Связь между векторами и точками позволяет определить в евклидовом пространстве расстояние d(A, В) между точками, положив d(A, В)— |4В|. (19)

Зафиксировав какую-то (какую угодно!) точку О евклидова пространства, мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между точками и векторами, сопоставив каждой точке А £ f вектор О А а £ 2^; после этого мы можем ввести координаты точек, приняв за координаты (£» Бз....» В_п) точки А координаты отвечающего ей вектора ОА— a(£i, £₂, •••» В_л)- Таким путем можно построить полную теорию евклидовой плоскости (евклидову планиметрию) или евклидова пространства (евклидова стереометрия; пространство может быть трехмерным или «-мерным, где « — любое натуральное число).

• 4. РЕАЛЬНЫЙ МИР И ФОРМАЛЬНЫЕ

СИСТЕМЫ

Итак, мы, как будто, исчерпывающим образом определили элементарную планиметрию — как структуру Е=<<^, 2^; + ,  , (,), где косвенное определение основных объек

тов и операций дается списком из 16 аксиом B_{l s} B₉£²j_e , Ви-12 ^и В₁₃__1в. Почему же определение это оставляет у нас смутное чувство неудовлетворенности, сознания, что опре- делили-то мы что-то не совсем то? Повторяя Гильберта, мы утверждали, что точку свободно можно назвать хоть пивной кружкой, что к «физической точке», («физическая точка — это просто очень малое пятно», говаривал Феликс Клейн) наша абстрактная «математическая точка» прямого отношения не имеет, — но ведь каждый человек, говоря о точке, всегда представляет себе именно мельчайшую область того пространства, в котором мы живем, а аксиомы, которые для математика служат определением точки, мало кто помнит даже и из самих математиков.

Выше мы сравнивали математику с шахматной игрой,— но насколько полна эта аналогия? Ведь не случайно же ни в одном университете мира нет шахматного факультета, но математические факультеты (и отделения) есть, практически, во всех университетах: видимо, человечество все

же привыкло совершенно по-разному относиться к «математической» и к шахматной игре.

В § 2 мы отмечали глубокие знания по геометрии древних вавилонян или египтян — знания, включающие столь содержательные факты как теорема Пифагора или формула для объема усеченной пирамиды. Но ведь математика-то, как доказывалось в этом же параграфе, возникла гораздо позже, чем составляли свои пособия вавилонские жрецы и египетские писцы, а именно всего лишь в VI—V вв. до н. э. — как же могла геометрия, составляющая раздел математики, появиться раньше математики? Не равносильно ли подобное предположение парадоксальной мысли о том, что, скажем, судак появился на земле раньше, чем вообще возникли рыбы? Объяснить это кажущееся противоречие можно тем, что слово «геометрия», подобно, допустим, словам «точка» (математическая и физическая) или «ладья» (шахматная и плывущая по реке), имеет два совершенно разных смысла; при этом, однако, связь между двумя понятиями слова точка или геометрия (но не между двумя понятиями слова ладья) является вовсе не только лишь чисто лингвистической, но также и содержательной, — на чем здесь необходимо остановиться подробнее.

Странный мир геометрии — все в нем предельно конкретно, наглядно, осязаемо, и в то же время призрачно, бестелесно, условно. Формула для объема цилиндра точно оценивает количество воды, которое можно налить в стакан или в бидон, — но ведь на самом деле слова «цилиндр», «конус», «прямая», «плоскость» обозначают некие абстракции, нигде в жизни не встречающиеся и не реализуемые. Представление о плоскости может дать, скажем, хорошо отшлифованная металлическая пластина, — но не о плоскости, конечно, а лишь об ее небольшом участке, ибо всю (безграничную!) плоскость даже и пытаться представить себе нельзя, так как попытка «далеко» продолжить в воображении видимую поверхность пластины сразу же поставит перед нами немыслимо сложные вопросы о глобальном строении Вселенной. Но даже и маленькую часть плоскости наша пластина представляет весьма приближенно — ведь если мы захотим отшлифовать ее до «полной» гладкости, то неизбежно придем в противоречие с атомным строением вещества — и это еще ранее того, как перед нами возникнет вопрос о природе самих образующих пластину атомов, устраненных столь сложно, что уж на атом

