Глава XVII. Абстрактные пространства (Л. Д. Александров) 93

• 1. История постулата Эвклида 93
• 2. Решение. Лобачевского 96
• 3. Геометрия Лобачевского 101
• 4. Реальный смысл геометрии Лобачевского. 109
• 5. Аксиомы геометрии. Их проверка для указанной модели 117
• 6. Выделение самостоятельных геометрических теорий из эвклидовой геометрии 124
• 7. Многомерное пространство. 131
• 8. Обобщение предмета геометрии. 144
• 9. Риманова геометрия. 157
• 10. Абстрактная геометрия и реальное пространство 169

Глава XV

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

• 1. ВВЕДЕНИЕ

Еще в XVIII в. у крупнейших математиков того времени не было единого мнения насчет того, что такое функция. Это приводило к долгим спорам о том, правильно или неправильно то или иное решение задачи, правилен или неправилен тот или иной конкретный математический результат. Постепенно выяснилось, что и другие основные понятия анализа нуждаются в уточнении. Недостаточно четкое понимание того, что такое непрерывность и каковы свойства непрерывных функций, привело к появлению ряда ошибочных утверждений, например, что непрерывная функция всегда дифференцируема. Математика стала оперировать со столь сложными функциями, что стало уже невозможно ссылаться на очевидность и догадку. Появилась настоятельная необходимость навести порядок в основных понятиях анализа.

Первая серьезная попытка в этом направлении была предпринята Лагранжей, а затем на тот же путь встал Коши. Коши уточнил и ввел во всеобщее употребление сохранившиеся до наших дней определения предела, непрерывности, интеграла. Примерно в то же время чешский математик Больцано провел строгое изучение основных свойств непрерывных функций.

Рассмотрим эти свойства непрерывных функций более подробно. Пусть непрерывная функция /(я) задана на некотором отрезке [а, 6], т. е. для всех чисел, удовлетворяющих неравенствам Ранее

считалось очевидным, что если па концах отрезка функция принимает

значения разных знаков, то в некоторой промежуточной точке она обращается в нуль. Теперь этот факт получил строгое обоснование. Точно так же было строго доказано, что непрерывная функция, заданная на отрезке, принимает в некоторых точках свое наибольшее и наименьшее значение.

Исследование этих свойств непрерывных функций заставило глубже вникнуть в природу действительных чисел. В результате появилась теория действительных чисел, были четко сформулированы основные свойства числовой прямой.

Дальнейшее развитие математического анализа привело к необходимости рассматривать все более и более «плохие», в частности разрывные, функции. Разрывные функции появляются, например, как пределы непрерывных функций, причем заранее не известно, будет ли предельная функция непрерывной, или нет, а также при схематизации процессов с резким внезапным изменением. Возникла новая задача — обобщение аппарата анализа на разрывные функции.

Риман исследовал вопрос о том, на какие классы разрывных функций распространяется понятие интеграла. В результате всей этой деятельности по обоснованию анализа появилась новая математическая дисциплина: теория функций действительного переменного.

Если классический математический анализ оперирует в основном с «хорошими» (например, непрерывными, дифференцируемыми) функциями, то теория функций действительного переменного изучает значительно более общие классы функций. Если в математическом анализе дается определение какой-либо операции (например, интегрирования) для непрерывных функций, то для теории функций действительного переменного характерно исследование вопроса о том, для какого класса функций применимо это определение, как следует видоизменить определение, чтобы оно стало более широким. В частности, лишь теория функций действительного переменного смогла дать удовлетворительный ответ на вопрос о том, что такое длина кривой и для каких кривых имеет смысл говорить о длине.

Основанием, на котором строится сама теория функций действительного переменного, является теория множеств.

В соответствии с этим мы начинаем наше изложение с рассмотрения элементов теории множеств, затем переходим к изучению точечных множеств и завершаем главу изложением одного из основных понятий теории функций действительного переменного, а именно интеграла Лебега.

• 2. МНОЖЕСТВА

Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов. Как уже разъяснялось в главе I (том 1), это повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Нижеследующие замечания имеют своей целью пояснить, что такое множество, но не претендуют на то, чтобы служить его определением.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую- либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, — это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую,—это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчинок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет пашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т. д.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т. е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств — немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств. Особенно большое значение имеет теория множеств для теории функций действительного переменного.