Глава VII. Кривые и поверхности (Л. Д. Александров) 97

• 14 Понятие о предмете и методе теории кривых и поверхностей ... 97
• 15 Теория кривых • . 101
• 16 Основные понятия теории поверхностей 115
• 17 Внутренняя геометрия и изгибание поверхностей 128
• 18 Новые направления в теории кривых и поверхностей 144

Глава VIII. Вариационное исчисление (В. И. Крылов) 153

• 19 Введение 153
• 20 Дифференциальные уравнения вариационного исчисления 157
• 21 Методы приближенного решения задач вариационного исчисления . 168

Глава IX. Функции комплексного переменного (М. В. Келдыш) 171

• 22 Комплексные числа и функции комплексного переменного 171
• 23 Связь функций комплексного переменного с задачами математической физики 183
• 24 Связь функций комплексного переменного с геометрией 193
• 25 Криволинейный интеграл. Формула Коши и ее следствия 202
• 26 Свойство единственности и аналитическое продолжение 214
• 27 Заключение 220

Глава X. Простые числа (А\ К. Марджанишвили) 223

• 28 Что и как изучает теория чисел 223
• 29 Как исследовали вопросы, относящиеся к простым числам 228
• 30 О методе Чебышева 235
• 31 О методе Виноградова 240
• 32 Разложение целых чисел на сумму двух квадратов. Целые комплексные числа (А. Г. Постников) 248

Глава XI. Теория вероятностей (Л. Н, Колмогоров) 252

• 33 Вероятностные закономерности 252
• 34 Аксиомы и основные формулы элементарной теории вероятностей . 254
• 35 Закон больших чисел и предельные теоремы 260
• 36 Дополнительные замечания об основных понятиях теории вероятностей 270
• 37 Детерминированные и случайные процессы 275
• 38 Случайные процессы марковского типа 281

Глава XII. Приближение функций (С. М. Никольский) 285

• 39 Введение 285
• 40 Интерполяционные многочлены 289
• 41 Приближение определенных интегралов 296
• 42 Идея Чебышева о наилучшем равномерном приближении 301
• 43 Многочлены Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля 304
• 44 Теорема Вейерштрасса. Наилучшее приближение функции и ее диффе-ренциальная природа 307
• 45 Ряды Фурье 310
• 46 Приближение в смысле среднего квадратического 317

Глава XIII. Приближенные методы и вычислительная техника (В. И. Крылов) 323

• 47 Приближенные и численные методы 323
• 48 Простейшие вспомогательные средства вычислений 338

Глава XIV. Электронные вычислительные машины (С. А. Лебедев) 350

• 49 Назначение и основные принципы работы электронных вычислительных машин 350
• 50 Программирование и кодирование в быстродействующих электронных машинах 356
• 51 Технические принципы устройств быстродействующих счетных машин 368
• 52 Перспективы развития и использования электронных счетных машин (Л. В, Канторович) • . . 382

Именной указатель 391

Содержание других томов 393

Глава V

ОБЫКНОВЕННЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

• 1. ВВЕДЕНИЕ

Довольно часто мы можем построить уравнение для нахождения нужных нам неизвестных функций — такие уравнения называют функциональными. Природа их может быть, вообще говоря, весьма разно-образной (можно сказать, что с простейшими, самыми примитивными функциональными уравнениями мы уже встречались, рассматривая неявное задание функций).

Задачам разыскания неизвестных функций будут посвящены главы V, VI и VIII. В этой и следующей главе будут рассмотрены, пожалуй, наиболее важные из уравнений, служащих для разыскания функций — так называемые дифференциальные уравнения. Под этим названием понимают уравнения, в которые входит не только сама неизвестная функция, но и ее производные некоторых порядков.

Нижеследующие равенства могут служить примерами дифференциальных уравнений:

В первых трех из них неизвестная функция обозначена буквой х, а буквой t — независимое переменное; в последних же трех неизвестная функция обозначена буквой и, и она зависит от двух аргументов х и t или хну.

Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняется главным образом тем, что к решению таких уравнений может быть приведено исследование многих физических проблем и технических задач.

Расчеты электрических машин и радиотехнических установок, вычисление траекторий снарядов, исследование устойчивости самолета в полете или течения химической реакции — все это производится путем решения дифференциальных уравнений.

Весьма часто бывает, что физические законы, которым подчиняется то или иное явление, записываются в форме дифференциальных уравнений и сами дифференциальные уравнения являются средством для точного количественного (числового) выражения этих законов. Читатель в следующей главе увидит, например, как в форме дифференциального уравнения записываются законы сохранения масс и тепловой энергии. Законы механики, открытые Ньютоном, позволяют исследовать движение всякой механической системы при помощи дифференциальных уравнений.

Мы поясним это простым примером. Пусть рассматривается материальная частица массы т, движущаяся по оси Ох. Координату ее в момент времени t обозначим х. При движении частицы ее координата х с течением времени будет изменяться, и знание всего движения частицы равносильно знанию функциональной зависимости х от времени t. Допустим, что движение происходит под действием силы F, величина которой зависит от положения частицы, определяемого координатой xt от скорости движения г; — — и от времени Z, т. е. F = F (х, ^, /). Согласно законам механики действие силы F на ча- d-x а.

стицу должно вызвать такое ускорение движения чтобы про изведение его на массу т частицы было точно равно величине действующей силы, и, стало быть, в любой момент движения должно выполняться равенство

mdfi=F\x> di’*)- м

Это — дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция х(1), описывающая историю движения частицы. Оно является просто записью указанного выше закона механики. Значение же его состоит в том, что оно позволяет свести механическую задачу определения движения частицы к математической задаче решения дифференциального уравнения.

Ниже читатель найдет другие примеры, показывающие, как изучение различных физических процессов может быть сведено к исследованию дифференциальных уравнений.

Теория дифференциальных уравнений начала развиваться в конце XVII в. почти одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчислений. В настоящее время дифференциальные уравнения стали могучим орудием исследования явлений природы. В механике, астрономии, физике, технике с их помощью были достигнуты огромные успехи. Ньютон, исследуя дифференциальные уравнения движения небесных тел, получил законы движения планет, установленные Кеплером эмпирически. Леверье в 1846 г. предсказал существование планеты Нептун и определил ее положение на небе на основе численного анализа тех же уравнений.

Чтобы описать в общих чертах задачи теории дифференциальных уравнений, отметим сначала, что каждое дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечно много решений, — существует бесконечное множество функций, ему удовлетворяющих. Так, например, указанное выше уравнение движения материальной частицы должно выполняться для всякого движения, происходящего под действием силы, характеризуемой функцией F (х, , независимо от

того, с какого места оси оно началось и какова была начальная скорость. Каждому отдельному движению частицы будет соответствовать своя зависимость х от времени I. Так как движений под действием силы F может быть бесконечно много, дифференциальное уравнение (2) будет иметь бесконечное множество решений.

Каждое дифференциальное уравнение определяет, вообще говоря, целый класс функций, ему удовлетворяющих. Основной задачей теории является изучение функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению. Теория уравнений должна дать возможность получить достаточно полное представление о свойствах всех функций, удовлетворяющих уравнению, что особенно важно в приложениях уравнений к естествознанию. Кроме того, она должна обеспечить средства для нахождения численных значений функций, если это потребуется для расчетов. О том, как это осуществляется, мы будем говорить позже.

Если неизвестная функция зависит от одного аргумента, то диффе-ренциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. В том же случае, когда неизвестная функция зависит от нескольких аргументов и в уравнение входят производные от нее по нескольким аргументам, дифференциальное уравнение называют уравнением с частными производными. Первые три из уравнений (1) являются обыкновенными, а последние три — уравнениями с частными производными.