Я. С. ДУБНОВ (Москва)

1. Принято думать, что на исходе шестого десятилетия прошлого века приблизилось к завершению победоносное шествие идей Н. И. Лобачевского и научный мир принял его тезис о логической равноправности евклидовой и неевклидовой геометрий. Вместе с тем должны были прекратиться, по крайней мере в среде серьезно образованных математиков, попытки доказательства постулата о параллельности. И однако в 1869—1870 гг. видный французский математик, член парижской академии Ж. Бертран** защищал такое доказательство, предложенное мало известным автором Картоном. В двух докладах, напечатанных в «Отчетах> (Comptes rendus) академии за 1869 и 1870 гг. Бертран сначала изла-

* Изложение доклада, сделанного автором в школьной секции Моск, матем. общества (в заседаниях 21 апреля и 19 мая 1949 г.). Уже после того как доклад был сделан, а изложение подготовлено к печати, появилась статья Э. К. Хилькевича «Из истории распространения и развития идей Н. И. Лобачевского в 60—70-х годах XIX столетия» (сборник «Историко-математические исследования», вып. II, ГТТИ, 1949), которая содержит исторические и библиографические сведения более подробные, чем приведенные в исторической части этого доклада.

Книги Бертрана переводились на русский язык и в свое время оказали известное влияние на нашу школу.

Таковы: 1. Дифференциальное исчисление, СПБ 1911.

2. Алгебра, СПБ 1899.

В связи с этим следует упомянуть о книгах, сыгравших заметную роль в те годы, когда в наших гимназиях преподавалась теоретическая арифметика.

Билибин, Теоретическая арифметика, составлена по Бертрану и др., изд. 9-е, 1914.

Его-же, Алгебра для гимназий и реальных училищ, сост. по Бертрану и др., изд. 3-е, 1899.

гал доказательство Картона, а затем полемизировал с критиками этого доказательства. Оба доклада были переведены на русский язык и напечатаны без комментариев в 4-м томе «Математического сборника» (1869—1870 гг.). Значительно позднее (1887 г.) киевский профессор В. П. Ермаков*, основатель «Журнала элементарной математики» (впоследствии получившего название «Вестник опытной физики и элемёнтар- ной математики»), изложил для своих читателей рассуждения Картона, причем, сохраняя идею доказательства, заметно его упростил. В. П. Ермаков не считает это доказательство убедительным, а только «наилучшим» в том смысле, что ошибку труднее обнаружить, чем в других случаях. Однако он сам не вскрывает порочности доказательства, предлагая сделать это читателям. Действительно, вскоре в журнале (№ 41 за 1888 г.) появилась заметка преподавателя В. Соллертинского («наставника гатчинской учительской семинарии»), который, по собственному признанию, пытался

* Василий Петрович Ермаков родился в 1845 г., умер около 1920 г. В возрасте 25 лет привлек к себе внимание научного мира открытием очень сильного признака сходимости рядов, который и теперь иногда воспроизводится в курсах анализа.

В дальнейшем — многолетний профессор Киевского университета, автор многих научных работ по вариационному исчислению и теории чисел, член-корреспондент Академии наук.

Неоценимой заслугой В. П. Ермакова перед нашей школой и математической культурой надо считать создание первого у нас устойчивого журнала, освещавшего вопросы элементарной математики и ее преподавания. Отказавшись позже от редактирования журнала, В. II. Ермаков на протяжении многих лет оставался деятельным его сотрудником.

сначала усовершенствовать доказательство, но на этом пути пришел к убедительному его опровержению. Более того, в статье остроумными соображениями доказывается, что, принимая постулат Лобачевского в форме: «сумма углов треугольника меньше двух прямых», мы делаем построение Картона, упрощенное Ермаковым, неосуществимым. Ниже изложен вариант доказательства, предложенный Ермаковым.

Предварительно вспомним следующие результаты, полученные Лежандром в начале прошлого века и доказанные нм строго без аппеляции к постулату о параллельности.

1) Сумма углов треугольника не может превышать к (здесь и в дальнейшем я— числовая мера развернутого угла); если назовем дефектом треугольника разность между it и суммой его углов, то эту теорему можно выразить еще так: дефект треугольника не может быть отрицательным.

2) Если для одного хотя бы треугольника дефект равен нулю, то он равен нулю для любого треугольника, и тогда геометрия окажется евклидовой, т. е. будет выполняться постулат о параллельности. Отсюда следует (от противного), что если постулат о параллельности не выполняется, то у всех треугольников дефекты положительны (и, вообще говоря, различны, как показывает несложное рассуждение).

