоремы о числах касаются уже этого неограниченно продолжаемого ряда чисел.

Общие теоремы о каком-либо свойстве любого числа уже содержат в скрытом виде бесконечно много утверждений о свойствах отдельных чисел и качественно богаче каких-либо частных утверждений, которые можно было бы проверить для отдельных чисел. Поэтому общие теоремы необходимо должны доказываться путем общих рассуждений, исходящих из самого закона образования ряда чисел. Здесь открывается глубокая осо-бенность математики: математика имеет своим предметом не только данные количественные отношения, но вообще возможные количественные отношения и, стало быть, бесконечность.

В знаменитых «Началах» Эвклида, написанных в III в. до н. э., есть уже общие теоремы о целых числах, в частности теорема о том, что существуют сколь угодно большие простые числа .

Так арифметика превращается в теорию чисел. Она уже отвлекается от конкретных частных задач и вращается в области отвлеченных понятий и рассуждений. Она становится частью «чистой» математики. Вернее, это и был момент рождения самой чистой математики со всеми ее особенностями, о которых шла речь в n. 1. Нужно, правда, заметить, что чистая математика рождалась одновременно из арифметики и геометрии. Кроме того, в общих правилах арифметики имелись уже зачатки алгебры, которая отделилась от арифметики позже. Но об этом мы будем говорить ниже.

Теперь же остается только подвести итоги всех наших выводов, потому что мы хотя и очень бегло, но все же проследили процесс возникновения теоретической арифметики от самого зарождения понятия о числе.

5. Поскольку рождение теоретической арифметики было частью рождения математики, мы, естественно, можем ожидать, что наши выводы об арифметике осветят общие вопросы, касающиеся математики вообще. Вспомним эти вопросы, применяя их к арифметике.

1° Как возникают и что отражают в действительности отвлеченные понятия арифметики?

На этот вопрос отвечает все, что было рассказано о зарождении арифметики. Ее понятия отражают количественные отношения совокупностей предметов. Возникали эти понятия путем абстракции, на основе анализа и обобщения громадного практического опыта. Они возникали при этом постепенно; сначала числа, связанные с конкретными предметами, потом отвлеченные числа и, наконец, понятие о числе вообще, о любом возможном числе. Каждая из этих ступеней подготовлялась накоплением опыта с применением предыдущих понятий. (Таков, кстати, один из основных законов образования математических понятий: они рождаются путем последовательного ряда абстракций и обобщений, опирающихся па накопленный опыт применения предшествующих отвлеченных понятий).

История возникновения понятий арифметики доказывает всю ошибочность идеалистических взглядов о том, будто эти понятия происходят из «чистого мышления», из «первоинтуиции», из «созерцания в априорных формах» и мало ли еще из чего.

2° Почему выводы арифметики представляются такими убедительными и непреложными?

История отвечает нам и на этот вопрос. Мы видим, что сами выводы арифметики вырабатывались медленно и постепенно; они отражают опыт, накапливавшийся в течение необозримо долгих поколений и таким путем закреплявшийся в сознании людей. Они закреплялись в языке: в названиях чисел, в обозначениях, в постоянном повторении одинаковых операций с числами, в постоянном их практическом применении. Так они приобрели ясность и убедительность. Самые приемы логических рассуж-дений имеют то же происхождение. При этом существенной является не только сама повторяемость, но и та устойчивость и четкость, которыми объективно обладают отношения действительности, отраженные в основных понятиях арифметики и в правилах логического вывода.

В этом корень убедительности арифметики; ее выводы логически вытекают из ее основных понятий, а то и другое — приемы логики и понятия арифметики — вырабатывались и закреплялись в сознании на основе тысячелетней практики, на основе объективных закономерностей окружающего нас мира.

3° Почему арифметика при всей отвлеченности ее понятий имеет такие широкие приложения?

Ответ прост. Понятия и выводы арифметики, обобщая огромный опыт, выражают в отвлеченной форме такие отношения действительности, которые встречаются постоянно и повсюду. Считать можно и вещи в комнате, и звезды, и людей, и атомы... Арифметика берет некоторые из общих свойств, отвлекаясь от всего частного и конкретного. И именно в силу того, что она берет только это общее, ее выводы приложимы в такой массе случаев. Стало быть, возможность широких приложений обеспечивается именно отвлеченностью арифметики. (При этом важно, что отвлеченность эта не пустая, а извлечена из долгого практического опыта.) То же верно в отношении всей математики, в отношении любого отвлеченного понятия или теории. Возможности приложения теории зависят от того, сколь широкий исходный материал в ней обобщен.

Одновременно всякое отвлеченное понятие, в частности понятие о числе, ограничено в своем значении вследствие той же самой своей отвлеченности. Во-первых, в применении к любому конкретному предмету оно отражает только одну его сторону и поэтому дает о нем очень неполное представление. Как часто, например, бывает, что одни численные данные еще очень мало говорят по существу дела. Во-вторых, отвлеченные понятия нельзя применять всюду без каких бы то ни было условий, нельзя применять арифметику к конкретным задачам, не убедившись в том, что ее при

менение имеет здесь смысл. Если мы, например, говорим о сложении, соединяя предметы только мысленно, то, конечно, с самими предметами ничего не происходят, Но если мы применяем сложение к фактическому соединению предметов, если мы фактически складываем предметы, например, сваливая их в кучу или расставляя на столе, то здесь происходит не просто отвлеченное сложение, а реальный процесс. Этот процесс не только не исчерпывается арифметическим сложением, но может сделать его вообще неприменимым. Например, сваливаемые в кучу предметы могут ломаться; звери, посаженные вместе, могут растерзать один другого; «складываемые» вещества могут вступить в химическую реакцию: литр воды и литр спирта дадут при слиянии не 2, а 1,9 литра смеси вследствие взаимного растворения этих жидкостей, и т. п.

Нужны ли другие примеры? Их можно привести сколько угодно.

Короче, истина конкретна; и помнить это особенно важно в отношении математики, как раз из-за ее отвлеченности.

4° Наконец, последний вопрос, который мы ставили, касался движущих сил развития математики.

Для арифметики ответ на этот вопрос также ясен из истории ее возникновения. Мы видели, что люди на практике овладевали счетом и вырабатывали понятие о числе; потом практика потребовала обозначений для чисел, поставила более трудные задачи. Словом, движущей силой развития арифметики служила общественная практика. При этом она выступает в постоянном взаимодействии с обобщающим ее опыт отвлеченным мышлением. Возникающие на основе практики отвлеченные понятия делаются важным ее орудием и совершенствуются в своем применении. Отвлечение от несущественного помогает при этом вскрывать суть дела и обеспечивает общее решение там, где определяющую роль играют как раз выделенные и сохраненные при отвлечении общие свойства и связи,— таковы количественные связи в случае арифметики.

Кроме того, мышление зачастую уходит дальше того, что непосредственно требует поставленная практикой задача. Так, понятие о больших числах, как миллион или миллиард, возникло на базе счета, но раньше, чем явилась практическая потребность пользоваться такими числами. Таких примеров не мало в истории науки; достаточно вспомнить мнимые числа, о которых мы уже упоминали. Все это лишь частный случай общего всему познанию взаимодействия практики и абстрактного мышления, практики и теории.

• 3 ГЕОМЕТРИЯ

1. История зарождения геометрии по существу сходна с историей зарождения арифметики. Первые геометрические понятия и сведения также восходят к временам доисторическим и также возникли в процессе практической деятельности.

Из самой природы заимствовал человек геометрические формы. Круг и серп луны, гладь озера, прямизна луча или стройного дерева существовали задолго до человека и предстояли перед ним постоянно. Конечно, достаточно прямые линии, тем более треугольники и квадраты, наш глаз встретит в самой природе редко. Ясно, что человек, вырабатывал представление об этих фигурах прежде всего потому, что активно воспринимал природу и, следуя своим практическим потребностям, изготовлял предметы все более и более правильной формы. Люди строили свои жилища, обтесывали камни, огораживали участки земли, натягивали тетивы на свои луки, лепили глиняную посуду, совершенствовали ее и соответственно создавали понятие, что сосуд получается круглый, что натянутая тетива — прямая. Короче, форму сначала придавали материалу, а потом уже осознавали ее как то, что придается материалу и что может рассматриваться само по себе в отвлечении от материала. Осознавая форму тел, человек мог совершенствовать свои изделия и еще отчетливее выделять само понятие формы. Так, практическая деятельность служила основой для выработки отвлеченных понятий геометрии. Нужно было сделать тысячи предметов с прямыми краями, натянуть тысячи нитей, провести на земле массу прямых линий, чтобы получить ясное представление о прямой линии вообще, как о том общем, что есть во всех этих частных случаях. Теперь мы окружены предметами с прямыми краями, сделанными людьми, сами учимся проводить прямые, и только поэтому у нас с детства складывается ясное представление о прямой.

