3. Специализация. 35

4. Аналогия 35

5. Обобщение, специализация и. аналогия 37

6. Огкрытие по аналогии 39

7. Аналогия и индукция 43

Примеры и примечания к главе II 45

Первая часть . 45

[1. Правильное обобщение. 5. Крайний частный случай. 7. Ведущий частный случай. 10. Частный случай-представитель. 11. Аналогичный случай. 18. Великие аналогии. 19. Выясненные аналогии. 20. Цитаты.]

Вторая часть . 51

[21. Предположение Э. 44. Возражение и первый шаг к доказательству.

45. Второй шаг к доказательству. 46. Опасности аналогии.]

Глава III. Индукция в пространственной геометрии 56

1. Многогранники 56

2. Первые подкрепляющие контакты 58

3. Еще подкрепляющие контакты 59

4. Суровое испытание. 60

5. Подтверждения и подтверждения. 62

6. Совсем не похожий случай . 63

7. Аналогия. 63

8. Разбиение пространства. 65

9. Видоизменение задачи 66

10. Обобщение, специализация, аналогия . 66

II. Одна аналогичная задача . 67

12. Серия аналогичных задач. 68

13. Много задач иногда легче решить, чем только одну . . 69

14. Предположение. 69

15. Предсказание и подтверждение 70

16. Снова и лучше 71

17. Индукция подсказывает дедукцию; частный случай подсказывает общее доказательство. 72

18. Еще предположения. 73

Примеры и примечания к главе III 74

(21. Индукция: приспособление ума, приспособление языка, 31. Работа Декарта о многогранниках, 36. Дополнительные телесные углы, дополнительные сферические многоугольники,]

Глава IV. Индукция в теории чисел 80

1. Целочисленные прямоугольные треугольники 80

2. Суммы квадратов. 83

3. О сумме четырех нечетных квадратов 84

4. Исследование примера. 85

5. Составление таблицы наблюдений. 86

6 Каково правило?. 86

7. Природа индуктивного открытия 89

8. О природе индуктивных доводов. 90

Примеры и примечания к главе IV. 92

[I. Обозначения. 26. Опасности индукции.]

Г лава V. Разные примеры индукции 97

1. Разложения 97

2. Приближения. 99

3. Пределы 101

4. Попытка опровергнуть 101

5. Попытка доказать. 103

6. Роль индуктивной фазы. 105

Примеры и примечания к главе V 106

[15. Объясните наблюдаемые закономерности. 16. Классифицируйте наблюдаемые факты, 18. В чем различие?]

Глава VI. Одно более общее утверждение. 111

1. Эйлер. 111

2. Мемуар Эйлера 111

3. Переход к более общей точке зрения 120

4. Схематический очерк мемуара Эйлера 121

Примеры и примечания к главе VI 122

[I. Производящие функции. 7. Одна комбинаторная задача плоской геометрии. 10. Суммы квадратов. 19. Другая рекуррентная формула. 20. Другой Наиболее Необычайный Закон Чисел, Относящийся к Суммам их Делителей. 24. Как Эйлер упустил открытие. 25. Обобщение теоремы Эйлера о о(л).]

Глава VII. Математическая индукция 128

1. Индуктивная фаза 128

2. Фаза доказательства 130

3. Исследование переходов 130

4. Техника математической индукции 132

Примеры и примечания к главе VII 137

[12. Доказато больше иногда легче. 14 Уравновесьте вашу теорему!

15. Перспектива. 17. Равны ли любые п чисел?]

Глава VIII. Максимумы и минимумы. 141

1. Схемы. 141

2. Пример. 142

3. Схема касательной линии уровня 144

4. Примеры. 146

5. Схема частного изменения 148

6. Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом и ее первые следствия 150

Примеры и примечания к главе VIII 152

Первая часть 152

[1. Наименьшие и наибольшие расстояния в плоской геометрии.

2. Наименьшие и наибольшие расстояния в пространственной геометрии. 3. Линии уровня на плоскости. 4. Поверхности уровня в пространстве. 11. Принцип пересекающей линии уровня. 22. Принцип частного изменения. 23. Существование экстремума. 24. Видоизменение схемы частного изменения: бесконечный процесс. 25. Другое видоизменение схемы частного изменения: конечный процесс.

26. Графическое сравнение.}

Вторая часть 157

[33. Многоугольники и многогранники. Площадь и периметр. Объем и поверхность. 34. Прямая призма с квадратным основанием.

35. Прямой цилиндр. 36. Произвольная прямая призма. 37. Прямая двойная пирамида с квадратным основанием. 38. Прямой двойной конус. 39. Произвольная прямая двойная пирамида. 43. Приложение геометрии к алгебре. 45. Приложение алгебры к геометрии. 51. Прямая пирамида с квадратным основанием. 52. Прямой конус. 53. Произвольная прямая пирамида. 55. Ящик без крышки. 56. Корыто.

57. Обломок. 62. Почтовая задача. 63. Задача Кеплера.}

Глава IX. Физическая математика . 161

1. Оптическая интерпретация. 161

2. Механическая интерпретация. 165

3. Новая интерпретация. 167

4. Открытие брахистохроны Иоганном Бернулли. 171

5. Открытие Архимедом интегрального исчисления 173

Примеры и примечания к главе IX. 177

[3. Т ре угольник с минимальным периметром, вписанный в данный треугольник. 9. Транспортный центр четырех точек в пространстве. 10. Транспортный центр четырех точек на плоскости.