Если бы теперь удалось доказать, что не существует треугольника с положительным дефектен, то этим была бы обоснована евклидова геометрия; приведем «доказательство» от противного, следуя- в основном Картону и Ермакову.

Пусть АА_хВ_г— треугольник с положительным дефектом 6 (черт. 1). На прямой отложим п—1 раз подряд отрезок, равный AA_lt так, что образуется последовательность, состоящая из п ра вных между собой отрезков:

~ А^Аi⁼ • • • ^⁼А_П — 2-^л — 1 ⁼ А_п _ }А_п.

р

Черт. 1

В интересах дальнейшего выберем число п таким, чтобы выполнялось неравенство:

«8 >3я. (1)

Каким бы малым ей было положителы ое (по допущению) 8, этого всегда можно достигнуть, если Зя взять ~=-. о

На каждом из отрезков А^.,., Л_я_ р4_я построим треугольник, равный исходному ДХЛ^ и лежащий по ту же сторону от прямой получим последовательность равных между собой треугольников:

Д/Л₁В₁ = ^А^АгВ? = AHjTlgBg = .=

= ДЛ_л _ ?А_п _|i В_п~\ = Д^л — р4_л-^_л, (2)

вершины которых соединим отрезками В₂В₃,., B_n^iB_n (заметим: мы не утверждаем, что эти отрезки расположатся на одной прямой; последующие рассуждения в этом утверждении не нуждаются). В плоскости чертежа возьмем точку Р под единственным условием, чтобы она лежала выше ломаной (может быть, прямой)

очевидно, это можно сделать с большой степенью произвола. Соединим точку Р со всеми вершинами BjBj,., В_п и получим л— 1 треугольников:

ДРВ^с, ДР^В₈,.ДР£_я _ ,В_Я, (3) которые вместе с ранее построенными заполняют внутренность пятиугольника /.В₁РВ_ЛА_Я (заметим: мы не утверждаем, что этот пятиугольник — выпуклый, но он, во всяком случае, «простой многоугольник», т. е. ограничивающая его ломаная сама себя не пересекает). Теперь двумя способами подсчитаем сумму углов всех треугольников, заполняющих внутренность пятиугольника (образно его можно было бы назвать «шатер Ермакова», — в доказательстве Картона этой фигуры нет).

1-й способ. Мы имеем п равных треугольников (2), у каждого из которых сумма углов есть я— 6, это дает в общую сумму слагаемое п (я— о). Сюда надо присоединить углы п — 1 треугольников A₁B₁B_2j A₂B₂B_tr._t А_п—\В_п-\В_п (нетрудно было бы показать, что и эти треугольники равны между собой, ко в этом нет надобности) и углы такого же числа треугольников (3), образующих «верх шатра». Таким образом, надо присоединись углы 2 (л—1) треугольников, у каждого из которых, в силу нашего допущения, сумма углов меньше я, а потому у всех этих треугольников, ьместе взятых, сумма углов меньше, чем 2 я (л—1); обозначим ее через

2 я (л—1) — а, где а>0. (4)

Итак, первый споссб подсчета суммы углов всех треугольников, заполгякщих «шатер Ермакова*, дает:

п (я—8)4 2я(л~ 1)~ а, (с> О, ос>0). (5)

2-й способ. Будем сначала складывать углы, расположенные по три около точек (черт. 1) Л,, Л₂,., Ап- 1 по одну сторону от прямой АА_Я. Таких течек гмесм п—1, а сумма трех углов

около каждой из них равна it, что дает в общую сумму тг (л—1). Далее сложим углы, расположенные по пяти вокруг точек В₂, £_3>., В_я-ь Число точек теперь л — 2, а сумма углов вокруг каждой из них равна 2тг, так что к общей сумме прибавляется 2тт(л — 2). Рассмотренными до сих пор углами еще не исчерпываются все подлежащие сложению, например, не учтен обо

значим сумму всех неучтенных >глов (во всяком случае положительную) через Г, и тогда результат второго способа подсчета представится выражением:

тт (л — 1) -J- 2 к (л — 2) -|- Е.

А так как первый и второй способы должны давать одинаковые результаты (в обоих случаях — сумму углов всех треугольников, входящих в состав «шатра»), то (см. (5)):

л (л — 8)+2 к (л— 1) — а = к(л— 1) +

2 к (л — 2) Е.

