КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ

О КНИГЕ С. А. БОГОМОЛОВА .ГЕОМЕТРИЯ (Систематический курс)*

С. А. ДАХИЯ (Харьков)

Систематический курс проф. С. А. Богомолова представляет собой новое и заслуживающее внимания явление в нашей литературе по элементарной геометрии.

Тематически содержание курса С. А. Богомолова почти не выходит за обычные рамки элементарных учебников по данному предмету, однако по своей архитектонике и по характеру изложения оно обнаруживает значительные особенности.

Наиболее отличительной чертой принятого автором способа изложения является отказ от вошедшего в традицию раздельного, обособленного рассмотрения планиметрических и стереометрических разделов геометрии. Таким образом, в рассматриваемом курсе проводится принцип (геометрического фузионизма». Известно, что педагогическое значение этого методического принципа состоит прежде всего в том. что им в высокой степени стимулируется развитие пространственной интуиции у изучающих геометрию. Правда, наряду с этим, существуют довольно веские педагогические доводы, говорящие и в пользу сохранения традиционного деления содержания курса элементарной геометрии на планиметрию и следующую за ней стереометрию. Эти доводы имеют, однако, решающее значение лишь для методики первоначального прохождения дедуктивного курса геометрии и значительно теряют в своей силе по отношению к повторному, более углубленному его изучению. А именно для такого изучения и предназначено руководство проф. С. А. Богомолова.

Необходимо заметить, что принцип фузионизма имеет под сббой не только указанное педагогическое, но и веское чисто научное основание. Действительно, уже в школьном курсе геометрии приходится иной раз «выходить из плоскости в пространство», чтобы осуществить или упростить доказательство некоторых планиметрических предложений (так что следы фузионизма имеются и в обычном изложении элементарной геометрии). Исторически важный пример фузионистского построения курса элементарной геомет- {>ии доставляет учебное руководство «Геометрия» i. И. Лобачевского, где фузионизм впервые проводится последовательно с определенной научной целью* (отделения геометрического материала, не зависящего от постулата о параллельных).

Второй характерной особенностью сочинения С. А. Богомолова является то. что, в отличие от других элементарных изложений предмета, автор строит все изложение на основе исчерпывающей аксиоматики. Преследуя прежде всего определенные педагогические цели (и, в частности, явно избегая превращения своего руководства в курс оснований геометрии), автор не стремится к абсолютной независимости принимаемых им аксиом, так что его аксиоматика оказывается несколько «избыточной». Из тех же соображений автор в одном-двух случаях, там, где полные доказательства слишком громоздки, довольствуется не вполне строгими (но «достаточно наглядными») формами выводов.

Познакомимся ближе с расположением материала в книге и с его изложением.

Книга открывается введением, в котором автор выясняет характер геометрии как науки и останавливается на логических основах методов математического доказательства. Здесь же анализируется вопрос об обратных теоремах, а также разбирается роль чертежа при дедуктивном изложении геометрии.

Основное содержание книги разделено на две части, из которых первая посвящена геометрии положения, а вторая — геометрии меры.

В первой части (§§ 1—9 книги) изложен тот материал курса элементарной геометрии, который не зависит от аксиом конгруентности, непрерывности и параллельности, т. е. базируется всецело на аксиомах принадлежности (по автору—«сочетания») и поря д к а («расположения»). Эта часть заключается установлением теоремы Эйлера для многогранников и анализом возможных случаев многогранников с одно

именными гранями и одноименными телесными углами. Нужно отметить, что аксиомы расположения автором формулируются с помощью принимаемого за основное понятия предшествования, причем аксиома Паша принимается в «усиленной» форме.

