Skip to main content

Математика ее содержание, методы и значение - том третий (Александров, Колмогоров, Лаврентьев) 1956 год - старые книги

Советская нехудожественная литература

Математика ее содержание, методы и значение - том третий (Александров, Колмогоров, Лаврентьев) 1956

Описание: К концу XVIII — началу XIX в. дифференциальное и интегральное исчисление было в основном разработано. До этого времени (фактически, весь XVIII век) ученые были заняты построением его отдельных разделов, открывали все новые и новые факты, развивали все новые и новые области приложений дифференциального и интегрального исчисления к различным вопросам механики, астрономии, техники. Теперь появилась возможность обозреть полученные результаты, заняться их систематизацией, вникнуть в смысл основных понятий анализа. И вот выясняется, что с основами анализа дело обстоит не совсем благополучно.

© ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР Москва 1956, АКАДЕМИЯ НАУК СССР МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. Стеклова

Авторство: Редакционная коллегия: член-корр. АН СССР А. Д. Александров, академик А.Н. Колмогоров, академик М.А. Лаврентьев

Формат: PDF Размер файла: 23.3 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава XV. Теория функций действительного переменного (С. Б. Стечкин) 3

  • 1. Введение 3
  • 2. Множества . 4
  • 3. Действительные числа 12
  • 4. Точечные множества 18
  • 5. Мера множеств. 26
  • 6. Интеграл Лебега. 31

Литература. 36

Глава XVI. Линейная алгебра (Д. К. Фаддеев) 37

  • 1. Предмет линейной алгебры и ее аппарат 37
  • 2. Линейное пространство. 48
  • 3. Системы линейных уравнений 60
  • 4. Линейные преобразования 72
  • 5. Квадратичные формы 82
  • 6. Функции от матриц и некоторые их приложения 89

Литература 92

📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ

Глава XVII. Абстрактные пространства (Л. Д. Александров) 93

  • 1. История постулата Эвклида 93
  • 2. Решение. Лобачевского 96
  • 3. Геометрия Лобачевского 101
  • 4. Реальный смысл геометрии Лобачевского. 109
  • 5. Аксиомы геометрии. Их проверка для указанной модели 117
  • 6. Выделение самостоятельных геометрических теорий из эвклидовой геометрии 124
  • 7. Многомерное пространство. 131
  • 8. Обобщение предмета геометрии. 144
  • 9. Риманова геометрия. 157
  • 10. Абстрактная геометрия и реальное пространство 169

Литература 180

Глава XVIII. Топология (П. С. Александров). 181

  • 1. Предмет топологии. 181
  • 2. Поверхности. 185
  • 3. Многообразия. 189
  • 4. Комбинаторный метод 192
  • 5. Векторные поля 200
  • 6. Развитие топологии 205
  • 7. Метрические и топологические пространства. 208

Литература 212

336

Оглавление

Глава XIX. Функциональный анализ (И. М. Гельфанд) 213

  • 1. n-Мерное пространство 214
  • 2. Гильбертово пространство (бесконечномерное пространство) . 217
  • 3. Разложение по ортогональным системам функций 223
  • 4. Интегральные уравнения. 230
  • 5. Линейные операторы и дальнейшее развитие функционального анализа 237

Литература . 246

Глава XX. Группы и другие алгебраические системы (Л. И. Мальцев) . 248

  • 1. Введение 248
  • 2. Симметрия и преобразования. 249
  • 3. Группы преобразований. 257
  • 4. Федоровские группы. 268
  • 5. Группы Галуа 276
  • 6. Основные понятия общей теории групп 279
  • 7. Непрерывные группы 287
  • 8. Фундаментальные группы. 290
  • 9. Представления и характеры групп 296
  • 10. Общая теория групп. 301
  • 11. Гиперкомплексные числа 302
  • 12. Ассоциативные алгебры. 311
  • 13. Алгебры Ли. 320
  • 14. Кольца 323
  • 15. Структуры. 328
  • 16. Общие алгебраические системы. 330

Литература 331

Именной указатель. 332

Содержание первого и второго томов 334

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатную книгу времен СССР - Математика ее содержание, методы и значение - том третий (Александров, Колмогоров, Лаврентьев) 1956 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