После элементарных упрощений находим: а + 2-|-(л8—Зк) = 0.

Первые два слагаемые — положительны, согласно своему смыслу (см. (4)); разность, выделенная скобками, положительна в силу нашего выбора числа л (см. (1)). Получается, что сумма трех положительных слагаемых равна нулю, это противоречие показывает, что наше предположение о возможности положительного дефекта неправильно. Дефект треугольника может быть равен только нулю, а это равносильно утверждению, содержащемуся в постулате о параллельности. Этим доказательство завершено.

Здесь у меня появляется соблазн остановиться и, подобно тому, как это сделал в свое время В. П. Ермаков, предложить читателям «Математики в школе» собственными силами вскрыть ошибку в приведенном доказательстве. Однако тогда вторая из задач этой статьи — выводы, относящиеся к современному преподаванию геометрии, — не была бы достигнута. Поэтому следующий раздел посвящаю анализу доказательства (не теряя надежду на то, что найдутся читатели, которые прервут здесь чтение статьи, чтобы попытаться самостоятельно провести этот анализ) с тем, чтобы в третьем разделе изложить некоторые педагогические соображения.

2. Вдумываясь в изложенное выше доказательство (первая часть которого — построение цепи треугольников (2) —явным образом заимствована у Лежандра), нетрудно нащупать слабый его пункт, это — появление точки Р. Ведь не при всяком выборе этой точки доказательство может быть проведено. Если, например, считать для простоты, что цепь (2) состоит из трех треугольников (л=3), а точку Р взять, как на чертеже 2

(в остальном этот чертеж повторяет обозначения чертежа 1), то фигура существенно изменится: пятиугольник АВ_гРВ₃А₃ уже не будет простым (стороны его АВ_Г и РВ₃ пересекаются), треугольники, которые в случае чертежа 1 не имели общих внутренних точек, теперь частично налегают друг на друга — прежнего доказательства повторить нельзя. Значит точка Р должна быть выбрана с соблюдением каких-то условий, кото-

Черт. 2

рые мы в своем изложении доказательства охарактеризовали мало значащими словами: «выше ломаной теперь необходимо эти

условия уточнить. Для того чтобы треугольники PB_kB_k^_x и AfPfpk + i с общей стороной B_kB_k^\ не налегали друг на друга, необходимо и достаточно, чтобы точки Р и А_к лежали по разные стороны от прямой и чтобы это имело

место при всех допустимых значениях k. Таким образом, точка Р должна лежать по определенную сторону от каждой из п—1 прямых В_ХВ₂, В₂В₃,., B_n — iB_n. Если учесть, что цепь треугольников (2) может быть сколь угодно длинной, т. е. число п — сколь угодно большим, то возникает вопрос, существует ли точка Р₉ удовлетворяющая одновременно всем этим п — 1 условиям? Наша евклидова интуиция подсказывает положительный ответ на этот вопрос. На основе этой интуиции мы представляем себе, а опираясь на постулат о параллели ости можем строго доказать, что точки В_ъ B_2t._t В_я (равноудаленные от прямой АА_п) лежат на одной прямой, и тогда вопрос о существовании точки Р разрешается очень просто: достаточно взять эту точку где угодно в той из двух полуплоскостей, определяемых прямой где не лежат точки /I, А»—» А_я. Но ведь в рассуждениях Картона- Ермакова мы не имеем права ссылаться на постулат о параллельности (который является конечной целью этих рассуждений), а ссылка на интуицию вообще незаконна в строго дедуктивном доказательстве, значит, подчеркнутый выше вопрос о существовании точки P_t остается открытым. Таким образом, доказательство содержит логический пробел, и пока он не заполнен, мы имеем право объявить это доказательство несостоятельным, а дискуссию о нем законченной.

Однако, кроме логической стороны, дискуссия имеет другую, которую можно назвать психологической. Нас беспокоит вопрос: не может ли быть заполнен отмеченный выше пробел? Если

бы это случилось, то наше торжество над сто

ронниками доказательства Картона оказалось бы временным. Другими словами, нам хотелось бы удостовериться в том, что, отказываясь от постулата Евклида в потьэу постулата Лобачевского,

мы уже не можем утверждать, что всегда (т. е. при всяком числе п треуготынков (2)) существует точка Р с требуемыми свойствами.

