ОБ ОБРАЗОВАНИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

Б. В. ГНЕДЕНКО, действительный член АН УССР.

В современном обществе математика занимает весьма значительное место. Даже самые элементарные сведения из алгебры, геометрии, тригонометрии и арифметики, приобретаемые в средней школе, абсолютно необходимы для любого рода деятельности. Они служат основой как технического образования, так и огромного числа научных, технических и экономических расчетов. Изучение явлений природы и технических процессов не только с точки зрения их качественного своеобразия, но и с количественной стороны неизбежно приводит к необходимости широкого использования самых разнообразных математических средств.

Жизнь развивается непрерывно; естествознание, техника, экономика, а также и другие области знания и деятельности выдвигают все новые и новые проблемы, решение которых требует от математики не только применения давно разработанных приемов, но и создания новых методов математического описания и исследования хода изучаемых явлений. А это неизбежно приводит к необходимости образования новых математических понятий и развития старых, уже твердо вошедших в употребление.

Бурное развитие физики, совершенствование техники и управления производством, а также появление новых направлений в биологии оказало колоссальное влияние на содержание математики. За последние сорок- пятьдесят лет в ней возникли новые разделы, многие из которых тесно связаны с практикой во всем ее разнообразии. При этом нужно заметить, что само представление о практической применимости математических теорий претерпело значительное изменение. Если еще каких-нибудь двадцать-тридцать лет назад считалось, что практика непосредственно связана лишь с теми математическими дисциплинами, которые дают возможность вычислять, то теперь оказываются крайне необходимыми для самых актуальных проблем практического характера и наиболее абстрактные главы математики.

С каждым днем математика все настойчивее и шире входит в арсенал средств познания, которыми пользуются другие науки. Физика, химия, астрономия, аэро- и гидродинамика, кораблестроение, радиотехника являются сравнительно давними областями применения математики в очень широких масштабах. Теперь все более и более математизируются биология, экономика, организация производства; делаются удачные попытки использования математики в медицине и языкознании. Но не только рас-, ширяется поле приложений математических методов, изменяется само отношение к роли математики в научном и техническом прогрессе. Ряд крупнейших ученых-физиков, техников и естествоиспытателей пришли к выводу, согласно которому математика является не только орудием количественного расчета и описания, но что без нее немыслимо само развитие точных наук.

Эта мысль ни в коем случае не означаем что математика одна, сама по себе, способна познать реальные явления. Она суммирует приобретен» ное в результате длительного опыта убеждение, что один эксперимент, без глубокого осмысливания, без построения математической теории явления, не способен дать достаточно полного знания интересующего нас явления. Правильное представление об одном из важнейших условий прогресса современной физики (и, конечно, не только физики) состоит в том, чтобы эксперимент и математическое его осмысливание шли рядом, помогая друг другу. Новые экспериментальные факты вызывают к жизни математические теории и в то же время позволяют проверять степень их соответствия реальному течению явлений. От математических же теорий требуется гораздо больше, чем простое описание уже известных фактов. От них требуется способность предсказывать особенности развития процессов, возможность предвычисления их течения, вывод таких следствий, которые еще неизвестны экспериментаторам. Опытное подтверждение этих выводов дает дополнительную уверенность в правильности математической Теории явления.

Успехи советской науки, проявившиеся, в частности, в запуске искусственных спутников Земли, прогрессе авиации, физики и многих других областей знания, рядом неразрывных нитей связаны с успехами советской математики, с выработкой в ней нового отношения к ее задачам, к ее месту в жизни общества, в прогрессе человеческого познания. В выработке этих взглядов огромную роль сыграло научное наследие В. И. Ленина.

Материалистическое понимание законов общественного развития, которое отстаивалось Лениным, было применено им ко многим конкретным его проявлениям. Им было показано, что сознание, идеи, состояние науки, темпы научного развития зависят от условий материальной жизни общества. Он отстаивал ту мысль, что наука не может оставаться в стороне от насущных интересов общества и что принципиальные успехи науки связаны с разрешением тех задач, от решения которых зависит общественный прогресс. Ленин был ярым противником лозунга «наука ради науки» н считал, что ценность науки тем больше, чем ближе она к основным проблемам, выдвигаемым обществом, чем глубже и шире проникает она в законы природы и общественного развития. При этом он видел, что чем дальше продвигается человечество по пути познания природы, тем значительнее становится роль математики. Эти идеи оказали решающее влияние на советских ученых, на взаимоотношение советского общества с наукой. Лепин настойчиво подчеркивал, что советский строй без овладения научными знаниями, без дальнейшего прогресса науки не может существовать, а наука сможет получить всестороннее развитие лишь в социалистическом обществе.

