1. В основе сложившегося в нашей школе преподавания математики лежит разработанная многими поколениями отечественных педагогов и 'Научных работников система привития учащимся элементарных математических навыков. Этой цели, в конечном счете, подчинено все обучение. Преподавание математики на протяжении десятилетий сохраняет устойчивые черты, внешне проявляющиеся в употреблении учебников, написанных русскими педагогами задолго до революции. Напомним, что «Арифметика» А. П. Киселева вышла впервые в 1884 г., «Алгебра» — в 1888 г., «Геометрия»—в 1893 г. К этому же времени относятся и другие учебники: «Сборник алгебраических задач» Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова (1887 г.) и «Конспект прямолинейной тригонометрии» Н. Рыбкина (1887 г.). Правда, все эти книги подвергались в разное время переработке. Однако они и до сих пор в основе своей остаются учебниками 80-х и 90-х годов прошлого века.

2. В целом существующая система при правильном ее применении в руках опытного учителя удовлетворяет минимальным требованиям подготовки к практической деятельности и к обучению в высшей школе. В этом—ее сильная сторона и причина ее жизненности, причина, по которой она имеет много друзей среди учительства. Кроме того, значительная часть учительства слишком дорожит всей совокупностью своих профессиональных навыков и узкотехнических приемов, чтобы сразу, без внутреннего сопротивления, пойти на существенные перемены в удобном и привычном порядке вещей.

* Доклад, прочитанный на сессии Академии педагогических наук РСФСР 29 июня 1949 г.

3. Достаточно согласиться с высказанными положениями, чтобы сразу стали ясными и недостатки укоренившейся системы преподавания математики. В то время как содержание школьных программ и учебников по основным предметам, за исключением математики, настолько далеко шагнуло вперед, в такой мере насыщено идеями передовой советской науки, что самая мысль об использовании старого гимназического учебника по этим предметам показалась бы сплошной нелепостью,— содержание программ и учебников по математике в главных чертах следует канонам конца XIX в. и лишено идейной насыщенности.

4. В виде примера рассмотрим программу и учебник по алгебре для старших классов школы,

В VIII классе имеем следующие разделы: степени и корни (30 часов), квадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним (42 часа), системы уравнений второй степени с двумя неизвестными (18 часов), функции и их графики (10 часов).

Прежде всего бросается в глаза чрезвычайно скромное и, я бы сказал еще, «надежно изолированное» место, выделенное функциям и графикам. Только здесь, в самом конце программы VIII класса, впервые появляются система координат на плоскости, графики прямой и обратной пропорциональности и прочие элементарные вещи; появляются и остаются без приложений к пройденному курсу,

Они не найдут приложений и после летнего перерыва, по крайней мере, в первых двух четвертях IX класса, посвященных прогрессиям и обобщению понятия о показателе степени.

Непомерно большое время (70 часов) уделяется, в сущности, одному только квадратному уравне-

нию, без какой бы то ни было геометрической интерпретации того, что делается (ведь графиков еще нет). И этот весьма скромный, с точки зрения теоретического содержания, вопрос все-таки не рассматривается до конца, так как исследование квадратного трехчлена переносится на третью четверть X класса.

Понятие об иррациональных числах дается внутри раздела «Степени и корни». До тех пор, пока тема об иррациональном числе будет оставаться подчиненной частью этого раздела, никакие предостережения вроде следующего: «Было бы грубой ошибкой думать, что все иррациональные числа являются корнями из рациональных чисел» (напечатано мелким шрифтом на стр. 12 учебника) — не помогут. Все равно эта тема будет ассоциироваться в сознании учащегося со степенями и корнями. И учебник укрепляет у него эту ассоциацию, ибо вслед за главой «Понятие об иррациональных числах» идет глава «Преобразование иррациональных выражений».

5. Программа по алгебре в IX классе состоит из разделов: прогрессии (14 часов), обобщение понятия о показателе степени (8 часов), показательная функция и логарифмы (36 часов).

Ни в программе, ни в учебнике не сказано о том, что в разделе о прогрессиях речь идет об изучении последовательностей значений линейной или показательной функций и что так называемые формулы для общих членов прогрессий выражают этот факт в явном виде, а все относящееся к «сравнению арифметической прогрессии с геометрической» или «к некоторым свойствам бесконечных прогрессий» представляет лишь прямые следствия из простейших свойств этих функций, о которых в учебнике и говорится в своем месте, но без всякой связи с прогрессиями.

Заметим, что именно в этом разделе и для вопросов, близких к нему, большую помощь могла бы оказать математическая индукция. Как известно, она появляется в программе только один раз в самом конце курса.

В разделе «Обобщение понятия о показателе», как и вообще во всем курсе алгебры, отсутствует понятие общей степенной функции, тогда как она (в случае иррационального показателя) является одной из трех трансцендентных функций (наряду с показательной и логарифмической), которые при всех условиях должны входить в курс элементарной алгебры.

Вместо совершенно ясной концепции степенной и показательной функций и обратных к ним: также степенной функции и логарифма, учебник преподносит совершенно архаическое представление о двух действиях, обратных по отношению к возвышению в степень: извлечение корня и логарифмирование. Такая точка зрения логически несостоятельна, так как извле- 2

чение корня является обратным лишь для операции возведения в степень с натуральным показателем, т. е. при такой ограничительной трактовке понятия степени, при которой не удается ввести понятие логарифма в полном объеме. Впрочем, эта точка зрения типична для всех очень старых учебников, в которые еще не проникала идея функции. Неудивительно после этого, что в нашем учебнике лишь в скобках сообщается о том, что логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной (без всякой попытки разъяснить, что такое обратная функция), и ничего не говорится, например, о том, как связаны между собой графики у=^ а^х и y = \og_ax. Уже из этих примеров видно, что бросающиеся в глаза дефекты программы и учебника являются отнюдь не редакционными промахами, которые можно устранить поправками и доделками. Речь идет о коренном, принципиальном пороке учебника, который был очень хорош в св-ое время, но теперь устарел настолько, что никакие новые заплатки на нем не могут сделать его пригодным для советской школы середины XX века.

6. По всем предметам, кроме математики, наша школа дает основы науки, дает понятие о важнейших ее открытиях и методах, о тех, кто двигал науку, и прежде всего об отечественных ученых, о роли этой науки в жизни нашей страны.

Учащийся из курса физики или химии узнает о крупнейших ученых наших и зарубежных, о том, что именно они внесли нового в науку. Сам материал курса таков, что нельзя не говорить об этих открытиях и о том, кто является их творцами. Из курса математики подобных сведений нельзя вынести. В учебнике алгебры можно прочесть одну строчку петитом об арабском ученом Альхваризми и не узнать, что это и есть великий таджикский математик Магомет, сын Мусы из Хорезма. В первой части учебника геометрии крупным шрифтом торжественно сообщается о том, что английский математик Шенке в 1873 г. нашел 707 десятичных знаков числа к. К этому можно было бы добавить, что даже и этой бесполезной затеи он не сумел осуществить как следует: все знаки, начиная с пятьсот двадцать восьмого, неверные. Зато о Лобачевском можно прочесть только в мелком шрифте в конце второй части, где буквально сказано следующее: «В первой половине XIX века русский математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский, венгерский математик Иоанн Болиани немецкий математик Карл Фридрих Гаусс высказали смелую мысль. В подтверждение своей мысли они построили новую геометрию.». И далее в том же роде, все во множественном числе. Здесь нет и намека на то, чтобы установить безусловный приоритет Лобачевского, охарактеризовать величие и глубину его замысла, противопоставить

его смелую и мужественную позицию трусливой, недостойной ученого боязни «крика беотийцев», проявленной Гауссом.

Таков уровень «сведений» по истории математики, сообщаемых нашими школьными учебниками. Гораздо лучше, если бы этих «сведений» вовсе не было!

7. По решению Министерства высшего образования некоторые сведения по истории отечественной математики будут, начиная с 1950 г., требоваться от поступающих в вузы.

В свете этих требований недостатки действующей программы вскрываются особенно ярко. В ней не представлено движение математической науки, она не дает фона, на котором можно было бы показать научные открытия.

8. Еще в 1858 г. П. Л. Чебышев, как сообщает В. Е. Прудников в своей интересной статье *; в проекте программы преподавания математики в гимназиях требовал включения в курс математики основ аналитической и начертательной геометрии, механики, оптики, сферической тригонометрии некоторых разделов анализа и т. д. Не пытаясь обсуждать этих требований по существу, за отсутствием детальных данных, мы хотим подчеркнуть одну сторону в предложениях нашего великого соотечественника. Это — желание возможно более полно представить в средней школе математическую науку и именно в тех ее отраслях, которые имеют наибольшее значение для физики и техники, для практики.

В 1895 г. выдающийся русский педагог-математик В. П. Шереметевский, писал: «Молодые люди конца XIX в., готовящиеся принять официальное удостоверение в умственной зрелости, искусственно задерживаются на средневековом уровне математической мысли, считаются неспособными усвоить хотя бы элементы математики, как науки нового времени.». «Элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости. Чем раньше это будет вызвано и осторожнее выражено в сознании учащихся, тем лучше». И далее В. П. Шереметевский предлагал за счет некоторых сокращений в программе ввести элементы аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. В этом своем выступлении, как справедливо указывает проф. А. П. Юшкевич, В. П. Шереметевский «опередил идеи многих иностранных ученых и педагогов». Подчеркну от себя, что, в частности, он намного опередил идеи пресловутой «Меранской программы» (1906 г.), которую у нас некоторые педагоги и научные работники, в припадке

* «Педагогическое наследие П. Л. Чебышева», «Математика в школе», 1948, № 6.

** Цитирую по статье А. П. Юшкевича «Математика и ее преподавание в России XVII — XIX вв.», «Математика в школе-, 1949, № 3.

преклонения перед Западом, рассматривали в свое время как некое «откровение».

9. На первом и втором Всероссийских съездах преподавателей математики (1912 и 1915 гг.) настойчиво ставился вопрос о реформе математического преподавания, о повышении его научного уровня. Конечно, многие высказывания и предложения участников этих съездов исходили из глубоко чуждых нам интересов сословной школы Российской империи, но в основном решения обоих съездов были прогрессивны, они отражали высокий культурный уровень и запросы передовых русских учителей.

К этому вопросу, но уже с принципиально иных позиций, — позиций, которые должны отражать интересы культуры самого передового в мире социалистического государства, идущего к коммунизму,—следует вернуться, чтобы наконец разрешить его и претворить в жизнь.

Определенные шаги, оказавшие некоторое влияние на программы, учебники, преподавание, делались в этом направлении Академией педагогических наук, но они еще очень недостаточны. Известен проект программы, составленный Институтом методов обучения АПН при участии группы московских учителей*. Он (так называемая «розовая программа») представляет по сути дела некоторый компромисс между тем, что есть, и тем, что должно быть. В нем еще недостаточно отражены интересы математики как науки, не отражены развитие этой науки и роль отечественных ученых. Кроме того, материалы обучения распределяются в нем, исходя из одиннадцатилетнего, а не десятилетнего обучения. Все же этот проект представляет ценный материал для дальнейшей работы.

Мы не имеем сейчас разработанного проекта программы, стоящего на высоте общего уровня, на котором должна находиться советская средняя школа середины XX столетия. Для того чтобы конкретизировать наши пожелания, мы можем дать только ряд схематически намеченных положений, которые могли бы быть использованы для ее построения. При этом мы ограничиваемся в основном вопросами арифметики, алгебры и анализа. Принципы построения курса геометрии освещены в специальном докладе члена-корреспондента АПН Н. Ф. Четверухина.

а) Семилетняя школа

В связи с введением обязательного семилетнего обучения, начальная школа перестает иметь самостоятельное значение и становится подчиненной частью семилетней школы. Этот важнейший факт необходимо использовать для решительного улучшения преподавания арифметики, передав его пре-

* Из учителей в составлении программы участвовали: М. X. Кекчеева, Н. Н. Николаева, М. Н. Покровская и др.

Преподавание, начиная с IV класса, учителю-предметнику. Это даст возможность добиться того, чтобы весь курс арифметики заканчивался в V классе. В V классе при решении арифметических задач следует использовать там, где это целесообразно, простейшие уравнения вида:

। I. * + У = ^е ах±Ьу = е ах + Ь — с\ _к—y=f'> cx+dy=zf,

применяя для указанных систем метод сложения и вычитания, с предварительным уравниванием коэффициентов.

Курс алгебры семилетней школы должен включать следующие разделы: рациональные числа; их геометрическое представление и система координат на плоскости. Простейшие тождественные преобразования. Линейные уравнения с одним и двумя неизвестными. Линейная функция и ее график. Извлечение квадратного корня из чисел и квадратные уравнения. Квадратный трехчлен и его графика. Обратная пропорциональность и равнобочная гипербола. Приближенные вычисления и пользование таблицами.

б) Старшие классы средней школы

VIII класс

Уравнения линейные и квадратные с численными и буквенными коэффициентами и приводящиеся к ним.

Степенная функция с рациональным показателем и ее свойства. Уравнения, содержащие радикалы.

IX класс

Показательная и логарифмическая функции. Логарифмы. Линейная интерполяция. Последовательность значений линейной, степенной и показательной функций для равноотстоящих значений аргумента. Принцип математической индукции. Пределы.

Понятия об асимптоматическом законе распределения простых чисел П. Л. Чебышева.

Развитие понятия числа. Комплексные числа и их применения к решению уравнений. Приведение рациональных функций к каноническому виду. Метод неопределенных коэффициентов и примеры разложения на простейшие дроби.

X класс

Элементы аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений. Применения к геометрии и физике.

Комбинаторика с применениями к подсчету вероятностей. Понятие о законе больших чисел в его элементарной форме и в форме П. Л. Чебышева.

Понятие об аксиоматическом построении основ арифметики и геометрии. Открытие Н. И. Лобачевского и его значение для развития науки.

Главная трудность состоит, конечно, в том, чтобы, тесня традиционный и включая новый материал, в целях повышения идейно-теоретического уровня курса, сохранить его доступность и не снизить качества усвоения учащимися основных математических навыков. Это требование предполагает разработку программ, составление новых учебников и задачников, разработку методики преподавания с такой тщательностью и продуманностью, с такой основательной проверкой на практике, чтобы новая система могла полностью заменить старую.

Немаловажным условием для этого явится осмысливание с позиций современной советской науки всего содержания математики, применительно к интересам и задачам школьного курса. Попытку такого осмысливания представляет обширный коллективный труд «Основы элементарной математики», составленный Академией педагогических наук *.

Но вся указанная работа окажется, конечно, совершенно недостаточной, если она не будет подкрепляться широко организованным и научно поставленным опытом.

Академии педагогических наук необходимо иметь несколько школ, в которых она могла бы проводить обучение по разработанным ею программам и заново написанным учебникам. Только в процессе такой работы можно прийти к решениям, имеющим значимость для всей советской школы. Но что особенно важно и без чего никакой успех в деле повышения идейно-теоретического уровня преподавания математики невозможен—это то, чтобы наше учительство прониклось сознанием недостатков существующего уровня преподавания и направило бы свои силы на их устранение.

* Труд этот принят к изданию Государственным издательством технико-теоретической литературы, и первые его книги готовятся к выпуску в свет в 1900 г.

От редакции

Статьи А. И. Маркушвича и Н. Ф. Четверухина ставят на обсуждение педагогической общественности важные, принципиален 4* вопросы — о повышении идейного и научного уровня математического курса в средней школе. Авторы указывают и те пути, по которым, по их мнению, должна пойти перестройка программы по алгебре и по геометрии и в связи с этим, структуры и содержания этих предметов. Печатая статьи в порядке обсуждения, редакция приглашает читателей высказать свои соображен т по поводv конкретных мероприятий, предлагаемых в статьях А. И. Маркушгвича и Н. Ф. Четверухина.