Косвенным доказательством этого служит то обстоятельство, что в геометрии Лобачевского теорема Картона («дефект треугольника не может быть положительным») есть заведомый софизм, а если бы точка Р всегда существовала, то теорема была бы верна. Но нет ли прямого доказательства? Ниже дано два таких, причем от читателя требуются самые скромные сведения из геометрии Лобачевского*.

Для первого доказательства воспользуемся известной моделью, осуществляющей плоскость Лобачевского внутри евклидова круга. Дадим беглое описание этой модели (условимся — в знак того, что старый термин употребляется в новом смысле, ставить кавычки), отсылая за подробностями к литературе.

• Плоскость» (Лобачевского) — внутренность некоторого круга К (черт. 3); «точка»—точка внутри круга (но не на его окружности!); «прямая»— открытая (т. е. лишенная концов) хорда, например АВ. Эта «прямая» разбивает «плоскость» на две «равные» («конгруэнтные») «полуплоскости», которые на чертеже изображаются двумя отнюдь не равными (в евклидовом смысле) сегментами круга. Уже отсюда видно, что критерии равенства (отрезков, углов) на этой модели существенно отличаются от евклидовых. Более пол

ное представление об этом дает чертеж 3, где проведена «прямая» —диаметр CD, на ней отложен отрезок (оч же «отрезок») РР±, и затем выполнены следующие евклидовы построения: последовательно проводятся прямые PM I CD; Р₁Л1₁ ± ^со', ^Mf\ М₂; N₂P₂M₂ ± CD; M_tP.₂N₉;

• Если предполагать эти сведения более глубокими, то наиболее коротким и изящным является, вероятно, опровержение доказательства Картона, данное в 1870 г. французским пропагандистом геометрии Лобачевского Юэлем (Гуэль —в цитированной статье Э. К. Хилькевича, откуда заимствовано приводимое ниже изложение идеи этого опровержения).

Как известно, в геометрии Лобачевского площадь треугольника не может превысить некоторой границы, следовательно, площадь простого пятиугольника—пять раз взятой этой границы. Между тем, складывая площади равных треугольников, взятых в достаточно большом числе, можно получить сколько угодно большую площадь. В силу этого цепь треугольников (2) может оказаться настолько длинной, чтобы никакой простой пятиугольник («шатер») не мог ее охватить.

N₉P₉M₃A_CD; M₂P_aN₄; N₄P₄M₄_LCD; M₄P₄N<

и так далее неограниченно, причем все точки, обозначенные буквами Л/ и АГ, лежат на окружности, а все обозначенные буквой Р— на диаметре CD, «Вырожденные треугольники» РР_ХМ,

Р_ХР₂М_Ъ P₂P₉M_2t._t Р-_пР_вМ^. все «равны» между собой (при этом РМ и Р_ХМ «параллельны», равно как Р^М^ и P₂M_t и т. д.). Описанное вы-

Черт. 3 Черт. 4

ше евклидово построение дает возможность откладывать данный «отрезок» неограниченное число раз вдоль «прямой»—диаметра, а последняя оказывается в этом смысле такой же бесконечной, как и евклидова прямая (это происходит за счет того, что по мере удаления от центра «отрезки», оставаясь «равными» в смысле геометрии Лобачевского, убывают быстро и притом неограниченно в евклидовом смысле). Теперь нетрудно понять, что цепь «равных» «треугольников» (2) на нашей модели может дать картину, изображенную на чертеже 4, где для удобства сопоставления сохранены обозначения чертежа 1,

(более детальный анализ обнаружил бы, что точки В₂,., В_п лежат на полуэллипсе, который касается круга К в концах диаметра Л?1_Я). Если теперь на этом чертеже попытаемся построить «шатер Ермакова», то для выбора точки Р будем иметь весьма ограниченный простор. Например, эта точка должна лежать в «полуплоскости»,

представленной на модели заштрихованным сегментом с хордой В^В^; с другой стороны, точка Р должна находиться внутри такого же сегмента (тоже заштрихованного на чертеже) с хордой В_Л_1В_Л. Легко представить себе, что при достаточно длинной цепи треугольников, т. е. при достаточно большом числе п (а оно действительно может быть сколь угодно большим при достаточно малом дефекте 8), оба упомянутых сегмента не будут иметь общих точек, как показано на чертеже 4. В этом случае не существует точки Р, удовлетворяющей поставленным условиям, доказательство Картона-Ермакова не может быть проведено.