В принятых автором аксиомах и определениях простейших образов геометрии (луча, отрезка, треугольника и т. д.) обращает на себя внимание последовательное стремление сделать точку единственным основным геометрическим образом: все фигуры трактуются как совокупности точек » Это сближает определения автора с интуитивными представлениями о геометрических фигурах как о «частях пространства» (которое само определяется как совокупность всевозможных точек). Так, предлагаемое автором определение треугольника гласит: «Даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой; совокупность точек, лежащих на всевозможных отрезках, соединяющих одну из данных точек с точками отрезка, образованного двумя остальными, называется треугольником ЛВС». Такого рода определения неизбежно оказываются весьма громоздкими и^к нуждающимися в сопровождении «доказательствами определенности» (так, для оправдания приведенного определения треугольника приходится доказывать, что Л АВС не зависит от того» какая именно из точек А, В, С принята в качестве вершины соответствующего «веера отрезков»). Поэтому сомнительно, что их следовало предпочесть тем простым формулировкам, которые приняты в современных учебниках оснований геометрии и которые переходят уже и на страницы наших школьных учебников * **. Это не значит, однако, что читателю (а особенно читателю-учителю) не будет полезно познакомиться с определениями проф. Богомолова,— напротив, такое знакомство и при отрицательном отношении к замене этими определениями определений, принятых в современных учебниках, весьма желательно, так как самое сравнение различных определений одного и того же математического объекта способствует уяснению правильных понятий о природе математических определений, отходу от живучих догматических представлений в этом вопросе.

Обратимся к содержанию второй части книги (§§ 10—49). В §§ 10—21 установлены аксиомы «геометрического равенства» (конгруентности) для отрезков и для углов, развито исчисление отрезков и исчисление углов (плоских, двугранных и трехгранных), изложены элементарные свойства окружности и шаровой поверхности. В § 22 вводится аксиома непрерывности (в форме Дедекинда), из которой получаются «начало Архимеда» и «начало Кантора». Последнее облечено здесь в не совсем обычную форму, обнаруживающую желание автора сформулировать это предложение (подобно началу Архимеда)', не прибегая к явному использованию термина «точка» (т. е. исключительно на «языке отрезков»). В §§ 23—24, используя аксиому непрерывности, автор с логической полнотой анализирует относительное положение прямой и окружности, плоскости и сферы, а также двух окружностей и двух сфер. Общая теория измерения геометрических величин (при ее построении автор предполагает учение об иррациональном числе известным) изложена в §§ 25—26. В § 27 автор впервые в книге вводит понятие параллельных прямых и формулирует— в общепринятой ныне форме — аксиому параллельно

♦ Кажущимся исключением (связанным, очевидно, с неполнотой формулировки) является определение угла (ср. ниже).

** Ср. определения в учебнике элементарной геометрии Н. А. Глаголева.

сти (это 25-я и последняя аксиома в принятой автором аксиоматике).

В §§ 28—38 излагается обычная часть курса элементарной математики, в которой (части) аксиома параллельности играет либо роль незаменимого, либо роль упрощающего доказательства дедуктивного средства (нужно пожалеть, что автор не делает никакого различия между этими двумя случаями). § 39 посвящен вопросу о длине окружности. Избегая пользоваться понятиями теории пределов, автор определяет длину окружности как длину отрезка, который больше периметра всякого вписанного в эту окружность многоугольника и меньше периметра всякого описанного. Существование такого отрезка предварительно доказывается с помощью аксиомы непрерывности.

В §§ 40—42 автор, на основе современных представлений, развивает учение о площади многоугольников, отправляясь от понятия равносоставленности. При этом автор излагает два варианта данной теории: один, основанный на постулировании вспомогательной аксиомы де-Цольта о том, что многоугольник не может быть равносоставлен со своей частью, и другой — опирающийся на идеи Шатуновского и Гильберта. Развитие второго варианта доводится автором до доказательства аксиомы де-Цольта.

В § 43 решается вопрос о площади круга, причем в основу решения кладется определение понятия площади круга, аналогичное вышеуказанному определению длины окружности. В §§ 44 —46 изучаются основные свойства многогранников, относящиеся к геометрии меры, и устанавливаются типы правильных многогранников. Наконец, заключительные §§ 47 — 49 посвящены учению об объемах. Как известно, понятие равносоставленности утрачивает свое значение при переходе от многоугольников к многогранникам; поэтому теория объемов многогранников излагается автором по методу Шатуновского и Гильберта (собственно, изложение принципиальных положений теории здесь лишь намечено). В последних двух параграфах данной части изучаются поверхности и объемы тел вращения и поверхности и объемы шара и его частей.

