ПРЕДИСЛОВИЕ

Читатель, если вы раскрыли эту книгу — значит, вас не отпугнуло слово «математика» на ее обложке. Вы, конечно, представляете, сколь важной стала эта наука сегодня и как стремительно расширяется сфера ее приложений.

Вместе с тем вам, вероятно, известно привычное мнение, будто математику «выдумывают» этакие отшельники в академических шапочках, будто математика — наука чрезвычайно абстрактная, сухая, сложная, изучать ее невероятно трудно, так что человеку средних способностей удается постичь в ней самые элементарные вещи, а все остальное, именуемое высшей математикой, — удел исключительно одаренных людей.

Такое мнение ошибочно. Математика возникла из практической деятельности человечества, здесь ее корни, стало быть, основные понятия математики можно пояснить на обыденных, общеизвестных примерах.

Авторы книги, которую вы держите в руках, читатель, проводят эту мысль последовательно, демонстрируя ряд основополагающих концепций высшей математики с помощью простых доходчивых образов. Разговор о множествах начинается с игры в слова (алфавит — это множество букв), идея координат возникает из рассмотрения прямоугольной сети улиц, свойства функций иллюстрируются пословицами и т. п.

Язык книги свободен и легок. Однако при всей ка-жущейся нестрогости изложения в его основе лежит строгая логика предмета. Описываемые понятия появляются в продуманной последовательности, их образы соответствуют точным определениям и складываются в систематическую картину.

Книга будет полезна и школьному учителю математики, и руководителю математического кружка, и любителю математики.

Член-корреспондент АН СССР

С. П. КУРДЮМОВ

ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ - ДИАЛОГ АВТОРОВ

— Математика в образах? Без строгих доказательств, без формул? Не перехватили ли мы? Ведь это что-то вроде географии без карт или оперы без музыки!

— Что ж, опера без музыки в самом деле ничто. А что касается карт... Разве в них соль географии? Когда ты смотришь видовой фильм, слушаешь бывалого путе-шественника или путешествуешь сам — разве ты не пополняешь свои географические познания? К тому же все это гораздо глубже воспринимается и гораздо интереснее, чем карты. Хотя, конечно, те подают информацию в предельно отчетливом, концентрированном виде. Так же и формулы. При всей их четкости и емкости — не в них душа математики.

— Ну-ка, ну-ка, в чем же она, эта загадочная душа математики?

— Не знаю, убедят ли тебя мои собственные слова — как говорится, нет пророка в отечестве своем. Поэтому позволь спрятаться за авторитеты. «В математических работах., главное — содержание, идеи, понятия, а затем для их выражения у математиков существует свой язык — это формулы». Заметь: первично — содержание, идеи, понятия, а форма, формулы — вторично.

— Кто это сказал?

— Софья Ковалевская.

— Ну, хорошо. Формулы — не душа математики. Но все-таки язык! Родной язык! Тебе приходилось когда- нибудь читать японские стихи?

— В переводе.

— Вот-вот! В переводе, где короткие слова оригинала приходится заменять многосложными. И — улетучилось своеобразное очарование японской поэзии! Ощутить его можно, лишь изучив японский язык и читая стихи в подлиннике.

— Да, но все мы живем в условиях постоянного цейтнота. Прежде чем начинать какое-то дело, нужно знать, ради чего оно предпринимается, видеть конечную цель. Я возьмусь за изучение японского языка лишь после того, как мне расскажут о неповторимых прелестях японской поэзии на моем родном языке. Но если вместо этого мне дадут свиток с иероглифами... Математические формулы для непосвященного — те же иероглифы. Да и доказательства для него не понятнее иероглифов. Этот жаргон, эти бесконечные «если... то... для любого... существует... вообще говоря... по крайней мере...».

— Ну, уж тут позволь с тобой не согласиться. Есть хороший анекдот на эту тему — не возражаешь?

— Давай.

— Рихард Дедекинд, как ты знаешь, умер глубоким стариком, через много лет после того, как написал свои классические труды. А о классиках принято думать, что жили они в давно прошедшие времена. Короче говоря, где-то в начале нашего века Дедекинд раскрыл какой- то календарь и прочел там: «Рихард Дедекинд. Умер в Брауншвейге 4 сентября 1899 года». Дедекинд написал тогда издателю календаря: «Глубокоуважаемый коллега!.. Позвольте обратить Ваше внимание на то, что в дате моей смерти неверен по крайней мере год». Так и чувствуется рука математика! А в этом самом «по крайней мере» заключено все остроумие ответа. Так что строгость и занимательность — вещи вполне совместимые, можешь меня не разубеждать!