Во времена Лобачевского для неевклидовой геометрии еще не знали моделей вроде той, которую мы применили. Тогда пользовались, чтобы придать наглядность рассуждениям неевклидовой геометрии, чертежами, близкими к обычным, при надобности жертвуя нашими зрительными привычками, например, искажая углы или искривляя на чертеже прямые линии (последнею, впрочем, Лобачевский избегал). Поэтому интересно представить себе, как обосновывал бы сам Лобачевский, если бы ему пришлось столкнуться с доказательством картоновского типа, невозможность провести это доказательство в ею геометрии. Можно думать, что рассуждения были бы близки к следующим.

Рассмотрим сначала два крайних треугольника АА^ и цепи (2) (черт. 5). Соединим

вершины В_х и В₂ прямолинейным отрезком (на чертеже слегка искривлен) и опустим перпендикуляры В_гС_г и (на чертеже прямые углы отмечаются малыми зачерненными прямоугольниками). Образуется четырехугольник с

прямыми углами при вершинах С_х, С₂ и равными боковыми сторонами С_ХВ_} = С₂В₂ (так наз. «четырехугольник Саккери»). Такой четырехугольник имеет ось симметрии MN, перпендикулярную одновременно нижнему основанию C\C_t и верхнему В_ХВ₉. Теперь через точку М проведем луч MQ_t параллельный (в смысле Лобачевского) лучу BtB} (сильно искривленному на чертеже в целях* экономии места; направление параллельности отмечено стрелками). Для этого достаточно построить середины /И и /V отрезков С}С₂ и OjBo, а затем угол MWQ, равный углу параллельности отрезка MN (в обозначениях Лобачевского NMQ = П (Af/V)). Далее, к прямой A_XA_S восстановим перпендикуляр параллельный (снова в смысле Лобачевского) лучу MQ; для этого достаточно отложить отрезок /И/?, такой, чтобы угол параллельности этого отрезка, т. е.

П(Л1/?) был равен построенному уже углу QMA Вершина Р «шатра > должна находиться выше

прямой В_гВ* {В полуплоскости, заштрихованной на чертеже 5 слева) и, значит, во всяком случае—левее перпендикуляра RS. Теперь легко представить себе, что правый конец треугольников (2) (не изображенный на чертеже) настолько удален от левого, что, повторив для двух последних треугольников то же построение, что и для двух первых, мы вынуждены будем искать точку Р в полуплоскости, заштрихованной на чертеже справа, т. е. во всяком случае правее перпендикуляра R'S'_t который сам лежит справа от /?$. Ясно, что при таких обстоятельствах мы точки Р не найдем — рассуждение Картона-Ермакова отпадает.

3. Итак, мы теперь не только знаем, что доказательство Картона с вариантом Ермакова содержит логический пробел, но еще и то, что этот пробел не может быть заполнен (до тех пор, пока не принят постулат о параллельности). Должны ли мы строго судить Бертрана, взявшего это доказательство под свою защиту? Прислушаемся к аргументации этого ученого. Он исходит из убеждения, что геометрия (в противоположность учению о числе) не есть строго дедуктивная наука, что она создает и оправдывает свои положения на двоякой основе: логике и очевидности (зрительной). Вспомним, что в годы выступления Бертрана еще не оформилось современное аксиоматическое обоснование геометрии, полностью изгоняющее, интуицию как элемент доказательства (настолько, что принципиально вся геометрия может быть построена без единого чертежа). Вершиной не только школьного, но и научного построения геометрии в то время все еще были «Начала» Евклида, взятые вместе с позднейшими комментариями *, и Бертран был бы прав, если бы сказал своим оппонентам: «Доказательство Картона не хуже тех доказательств Евклида, которые вы считаете классическими и в качестве образцовых преподносите учащимся».

В самом деле, оставим Бертрана, а вместе с ним историю и обратимся к современному преподаванию.

Доказывается теорема о сумме внутренних углов многоугольника (черт. 6, левая фигура). Разбиваем многоугольник ABCDEF на треугольники таким образом, что внутри многоугольника берем точку Р и соединяем ее со всеми вершинами. При этом существенным является то обстоятельство, что треугольники не налегают друг на друга; именно потому мы можем утверждать, что сумма тех углов этих треугольников, которые лежат вокруг общей вершины равна 4d.

♦ Конечно, Бертрану (и не ему одному из ученых второй половины XIX века) должно быть вменено в вину, что он не понял значения той глубокой бреши, которую открытие Лобачевского пробило в здании Евклида.