ном-то уровне и речи быть не может ни о какой плоскости. Грубую модель прямой линии дает нам, например, край стола, а «точное» ее представление дает луч света. Но с точки зрения современной физики свет имеет сложную корпускулярно-волновую природу, причем если даже и мыслить свет «по Ньютону» как поток элементарных частиц — фотонов, то все равно вопрос о траектории фотонов оказывается некорректно поставленным, т. е. попросту бессмысленным, так что о прямой здесь говорить никак не приходится. И при всем том практическая применимость геометрических формул и теорем, скажем, в деятельности конструктора оказывается столь полной, что в случае неудачи выполненной по его расчетам модели инженер усомнится в чем угодно, но только не в этих теоремах и формулах.

Таким образом, мы явно имеем две «геометрии»: «геометрию-физику», являющуюся одной из естественнонаучных дисциплин и изучающую специфические свойства реальных тел, в первую очередь — их размеры и форму,и «геометрию-математику», относящуюся к кругу математических наук и изучающую определенные математические структуры, родственные основной структуре евклидова пространства, подробно описанной в § 3 этой брошюры, и во всей («идеальной») полноте в практической жизни не реализуемые (т. е. не существующие). При этом возникла «геометрия-физика» раньше «геометрии-математики» (чем снимается всякая загадочность с факта появления геометрии до математики); однако с самого зарождения «геометрии- математики» развивались наши две геометрии в постоянной и неразрывной связи. Логическая система «геометрии- математики» первоначально строилась на пути идеализации свойств реальных тел, на пути предельного упрощения наблюдаемых в окружающем нас мире явлений, сохранения лишь самых фундаментальных (т. е. самых простых и глубоких) из относящихся к ним фактов, компактно записываемых в виде списка «аксиом», возникающих в результате суммирования данных многократных экспериментов, производимых над поверхностями пластин и плит (эти поверхности получили общее наименование «плоскостей»), над лучами света и краями этих плит (называемых «прямыми») и т. д. С другой стороны, делаемые уже чисто логическим путем выводы, касающиеся свойств абстрактных объектов, рассматриваемых в «геометрии-математике», немедленно (и успешно) применялись к изучению свойств материальных

тел, изучением которых занималась «геометрия-физика». Иногда, правда, возникало несоответствие между математическими выводами и физическими наблюдениями; но оно лишь приводило к необходимости модификации «математического пространства», к построению новых абстрактных схем, с большей полнотой, чем прежние, охватывающие феномены действительного (так невозможность объяснить в рамках сложившихся представлений результаты наблюдений Майкельсона над скоростью света заставили перейти от классического «абсолютного пространства» Ньютона к более сложному четырехмерному пространству Эйнштейна— Минковского). Другими словами, «геометрия-математика» возникла как «математическая модель» физической Вселенной, после чего «геометрию-физику» стало возможно рассматривать как «физическую модель» абстрактного пространства, описываемого в соответствии с общей схемой построения математических дисциплин списком основных (неопределяемых) объектов и отношений и аксиомами, характеризующими эти объекты и эти отношения.

Эта двусторонняя связь наук математических (в данном случае — «геометрии-математики») с науками естественными («геометрией-физикой») указывает то место, которое занимает математика в системе наук и в жизни людей. Когда-то знаменитый К. Ф. Гаусс сказал: «математика — это царица наук», однако, теперь-то мы понимаем, что подобная точка зрения не возвеличивает математику, ибо сегодня, в отличие от эпохи Гаусса, мы убеждены в полной бесполезности всех на свете цариц. Нет, математика —это отнюдь не царица наук, она занимает в мире, иное, куда более значимое положение: она обслуживает естественные и гуманитарные науки, доставляя им адекватный аппарат для описания всевозможных фактов и явлений, составляя тот язык, на котором эти факты удобнее всего записывать, классифицировать и сопоставлять (ср. со сказанным на стр. 8—9). Более того, «уровень зрелости» той или иной дисциплины в значительной мере определяется степенью использования в ней математического аппарата, содержательностью присущих данной дисциплине «математических моделей» и тесно с ними связанных дедуктивных выводов, — например, современная биология, широко использующая математические методы, заметно глубже проникает в суть изучаемых явлений, чем «наблюдательная» биология XVII, XVIII и даже XIX вв. При этом математика, возникшая в Древней Греции в кажущемся