11 Транспортная сеть для четырех точек. 12. Разверните и выпрямите. 13. Бильярд. 14. Геофизическое исследование. 23. Кратчайшие линии на многогранной поверхности. 24. Кратчайшие (геодезические) линии на кривой поверхности. 26. Построение посредством сгибания бумаги. 27. Бросается кость. 28. Всемирный потоп. 29. Не слишком глубоко. 30. Полезный крайний случай. 32. Вариационное исчисление. 33. От равновесия поперечных сечений к равновесию тел.

38. Ретроспективный взгляд на Метод Архимеда.]

Г лава X. Изопериметрическая задача 185

1. Индуктивные доводы Декарта. 185

2. Скрытые доводы. 186

3. Физические доводы . 187

4. Индуктивные доводы лорда Рэлея 187

5. Выведение следствий. 188

6. Подтверждение следствий 191

7. Очень близко 195

8. Три формы изопериметрической теоремы 196

9. Приложения и вопросы. 198

[1. Взгляд назад. 2. Могли бы вы вывести какую-либо часть этого результата иначе? 3. Заново с 66лыиими подробностями. 7. Можете ли вы воспользоваться этим методом для решения какой-нибудь другой задачи? 8. Более сильная форма изопериметрической теоремы.]

Вторая часть . 200

116. Палка и веревка. 21. Две палки и две веревки. 25. Задача Дидоны в пространственной геометрии. 27. Биссекторы плоской области- 34. Биссекторы замкнутой поверхности. 40. Фигура многих совершенств. 41. Аналогичный случай. 42. Правильные многогранники. 43. Индуктивные доводы.]

Глава XI. Другие виды правдоподобных доводов. 206

1. Предположения и предположения . 206

2. Суждение по родственному случаю 206

3. Суждение по общему случаю 208

4. Более простое предположение предпочтительнее 210

5. Фон 212

6. Неисчерпаем 215

7. Обычные эвристические допущения 216

Примеры и примечания к главе XI. 217

[16. Общий случай. 19. Никакая идея не является действительно плохой. 20. Несколько обычных эвристических допущений. 21. Вознагражденный оптимизм. 23. Числовые выкладки и инженер.}

Заключительное замечание к первому тому. 224

Том II

СХЕМЫ ПРАВДОПОДОБНЫХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ

Предисловие ко II тому . 227

Глава XII. Несколько бросающихся в глаза схем 229

1. Подтверждение следствия 229

2. Последовательное подтверждение нескольких следствий . 231

3. Подтверждение невероятного. следствия 233

4. Умозаключение по аналогии 236

5. Углубление аналогии 237

6. Затушеванное умозаключение по аналогии 239

Примеры и примечания к главе XII 240

[14. Индуктивное умозаключение по бесплодным усилиям.}

Глава XIII. Дальнейшие схемы и первые связи между схемами 244

1. Исследование следствия. 244

2. Исследование возможного основания. 245

3. Исследование противоречащего предположения. 246

4. Логические термины. 246

5. Логические связи между схемами правдоподобных умозаключений 250

6. Затушеванное умозаключение 251

7. Таблица 253

8. Комбинация простых схем. 253

9. Об умозаключении по аналогии 254

10. Уточненное умозаключение . 255

11. О последовательных подтверждениях. 258

12. О соперничающих предположениях 258

13. О судебном доказательстве 260

Примеры и примечания к главе XIII. 266

Первая часть . 266

[9. Об индуктивном исследовании в математике и в физических науках, 10. Пробные общие формулировки.}

Вторая часть 271

[11. Более личное, более сложное. 12. Существует прямая, соединяющая две данные точки. 13. Существует прямая, проходящая через данную точку в данном направлении. Проведение параллели. 14. Наиболее очевидный случай может оказаться единственным возможным случаем. 15. Установление моды. Сила слов. 16. Это слишком невероятно, чтобы быть всего лишь совпадением. 17. Совершенствование аналогии. 18. Новое предположение. 19. Еще одно новое предположение. 20. Что типично?}

Глава X/V. Случай. Неизменное соперничающее предположение 281

1. Случайные массовые явления. 281

2. Понятие вероятности 283

3. Применение мешка и шаров 287

4. Исчисление вероятностей. Статистические гипотезы . . . 290

5. Непосредственное предсказание частот. 292

6. Объяснение явлений. 298

7. Оценка статистических гипотез. 301

8. Выбор между статистическими гипотезами. 306

9. Оценка нестатистических предположений . 313

10. Оценка математических предположений. 326

Примеры и примечания к главе XIV 329

Первая часть 329

Вторая часть 330

нятие вероятности, основанное на частоте. 24. Вероятность и решение задач. 25. Правильный и неправильный. 26. Фундаментальные правила исчисления вероятностей. 27. Независимость. 30. Перестановки и вероятность. 31. Сочетания и вероятность. 32. Выбор соперничающего статистического предположения. Пример. 33. Выбор соперничающего статистического предположения. Общие замечания.}