Однако откуда берется уверенность в том, что существует внутри многоугольника такая точка Р, исходя из которой мы получим неперекры- вающийся треугольник?—вот, например, для многоугольника ARCDEFGH (правая фигура, черт. 6)

Черт. 6

такой точки найти нельзя (между прочим, теорема о сумме внутренних углов для него верна, потому что это — простой многоугольник). На это нам говорят: при правильной формулировке теоремы указывается, что речь идет о выпуклом многоугольнике, а для него такая точка заведомо существует. Возражаю: эю есть типичное <педагогическое лицемерие» (заимствую выражение у Лебега*): о выпуклости многоугольника в условии теоремы действительно говорится, но в доказательстве эта выпуклость не используется, обычно даже не упоминается; во всяком случае она не работает как логический элемент доказательства, а только как зрительный (нарисован выпуклый многоугольник**). Так чем же лучше это доказательство картоновского? В логическом отношении они стоят на одинаковом уровне, так как в обоих случаях остается недоказанным существование точки Р; в отношении же зрительной наглядности — тоже на одинаковом уровне: существование требуемой точки представляется здесь и там очевидным из чертежа.

Менее всего я хотел бы, чтобы из этого сопоставления был сделан следующий вывод. «Так как в преподавании геометрии мы обречены на то, чтобы давать логически неполноценные доказательства, то можно разрешить себе доказывать в школ? постулат о параллельности по Картону; мы согрешим при этом, но не больше, ч.м при выводе формулы для суммы внутренних углов многоугольника».—Нет, между этими двумя случаями имеется принципиальная разница, которая и приводит к противоположным педагогиче

* «Об измерении величин», Учпедгиз, 1938, стр. 33.

** Пусть читатель попробует доказать теорему: выпуклый л-угольник разбивается из внутренней точки на л неперекрывающихся треугольников. Доказательство представляется мне не столь уж трудным, но и не совсем простым; придется использовать определение выпуклости, уточнить понятие «неперекрывающихся треугольников» (как не имеющих общих внутренних точек) и т. д.

ским выводам. Правда, теорема о многоугольнике доказывается с логическим пробелом, но теорема верна, потому что мы знаем, как этот пробел восполнить. Теорема же Картона (име.тея в виду утверждение: «независимо от того, выполняется или нет постулат о параллельности, дефект треугольника не может быть положительным») доказывается с таким же логическим пробелом, но эта теорема не верна, т. е. пробел не может быть восполнен. А заниматься в школе софистическими рассуждениями, выдавая их за доказательства, — недопустимо. Короче говоря, обманывать нельзя.

На этом ж? расстанемся с теоремой Картона, для того чтобы сделать еще некоторые педагогические выводы. Хотя современная математика хорошо знает, как должна быть построена научная система геометрии и насколько эта система далека от «Начал» Евклида, равно как и от «Геометрии* А. Киселева, однако подавляющее большинство педагогов сходится на том, что упоминавшаяся выше «геометрия без чертежей» и даже какие-либо приближения к ней не могут найти себе места в элементарном преподавании.

Школьная геометрия осуждена оставаться логически неполноценной; в ее построении интуиция не может и не должна быть окончательно вытеснена логикой. Трудная задача преподавания состоит в том, чтобы разумно дозировать (на разных ступенях обучения — по-разному) эти два образовательных элемента и по возможности их разграничивать. Во всяком случае, пора преодолеть прочную еще иллюзию, будто евклидово здание является «непревзойденным образцом логического совершенства>, а «Геометрия» А. Киселева или любой другой учебник — подлинной «школой дедуктивного мышления». По поводу последнего мнения хочу заметить, что хорошо объясненный (без особых мудрствований) вывод формулы:

(а4-6)» = _а2-|-2^-|-Р

представляет собой гораздо более совершенный образец дедукции, чем любая теорема из школьного курса геометрии. В связи t этим следует пересмотреть традиционный взгляд, согласно которому преимущественно геомзтрия, а не алгебра * призвана воспитывать дедуктивное мышление. Этот пересмотр надо вести с двух концов. Во- первых, преподавание алгебры должно усилить элемент рассуждений и обоснования правил, в

* Говоря о школьной алгебре, я всегда имею в виду тот пестрый конгломерат из алгебры и введения в анализ, который у нас составляет единый предмет преподавания; сюда же отношу теоретические вопросы арифметики (например, признаки делимости).