отрыве от практических потребностей людей (но на самом деле — в тесной связи с ними, что превосходно понимал, скажем, Архимед), доставляет нам некий универсальный ключ для отпирания всех на свете дверей: возникшие в ее рамках числовые системы и формальные схемы равно приложимы к физике и к биологии, к экономике и к социологии, позволяя записывать относящиеся к этим дисциплинам факты и наблюдения в компактном и легко обозримом виде, дающем возможность исчерпывающе их анализировать и даже предсказывать результаты будущих наблюдений,—а между тем именно оправдывающиеся впоследствии предсказания составляют основной предмет гордости каждой науки, определяют ее ценность. Эта универсальность математического аппарата дала основание выдающемуся физику, лауреату Нобелевской премии Е. Вигнеру с некоторым даже недоумением говорить о «непостижимой эффективности математики в естественных науках» ^и. [При постановке вопроса о «поразительной приложимости» самых абстрактных математических теорий к прикладным вопросам Вигнер мог базироваться на собственном опыте. Физики по сей день рассказывают как о смешном анекдоте о выступлении в 10-х годах нашего столетия на совете Принстонского университета известного физика и астронома Дж. Джинса, автора весьма популярной некогда космогонической гипотезы: Джинс активно протестовал против включения в программу подготовки физиков элементов теории групп, утверждая, что «уж эта-то теория наверняка ни одному физику никогда не понадобится». Однако в 20-х годах замечательные работы Е. Вигнера и математика Г. Вейля^{14 * 16} привели к тому, что ныне теория групп считается чуть ли не первой из тех областей математики, которые используют в своей работе физики-теоретики.]

Универсальность приложимости математических конструкций к изучению реально существующих объектов связана, прежде всего, с ограниченностью числа математических схем, возникающих в качестве «математических моделей» самых разнообразных явлений — кто перечислит, скажем, количество «внематематических» объектов, для описания которых оказывается удобной одна и та же схема группы или, скажем, векторного пространства? В этой

¹⁴ См.: Е. Вигнер. Этюды о симметрии. М., «Мир», 1971,

с. 192—198.

¹⁶ См.: И. М. Яглом. Герман Вейль. М., «Знание», 1967.

связи мы можем теперь снова вспомнить и о возникшем уже выше не раз вопросе о связи понятий «математической» и «физической» точки. Разумеется, представление об окружающем нас (трехмерном) пространстве как физическом прообразе абстрактно-геометрических построений играло основную роль в самом формировании геометрии, и все описывающие свойства точек аксиомы возникли как обобщение наблюдений над «физическими точками», т. е. над «маленькими пятнами» Клейна; также при обсуждении вопроса о приложимости геометрических теорем к жизненным явлениям первоначально «точку» воспринимали только лишь как крошечную область физического пространства. Однако сейчас — и это очень характерно для всей математики — понятие «математической точки» имеет широчайший спектр прикладных значений, зачастую очень далеких от тех представлений, с которыми оно первоначально связывалось. Еще во времена Ньютона физики прекрасно представляли возможность такого моделирования свойств Вселенной, при котором под «точкой» понимается планета или звезда (а ныне за «точку» сплошь и рядом понимают и галактику); с другой стороны, в механике Лагранжа основную роль занимало пространство состояний механической системы, «точкой» которого является (сколь угодно сложная!) система с любым числом степеней свободы. [В настоящее время состояние механической системы чаще всего характеризуют указанием отвечающей ему «точки» в фазовом пространстве системы, роль координат в которой играют как характеризующие положение системы параметры, так и скорости изменений этих параметров, указывающие, так сказать, тенденции изменения системы; эволюция системы описывается как линия в фазовом пространстве, задающая так называемый «фазовый портрет» системы.] Сегодня же использование в математическом моделировании всевозможных явлений геометрического языка и геометрической интуиции сводится к пониманию любых физических, химических, биологических, медицинских, экономических, социологических и иных систем как «точек» в пространстве состояний этих систем, а их изменений — как точечных преобразований в рассматриваемом «пространстве». При этом общее понятие математической модели той или иной реальной системы означает определенную математическую структуру в смысле Н. Бурбаки (см. § 3), неопределяемые объекты и отношения которой понимаются как те или иные объекты ре