Глава XV. Исчисление вероятностей и логика правдоподобных рассуждений . 338

1. Правила правдоподобных рассуждений. 338

2. Один аспект доказательного рассуждения 341

3. Соответствующий аспект правдоподобного рассуждения 342

4. Один аспект исчисления вероятностей. Трудности . . . 346

5. Один аспект исчисления вероятностей. Попытка 348

6. Исследование. следствия 349

7. Исследование. возможного основания 353

8. Исследование противоречащего предположения 354

9. Исследование одного за другим нескольких следствий . 355

10. О косвенных уликах 358

Примеры и примечания к главе XV. 359

[4. Вероятность и правдоподобность. 5. Правдоподобие п правдоподобность. 6. Попытка Лапласа связать индукцию с вероятностью. 7. Почему не количественно? 8. Бесконечно малые правдоподобности?

9. Правила допустимости.}

Глава XVI. Правдоподобные рассуждения в изобретении и обучении . . 371

1. Предмет настоящей главы 371

2. Рассказ о маленьком открытии. 371

3. Процесс решения 374

4. Deus ex machina 375

5. Эвристическое оправдание. 377

6. Рассказ о другом открытии. 378

7. Несколько типичных указаний 382

8. Индукция в изобретении. 383

9. Несколько слов преподавателю 388

Примеры и примечания к главе XVI. 391

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

В применении к такой строгой науке, как математика, имеют ли смысл индукция (конечно, неполная), аналогия, наблюдение, гипотеза, эксперимент, короче говоря, методы, которыми пользуется каждый естествоиспытатель?

Ответу на этот вопрос посвящена книга известного математика и замечательного педагога Д. Пойа.

Советскому читателю, интересующемуся математикой, автор хорошо известен по книге Г. Полна и Г. Сеге, Задачи и теоремы из анализа, ч. I и И, второе издание которой вышло у нас в 1956 г. Уже в этой книге авторы ставили перед собой задачу указать начинающему математику пути к математическому творчеству, научить его способам, позволяющим лучше разбираться в трудных математических вопросах, открывать математические теоремы, решать задачи. Впоследствии Пойа написал на ту же тему популярную книжку «Как это решить?»^х), рассчитанную на учителей математики и учащихся. Настоящая книга, изданная в двух томах в Принстоне (США) в 1954 г., представляет собою итог многолетней работы автора, научной и педагогической, над вопросами о путях математического творчества.

Исследование такого рода естественно отличается от обычных математических работ. Оно основано на наблюдении и обобщении, на попытках проникнуть в творческую лабораторию великих математиков, придумать и поставить подходящий эксперимент. Иными словами, методы исследования здесь, собственно, те же, что и вообще в естествознании. И самое замечательное, что основной итог, к которому приходит Пойа и который он убедительно обосновывает, состоит как раз в том, что в своем математическом творчестве математик так же пользуется наблюдением и обобщением, гипотезой и экспериментом, как эго делает всякий естествоиспытатель. Больше

¹) См. Д. Пойа, Как решать задачу, второе издание, М.» 1961. См. также книгу Д. Пойа, Математическое открытие, М., 1970. — Прим, перез.

того, автор считает даже, что индуктивные, т. е. основанные на вышеперечисленных методах^г), рассуждения легче изучать в области математики, чем в какой-либо другой области.

В соответствии с такой установкой автора первая часть книги содержит большое число примеров разных степеней трудности (начиная от самых элементарных), обучающих пользованию индукцией и аналогией в математике. Многие из них заимствованы непосредственно из творчества великих математиков, особенно из трудов Леонарда Эйлера, 250-летие со дня рождения которого отмечалось в текущем году^{1 2}). Обращение к трудам Эйлера звучит при этом особенно убедительно, поскольку Эйлер не только с непревзойденным до сих пор успехом пользовался индуктивными методами в математике, но и откровенно сообщал читателю пути, которыми шел в своем математическом творчестве.

Вторая часть книги содержит попытку сформулировать правила индуктивного («правдоподобного») рассуждения наподобие логических правил вывода. К каждому из этих правил автор приходит, начиная с конкретных примеров, заимствованных из математики, физики, астрономии, из судебной практики и даже из медицины. Для теоретического обоснования этих правил Пойа привлекает теорию вероятностей, просто и популярно излагая в этой связи нужный ему материал из этой области. Если первая часть книги представляет особый интерес именно в связи с математикой, то вторая относится преимущественно к вопросам индуктивной логики и ее применений в любых областях науки и жизни. Книга написана так, что даже в тех случаях, когда автор предполагает знакомство с математикой, читатель, не обладающий специальными математическими знаниями, тем не менее легко может уследить за основной мыслью автора. Ее могут поэтому с успехом читать люди самых разнообразных специальностей. К тому же вторую часть можно читать совершенно независимо от первой. Но читатель, который начнет со второй части и затем обратится к первой, увидит, сколь интересный материал содержится именно в первой части.

Я позволю себе сделать здесь несколько замечаний по поводу методологических установок автора. Попыткам использовать теорию веро

¹) В отличие от индуктивных в более узком смысле слова, автор называет их «правдоподобными» —plausible —рассуждениями.

^а) Предисловие С. А. Яновской написано в 1957 г. —Прим, перев.