Известно, что В. И. Ленин специально не занимался философскими проблемами математики. Это произошло не из-за недооценки Лениным их важности, а из-за того, что он умел из множества важных проблем выбирать ту, которая для своего времени являлась основной. В первое десятилетие XX века философские шатания в математике еще не достигли своего апогея. Это произошло уже после первой мировой войны. Изучение философского кризиса основ физики, который был вызван бурными успехами науки в начале нашего века, представляло в ту пору центральную философскую задачу всего естествознания.

Глубокий философский анализ основных философских проблем физики, данный В. И. Лениным в книге «Материализм н эмпириокритицизм», сохранил полностью свое значение и теперь, несмотря на то, что экспериментальная и теоретическая физика шагнула далеко вперед. А так как «кризис современной физики состоит в отступлении ее от прямого, решительного и бесповоротного признания объективной ценности ее теорий.» ;(В. И. Ленин. Поли. собр. сот., т. 18, стр. 324) и с этим явлением мы встречаемся также и в математике, и в биологии, и в других научных дисциплинах, то «Материализм и эмпириокритицизм» является сильнейшим орудием философского мышления во всех естественных науках.

В математике, как и в других областях науки, происходит непрерывная борьба прогрессивного с .тем, что .тянет человеческое сознание назад, Мешает ему запять твердую своей правильностью позицию. А без такой твердой и ясной позиции невозможен глубокий подход к анализу центральных философских вопросов, стоящих перед наукой. Поскольку математика представляет собой не просто совокупность определений, теорем и формул, а является системой научных знаний, постольку без правильного разрешения философских вопросов науки, без обсуждения общих вопросов, касающихся всей математики, невозможно ее развитие в целом.

В данной статье будет затронут лишь один вопрос — о пути образования математических понятий. Пожалуй, в этом вопросе особенно много путаницы и этому способствует своеобразие математики, и в первую очередь ее абстрактный характер. А ведь, как говорил Ленин, «в понятиях человека своеобразно (это NB: своеобразно и диалектически) отражается природа» (В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 257).

Вопросу образования научных понятий Ленин уделял большое внимание и подчеркивал, что образование понятий является необходимым элементом всякого познания. При этом понятия неизбежно упрощают объективные связи явлений, и они не неподвижны, а изменяются в процессе развития. В связи со сказанным полезно напомнить следующие слова Ленина: «Познание есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракции, формирования, образования понятий, законов, etc., каковые понятия, законы, etc. (мышление, наука = «логическая идея») и охватывают условно, приблизительно универсальную закономерность вечно движущейся и развивающейся природы» (В. И. Лени н. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 163— 164).

В математике, в которой непосредственная связь с опытом и повседневной жизнью отодвинута, на передний план выступают ле непосредственные отношения между предметами и не сами эти реальные предметы, а только абстрактные понятия (разных ступеней абстракции) и те соотношения. которым удовлетворяют эти понятия. Это обстоятельство привело ряд философов и математиков к представлению о независимости математики и ее понятий от окружающего нас материального мира. Вот почему особую остроту приобретает обсуждение вопроса о формировании математических понятий.

Современное нам философское течение в математике, известное под названием интуиционизма, объявило математику своеобразной творческой деятельностью по созданию мысленных конструкций, а не наукой, изучающей те или иные стороны материального мнра. Таким образом, интуиционисты в той или иной мере отстаивают за математикой право создавать понятия, а значит, и объекты ее изучения вне связи с внешним миром, вне связи с задачами, возникающими в результате общественного развития.

Другое современное нам философское течение в математике, так называемый формализм, так же считает, что объекты математического исследования не имеют отношения к материальному миру. Согласно представлениям сторонников формализма, математика является совокупностью формул, которые пишутся по определенным правилам. Эти правила являются лишь условными соглашениями математиков и их выбор полностью находится во власти математиков. Для представителей формализма связи, которые существуют между математическими понятиями, так же как и сами эти понятия, творятся математиками свободно и представляют собой не что иное, как правила своеобразной игры.

Несомненно, что математика является одной из самых абстрактных дисциплин. Но абстрактность науки еще не означает оторванности ее понятий от реального мнра и от жизненной практики. Абстрактность понятий науки еще не означает, что они созданы по капризу ученого или же представляют собой свободное творчество человеческого разума. В действительности процесс образования математических понятий ничем не отличается от образования любых научных и даже вообще общих понятий.