В приложениях к книге помещены: 1) краткое изложение теории инверсии; 2) очерк обоснования геометрического равенства на понятии движения; 3) полсотни «упражнений», при выборе которых автор руководствовался стремлением к развитию у своего читателя навыков к строгому доказательству геометрических предложений.

Язык книги отличается немногословностью, умело сочетаемой с доступностью.

Наши критические замечания к книге проф. Богомолова сводятся к следующим соображениям:

1) Как мы отметили выше, значение принципа фузионизма отнюдь не сводится к одной роли «стимулятора пространственного воображения». При том характере, который носит рассматриваемое руководство, вполне естественно было бы ожидать, что в нем найдет какое-то отражение и роль этого принципа в углубленном исследовании взаимосвязей геометрических предложений. Мы хотели бы, в частности, найти в книге проф. Богомолова примеры применения стереометрических соображений к доказательству планиметрических предложений (например, плоскостной теоремы Дезарга). То, что при этом пришлось бы на один-два шага выйти за условные пределы традиционного содержания курса элементарной геометрии, не должно было бы остановить автора: без такого рода применений фузионизм в книге производит впечатление весьма поверхностного.

2) Недостаточно отражена в книге проф. Богомолова та первостепенная роль, которую играет в со

временном понимании геометрии идея геометрических преобразований. Эта роль значительно затушевана в данном руководстве уже самим фактом отказа от использования понятия движения* (взамен которого в руководстве применяется понятие «геометрического равенства»). По нашему мнению, автору следовало бы также, в связи с рассмотренными нм преобразованиями гомотетии и симметрии, познакомить читателя с общим понятием аффинного преобразования.

3) Автор проявляет непонятную непоследовательность в формулировке понятия угла. В то время как всякая фигура у него, по определению, является некоторой совокупностью точек, угол, напротив, определяется как известная совокупность лучей. Таким образом (без специальных дополнительных соглашений, которые автор, однако, не делает) в рассматриваемой книге угол не подходит под понятие геометрической фигуры.

4) Наряду с уточненными определениями различных геометрических понятий в курсе проф. Богомолова сохраняются и некоторые укоренившиеся, но

давно признанные бессодержательными (или даже нелогичными) формулировки. Таково, например, определение геометрического места точек как «совокупности точек, обладающих определенным свойством». Сохранение подобных архаизмов, устраняемых сейчас и из общепринятой учебной литературы, в книге, ставящей перед собой задачу вполне современного изложения предмета, не может быть оправдано.

Отмеченные нами (особенно в первых двух замечаниях) особенности книги проф. Богомолова не позво ля ют считать ее вполне последовательной реализацией замысла автора - «подойти к курсу элементарной математики с точки зрения современных научных теорий». На нее, скорее, следует смотреть как на хорошее первое приближение к реализации такого замысла. В соответствии с этим ее нужно рекомендовать как ценное пособие для того учителя, который собирается сделать свой первый шаг на пути к овладению современными идеями в элементарной геометрии. Этот первый шаг не должен только остаться и последним!

О ПРОБНОМ УЧЕБНИКЕ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

С. А. ПОНОМАРЕВ (Москва)

Учебник тригонометрии Рыбкина, по общему признанию учителей и научных работников, безнадежно устарел и должен быть заменен новым учебником. Коренной порок этого учебника заключается не только в том, что в нем нехватает фактического материала соответствующего программе (этот недостаток мог бы быть легко устранен), а в том, что он не удовлетворяет научно-методическим требованиям, предъявляемым средней школой. Подход автора к основным понятиям отражает взгляды конца XIX и начала XX века. В то время в средней школе еще не изучались функции, не было знакомства с системой координат, не было графиков. По сути дела, тригонометрия в изложении Рыбкина имеет основной своей целью научить учащихся решать треугольники. Естественно, что появление пробного учебника тригонометрии А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника было встречено учительством и научными работниками с исключительным интересом.

Этот учебник был впервые издан в 1940 г. Многочисленные отклики и пожелания об улучшении первого издания этой книги были авторами учтены, но условия военного времени не позволили издать переработанную книгу. В 1947 г. Учпедгиз издал переработанный учебник в качестве пробного. Это издание встретило живейшие отклики со стороны учительства, выразившиеся в письмах и рецензиях в редакцию математики Учпедгиза и в редакцию журнала «Математика в школе». Задачей этой статьи является дать обзор отзывов на 2-е издание этого учебника.