ятностей для обоснования индуктивной логики, истолковав вероятность как степень правдоподобности (или вводя термин вероятность в различных смыслах: «вероятность-один» как степень правдоподобности и «вероятность-два» основанную на понятии частоты, см. R. Carnap, Logical Foundations of Probability, Chicago, 1950), посвящена в настоящее время большая литература. В книге Пойа мы не найдем строгого обоснования выдвигаемой им теории. Но ряд моментов в ней звучит весьма убедительно для читателя-материалиста. Автор озабочен прежде всего не субъективной, а объективной оценкой степени правдоподобности того или иного аргумента. Он подчеркивает, что, хотя к правдоподобностям применимы некоторые правила, заимствованные из теории вероятностей, правдоподобности нельзя все же рассматривать как числа. Достоверно истинное высказывание имеет, правда, максимальную правдоподобность (которую можно назвать «единицей», а достоверно ложное — минимальную «нуль»), но тем не менее могут существовать и несравнимые (по силе доводов) правдоподобности (в качестве таковых автор приводит, например, правдоподобности: а) теоремы Гольдбаха о сумме двух нечетных простых чисел и б) утверждение, что викинги высадились на американском материке за несколько сот лет до Колумба). Правдоподобности ^х) образуют, таким образом, лишь частично упорядоченное множество, почему их и нельзя оценивать числами, множество которых линейно упорядочено ^{1 2}). (В соответствии с этим отличием правдоподобности от вероятности автор —к сожалению, весьма неопределенно — говорит о различии «качественной» и «количественной» теории вероятностей.) Отметим, наконец, что статистические закономерности, основанные на обычном понятии вероятности (как «частоты дальнего действия»), Пойа отнюдь не противополагает —в качестве единственно

¹) Их можно рассматривать, например, как модальности. (Модальности типов «необходимо!, «возможно» и др. ввел, как известно, в рассмотрение еще Аристотель. В настоящее время им посвящена в логике большая литература. См., например, книгу von Wright G. Н., An Essay in Modal Logic, 1951.)

²) На стр. 366 (и соседних) автор приводит ряд примеров, свидетельствующих о том, к каким нелепым (и даже противоречивым) выводам может приводить иногда приписывание правдоподобностям числовых значений. О теории вероятностей как о теории правдоподобностей, образующих частично упорядоченную систему, см., например, в книге Г. Биркгофа, Теория структур, М., 1952, стр. 275, где имеются ссылки и на другую литературу.

приемлемых — причинным закономерносгям (как эго часто делается в философской идеалистической литературе), а, наоборот, учит употреблять статистические методы для обоснования причинных («физических») закономерностей — для исключения возможности случайного совпадения.

Но манера автора трактовать его «качественную» теорию вероятностей — пусть хотя бы лишь из побуждений сделать изложение доступным для читателя, не знакомого с понятием частично упорядоченного множества, — звучит уже отнюдь не материалистически. Так, на стр. 348 автор начинает с того, что констатирует невозможность приписать Р {А} — правдоподобности утверждения А в глазах м-ра Кто-нибудь — определенное числовое значение, после чего предлагает тем не менее рассматривать Р {А} как определенную дробь

0<Р{Д}< 1,

числового значения которой мы, однако, не знаем (и знать не можем!). Именно это незнание конкретного числового значения и должно здесь отличать у автора «качественный» подход к теории вероятностей от «количественного», между тем как рассмотрение Р {А} как «определенной положительной дроби» должно помочь распространить на правдоподобности нужные автору законы и правила теории вероятностей. В дальнейшем (см. особенно разделы: «7. Почему не количественно?» и «8. Бесконечно малые правдоподобности?» примечаний к главе XV) автор вносит, правда, необходимые уточнения. Однако зачем, хотя бы на время, создавать у читателя впечатление, будто допускается существование каких-то вещей в себе (определенных числовых оценок правдоподобности), принципиально непознаваемых? Ведь из дальнейшего ясно, что автор отнюдь не считает Р {А} числом!

Аналогичные замечания можно было бы сделать и в применении к некоторым другим местам книги. Иногда оговаривая их в примечаниях редактора, мы, однако, не ставили перед собой задачи оговорить все места, по поводу которых редактору хотелось бы высказать какие-либо критические замечания.

В отличие от большинства математических книг книгу Пойа можно читать как увлекательную беллетристику. Но над ней можно и серьезно работать. Указания о том, как работать над этой книгой, читатель найдет в предисловии автора и в его советах читателю.

На этот счет мне хотелось бы только заметить следующее. Во второй части каждой главы автор предлагает задачи и темы для самостоятельной работы читателя —от самых легких до очень трудных. При первом чтении, конечно, можно не решать полностью задач, предлагаемых автором, но чтобы правильно понять его мысль, изложенную в первой части главы, необходимо обычно уже при первом чтении возможно внимательнее просмотреть и материал, помещенный во второй ее части (а при более внимательном чтении необходимо ознакомиться и с предлагаемыми автором решениями). Вопреки некоторым рекомендациям автора, повторяю, что и читатель, мало знакомый с математикой, может начинать чтение со II тома книги (посвященного логике правдоподобных умозаключений и теории вероятностей), принимая на время на веру вещи, предполагающие более специальные математические знания.