ального мира я реально существующие отношения между ними. Так, например, при необходимости специально рассматривать ^-элементные и /-элементные подмножества какого-либо «универсального» множества J зачастую оказывается удобным назвать ^-элементные подмножества J «точками», а /-элементные подмножества (где /Л) — «прямыми» и считать, что «прямая» а «проходит» через «точку» А, если а Э А. [Правда, в этом примере мы приходим не к обычной геометрии, а к занимающей сегодня заметное место в чистой и в прикладной математике «геометрии со смежными элементами», где через две точки могут проходить несколько различных прямых.]

Двусторонняя связь математики и «не математики» (естественных и гуманитарных наук) дает чрезвычайно много изучающим окружающую нас действительность дисциплинам, вооружая их мощным аппаратом исследования всевозможных явлений; но не менее плодотворна она и для математики, доставляя ей существенные стимулы для расширения поля деятельности, в известной мере даже формируя в соответствии с запросами «земной жизни» саму абстрактнейшую из наук. Новую струю в старый вопрос о взаимодействии чистой и прикладной математики вносит в наши дни широкое использование современной вычислительной техники для доказательства математических теорем, например, решение с использованием ЭВМ знаменитой проблемы четырех красок ^1в.

Сказанное выше о роли в математике внематематических запросов, разумеется, не следует понимать в том примитивном смысле, что, дескать, вся деятельность математиков направлена на решение чисто практических задач, в соответствии с чем и формируются занимающие их в каждый момент времени вопросы: нет, связь математики и жизни является гораздо более опосредствованной. Основой этой связи служит то, что творцами-то математики являются живые люди, неразрывно связанные с окружающим их миром, причем великие ученые как Архимед, Ньютон или Гильберт всегда воспринимают эту связь особенно обостренно, чувствуя не только характерные для настоящего времени моменты, но также и относящиеся к будущему тенденции. Мы уже говорили выше, что сама (абстрактная) математика была создана древнегре-

¹⁶ См.: Э. Г, Белага, Мини-геометрии. М., «Знание*, 1977, с. 5—22,

ческими мыслителями, исходя из их общефилософских и религиозных интересов (впрочем, в то время философия и религия не слишком различались между собой!). Но несмотря на это, возникшая «математическая вселенная» копировала вовсе не какой-то там «потусторонний» мир, а материальный мир античности. В частности, характерная для Зенона — Аристотеля — Евклида метафизичность научного творчества, строгий запрет изучения каких бы то ни было процессов (а только состояний — типичными примерами таких застывших состояний являются евклидовы треугольники) — все это было связано со статическим характером жизни, наиболее выдающимися достижениями которой являлись неподвижные храмы с их статуями и колоннадами. Напротив, декартова диалектика, свойственный картезианству интерес именно к текущим процессам, несколько даже наивная убежденность в неизбежной изменчивости всего сущего, выражением которой явились, в частности, знаменитые «вихри» Декарта — все это было порождено промышленной революцией, появлением движущихся механизмов, изучение и конструирование которых стало главной обязанностью науки. И не случайно дифференциальное и интегральное исчисления возникли именно тогда, когда античная метафизика могла лишь сковывать научную инициативу, препятствовать прогрессу техники. При этом математические открытия зачастую предшествуют тем внематематическим достижениям, для которых они необходимы, никогда не обгоняя, впрочем, последние слишком уж значительно, ибо очень уже несвоевременные исследования просто не находят отклика у современников и не оказывают никакого влияния на текущий научный процесс — так, например, остались в свое время незамеченными замечательные работы Жирара Д е з а р г а (1593—1661) и Блеза Паскаля (1623— 1662) по проективной геометрии, впервые оцененные лишь в XIX в., или предвосхищение Джироламо Кардано (1501—1576) некоторых идей теории вероятностей, впервые замеченное лишь в XX в. (заметьте, что, напротив, вполне актуальные именно в тот период исследования Кардано по алгебре были сразу же замечены и принесли ему громкую славу!). Разумеется, Огюстен Коши (1789— 1857) и Бернгард Риман (1826—1866), создавая теорию функций комплексного переменного, не думали о гидро- и аэромеханике, Давид Г и л ь б е р т (1862—1943) закладывал основы функционального анализа вне всякой свя