Разным ступеням познания, а также разным наукам свойственны раз-

личные ступени абстракции. Одни пауки при образовании понятий удерживают больше характерных черт изучаемых объектов и тем самым остаются ближе к действительным вещам и явлениям определенного типа, другие при образовании понятий отвлекаются от гораздо большего числа черт, присущих изучаемым предметам или явлениям, и тем самым обладают большей абстрактностью. Теряя в конкретности, такие понятия приобретают большую общность и относятся к значительно более широкому кругу объектов изучения. Сказанное достаточно хорошо известно: чем насыщеннее конкретным содержанием понятие, тем уже круг явлений, к которым оно применимо. Даже в одной научной дисциплине на разных ступенях ее развития рассматриваются различные ступени абстракции. Так, гидродинамике идеальной жидкости соответствует одна степень абстрагирования от реальных свойств жидкости, а гидродинамике вязкой жидкости — другая, несколько меньшая.

Особенно большая степень отвлечения свойственна математике; в этом состоит одна из характерных ее черт.

Математические понятия (как, впрочем, и всякие понятия), как таковые в природе не существуют; более того, не существует определенных явлений или вещей, к которым они исключительно относятся. Для примера число 5 само по себе не существует; в реальном мире мы встречаемся с пятью книгами, пятью деревьями .пятью домами, но самого числа пять, как реального предмета, не существует. Число пять это то общее, что свойственно всем группам, состоящим из пяти предметов произвольной природы. Точно так же нет в реальном мире геометрической прямой. Это только абстракции от линий, с которыми мы встречаемся в практической деятельности и которые или являются реальными нитями (и, следовательно, помимо длины, имеют и толщину и ширину) или же воображаемыми границами реальных предметов. В «Философских тетрадях» В. И. Ленина замечательно сказано, что «в природе» понятия не существуют. «в природе» они, понятия, имеют «кровь и плоть» (В. И. Лен и н. Поли, собр. соч., т. 29, стр. 257).

Любые математические понятия возникают или в результате абстрагирования почти от всех свойств предметов, реально существующих в природе, а также от отношений между ними, или же являются абстракциями от уже существующих абстракций. Но эти первичные абстракции взяты из реального мира и связаны с ним. Таким образом, понятия математики отражают некоторые стороны реального мира и содействуют его познанию, а тем самым помогают сознательно воздействовать на него. Собственно, возможность применения математических теорий к реальным явлениям объясняется только тем, что сами эти теории возникли из изучения явлений реального мира в результате воздействия человеческого общества на природу. Ценность и жизненность математических теорий определяется не столько тем, насколько они красиво и изящно построены (хотя это также играет очень важную роль), сколько тем, как глубоко и прочно они связаны с проблемами общественной практики, понимаемой в самом широком смысле этого слова. С этой точки зрения не любые формальные правила действий могут служить предметом математической теории, они, на наш взгляд, могут иметь какое бы то ни было научное содержание только тогда, когда дают возможность получать правильные выводы о каких-либо реальных вещах и явлениях; и нужно сказать, что история математики^ история образования ее понятий с полной убедительностью подтверждает высказанную мысль. Вспомним такие понятия, как «число», «линия»; «поверхность», «объем», «функция», «оператор», «вероятность». Все они закрепились в науке потому, что отражают свойства реальных вещей и отношений между ними или обобщают ранее введенные понятия.

Анализ образования математических понятий и их последующего развития тесно связан со многими глубокими вопросами философского порядка, касающимися всей математики в целом.

Прежде всего, естественно, возникает вопрос: каким образом наука, казалось бы, не имеющая непосредственной связи с физическими, химическими.

«Некими пли биологическими явлениями или какой-либо определенной областью техники, может со значительным успехом применяться ко всем этим явлениям? Этот вопрос тем более законен, что понятия математики и выводы из них, излагаемые вне всякой связи с понятиями естественных и технических дисциплин, находят в этих дисциплинах все возрастающее применение и способствуют более точному познанию разнообразных конкретных явлений природы, экономических и технических процессов.

При этом уверенность в правильности математических теорий и получаемых при их помощи результатов настолько велика, что если построена математическая теория того или иного явления и затем установлено, что ее выводы расходятся с опытными данными, то возникает сомнение в правильности не правил математики, а тех исходных предпосылок, на основе которых строилась математическая теория изучаемого явления. В связи с этим возникает другой важный вопрос: на чем основывается вера в непогрешимость математических выводов?