— Не приведи господи! Ведь именно об этом я тебе и толкую! Анекдоты и приметы, пословицы и детские считалки, картины великих художников и отрывки из классических произведений, факты истории и нашей повседневной жизни — вот где нужно искать иллюстрации к математическим понятиям! И они не могут не найтись. Разве древо математики поднялось бы до таких высот, если бы не уходило корнями в глубины общечеловеческой практики?

— Ив таком духе ты намереваешься изложить всю математику, и притом совершенно строго?

— Зачем всю? И зачем совершенно строго? Наша книга не должна быть учебником. Важны основные идеи и понятия. И если читатель войдет во вкус, — он потом возьмется и за учебники, за формулы и строгие доказательства. «Подобно тому, как рою бесчисленных пчел, поражающему наперебой своими жалами, не удается отогнать упивающегося медведя, если он хоть немного вкусил приятность скрытого в дереве меда, так нет, разу-меется, никого, кто, хоть краем губ постигнув сладость математических доказательств (какая бы масса величайших трудностей, которыми эти доказательства сопровождаются, ни отталкивала его, точно частыми уколами жал), не стремился бы всеми силами освоить их вполне, до полного насыщения». Это сказал Бонавентура Кавальери в своем трактате «Геометрия».

- Ну и что же за книга у нас получится? Если не учебник — то что? Что-то вроде «Кабаре математики» Графа? «Математической смеси» Литтлвуда? Развлекательное чтиво?

— Не учебник и не чтиво. Я попытался бы определить ее дух иносказательно. Представь себе поток, на одном берегу которого стоит жаждущий, но не сведущий, а на другом раскинулись райские сады математики. Книги о математике — словно камни в потоке, по которым можно переправиться на ту сторону. К берегу незнания примыкает россыпь анекдотов. У другого берега теснятся глыбы учебников. А в промежутке — не так уж много для уверенной переправы. Трехтомник «Математика, ее содержание, методы и значение» А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева и других. «Что такое математика?» Р. Куранта и Г. Роббинса. «Что такое математика?» Л. Геффтера. «Прелюдия к математике» и «Путь в современную математику» У. У. Сойера... Где-то здесь мы и должны положить свой камешек.

— Книгу полусерьезную-полушутливую, как я понял. Этакий гибрид теоремы и побасенки. А форма книги?

— Есть стиль, на мой взгляд, отлично соответствующий ее содержанию. Фрагменты, связанные друг с другом не словесными переходами, но одною лишь логикой предмета.

— Догадываюсь: «Опыты» Монтеня, «Записки у изго-ловья» Сэй-Сёнагон...

— Высокие примеры! В вольном разбеге пера одна за другой появляются зарисовки лаконичные и в то же время детальные, поэтичные и в то же время глубокомысленные, часто проникнутые усмешкой... Вот бы и нам показать в таких картинах важнейшие области математики!

— Итак, нечто вроде путеводителя по математике?

— А почему бы и нет? Когда ты едешь в незнакомый тебе город и предвкушаешь его красоты, ты берешься не за фолианты по его архитектуре. В таких томах ты рискуешь споткнуться о фразы типа: «Рустованный периптер фланкируется лучковыми сандриками». От такого чтения первое свидание с городом наверняка будет испорчено. А интересный путеводитель, хороший гид расскажут тебе то же самое понятным тебе языком, да еще приведут старинную легенду или отрывок из поэмы, навеянной образом этого города. И если все услышанное тобою заронит в твою душу чувство любви к замечательному городу, это заставит тебя взяться потом и за серьезные книги о нем, перечитать все те скучные фолианты, которые иначе только отвратили бы тебя от него.

— Решено. Так в путь же — и пригласим с собою чи-тателя!

ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ —

ДИАЛОГ

АВТОРОВ

— Ну вот и окончилось наше путешествие по некоторым интересным уголкам математики.

— И поскольку мы исполняли обязанности гидов, уместно поинтересоваться: не осталось ли у кого-то каких-либо вопросов?