Над вопросом о том, возможна ли теория, предметом которой являются не математические доказательства, а способы догадываться о таких доказательствах, открывать математические истины и решать математические задачи, люди бьются еще со времен античной древности. Вопросы этого рода не могут не интересовать каждого математика, каждого преподавателя математики или обучающегося ей. Будем же надеяться, что книга Пойа будет полезна и доставит удовольствие широкому кругу советских читателей.

С. А. Яновская

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга имеет различные тесно связанные между собой цели. В первую очередь она предназначена для того, чтобы помочь учащимся и преподавателям математики в одном важном вопросе, которому обычно не уделяют должного внимания. Однако в известном смысле она представляет и философский этюд. Она является также продолжением и требует продолжения. Я последовательно коснусь этих ее особенностей.

1. Строго говоря, все наши знания за пределами математики и доказательной логики (которая фактически является ветвью математики) состоят из предположений *). Конечно, существуют предположения и предположения. Есть в высшей степени достойные и надежные предположения, например, те, которые выражены в некоторых общих законах физики. Бывают другие предположения, не являющиеся ни надежными, ни достойными, и некоторые из них способны привести вас в ярость, когда вы прочитаете их в газете. И между теми и другими существуют всякого рода предположения, предчувствия и догадки.

Мы закрепляем свои математические знания доказательными рассуждениями, но подкрепляем свои предположения правдоподобными рассуждениями. Математическое доказательство является доказательным рассуждением, а индуктивные доводы физика, косвенные улики юриста, документальные доводы историка и статистические доводы экономиста относятся к правдоподобным рассуждениям.

Различие между этими двумя типами рассуждений велико и многообразно. Доказательное рассуждение надежно, неоспоримо и окончательно. Правдоподобное рассуждение рискованно, спорно и условно.

¹) В действительности и в доказательной логике мы не обходимся без предположений. Мы предполагаем, например, что индивидуальные объекты, к которым относятся наши рассуждения, остаются строго неизменными, пока мы рассуждаем о них; что любые два высказывания, сколь длинными они ни были бы, всегда можно объединить —например, с помощью союзов «и», «или», «если. то» —в новое высказывание; что в таких-то наших рассуждениях можно свободно пользоваться законом исключенного третьего, и т. п. Из этого не следует, однако, будто все наши знания состоят только из предположений. Ведь даже во всякой относительной истине всегда имеется момент абсолютной истины. И чем иным может быть надежное предположение, как не оправдывающимся на практике, т. е. в конечном счете ведущим к истине. — Прим. ред.

Доказательные рассуждения пронизывают науки как раз в той же мере, что и математика, но сами по себе (как и сама по себе математика) не способны давать существенно новые знания об окружающем нас мире. Все новое, что мы узнаем о мире, связано с правдоподобными рассуждениями, являющимися единственным типом рас- суждений, которым мы интересуемся в повседневных делах. Доказательное рассуждение имеет жесткие стандарты, кодифицированные и выясненные логикой (формальной, или доказательной логикой), являющейся теорией доказательных рассуждений. Стандарты правдоподобных рассуждений текучи, и нет никакой теории таких рассуждений, которая могла бы по ясности сравниться с доказательной логикой или обладала бы сравнимой с ней согласованностью.

2. Заслуживает нашего внимания другой момент, касающийся этих двух типов рассуждений. Всякий знает, что математика предоставляет прекрасную возможность научиться доказательным рассуждениям, но я утверждаю также, что в обычных учебных планах учебных заведений нет предмета, который давал бы сравнимую возможность научиться правдоподобным рассуждениям. Я обращаюсь ко всем, кто обучается математике, элементарной или высшей, и заинтересован в овладении ею, и говорю: «Конечно, будем учиться доказывать, но будем также учиться догадываться».

Это звучит немного парадоксально, и я должен подчеркнуть несколько обстоятельств, чтобы избежать возможных недоразумений.

Математика рассматривается как доказательная наука. Однако это только одна из ее сторон. Законченная математика, изложенная в законченной форме, выглядит как чисто доказательная, состоящая только из доказательств. Но математика в процессе создания напоминает любые другие человеческие знания, находящиеся в процессе создания. Вы должны догадаться о математической теореме, прежде чем ее докажете; вы должны догадаться об идее доказательства, прежде чем проведете его в деталях. Вы должны сопоставлять наблюдения и следовать аналогиям; вы должны пробовать и снова пробовать. Результат творческой работы математика —доказательное рассуждение, доказательство; но доказательство открывается с помощью правдоподобного рассуждения, с помощью догадки. Если обучение математике в какой-то степени отражает то, как создается математика, то в нем должно найтись место для догадки, для правдоподобного умозаключения.

Как мы сказали, существует два типа рассуждений: доказательное рассуждение и правдоподобное рассуждение. Замечу, что они не противоречат друг другу; напротив, они друг друга дополняют. В строгом рассуждении главное — отличать доказательство от догадки, обоснованное доказательство от необоснованной попытки. В правдоподобном рассуждении главное — отличать одну догадку от другой, более разумную догадку от менее разумной. Если вы вдумаетесь в это отличие, то оба типа рассуждений могут стать более ясными.