В литературе имеется большое число попыток разрешения этих вопросов, Некоторые из них объясняют возможность применений математики чистой случайностью; другие заявляют, что этот вопрос навсегда останется неразрешимой загадкой. Имеется множество иных столь же мало утешительных ответов. Для примера приведем несколько высказываний па этот счет достаточно известных авторов.

В 1920 г. известный французский математик Пьер Бутру писал: «Если математика почти точно согласуется с эмпирическими условиями, то это результат не ее внутренних свойств, а лишь внешних обстоятельств. Выяснилось, что сравнительно простая наука способна объяснить явления природы. Это счастливая случайность, которая не должна была с необходимостью наступить» (Р. В out го их. L'ideal scientifique des mathema- ticiens. Paris, 1920. p. 200).

Группа видных современных французских ученых, печатающаяся под псевдонимом Никола Бурбаки, заявила, что «то, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, — это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-либо смысл) и, быть может, мы их никогда не узнаем» (Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., Изд-во иностранной литературы, 1963, стр. 258).

Сам такой разочаровывающий вывод о возможности уверенного применения математики и ее результатов к задачам практики не является случайностью — он представляет собой логическое продолжение представлений о формировании математических понятий, так же как и понимания того, что такое математика. Согласно представлениям, высказываемым рядом крупнейших математиков, придерживающихся идеалистических концепций, математические понятия творятся человеческим разумом свободно. Вот несколько примеров такого рода.

Крупнейший французский математик конца прошлого — начала настоящего века Анри Пуанкаре в книге «Наука и метод» писал: «Математике приходится размышлять о самой себе, а это полезно, так как размышляя о себе, она тем самым рассуждает о человеческом разуме, создавшем ее; тем более, что из всех своих творений он создал математику с наименьшими заимствованиями извне. Вот чем ценны некоторые математические исследования, каковы, например, исследования о постулатах, о воображаемых геометриях, о функциях с удивительными свойствами. Чем более эти размышления уклоняются от наиболее общепринятых представлений, а следовательно, и от природы и прикладных вопросов, тем яснее они показывают нам, на что способен человеческий ум, когда он постепенно освобождается от Тирании внешнего мира, тем лучше мы познаём разум в его внутренней сущности».

Не избежал подобных представлений о природе математического знания даже А. Эйнштейн — один из крупнейших физиков современности.

Число таких примеров можно увеличить. Но в этом нет нужды, так. как основной смысл, который содержится в¹ них, один и тот же — мате» матика и ее понятия не связаны с явлениями того мира, в котором мы живем. Наоборот, математик сам для себя создает новый мир идей и понятий и, удивительное дело, этот свободно создаваемый мир находит неограниченное применение в науках, изучающих мир реальных явлений. Схема обрисованных представлений едина: сначала утверждается, что математические понятия свободно творятся человеческим разумом, а затем удивляются тому, как математические теории могут применяться к изучению реально происходящих явлений.

Остановимся несколько подробнее на тезисе о свободном создании математических понятий человеческим разумом. Так ли это? Имеются ли в науке понятия, которые созданы без связи с развитием науки или с общественной практикой? Мы прекрасно знаем, что научному математическому творчеству предшествует длительный срок изучения многих школьных предметов, обучение в университете, чтение книг и статей, беседы с коллегами. Математик живет в обществе, а не на необитаемом острове, и хочет он того или не хочет, но узнает о вопросах, возникающих в науке, технике, общественной жизни. Таким образом, его мышление подготовлено всей предшествовавшей эволюцией науки и жизненной практикой, и он не волен по собственному произволу, ничем не сдерживаемому желанию создавать математические понятия, и именно поэтому математические понятия сохраняют свое значение и понимаются одинаково не только различными учеными, нс и различными народами. Более того, они сохраняют тот же самый смысл для разных общественных формаций и для разных исторических эпох. Различия наблюдаются только в глубине и широте их, но не в принципиальном содержании. При этом любой математик связан идеями, знаниями и устремлениями той эпохи, в которой он живет. И именно поэтому в Древнем Вавилоне не могло появиться и не появилось понятие предела, а в Древней Греции — понятие функционального пространства.