Остановимся вначале на общей оценке, которую получила книга. Приведем выдержки из некоторых рецензий и выступлений:

«Признать, что «Тригонометрия* А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника в ее настоящем виде (изд. 1947 г.) является хорошим учебником для средней школы, удовлетворяющим основным научным и методическим требованиям и доступным для учащихся».

* которое узаконивается лишь в приложении II к книге.

(Резолюция школьной секции Московского математического общества).

«Выпущенный вторым изданием в качестве пробного учебника «Тригонометрия» проф. Берманта и Люстерника является учебником, удовлетворяющим основным научно-методическим требованиям». (Решение совещания при Учпедгизе по обсуждению учебника.) «Издание учебника тригонометрии авторов Люстерника и Берманта есть большое достижение в области изучения тригонометрических функций».

(Проф. Брадис.)

«Я считаю, что этот учебник является чрезвычайно отрадным событием в жизни русской школы».

(Доц. Чичигин.)

«В учебнике исключительно хорошо и с научной точки зрения и с методической дается учение о функции.

.Было бы весьма желательным, чтобы этот учебник был введен в употребление в средней школе, в качестве основного учебника». (Учит. Николаева.) «Появление такой книги является прогрессивным явлением». (Засл, учитель Ларичев.)

«Учебник по тригонометрии Берманта и Люстерника (изд, 1947 г.) является тем учебником, которого давно уже ждет школа».

(Учителя Коровник, Щербак.)

«Новый учебник дает не формальное знание предмета, а знание, основанное на правильном и глубоком понимании». (Учит. Романовская.)

Среди имеющихся рецензий имеются две рецензии, дающие неблагоприятную оценку этой книги:

«Если бы книга по тригонометрии, написанная Бер- мантом и Люстерником, не предназначалась как учебник для средней школы, то о ней не стоило бы говорить. Было бы просто одной плохой книгой больше и только». (Учитель Захаров.)

«Введение в школу учебника «Тригонометрия» А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника не внесет никаких улучшений в преподавание тригономенжи в средней школе». (Доц. Лурье.)

Что же заставляет тт. Лурье и Захарова прийти к неблагоприятному выводу об учебнике Берманта и Люстерника? В чем они видят коренные недостатки этой книги?

Тов. Захаров пишет: «Основная порочность этой книги в том, что авторы лишили тригонометрию ее сущности — динамической модели тригонометрического круга, связанного с треугольником. Величайший математик Эйлер связал треугольник с кругом, и эта связь отмечена Энгельсом, как положительный момент, как подлинно диалектический процесс человеческого мышления. В динамической модели круга с треугольником— вся суть тригонометрии. Тригонометрия Рыбкина живет до сих пор потому, что Рыбкин не погрешил против основного в тригонометрической связи круга с треугольником».

По иным причинам, противоположным взглядам т. Захарова, т. Лурье считает книгу неудачным учебником. Он отмечает, что «появление этой книги считается учительством явлением прогрессивным» и далее пишет: «нет сомнения, что намерения авторов учебника, высказанные ими в предисловии к 1-му изданию, действительно являются прогрессивными. Авторы ставят себе задачей: «1) освободить школьный курс тригонометрии от архаизмов, каковыми являются определение тригонометрических функций с помощью так называемых тригонометрических линий; 2) при построении курса избегать «рецептурности», сведения этого курса. к набору формул» и руководствоваться «его идейной стороной», т. е. сделать центральной частью курса исследование свойств тригонометрических функций.

Но, к сожалению, эти ценные идеи не получают достаточно отчетливого отражения в учебнике. Авторы перестраиваются на новый путь недостаточно решительно, очевидно, находясь под влиянием традиционных взглядов на преподавание математики в средней школе».