Точно так же понятие о геометрических величинах — о длине, площади и объеме — возникло из практической деятельности. Люди измеряли длины, определяли расстояния, оценивали на глаз площади и объемы для своих практических целей. Постепенно здесь были обнаружены простейшие общие законы, первые геометрические зависимости, например: площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Земледельцу полезно было знать такую зависимость, чтобы оценивать площадь посева, а следовательно, и предполагаемый урожай.

Так из практической деятельности и жизненных задач зарождалась геометрия. Вот что писал о ней в IV в. до н. э. древнегреческий ученый Эвдем Родосский: «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нила, постоянно смывавшего границы . Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей чело-века. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума».

Конечно, измерение земли не было единственной задачей, побудившей древних к созданию геометрии. О характере задач и о том, как их решали древние египтяне и вавилоняне, можно судить по дошедшим до нас отрывкам текстов. Один из самых древних, дошедших до нас, египетских текстов восходит к временам более 1700 лет до н. э.— это руководство «писцам» (царским чиновникам), написанное неким Ахмесом. Здесь собран ряд задач на вычисление вместимости сосудов и амбаров, площадей зе-мельных участков, размеров земляных работ и др.

Египтяне и вавилоняне умели определять простейшие площади и объемы, знали с хорошей точностью отношение окружности к диаметру и, может быть, даже могли вычислять поверхность шара, словом, они обладали уже немалым запасом геометрических знаний. Однако, насколько можно судить, у них не было еще геометрии как теоретической науки с ее теоремами и доказательствами. Как и арифметика того времени, геометрия была в основном набором правил, выведенных из опыта. Более того, геометрия вообще не была отделена от арифметики. Геометрические задачи были одновременно арифметическими задачами на вычисление.

В VII в. до н. э. геометрия проникла из Египта в Грецию, где ее развивали дальше великие философы-материалисты Фалес, Демокрит и другие. Значительный вклад в геометрию сделали также последователи Пифагора — основателя идеалистической религиозно-философской школы.

Развитие геометрии шло в направлении накопления новых фактов и уяснения их связей друг с другом. Эти связи превращались постепенно в логические выводы одних положений геометрии из других. Таким путем, во-первых, вырабатывалось самое понятие о геометрической теореме и ее доказательстве, а во-вторых, выяснялись те основные положения, из которых другие уже могут быть выведены, т. е. выяснялись аксиомы геометрии.

Так постепенно геометрия превращалась в математическую теорию.

Известно, что ее систематические изложения появились в Греции уже в V в. до н. э., но они не дошли до нас, очевидно, потому, что всех их вытеснили «Начала» Эвклида (III в. до н. э.). В этом произведении геометрия была представлена в виде такой стройной системы, что ничего принципиально нового к ее основам не смогли добавить до Н. И. Лобачевского, т. е. в течение более двух тысяч лет, а известный школьный учебник Киселева, как и многие другие учебники во всем мире, в старых изданиях представлял собой не что иное, как популярную переработку Эвклида. Едва ли много найдется в мире таких долговечных книг, как «Начала» Эвклида,— это совершенное творение греческого гения. Конечно, математика ушла вперед и наше понимание оснований геометрии стало гораздо глубже, и все же «Начала» Эвклида были и во многом остаются образцом книги по чистой математике. В них, подводя итог предыдущего развития, Эвклид представил современную ему математику как самостоятельную теоретическую науку, т. е. так, как в конце концов понимают ее и теперь.