зи с (уже в то время созданной) квантовой механикой, и тем более работы Джорджа Буля (1815—1864) по формализации аристотелевой логики никак не имели в виду важность развиваемых им построений для конструирования и функционирования ЭВМ, появившихся через 100-летие после Буля — и все же источником всех этих выдающихся произведений чистой науки явились грядущие перевороты в физике и в технике, которые Коши, Риман, Гильберт или Буль сумели почувствовать заранее. [Блистательным подтверждением сказанного может служить заключительный отрывок знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной Б. Риманом в Геттингене в 1854 г.: этот отрывок нельзя расценить иначе, как предвидение Риманом созданной более чем через 60 лет после того общей теории относительности (для которой, собственно, впервые и понадобился созданный Риманом аппарат теории так называемых римановых пространств переменной кривизны).!

Объективный характер развития математики, в которой великие открытия делаются не волей тех или иных выдающихся ученых, а просто тогда, когда им приходит время («подобно тому как весной фиалки появляются всюду, где светит солнце», как писал по этому поводу видный венгерский математик Фаркаш Бойяи своему гениальному сыну Яношу), лучше всего демонстрируется тем, сколь часто существенный шаг вперед делался в математике одновременно и независимо несколькими учеными из разных стран, в то время как ранее к этим идеям не смог прийти никто. В качестве примеров здесь можно указать на открытие аналитической геометрии Р. Декартом и П. Ферма, открытие математического анализа И. Ньютоном и Г. В. Лейбницем, открытие неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским, Я. Бойяи и К. Ф. Гауссом, открытие векторного исчисления Г. Грассманом и У. Р. Гамильтоном и т. д., подобно тому как к идеям (специальной) теории относительности одновременно пришли А. Эйнштейн и А. Пуанкаре, а квантовая механика в разных, но эквивалентных обличиях была независимо и одновременно разработана Э. Шредингером и В. Гейзенбергом. При этом, для того чтобы еще больше оттенить независимость развития науки от каких бы то ни было индивидуальных свойств ученых, делавшие одни и те же открытия люди сплошь и рядом оказывались по своим человеческим свойствам весьма различными, чуть ли не несовместимыми. Так, например,

трудно найти более непохожих друг на друга людей, чем абстрактнейший мыслитель, никогда не получивший систематического образования и пришедший к математике от своих теологических и филологических интересов, Герман Грассман, всю жизнь проработавший учителем математики в гимназии провинциального немецкого города Штеттина, и общительный (а порой—даже беспутный) астроном из ирландской столицы Дублина Роан Уильям Гамильтон, в трудах которого математика всегда связывалась с физикой и механикой (прогресс которых в XIX в. во многом связан с именем Гамильтона), или как кабинетный ученый Исаак Ньютон, не посетивший, кажется, ни одного города, кроме Лондона и Кембриджа, и объехавший чуть ли не весь свет Готфрид Вильгельм Лейбниц, разностороннейший ученый и мыслитель с широчайшими внематематическими интересами. Но развитие физики в XIX в. потребовало векторного исчисления, а развитие техники в XVII в. требовало дифференциального и интегрального исчисления; математика же всегда оперативно откликается на требования жизни, ибо она есть все же не шахматная игра, а наука, создаваемая усилиями людей — и для людей.