Серьезный человек, изучающий математику, намеревающийся сделать матема!ику делом своей жизни, должен учиться доказательным рассуждениям; это его профессия и отличительный признак его науки. Однако для настоящего успеха он должен учиться и правдоподобным рассуждениям; это тот тип рассуждений, от которого будет зависеть его творческая работа. Человек, занимающийся математикой как вспомогательным предметом или как любитель, также должен получить некоторое знакомство с доказательными рассуждениями; может быть, у него не будет особой надобности непосредственно их применять, но он должен овладеть стандартом, с которым он мог бы сравнивать всевозможные, выдвигаемые в качестве доказательств доводы, встречающиеся ему в современной жизни. Но во всех его начинаниях ему будут нужны правдоподобные рассуждения. Во всяком случае, человеку, изучающему математику и желающему проявить себя в этой области, какими бы ни оказались его дальнейшие интересы, следует попытаться научиться обоим типам рассуждений, доказательному и правдоподобному.

3. Я не верю, что существует абсолютно гарантированный метод, позволяющий научить догадываться. Во всяком случае, если такой метод и существует, то мне он не известен, и уж, конечно, я не претендую на то, чтобы изложить его на последующих страницах. Действенное применение правдоподобных рассуждений есть практический навык, и ему, как и всякому другому практическому навыку, учатся путем подражания и практики. Я попытаюсь сделать все от меня зависящее, чтобы помочь читателю, очень желающему научиться правдоподобным рассуждениям, но все, что я могу предложить, это только примеры для подражания и возможность попрактиковаться.

В этой книге я часто буду обсуждать математические открытия, большие и малые. Я не могу рассказать подлинную историю того, как происходило открытие, потому что этого в действительности никто не знает. Однако я попытаюсь придумать правдоподобную историю того, как открытие могло произойти. Я попытаюсь выявить мотивы, лежащие в основе открытия, правдоподобные умозаключения, которые к нему привели, короче, все, что заслуживает подражания. Конечно, я попытаюсь убедить читателя; это моя обязанность как преподавателя и как автора. Однако я буду с читателем совершенно честен в том, что действительно существенно: я буду стараться убедить его только в том, что мне представляется истинным и полезным.

За каждой главой следуют примеры и примечания. Примечания относятся к вопросам, слишком техническим или слишком тонким для текста главы, или к вопросам, лежащим несколько в стороне от главной линии рассуждения. Некоторые из упражнений дают читателю возможность заново рассмотреть детали, только намеченные в тексте. Однако большая часть упражнений дает возможность читателю вывести свои собственные правдоподобные заключения.

Перед тем как взяться за какую-нибудь более трудную задачу, предложенную в конце главы, читателю следует внимательно прочитать соответствующие части главы и, кроме того, бегло просмотреть соседние задачи; то или другое может содержать ключ. Чтобы обеспечить читателя такими ключами (или скрыть их от него) с наибольшей пользой для обучения, большое внимание было уделено не только содержанию и форме предлагаемых задач, но и их расположению. Фактически на расстановку этих задач ушло значительно больше времени и заботы, чем можно было бы себе представить или посчитать нужным, глядя со стороны.

Чтобы охватить широкий круг читателей, я пытался проиллюстрировать каждый важный вопрос как можно более элементарным примером. Однако в нескольких случаях я был вынужден взять не слишком элементарный пример, чтобы подкрепить утверждение достаточно убедительно. В действительности я чувствовал, что должен привести и примеры, имеющие исторический интерес, и примеры, обладающие настоящей математической красотой, и примеры, иллюстрирующие параллелизм методов в других науках или в повседневной жизни.

Следует добавить, что многие из приведенных рассказов получили свою окончательную форму в результате своего рода неформального психологического эксперимента. Я обсуждал предмет с несколькими различными студенческими группами, часто прерывая свое изложение вопросами вроде следующего: «Хорошо, а что бы вы сделали в такой ситуации?». Некоторые места, включенные в текст книги, были подсказаны ответами моих слушателей или моя первоначальная версия изменялась каким-нибудь другим образом под влиянием реакции моей аудитории.

Короче говоря, я пытался употребить весь свой опыт исследователя и преподавателя, чтобы дать читателю подходящую возможность для разумного подражания и для самостоятельной работы.

4. Примерами правдоподобных рассуждений, собранными в этой книге, можно воспользоваться и для другой цели: они могут пролить некоторый свет на философскую проблему, являющуюся предметом оживленных споров: проблему индукции. Вот главный вопрос: существуют ли для индукции правила? Некоторые философы говорят: «Да», большинство ученых думает: «Нет». Чтобы обсудить этот вопрос с пользой, следует иначе его поставить. Кроме того, его следует толковать иначе, с меньшей зависимостью от традиционного буквоедства или от новомодного формализма, но в более тесном контакте с практикой ученых. Заметим прежде всего, что индуктивное рассуждение есть частный случай правдоподобного рассуждения. Заметим также (современные авторы почти забыли это, но некоторые старые, такие как Эйлер и Лаплас, ясно осознавали), что роль индуктивных доводов в математическом исследовании сходна с их ролью в физическом исследовании. После этого вы сумеете обнаружить, что некоторые сведения об индуктивных рассуждениях

возможно получить путем наблюдения и сравнения примеров правдоподобных рассуждений в математических вопросах. И таким образом открывается дверь для индуктивного исследования индукции.

Когда биолог пытается исследовать какую-нибудь общую проблему, скажем, генетики, ему очень важно выбрать какой-нибудь специальный вид растения или животного, вполне пригодный для экспериментального изучения его проблемы. Когда химик намеревается исследовать какую-нибудь общую проблему, касающуюся, скажем, скорости химических реакций, ему очень важно выбрать какие-нибудь специальные вещества, на которых было бы удобно проделать эксперименты, уместные в его проблеме. Выбор подходящего экспериментального материала чрезвычайно важен для индуктивного исследования любой проблемы. Мне кажется, что математика в некоторых отношениях является наиболее подходящим экспериментальным материалом для изучения индуктивных рассуждений. Это изучение вызывает необходимость некоторого рода психологических экспериментов: вы должны испытать на опыте, какое влияние на вашу веру в рассматриваемое предположение оказывают различные виды доводов. Благодаря своей неотъемлемой простоте и ясности, математические объекты подходят для этого рода психологического эксперимента гораздо лучше, чем объекты из любой другой области. На следующих страницах читатель будет иметь полную возможность в этом убедиться.

С точки зрения философии, я думаю, лучше рассматривать более общую идею правдоподобного рассуждения вместо частного случая индуктивного рассуждения. Мне кажется, что собранные в этой книге примеры постепенно подготовляют определенный и вполне удовлетворительный аспект правдоподобного рассуждения. Однако я не хочу навязывать свои взгляды читателю. Фактически я даже не формулирую их в первом томе; я хочу, чтобы примеры говорили сами за себя. Первые четыре главы второго тома посвящены более явному общему рассмотрению правдоподобных рассуждений. Здесь я формально устанавливаю схемы правдоподобных умозаключений, возникающие из приведенных примеров, пытаюсь систематизировать эти схемы и обозреть некоторые из их взаимных связей и их связей с идеей вероятности.

Я не знаю, заслуживает ли содержание этих четырех глав право называться философией. Если это философия, то это, несомненно, немудреный вид философии, больше имеющий дело с пониманием конкретных примеров и конкретного поведения людей, чем с толкованием общностей. Я еще меньше, конечно, знаю, какой окажется окончательная оценка моих взглядов. Однако я чувствую довольно сильную уверенность в том, что мои примеры могут быть полезны для любого разумного, непредубежденного человека, изучающего индукцию или правдоподобные рассуждения, который желает сформировать свои взгляды в тесном контакте с наблюдаемыми фактами.

5. Эта работа о Математике и Правдоподобных рассуждениях, которую я всегда рассматривал как целое, естественно распадается на две части: Индукция и Аналогия в Математике (том I) и Схемы Правдоподобных Умозаключений (том II). Для удобства изучающих они выпускаются отдельными томами ^г). Том I полностью независим от тома II, и я думаю, что многие учащиеся захотят его тщательно продумать перед тем, как читать том II. В нем —ббльшая часть математического «мяса» этого сочинения, и он поставляет «данные» для индуктивного исследования индукции в томе II. Некоторые читатели, более умудренные и опытные в математике, захотят, быть может, непосредственно перейти к тому II, и для них будет удобно иметь его отдельно. Для облегчения ссылок нумерация глав в обоих томах сплошная. Я не снабдил книгу указателем, так как указатель заставил бы сделать терминологию более жесткой, чем это желательно в такого рода сочинении. Я уверен, что оглавление дает удовлетворительный путеводитель по книге.

Эта работа является продолжением моей более ранней книги How to Solve It *). Читателю, интересующемуся предметом, следует прочитать обе книги, но порядок не имеет большого значения. Настоящий текст составлен так, что его можно читать независимо от предыдущей работы. Фактически в этой книге имеется лишь несколько прямых ссылок на прежнюю и при первом чтении на них можно не обращать внимания. Однако косвенные ссылки на предыдущую книгу имеются почти на каждой странице и почти в каждом предложении некоторых страниц. В сущности эта работа дает многочисленные упражнения и некоторые более серьезные иллюстрации к предыдущей, в которой ввиду ее размера и элементарного характера не было для них места.

Настоящая книга связана также со сборником задач по анализу, принадлежащим Г. Сеге и автору (см. библиографию). Задачи в этом сборнике тщательно сгруппированы в таком порядке, что они взаимно подкрепляют друг друга, дают ключи друг другу, в совокупности охватывают определенную тему и предоставляют читателю возможность попрактиковаться в различных ходах, важных в решении задач. В подходе к задачам настоящая книга следует методу изложения, начало которому было положено в упомянутом сборнике, и эта связь имеет не столь уж малое значение.

Две главы во втором томе настоящей книги имеют дело с теорией вероятностей. Первая из этих глав отчасти связана с элементарным изложением исчисления вероятностей, написанным автором несколько лет тому назад (см. библиографию). Лежащие в основании взгляды на вероятность и отправные пункты — те же самые, в остальном соприкосновения мало.

¹) В русском издании оба тома объединены в одной книге. — Прим, пррев.

²) См. Д. Пой а, Как решать задачу. Все ссылки в дальнейшем делаются на 2-е издание этой книги, М., 1961.