Далее т. Лурье подробно останавливается на отдельных главах, желая обосновать тезис о недостаточности выполнения авторами взятых ими намерений и в конце делает вывод: «Задача построения курса тригонометрии в духе современных требований — определение тригонометрических функций с помощью понятия «вектор», «проекция вектора на ось» и внедрения функционального начала — учебником выполнена неудовлетворительно. Изложение учебника нельзя считать выдержанным ни с точки зрения науки, ни с точки зрения методики преподавания».

Совершенно иные взгляды в оценке того нового, что имеет учебник Берманта и Люстерника, высказывает абсолютное большинство рецензентов.

Приведем высказывания некоторых рецензентов о научном содержании и методике изложения рассматриваемой книги.

«Хотя в учебнике отводится заметное место и решению треугольников, но он рассматривает школьный курс тригонометрии, главным образом, как учение о тригонометрических функциях. В этом состоит основное достоинство учебника, позволяющее решить задачу о преподавании тригонометрии в школе в направлении сближения ее с наукой и насыщениями идеями общего учения о функциях, а также использования ее для интересных и содержательных в научном отношении практических приложений. Таким образом, учебник по своему идейному построению дает возможность выполнить ту реформу преподавания школьного курса тригонометрии, к необходимости которой уже давно пришли передовые математические круги». (Доц. Гибш.)

«Известно, что между математическими дисциплинами, проходимыми в средней школе, и современной 50

математической наукой имеется большая пропасть; особенно это можно сказать относительно тригонометрии. В средней школе тригонометрические функции рассматриваются геометрически, т. е. как функции угла. Целый ряд свойств тригонометрических функций при геометрической интерпретации опирается на данные, характеризующие евклидову геометрию. Например, доказательство формулы суммы квадрата синуса и косинуса угла основано на пифагоровой теореме, которой нет ни у Лобачевского, ни в других геометриях, но указанная формула для всех геометрий остается в силе. Отсюда ясно, что свойства тригонометрических функций не зависят от их геометрической интерпретации. Известно, что в курсе высшей математики тригонометрические функции определяются аналитически, синус и косинус представлены в виде рядов, или же они представляют собой решения дифференциальных уравнений. Хотя преимущество имеет аналитическое определение, но его пока невозможно давать в курсе элементарной математики.

Авторы рецензируемой книги сделали значительный шаг вперед для решения этой проблемы; правда, определение тригонометрических функций авторы дают сначала геометрически, т. е. они представляют тригонометрическую функцию как функцию угла, но затем, в 3-й главе, дают понятие тригонометрической функции отвлеченного аргумента, благодаря чему учащиеся получают хотя бы представление о том, что тригонометрическая функция не обязательно связана с углом». (Мачлакелидзе и Хоштария.)

«Основным отличием данного учебника от учебника Рыбкина является определение тригонометрических функций с помощью понятия направленного отрезка и его проекции на ось. В учебнике исключительно хорошо и с научной точки зрения и с методической дается учение о функции». (Учительница Николаева.)

«Отличительной особенностью рецензируемого учебника является то. что авторы отказались от определения «тригонометрических линий», а следовательно, и тригонометрических функций, как отношений тригонометрических линий к радиусу так называемого «тригонометрического круга». Графический метод анализа функций как тригонометрических, так и обратных тригонометрических, является органической составной частью учебника».

«В новом учебнике совершенно не рассматриваются вспомогательные тригонометрические линии, загромождающие курс тригонометрии; тригонометрические функции определяются при помощи проекций, многие формулы доказываются при помощи проекций, благодаря чему они доказываются проще и сразу в общем виде для произвольных углов. В новом учебнике усилена роль радианного измерения углов; для учебника в целом характерна функциональная точка зрения. К достоинствам нового учебника относится также то, что в нем рассматривается ряд вопросов, ранее не излагавшийся в учебниках тригонометрии». (Учительница Масленникова.)

Некоторые рецензенты отмечают, что принятая в учебнике система изложения «позволила авторам все формулы, все зависимости между тригонометрическими функциями сразу выводить для любых углов». Рецензентами обращается особенное внимание на изложение формул приведения и теорем сложения: строгое и общее доказательство, а вместе с тем доступность изложения является, по мнению рецензентов, удачей авторов.

Можно было бы привести и ряд высказываний других рецензентов, отмечающих то положительное, новое, что авторы вносят в изложение курса тригонометрии, но считаем, что приведенное в большей или меньшей мере характеризует основное в учебнике и его отличие от учебника Рыбкина.