Глава XV

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • 1. ВВЕДЕНИЕ

Еще в XVIII в. у крупнейших математиков того времени не было единого мнения насчет того, что такое функция. Это приводило к долгим спорам о том, правильно или неправильно то или иное решение задачи, правилен или неправилен тот или иной конкретный математический результат. Постепенно выяснилось, что и другие основные понятия анализа нуждаются в уточнении. Недостаточно четкое понимание того, что такое непрерывность и каковы свойства непрерывных функций, привело к появлению ряда ошибочных утверждений, например, что непрерывная функция всегда дифференцируема. Математика стала оперировать со столь сложными функциями, что стало уже невозможно ссылаться на очевидность и догадку. Появилась настоятельная необходимость навести порядок в основных понятиях анализа.

Первая серьезная попытка в этом направлении была предпринята Лагранжей, а затем на тот же путь встал Коши. Коши уточнил и ввел во всеобщее употребление сохранившиеся до наших дней определения предела, непрерывности, интеграла. Примерно в то же время чешский математик Больцано провел строгое изучение основных свойств непрерывных функций.

Рассмотрим эти свойства непрерывных функций более подробно. Пусть непрерывная функция /(я) задана на некотором отрезке [а, 6], т. е. для всех чисел, удовлетворяющих неравенствам Ранее

считалось очевидным, что если па концах отрезка функция принимает

значения разных знаков, то в некоторой промежуточной точке она обращается в нуль. Теперь этот факт получил строгое обоснование. Точно так же было строго доказано, что непрерывная функция, заданная на отрезке, принимает в некоторых точках свое наибольшее и наименьшее значение.

Исследование этих свойств непрерывных функций заставило глубже вникнуть в природу действительных чисел. В результате появилась теория действительных чисел, были четко сформулированы основные свойства числовой прямой.

Дальнейшее развитие математического анализа привело к необходимости рассматривать все более и более «плохие», в частности разрывные, функции. Разрывные функции появляются, например, как пределы непрерывных функций, причем заранее не известно, будет ли предельная функция непрерывной, или нет, а также при схематизации процессов с резким внезапным изменением. Возникла новая задача — обобщение аппарата анализа на разрывные функции.

Риман исследовал вопрос о том, на какие классы разрывных функций распространяется понятие интеграла. В результате всей этой деятельности по обоснованию анализа появилась новая математическая дисциплина: теория функций действительного переменного.

Если классический математический анализ оперирует в основном с «хорошими» (например, непрерывными, дифференцируемыми) функциями, то теория функций действительного переменного изучает значительно более общие классы функций. Если в математическом анализе дается определение какой-либо операции (например, интегрирования) для непрерывных функций, то для теории функций действительного переменного характерно исследование вопроса о том, для какого класса функций применимо это определение, как следует видоизменить определение, чтобы оно стало более широким. В частности, лишь теория функций действительного переменного смогла дать удовлетворительный ответ на вопрос о том, что такое длина кривой и для каких кривых имеет смысл говорить о длине.

Основанием, на котором строится сама теория функций действительного переменного, является теория множеств.

В соответствии с этим мы начинаем наше изложение с рассмотрения элементов теории множеств, затем переходим к изучению точечных множеств и завершаем главу изложением одного из основных понятий теории функций действительного переменного, а именно интеграла Лебега.

  • 2. МНОЖЕСТВА

Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов. Как уже разъяснялось в главе I (том 1), это повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Нижеследующие замечания имеют своей целью пояснить, что такое множество, но не претендуют на то, чтобы служить его определением.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую- либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, — это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую,—это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчинок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет пашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т. д.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т. е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств — немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств. Особенно большое значение имеет теория множеств для теории функций действительного переменного.

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Автор - Александров А.Д., Автор - Колмогоров А.Н., ★ВСЕ➙ИСТОРИЯ ПРЕДМЕТА-ДИСЦИПЛИНЫ, История математики, Автор - Лаврентьев М.А., Математика - ИСТОРИЯ ПРЕДМЕТА-ДИСЦИПЛИНЫ

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНОЕ ИЗ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА (НАУКА)

БОЛЬШЕ НЕТ

НАУКА МАТЕМАТИКА СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика