КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ Н. И. БЕСКИНА .МЕТОДИКА ГЕОМЕТРИИ»

Учебник для педагогических институтов, Учпедгиз, 1947 г.

Т. А. ПЕСКОВ (Уфа)

В книге Н. М. Бескина чувствуется крайне пренебрежительное отношение ее автора ко всей созданной до настоящего времени методической литературе по преподаванию геометрии. Автор ни одного слова не сказал о дореволюционных русских методистах. Большая работа, выполненная в области методики преподавания геометрии советскими методистами, также не нашла никакого отражения в книге.

Переходя к рассмотрению отдельных вопросов, остановимся сначала на вопросе о концентрах в преподавании геометрии. Соображения автора о необходимости подготовительного курса геометрии вполне правильны. Давно известно также, что средствами познания при изучении подготовительной геометрии являются интуиция и опыт. Значительно труднее решить вопрос о соотношении между логикой и интуицией, как средствами познания в систематическом курсе геометрии.

Касаясь этого вопроса, Н. М. Бескин рекомендует ориентироваться на такой уровень логической строгости в доказательстве теорем, который характерен для греческой геометрии. Отсюда следует, что автор рецензируемой книги не разделяет имеющиеся в литературе тенденции к более постепенному введению в преподавание геометрии логических элементов и расширению сферы применения интуиции*.

Автор не только не считается с такой тенденцией, но во многих случаях рекомендует более строгое с логической точки зрения изложение теории в сравнении с греческой геометрией, В книге Евклида утверждение о равенстве прямых углов включено в число аксиом. В учебниках А. П. Киселева и Н. А. Глаголева нет теоремы о равенстве прямых углов. В некоторых старых учебниках эта теорема доказывается, но не сразу после определения прямого угла. Н. М. Бескин рекомендует доказательство равенства прямых углов проводить непосредственно за определением прямого угла и дает на странице 89 такое сложное доказательство, что всякий читатель, знающий уровень развития

* Постепенное и осторожное введение доказательств рекомендуется и в методическом письме, изданном Управлением школ Министерства просвещения РСФСР в 1947 г.

учеников, признает его недоступным для VI класса, тем более, что при предлагаемом автором расположении материала теорема о равенстве прямых углов является первой теоремой.

В книге Евклида, в учебниках Киселева и Глаголева и во многих других учебниках не доказывается теорема о существовании перпендикуляра к прямой в точке, взятой на этой прямой. В некоторых учебниках (Рашевский, Гебель, Давидов) доказывается только единственность такого перпендикуляра, но Н. М. Бескин доказывает обе теоремы, причем для первой дает даже два доказательства.

Вполне естественно, что, признавая необходимость доказательства теоремы о существовании перпендикуляра к прямой в данной на ней точке, автор не мог критически отнестись к теореме о перпендикуляре к прямой из точки, взятой вне прямой. Он отсылает читателей к учебнику Киселева, в котором на странице 15 дается такое доказательство этой теоремы, что даже опытные преподаватели очень часто не могут добиться понимания его учениками.

На сугубо логической точке зрения стоит также автор, рекомендуя все без исключения определения сопровождать доказательством существования определяемых объектов (стр. 60). Такая установка, данная без соответствующих разъяснений, вызывает у читателей недоуменный вопрос, как доказать, например, существование прямого угла или биссектрисы непосредственно после их определения.

Этим вопросом интересовался такой крупный методист, как проф. Извольский, который решил его путем перенесения некоторых определений из VI класса в,VII, так, например, он дает понятие о прямом угле только после рассмотрения теоремы о диагоналях ромба, т. е. после доказательства существования равных смежных углов. На основании этой же теоремы устанавливается, возможность деления угла на две равные части, после чего дается определение биссектрисы.

Следовать в данном вопросе за проф. Извольским — это значит перестроить всю программу геометрии. В этом случае пришлось бы, например, теорему о свойстве угла при вершине равнобедре того треугольника, теоремы о равенстве прямоугольных треуголь-

ников и о геометрических местах перенести в VII класс.

Если проф. Извольский не мог правильно решить вопрос о доказательстве существования геометрических объектов, а Н. М Бескин ограничивается самыми общими указаниями, как будут решать этот вопрос рядовые учителя средней школы? Мы полагаем, что давать такие необдуманные рекомендации в учебнике методики геометрии не следовало бы.

С педагогической точки зрения представляется совершенно нецелесообразным доводить до таких пределов логическую строгость при выяснении новых понятий. Можно считать вполне допустимым знакомить учащихся с геометрическими понятиями на основании интуитивной убежденности в существовании соответствующих объектов, а позднее, когда учащиеся будут знать необходимые для этого теоремы, обосновывать логически, что те или иные объекты действительно существуют. Так и располагается материал во всех почти учебниках геометрии. Биссектриса угла определяется на первых уроках, а задача на деление угла на две равные части решается значительно позднее. Определение медианы дается на первых страницах учебников, а задача на деление отрезка на две равные части решается позднее и т. п.

В некоторых случаях возможно доказать существование определяемых объектов и непосредственно за их определением, как например, существование перпендикуляра к плоскости.

Изложенные соображения говорят о расхождении автора с передовыми методистами по вопросу о соотношении между логикой и интуицией. Н. М. Бескин рекомендует изучать в VI классе такие теоремы и давать такие доказательства, которые находятся в резком противоречии с указаниями передовой методики и изложение которых неприемлемо для учеников.

По поводу известных преподавателям случаев протестов учеников против доказательства теорем, кажущихся очевидными на основании чертежа, Н. М. Бескин вполне правильно утверждает, что нужно сначала посеять в сознании учеников сомнение в том, справедлива ли данная теорема, а потом уже это сомнение разрешить. Эту мысль, известную еще дореволюционным методистам, автор считает одним из важных основных принципов преподавания математики, но указанный им на странице71 пример крайне неудачен: посеять в сознании учеников VI класса сомнение в равенстве прямых углов нельзя, не выяснив предварительно несоответствие наших зрительных восприятий действительным соотношениям между геометрическими объектами. Автор не использовал те прекрасные указания по этому вопросу, которые имеются в педагогической литературе.

В связи с разобранным вопросом отметим резкое противоречие между некоторыми утверждениями автора. С одной стороны, он рекомендует вызвать у учащихся сомнение в справедливости теорем, а потом это сомнение разрешать, а, с другой стороны, на странице 75 утверждает, что «доказательства теорем в курсе геометрии приводятся не для того, чтобы убедить учеников в справедливости этих теорем». Как примирить эти исключающие одна другую точки зрения— предоставляется читателю, но мы полагаем, что в книге, изданной в качестве учебника, не следовало бы оставлять без разъяснений такие большие вопросы.

Рассмотрение в книге Бескина некоторых вопросов логики является положительной стороной книги, но ценность экскурсов в область логики снижается неудачным изложением вопросов о дедуктивном и индуктивном методах. Вопрос о дедуктивном методе излагается оторванно от вопроса X) (^ллогистических умозаключениях и не иллюстрируется геометрическими примерами, в результате чего у читателя не остается 50

никакого представления о значении дедуктивного метода в преподавании геометрии и вытекающих отсюда педагогических выводах (стр. 52).

Утверждение, что индуктивный метод не всегда приводит к верным выводам, следовало бы аргументировать примерами из геометрии и вообще из математики. Из приведенного в книге примера с ежедневным восходом солнца не вытекает с достаточной убедительностью недостоверность индуктивных выводов в математике.

Нельзя признать конкретным изложение вопроса о роли индукции в развитии математики. Этот вопрос не иллюстрируется соответствующими примерами из геометрии, и таким образом внимание читателя не акцентируется на применении индуктивного метода, как творческого метода, дающего возможность обнаружить различные геометрические закономерности из наблюдения отдельных фактов.

Рассматривая с принципиальной стороны вопрос о значении индуктивного метода, Н. М. Бескин обещает (стр. 55) подробно разобрать этот вопрос в следующей главе, но в главе III, говоря о генетическом методе изложения теорем, автор не устайавливает, какое отношение имеет индуктивный метод к генетическому. Таким образом в книге не вскрывается значение индуктивного метода в преподавании геометрии.

Рекомендуемый Н. М. Бескиным генетический метод разработки теорем не является новостью в методической литературе. Еще дореволюционные методисты указывали на необходимость разработки некоторых теорем в виде задач. В 1924 г. была издана методика геометрии проф. Извольского, в которой генетическому методу уделяется исключительное внимание, хотя проф. Извольский и не употребляет этот термин. Против генетического метода не может быть никаких возражений принципиального характера, но в учебнике методики геометрии следовало бы более обстоятельно выяснить преимущества генетического изложения теорем в сравнении с традиционным.

Иллюстрация генетического метода примерными разработками только двух теорем не говорит о большом желании автора видеть этот метод претворенным в жизнь. Н. М. Бескин на 70 стр. пишет: «Было бы ошибочным думать, что ко всем теоремам можно подойти так просто, как в вышеприведенных примерах. Стараясь по возможности приходить к теоремам естественным путем, мы не всегда можем достичь этого». Итак, сам автор признает, что в данных им разработках предусмотрены наиболее легкие случаи применения генетического метода, но как поступать в трудных случаях — ответа на этот вопрос нет.

В книге не выяснено даже, из каких принципов следует исходить при постановке вопросов, в результате решения которых возникают теоремы. Судя по приведенным примерам, исходные положения, определяющие содержание вопросов, носят исключительно теоретический характер, но в методической литературе имеются указания на постановку перед учениками и практических вопросов, необходимостью решения которых аргументируется изучение новой теоремы.

Автор в предисловии обещает дать научные методические теории, но трактовка вопроса о генетическом методе далека от научного изложения.

Переходим к вопросу о синтетическом и аналитическом методах доказательства теорем. Книга Н. М. Бескина не мобилизует учителей на применение такого ценного метода, как аналитический. Автор иллюстрирует аналитический метод единственным, давно известным в литературе, примером из стереометрии, но не дает никаких указании о доказательстве этим методом теорем из планиметрии, в чем особенно остро нуждаются учителя.

Игнорированием методических работ советских математиков объясняется тот факт, что изложение методических вопросов совершенно оторвано от диалектико-материалистической методологии математики.

В книге не рассматриваются вопросы о возникновении в сознании человека понятия фигуры, о происхождении геометрии из практических потребностей человека и о применении геометрической теории к решению практических задач. Указанные вопросы можно было бы отразить и в построении первых уроков геометрии, по поводу которых автор дает крайне скудные указания, нисколько не вооружающие учителей уменьем методически правильно строить первые уроки геометрии, очень часто определяющие то или иное отношение учеников к новому для них предмету. В частности, в книге нет методологически правильных указаний и о выяснении ученикам понятий о геометрии, геометрическом теле, поверхности, линии и точке.

Остановимся еще на некоторых крупных вопросах. В методической литературе и в учебниках геометрии имеется три варианта изложения вопроса о подобии фигур. Во многих старых учебниках не рассматривается подобное преобразование фигур. В учебнике Киселева, изд. 1939 г., понятие о подобии предшествует понятию о подобном преобразовании фигур. В учебнике Глаголева эти понятия даются в обратной последовательности. Принимая во внимание программу средней школы и принцип доступности учащимся сообщаемого материала, следует отдать предпочтение второму варианту.

Такого же взгляда придерживается и Н. М. Бескин, но в стремлении дать учащимся более широкое понимание идеи подобия от рекомендует совершенно неприемлемое определение общего понятия о подобии: «1 Подобие есть некоторое взаимно однозначное точечное преобразование плоскости.! (стр. 156). Здесь каждое слово непонятно ученикам.

Мы думаем, что будет лучше, если ученики сознательно усвоят недостаточно широкое определение подобия, чем будут заучивать без достаточного понимания определения, аналогичные приведенному.

По поводу изложения вопроса об объемах следует заметить, что автор, подобно Н. А. Глаголеву, при выводе формулы объема треугольной пирамиды обходится без леммы о равновеликости треугольных пирамид, что нужно признать вполне рациональным.

Что касается других вопросов стереометрии, то, видимо, автор, устремив все свое внимание на чертежи, забыл об этих вопросах, и, в сущности говоря, никакой методики стереометрии в книге мы не находим.

Совершенно не затрагивается в книге такой злободневный вопрос, как вопрос о борьбе с формализмом в преподавании геометрии. Ничего не сказано также о развитии функционального мышления учащихся при изучении геометрии. В учебнике методики геометрии следовало бы дать указания о наиболее рациональном построении урока геометрии, но таких указаний в книге тоже нет.

Один из основных принципов советской педагогики— принцип наглядности — не отражен в достаточной степени в книге Н. М. Бескина, что следует признать крупным пробелом.

Стремление автора книги ограничиться общими принципиальными установками особенно резко проявилось в изложении вопроса об ученическом творчестве (стр. 56). Вопрос огромного значения, вполне гармонирующий с общим направлением советского воспитания и с оценкой творческой деятельности в нашей стране, изложен на ³/4 страницы. Автор не раскрыл даже содержание понятия <ученическое творчество» и не установил, в связи с этим, различия между творчеством ученика средней школы и творчеством специалиста-математика. Совершенно не затрагивается в книге психологическая сторона вопроса об ученическом творчестве.

Достоинством книги Н. М. Бескина следует признать более широкую трактовку различных геометрических вопросов с научной точки зрения, сравнительно с другими методиками.

Некоторые сведения об аксиоматическом построении геометрии, о неевклидовой геометрии, а также более детальное рассмотрение вопросов о поверхностях и объемах, несомненно, расширяют кругозор преподавателя математики. Вполне удовлетворительно разработана также методика сообщения определений.

Что касается вопроса о перестройке курса тригонометрии в средней школе в смысле большого подчинения его по изучению высшей математики, рассуждения автора следует признать правильными, но такие вопросы практически решаются очень медленно, и на переходный период требуется методика, согласованная с существующей программой, а Н. М Бескин очень скупо дает соответствующие методические указания. В некоторых случаях даются явно неприемлемые установки. Так, например, на странице 240 рекомендуется каждую из формул приведения выводить отдельно, пользуясь чертежом на доске или чертежом, представляемым в уме, тогда как все формулы приведения могут быть выведены при помощи только трех чертежей, вполне понятным для учеников способом.

В книге приложена написанная проф. Астрябом методика преподавания наглядной геометрии. В отличие от Н. М. Бескина, А. М. Астряб подходит к вопросу с исторической точки зрения, указывая ряд методистов, занимавшихся методикой подготовительной геометрии. Статью следует признать весьма цепной, дающей хотя краткие, но обстоятельные ответы на основные вопросы методики подготовительной геометрии.

Подводя итоги высказанным в настоящей статье соображениям, мы приходим к выводу, что в книге Н. М. Бескина даются лишь крохи того огромного богатства, которое имеется в методической литературе, и в частности в советской.

Учителям нужны не отрывочные сведения по крупным методическим проблемам, а обстоятельное рассмотрение этих проблем, сопровождаемое достаточными практическими указаниями. В методике геометрии нужно сконцентрировать все представляющие ценность соображения, разбросанные по разным журналам и книгам.

Книга Н. М. Бескина не соответствует указанным требованиям, а поэтому издание ее не разрешает давно назревший вопрос об обеспечении преподавателей геометрии доброкачественным методическим руководством.

Нам могут возразить, что предъявляемые нами к методике геометрии требования не совпадают со взглядами автора на построение учебника методики геометрии, что автор имел в виду дать учителям научные методические теории, предоставив им самостоятельно изыскивать способы осуществления этих теорий, проявлять таким образом свое творчество.

Такая точка зрения, означающая недооценку накопленного уже опыта, должна быть признана неприемлемой.

Учитель, вооруженный только принципиальными соображениями, но не знающий, как применить эти соображения к обучению, будет пробовать различные приемы и допустит много ошибок.

Во всякой методике должно иметь место разумное сочетание принципиальных соображений с достаточно подробными конкретными указаниями.