Мы не станем останавливаться на замечаниях рецензентов по отдельным вопросам курса тригонометрии, так как многие из этих замечаний авторами учтены для подготовляемого нового издания учебника. Остановимся только на одном вопросе — нужно ли помещать главу «тригонометрические функции острого «угла» в учебник тригонометрии?»

Некоторые рецензенты считают, что эта глава — лишняя в учебнике. Приведем их возражения.

«Я считаю, что первая глава «Тригонометрические функции острого угла» не нужна. Она противоречит всему духу учебника. Учебник тригонометрии построен на других основах, чем пропедевтическое изложение этой главы». (Засл, учитель Ларичев.)

«По нашему мнению, главным недостатком в рецензируемой книге надо считать ее концентризм, что выражается в том, что курс начинается с тригонометрии прямоугольного треугольника. Определение тригонометрических функций дано посредством отношений сторон прямоугольного треугольника. Все формулы выведены на этом основании и первый концентр кончается решением прямоугольного треугольника. После этого начинается второй концентр с изучением тригонометрической функции произвольного угла.

Соображения сторонников концентризма, что будто учащиеся очень затрудняются в усвоении знаков тригонометрических функций по четвертям, и в усвоении течения изменения этих функций, с изменением угла — неверны, так как понимание этих вопросов не является трудным для учащихся, если проведено над этим достаточное количество упражнений. Большое значение имеет для выработки математических понятий первое впечатление учащихся. Определение, впервые принятое относительно того или другого понятия, настолько прочно, что изучение нового определения является для них очень затруднительным. Не считаем также правильным положение, якобы, прохождение первого концентра тригонометрии имеет независимое общеобразовательное значение. Это положение может быть верным, если бы изучение тригонометрии начиналось с VIII класса. На самом же деле изучение тригонометрии начинается с IX класса. По нашему мнению лучше начать изучение курса тригонометрии, вводя с самого начала понятие тригонометрических функций произвольного угла». (Мачлакелидзе и Хоштария.)

«Ознакомление с тригонометрическими функциями

проводится в учебнике концентрически. С целью дать школе серьезный курс тригонометрии авторы вместо обычных двух концентров (тригонометрические функции острого угла и тригонометрические функции произвольного угла) вводят еще третий концентр — тригонометрические функции отвлеченного аргумента.

Первый из этих концентров, заканчивающийся решением прямоугольных треугольников, в систематическом курсе тригонометрии является излишним. Он нисколько не облегчает усвоение второго и третьего концентров, ибо, как показывает опыт, учащиеся надолго свыкаются с определением тригонометрических функций, как отношение сторон прямоугольного треугольника, и с трудом переходят к новому определению». (Доц. Лурье.)

Приведем высказывания сторонников оставления этой главы.

«В своей практике, я всегда первый месяц работы в IX классе уделяю повторению пройденного в VIII классе, и первая глава учебника Берманта и Люстерника весьма помогает при повторении».

(Учительница Обуховская.)

«Глава «тригонометрические функции острого угла» по доходчивости и стройности изложения безупречна, и наличие ее в учебнике для учащихся XI—X классов повышает качество учебника».

(Учительница Трофимова.)

Авторы решили оставить эту главу и в 3-м издании.

Министерство просвещения решило еще раз издать пробным учебником «Тригонометрию» Берманта и Люстерника с тем, чтобы больший круг учителей мог бы ознакомиться с ним.

Весь текст учебника авторами был проверен и исправлен, причем наиболее серьезной переработке подверглись разделы «тригонометрические функции произвольного угла» (введена простейшая векторная терминология) и тригонометрические уравнения; доказательства некоторых теорем и предложений упрощены, переработан исторический обзор.

Одновременно с учебником по тригонометрии. Учпедгиз издает специально приспособленный к этому учебнику задачник, составленный Р. Г. Позойским.

Редакция математики Учпедгиза надеется, что 3-е издание учебника по тригонометрии будет встречено учительством и научными работниками внимательной и вдумчивой критикой, способствующей созданию для школы полноценных учебников.