противовес часто наблюдаемой склонности к рецептуре. В учебниках алгебры должен чаще (а к слозу сказать, в учебниках геометрии — реже) появляться заголовок «теорема», совершенно так же как это происходит в научной литературе, где названный заголовок вовсе не специфичен для геометрических сочинений. Во-вторых, при изложении доказательств геометрических теорем должны быть более четко отграничены логические элементы от интуитивных, отмечаемых словами «примем за очевидное», «примем без доказательства» и т. п. Это разграничение не следует проводить в одинаковой мере на различных стадиях обучения. На старшей ступени подчеркивание ссылок на интуицию может быть исчерпывающим или почти таковым; почва для этого подготовлена как накоплением большого числа геометрических фактов, на которые можно ссылаться, так и вы- розшим у школьников пониманием природы математического доказательства. В начальной же стадии обучения нагромождение подобных оговорок будет воспринято 12—14-летними детьми как отталкивающий педантизм. Вот, например, как выглядело бы доказательство теоремы: «Внешний угол треугольника больше внутреннего, с ним не смежного» *, если бы сопроводить его некоторыми оговорками, отмечающими ссылки на интуицию (черт. 7). «. Примем без доказательства,

что существует точка Е, делящая отрезок ВС

* Оставляю в стороне вопрос о том, насколько вообще эта теорема уместна в курсе геометрии. Вместе со многими я думаю, что ее давно пора передать в музей древностей, заменив более сильной: «Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных», основанной на теории параллельности.

♦* Тем из читателей, которым эта фраза покажется шаржем, не имеющим прообраза в нашей практике преподавания, напомню, что в длинном ряде прежних изданий учебника А. Киселева одной из первых была теорема: «Из точки, взятой на прямой, можно восставить к ней перпендикуляр .» По существу здесь доказывалось, что «для каждого развернутого угла существует луч, делящий этот угол пополам», т. е. утверждение, вполне аналогичное тому, которое в тексте формулировано для отрезка. Да и само (шаткое) рассуждение А. Киселева легко могло бы быть приспособлено для доказательства существования середины отрезка. Напомню еще, что доказательство существования пер-

пополам**. Соединим точки А и Е прямолинейным отрезком АЕ (аксиома) и продолжим его за точку Е. Примем без доказательства, что на луче, составляющем продолжение отрезка АЕ, можно отложить отрезок EF, равный отрезку АЕ. Примем без доказательства, что при этом точка F поместится внутри угла CBD. Соединим В с F (аксиома) и примем без доказательства, что луч, соединяющий вершину угла с внутренней его точкой, лежит внутри этого угла и т. д.». Достаточно прочитать этот отрывок, чтобы понять его педагогическую абсурдность.

Еще один вывод, которому я придаю большое значение, хочется сделать из этих исторических и педагогических рассмотрений. Раз интуиция является одним из источников геометрического познания и законным базисом дедуктивного построения при условии, что явно формулируется суждение, принимаемое без доказательства, — то следует шире использовать в преподавании проистекающие отсюда возможности. Для начального курса геометрии это означает, что может быть принято без доказательства (сверх традиционных аксиом) предложение, которое а) верно, б) подтверждается интуицией (тех, кому это доказательство сообщается). Пункт а) надо понимать так, что нам известно исчерпывающее доказательство, но из педагогических соображений мы воздерживаемся от того, чтобы излагать его ученику. Пункт б) предполагает, что либо сообщаемый геометрический факт представляется всякому ученику непосредственно очевидным, либо может быть сделан таковым после некоторых иллюстрирующих пояснений (не носящих характера доказательства, быть может, апеллирующих к другим интуитивным представлениям). Например, ученику представляется очевидным равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство диагоналей прямоугольника и др. (здесь действует, пусть неосознанное, интуитивное представление об осевой симметричности этих фигур*). Менее очевидным представляется начинающему такой, например, факт: «если две стороны треугольника, сохраняя свои длины, вращаются вокруг общей вершины так, что угол между ними возрастает от нуля до развернутого, то третья сторона возрастает от разности первых двух сто-

пендикуляра, исчезнувшее из учебника А. Киселева, возродилось в наши дни в «Методике геометрии» Н. М. Бескина (Учпедгиз, 1947, стр. 89—90).

* Этим я никак не хочу сказать, что следует отказаться от доказательства этих теорем. Доказательства даются не только с познавательной целью (овладение новыми фактами), но и с образовательновоспитательной (упражнение в рассуждениях, выяснение связей между фактами). Подобно этому, физкультурные упражнения делаются не для того, например, чтобы переместить тяжелое ядро из одного пункта

поля в другой.