Некоторые из взглядов, изложенных в этой книге, были выражены ранее в моих статьях, указанных в библиографии. В текст книги были включены обширные выдержки из статей 4, 6, 8, 9 и 10. Я приношу признательность и мою глубокую благодарность издателям American Mathematical Monthly, Etudes de Philosophic des Sciences en Hommage a Ferdinand Gonseth и Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1950, которые любезно дали разрешение воспроизвести эги выдержки.

Многие части этой книги были изложены в моих лекциях, некоторые — несколько раз. В некоторых местах и в некоторых отношениях я сохранил тон устного изложения. Я не думаю, что такой тон вообще желателен при печатном изложении математики, но в настоящем случае это может быть подходящим или по крайней мере простительным.

6. Последняя глава второго тома настоящей книги, имеющая дело с Изобретением и Обучением, в более явной форме связывает содержание с прежней работой автора и указывает на возможное продолжение.

Действенное применение правдоподобных рассуждений играет существенную роль в решении задач. Настоящая книга пытается проиллюстрировать эту роль на многих примерах, но остаются другие стороны решения задач, нуждающиеся в подобной иллюстрации.

Многие вопросы, затронутые здесь, нуждаются в дальнейшей разработке. Мои взгляды на правдоподобные рассуждения следовало бы сопоставить со взглядами других авторов, исторические примеры следовало бы рассмотреть более тщательно, взгляды на изобретение и обучение следовало бы изучить, насколько это возможно, методами экспериментальной психологии ^х), и так далее. Остаются другие такого рода задачи, но некоторые из них могут оказаться неблагодарными.

Эта книга не учебник. Однако я надеюсь, что со временем она окажет влияние на обычное изложение в учебниках и выбор их круга вопросов. Задача заново написать обычные учебники, придерживаясь намеченного направления, не должна быть неблагодарной.

7. Я хочу выразить свою признательность Издательству Принстонского университета за тщательное печатание и особенно г-ну Герберту С. Бэйли младшему, директору Издательства, за сочувственную помощь в некоторых вопросах. Я много обязан также г-же Присилле Фейген за перепечатку рукописи на машинке и д-ру Юлиусу Г. Барону за его любезную помощь при чтении корректур.

Стэнфордский^университет, Дьердь Пойа

Ч Исследовательская работа в этом направлении была предпринята в Отделении психологии Стэнфордского университета в рамках проекта, руководимого Э. Р. Хильгардом и субсидируемого Научно-исследовательским управлением ВМС США.

СОВЕТЫ ЧИТАТЕЛЮ

Параграф 2 гл. VII в гой же главе VII цитируется как § 2, но как § 7.2 в любой другой главе. Пункт (3) § 5 гл. XIV в гой же главе XIV цитируется как § 5 (3), но как § 14.5 (3) в других главах. На пример 26 гл. XIV мы ссылаемся в той же главе, как на пример 26, но как на пример 14.26 в остальных главах.

Для чтения существенных частей текста может быть достаточно некоторого знания элементарной алгебры и геометрии. Почти для всего текста и большей части примеров и примечаний достаточно хорошего знания элементарной алгебры и геометрии и некоторого знания аналитической геометрии и математического анализа, включая пределы и бесконечные ряды. Однако в нескольких эпизодических замечаниях в тексте, в некоторых предлагаемых задачах и в отдельных примечаниях предполагаются более глубокие знания. Обычно в этих случаях делается какое-нибудь предупреждение.

Более подготовленный читатель, пропустивший те отделы, которые кажутся ему слишком элементарными, может потерять больше, чем менее подготовленный читатель, который пропустит отделы, показавшиеся ему слишком сложными.

Некоторые (не очень трудные) детали доказательств часто без предупреждения опускаются. Должным образом подготовленный к этой возможности читатель, обладающий хорошими критическими навыками, не должен от этого пострадать.

Некоторые из задач, предложенных для решения, очень легки, но некоторые довольно трудны. Наводящие соображения, которые могут облегчить решение, заключены в квадратные скобки [ ]. Правильный путь решения могут подсказывать соседние задачи. Особое внимание следует обратить на вводные замечания, предшествующие примерам в некоторых главах или же первой или второй части таких примеров.

Решения иногда очень кратки: они предполагают, что перед тем как просмотреть напечатанное решение, читатель предпринял серьезные попытки справиться с задачей собственными силами.

Читатель, затративший на задачу большие усилия, даже если ему и не удалось ее решить, может извлечь из этого пользу. Например, он может заглянуть в решение, попытаться выделить то, что ему кажется ключевой идеей, отложить книгу и затем попытаться разработать решение.

В некоторых местах эта книга изобилует чертежами или дает небольшие промежуточные шаги вывода. Цель этого — сделать наглядной эволюцию фигуры или формулы: см., например, рис. 16.1 — 16.5. Однако нет такой книги, которая содержала бы достаточно фигур или формул. Читатель может захотеть прочитать какое-нибудь место «в первом приближении» или более тщательно. Во втором случае, у него под рукой должны быть бумага и карандаш: он должен быть готов написать или начертить любую формулу или фигуру, приведенную или только упомянутую в тексте. Поступая таким образом, он получит лучшую возможность увидеть эволюцию фигуры или формулы, понять, как различные детали способствуют окончательному результату, и запомнить весь процесс в целом.