— Позволь мне спросить первому: как ты думаешь, кто вместе с нами дошел до конца? Кому оказалось полезным знакомство с математикой, лишенной формул и строгих доказательств, место коих заняли шутки и побасенки? Кто заинтересован в подобных книгах?

— Во-первых, мне кажется, преподаватели. Элементы высшей математики сейчас проникают даже в школьный курс. Школьникам надо излагать ее иначе, чем студентам. Как говорил Паскаль, <предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным».

— А можно воздействовать такими книгами непосредственно и на самих учеников, особенно если математика подавалась им в изрядно пересушенном виде и потому казалась скучноватой. Привлеченные яркой оболочкой занимательности, эти читатели попутно станут усваивать и математическое содержание, которое до сих пор казалось им горьким.

— Я вспомнил бы еще про тех, которым математика сейчас нужна в гораздо большем объеме, чем излагалось в школе и вузах, где они учились. Это биологи, лингвисты, социологи — короче, все те, кто пытается перевести свою специальность на математические рельсы. Где брать этим людям первые уроки математики? Из серьезных учебников? Не слишком ли высока эта ступенька для первого шага? Должны существовать книги, играющие роль промежуточной ступеньки.

— И их должно быть тем больше, чем интенсивнее происходит математизация знания. А ведь она ширится и ускоряется на наших глазах. Уже давно замечено, что из всех наук наиболее быстро развиваются точные. Вот почему прочие науки стремятся перейти в разряд точных.

— Мне вспомнилось по этому поводу высказывание Дарвина: «У людей, усвоивших великие принципы мате-матики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных».

— А я хотел бы привести слова другого биолога, хотя и менее известного, чем Дарвин. Это Фабр, автор книг о жизни насекомых. Про математику он говорил, что это «удивительная учительница в искусстве направлять мысли, приводить в порядок неупорядоченное, выкорчевывать глупости, фильтровать грязное и давать ясность. Но она, — продолжал далее ученый, — тот деликатный цветок, который произрастает не на всякой почве и распускается так, что никто не знает как».

— Имеется в виду, что никто не знает, каким образом некоторая область знания становится точной? К сожалению, исчерпывающих рекомендаций на этот счет, действительно, не существует. И если мы с тобой продолжим разговор на эту тему, мы сможем повторить лишь самые общие соображения.

— Согласен. Но если мы не сумеем порекомендовать представителю любой специальности, что именно следует делать ради математизации его науки, давай хотя бы предостережем его от того, чего не следует делать.

— По крайней мере разберем некоторые хронические заблуждения, касающиеся математики. Ну, например, многим кажется, будто развитие каждой математической дисциплины начинается с формулировки аксиом, невесть откуда взявшихся. А потом на них выстраивается все дальнейшее. Напротив! Четкая формулировка аксиом той или иной математической дисциплины завершает целый этап ее развития, оформляет достигнутые результаты. Как говорил Энгельс, «принципы — не исходный пункт исследования, а его конечный результат».

— Некоторые считают, что вся геометрия началась с «Начал» Эвклида. А ведь до этой книги были открытия Фалеса, Пифагора, Гиппократа, систематизированные Эвклидом. Причем его систематизация была кое в чем несовершенной, как выяснилось в прошлом веке. К исходу девятнадцатого столетия и была создана аксиоматика геометрии, в основном приемлемая по тогдашним канонам строгости. Она завершила, таким образом, двадцати-пятивековой этап в развитии элементарной геометрии.

— Но логично спросить: если точная наука начинается не с аксиом, то с чего же?

— Об этом могла бы рассказать история таких клас-сических точных наук, как механика, термодинамика, оптика, электродинамика. Все начинается с накопления экспериментальных фактов, установления устойчивых связей между явлениями, обычно называемых законами. Возьми хотя бы ту же электродинамику. Закон Ампера, закон Фарадея, закон Био-Савара — сколько их было от-крыто, покуда не появились уравнения Максвелла, свое-образные аксиомы электродинамики, из которых вытекали открытые до тех пор законы электромагнитного поля.

— Но, очевидно, ценность уравнений Максвелла этим не исчерпывается. В самом деле, хороша ли та теория, которая лишь по-новому излагает уже известное?