О НАУЧНЫХ ПРИНЦИПАХ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В СОВЕТСКОЙ ШКОЛЕ*

Н. Ф. ЧЕТВЕРУХИН (Москва) Член-корр. Академии педагогических наук РСФСР

Проблема содержания и методов преподавания математики, в частности геометрии, в школе очень сложна. Причиной этой сложности является многообразие тех задач, которые ставятся перед школьным курсом геометрии, тех требований, которые к нему предъявляются. В самом деле, преподавание геометрии в школе должно учитывать следующие важные моменты:

1) Научная ценность курса и научная система его изложения.

2) Практическая ценность преподавания, подготовка к практической деятельности учащихся.

3) Воспитательные задачи (развитие пространственного воображения учащихся, развитие логического мышления, различных умений, навыков и т. п.).

4) Все преподавание в целом должно быть построено таким образом, чтобы содействовать выработке у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения, правильного понимания задач и цели научного знания, его важности и необходимости в жизни человеческого общества.

Все сказанное показывает сложность проблемы преподавания школьных предметов и необходимость всестороннего изучения и решения этих проблем.

Полезно напомнить, что буржуазные школы капиталистических стран подходили почти всегда односторонне к решению педагогических задач. В частности, это ярко выразилось и в области методики геометрии. Так, можно было отметить крайнее увлечение формально-логическим направлением, связанным с односторонним толкованием Евклида. Особенное упорство проявляли в этом отношении английские школы с их консервативно-евклидовским построением школьного курса геометрии. Аналогичные тенденции наблюдались в педагогических течениях итальянских школ, где по почину Веронезе и других итальянских геометров преобладало формально-логическое направление в преподавании геометрии. С другой стороны, во многих американских школах вопрос о преподавании геометрии, как и других математических предметов, ставился в зависимость только от тех практических выгод, которые можно было из них извлечь. Американский «бизнес» и здесь решал вопрос о том, следует ли включать тот или иной предмет в план школьного обучения и в каком объеме.

• Доклад, прочитанный на сессии Академии педагогических наук РСФСР 29 июня 1949 г.

Мы хотим полного и полноценного решения проблемы преподавания школьного курса геометрии в нашей советской школе. К этому направлены усилия советского учительства, методистов и научных работников. Сектор методики математики Академии педагогических наук прилагает усилия к тому, чтобы объединить работу всех занимающихся вопросами улучшения преподавания математики в советской школе и содействовать скорейшему решению указанных выше проблем. Из доклада члена-корреспондента АПН А. И. Маркушевича можно было видеть, как много еще предстоит сделать в области научной организации и содержания школьного курса математики. Большая работа предстоит также и в отношении других задач преподавания математики, в частности геометрии в средней школе.

Мы хотим остановиться здесь на ряде вопросов преподавания геометрии, являющихся, по нашему мнению, наиболее существенными и решающими. При этом мы, естественно, не можем взять на себя попытки детального решения таких задач и считаем необходимым лишь изложить свою точку зрения по поводу рассматриваемых вопросов и их возможного решения.

I. Первый принцип, который нам хотелось бы отстаивать в области преподавания геометрии, можно было бы выразить словами; «Ближе к жизни». Если мы хотим иметь геометрию, практически полезную для питомцев школы в их будущей жизни и деятельности, то мы, естественно, должны будем заимствовать основные понятия, образы и соотношения между ними для такой геометрии из жизни, из окружающего действительного мира.

На ранней стадии обучения учащиеся должны прибегать к непосредственному созерцанию и наблюдению окружающих их предметов. Так, они видят вокруг себя прямоугольные формы стола, двери, окна и других предметов или круглые формы тарелок, циферблата часов, цилиндрические формы стакана, конические формы цветочного горшка, абажура и т. п.

Восприятие, которое они получают от окружающих предметов, приводит их к выработке таких абстрактных понятий, как понятие формы предмета, т. е. геометрических фигур, их взаимного расположения, например, понятий параллельности и перпендикулярности. «Геометрия вокруг себя» — вот что должно служить принципом обучения этому предмету в младших классах школы.