роя до суммы*. (Здесь, в частности, содержится теорема- «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, а углы. не равны, то.», доказательство которой трудно для начинающего). Однако достаточно учителю взять в руки два карандаша (неодинаковой длины) и, зажимая между двумя пальцами их соединенные концы, раздвигать два других конца, — чтобы справедливость утверждаемого предстала перед учениками со всей очевидностью. Подчеркиваю, что эта манипуляция не есть экспериментальная проверка (я решительно отвергаю эксперимент как единственную базу для обучения геометрии, даже на самой ранней ступени; теперь мы знаем, что уже вавилонская геометрия не была чисто экспериментальной), никаких измерений расстояния между движущимися концами карандашей она не предполагает. Назначение этой примитивной модели — заставить работать интиуцию ученика» т. е. неосознанные, но прочные (в результате многократного наблюдения) пространственные представления. В описанном случае мы имеем дело с предложением, удовлетворяющим обоим требованиям а) и б), поэтому я считаю возможным (а на первой стадии обучения — даже рекомендую) принять его без доказательства. Но вот по отношению к теореме Пифагора я ни на какой ступени не решился бы отказаться от доказательства. Хотя эта теорема, конечно, удовлетворяет требованию а) (и сколько угодно раз может быть подтверждена измерительным экспериментом), однако мне неизвестны способы сделать ее содержание очевидным: она не удовлетворяет требованию б). Чтобы привести пример обратного положения (удовлетворено требование б), но не а)), выделим из доказательства Картона-Ермакова следующее утверждение: «какова бы ни была цепь равных треугольников (2) (черт. 1), всегда можно выбрать точку Р так, чтобы.». Здесь интуиция вводит нас в заблуждение, внушая веру в безусловную справедливость этого утверждения, будто бы не зависящую от наших допущений о параллельности. Требование б) выполнено, но утверждение никем не доказано (нам известно больше: его нельзя доказать без постулата о параллельности; а если постулат принят, то оно бесполезно), и мы, даже не зная того, что только что сказано в скобках, не можем принять это утверждение без доказательства.

На старшей ступени обучения запас сведений уже настолько велик, а учащиеся настолько созрели для понимания более сложных рассуждений, что не возникает настоятельной необходимости

в том, чтобы то или иное предложение частного характера (например, какую-нибудь формулу площади или объема) принять без доказательства. Однако, поскольку на этой ступени знакомство с методами науки становится не менее важным, чем знакомство с фактами, особое значение приобретают те общие предложения, которые лежат в основе какого-либо метода. А эти предложения нередко могут быть обоснованы только средствами, выходящими за рамки средней школы. В вопросе о том, допустимо ли применять такое предложение без доказательства, мне кажутся решающими те же критерии а) и б). Например, известно, какую роль играет в современном преподавании геометрии понятие о пределе (впрочем, не беру тради- ционое использование этого понятия под свою защиту) и постоянно применяющееся предложение: «если числа некоторой последовательности монотонно* возрастают (убывают), оставаясь меньше (больше) некоторого числа, то последовательность имеет предел». Отказ от доказательства этого предложения представляется мне вполне обоснованным, так как здесь удовлетворяются оба требования а) и б) (полная наглядность предложения достигается, например, если иллюстрировать его на числовой прямой).

Из тех же соображений я не поколебался бы ввести в преподавание «принцип Кавальери», именно — ради идейной ценности основанного на нем метода, а вовсе не ради экономии времени и упрощения доказательств. Этот принцип верен (требование а)) для всех фигур и тел, рассматриваемых в элементарной геометрии (на самом деле — для гораздо более широкого класса), и оп может быть сделан вполне наглядным (требование б)) с помощью самых простых иллюстрирующих моделей из палочек (для плоскости) или из пластинок (для пространства). А вот как ни соблазнительно ввести в среднюю школу «теорему Симпсона», которая действительно объединяет все изучаемые там формулы для объемов, — я не решился бы сделать это без доказательства (безукоризненное проведение которого сложно): теорема удовлетворяет требованию а), но не б).

Хотелось бы, чтобы те педагоги, которые, например, при упоминании о принципе Кавальери морщатся («Еще одна теорема без доказательства!»), чтобы, в свете приведенных здесь исторических данных и примеров из современности, эти педагоги подумали, не защищают ли они призрак «евклидовой строгости» против требования честных и добрососедских границ между логикой и интуицией.