— Разумеется, нет! Теория и строится и развивается ради получения новых знаний о природе. Аксиомы ценны тем, что из них логическим путем выводятся утверждения, предсказывающие неизвестные ранее явления. Так было и в электродинамике: тот же Максвелл, анализируя свои знаменитые уравнения, пришел к заключению, что существуют электромагнитные волны, что свет имеет электромагнитную природу... Его гипотезы потом блестяще подтвердились экспериментами. Великий принцип математики, заключенный в ее дедуктивном методе, в способности вывести все свои утверждения из немногих аксиом, поистине вооружил физиков как бы новым органом чувств, который позволяет им предвидеть и постигать то, что они не могут увидеть и вообразить.

— Да, по-видимому, это хороший образец для любой науки, желающей стать точной. Хотелось бы выделить принципиальные моменты этого становления. По мере того как экспериментаторы накапливают опытные факты, теоретики вырабатывают элементарные основополагающие понятия, немногочисленные, но очень емкие в том смысле, что наблюдаемые факты могут быть интерпретированы как конкретные проявления этих понятий. В механике к их числу принадлежит понятие материальной точки, в электродинамике — понятие напряженности электрического или магнитного поля...

— И еще один принципиальный момент: анализ способов рассуждения, которые применяются в данной науке. Из них вырабатываются те принципы вывода, по которым из аксиом будут получаться следствия.

— Здесь, по-моему, дело обстоит намного легче. Логика у каждой науки одна. Очень хорошо, если найденные в той или иной науке законы допускают количественную формулировку. Тогда для их выражения нужно лишь выбрать подходящий математический аппарат, а все дальнейшее идет по соответствующим правилам пре-образования формул.

— Я не согласен со словом «выбрать». Это значит — взять готовое. Такой путь, конечно, возможен и разумен. Математика создала богатый арсенал методов, доказавших свою эффективность и в механике, и в термодинамике, и в оптике...

— И часто случается, что одно и то же уравнение по-зволяет описать очень далекие по своему физическому смыслу явления. Одна и та же формула, например, выражает и закон взаимодействия двух электрических зарядов, и закон притяжения двух масс. Вполне может оказаться, что математический аппарат термодинамики пригодится в какой-то лингвистической теории.

— Но может случиться и так, что готового аппарата для новой развивающейся науки на математических складах не найдется. Тогда его придется строить с нуля. Кстати, это пойдет на пользу самой математике, пополнит ее арсенал. Необходимость творчества может выявиться в самых непредвиденных местах. Вот, скажем, ты уверен, что во всех науках логика одна и та же — с ее извечным «да — нет», «истина—ложь». Но вспомни, как ты голосуешь на собраниях. У тебя не две, а три возможности: «за», «против», «воздержался». И недаром разрабатываются многозначная логика и еще более диковинные логические теории. Вполне возможно, что какая-то наука, становясь точной, примет на вооружение такую логическую систему, которая точным наукам до сих пор была неизвестна. Ведь закономерности в каждой области знания свои.

— Иными словами, превращение той или иной науки в точную — это процесс, идущий из самой ее глубины, а не бездумное заимствование уже известного математического аппарата и отработанной терминологии.

— Такое, к сожалению, встречается нередко. В иных книгах, написанных под девизом математизации науки, по существу, нет ничего, кроме нагромождения формул да жонглирования эффектными словечками: инвариант, многомерность, изоморфизм...

— Искривленное пространство, векторное поле и прочая и прочая.

— Математизация не в этом. Не боясь повториться, я бы вновь попытался подчеркнуть два существеннейших ее положения. Первое — это обобщение уже достигнутого той или иной наукой и выделение нескольких основных утверждений, если угодно, аксиом, содержащих точное и полное описание взаимосвязей между элементарными понятиями данной науки и одновременно служащих определениями этих понятий. Второе — это закрепление принципов вывода, согласно которым всякое утверждение данной науки логически вытекало бы из ее аксиом.

— Все это, конечно, очень просто порекомендовать, но очень трудно выполнить. Проблем тут возникает немало. Располагает ли данная наука необходимыми для описанной процедуры основополагающими понятиями? Если располагает и на их основе удалось сформулировать некоторую систему аксиом, то полна ли эта система, то есть можно ли исходя из нее вывести любое утверждение данной науки, хотя бы любое из уже известных? Если же система неполна, то как ее пополнить? Такое пополнение рано или поздно окажется неизбежным с открытием новых фактов... Вот что должно заботить специалиста, желающего видеть свою дисциплину в ряду точных наук.