Количество основных математических понятий невелико; одно из центральных — понятие числа. Возникло оно в незапамятные времена в связи с необходимостью вести счет предметов, вначале только конкретных предметов. На этой первичной стадии понятие числа отдельно от предметов не существовало. Если говорилось о трех, четырех или пяти, то определенных вещах. Недаром в некоторых африканских языках существуют различные слова для обозначения, скажем, двух деревьев и двух коров. Только в результате длительной практики счета предметов различной реальной природы возникло абстрактное понятие числа. Первоначально это было лишь понятие целого положительного числа в пределах нескольких единиц. И долго еще человечество не задумывалось над тем, что ряд чисел можно продолжать неограниченно. Идея неограниченности числового ряда высказывалась еще в Древней Ассирии, Вавилоне, Греции и Индии, но отсутствие практической потребности оперирования со слишком большими числами привело к тому, что она в те времена не была закреплена, а затем прочно забыта. Только тогда, когда человечество вплотную столкнулось с необходимостью рассмотрения больших чисел (в торговых операциях, государственных бюджетах, астрономических и физических исследованиях, демографии и пр.), идея неограниченности числового ряда прочна вошла в математический обиход.

Представления людей о числе изменялись по мере развития общества, и это изменение происходило не от того, что тот или иной ученый пожелал рассматривать новые числа, которые были совсем не связаны с представлениями, приобретенными человечеством в его развитии. Если бы эго было так, то человечество имело бы различные понятия числа по крайней мере на разных континентах. В действительности же народы Азии, Европы, Америки, Африки и Австралии проходили примерно те же самые этапы в развитии понятия о числе. Различие заключалось только в несущественных деталях (например, в выборе системы счисления), а не в его содержании. И ещё в прошлом веке в Австралии, Африке и Южной Америке удавалось наблюдать ил ем ев а, у которых понятие числа находилось толь^ в

ко на первой стадии развития: велся счет только конкретных предметов и только в пределах единиц.

Задачи, связанные с измерением, разделом имущества и продуктов, привели к необходимости рассмотрения наряду с целыми натуральными числами также простейших дробей. Дроби появились в результате возникновения житейских потребностей, а не акта сознательной воли того или иного человека. В частности, системы обозначений дробей у древних народов достаточно определенно показывают, что простейшие дроби различными путями входили в обиход древнего человека. В) всяком случае даже беглое ознакомление с обозначением дробей е Древнем Египте показывает, что они не возникли в результате какой-либо единой логической операции. Более того, в Древнем Египте рассматривались почти исключительно дроби вида 1/л; исключение допускалось лишь для немногих дробей вида п — tin. Ограничение такими дробями вполне естественно при примитивном измерении. Раздел, скажем, семи мер зерна между тремя владельцами приводит как раз к тому, что каждый владелец должен получить по две меры и по одной трети меры. Или при измерении расстояния считали, сколько раз в измеряемой длине отложится целая мера, будет ли в оставшейся части половина меры, далее в остатке — четверть меры длины и т. д. Такой способ становится особенно естественным, если принять во внимание, что деление единицы на два и на три при измерении реальных расстояний производилось «на глаз».

Известно, что простейшие дроби употреблялись в Древнем Вавилоне, Египте и других странах, но еще в средние века многие стремились избежать их употребления, иногда весьма хитроумными путями. Характерный пример этого рода содержится в одной арабской рукописи XI! века. В ней весьма своеобразно решена следующая задача: разделить поровну между одиннадцатью лицами 100 фунтов. Каждое лицо получает по 9 фунтов; оставшийся фунт автор предлагает поменять на яйца, которых при такой мене будет получено 91 штука. Оставшиеся после деления 3 яйца автор рекомендует или поменять на соль к яйцам, или же отдать за труды тому, кто делил.

Выработке понятия дроби предшествовал длительный процесс развития. Потребовались тысячелетия, прежде чем человечество получило возможность сформулировать абстрактное понятие дробного числа, а также правила действий с ними. Это — великое завоевание человечества. Действия с дробями теперь уже не представляют тех почти непреодолимых трудностей, с какими они были связаны в совсем недавнее время. Теперь ими свободно овладевают дети, не достигшие десятилетнего возраста. А ведь еще в XVIII веке многие школьники так и не добирались до действий с дробями (ломаными числами). Недаром в немецком языке сохранилось выражение «попасть в дроби» (in die Briiche gerahten), употребляемое в тех случаях, когда хотят подчеркнуть, что кто-нибудь попал в очень тяжелое положение.

Наше современное представление о дроби как о частном двух натуральных чисел, из которых делимое не делится нацело на делитель, появилось лишь на очень высокой стадии развития арифметики. И, конечно, в действительности дроби не появились и не могли появиться в том виде, как они излагаются в некоторых современных монографиях или учебниках: «Дробью называется пара целых чисел (/п, п). Для дробей определены отношения равенства, подчиняющиеся законам симметричности, рефлексивности, транзитивности, а также правила действий». Создание теории дробных чисел явилось уже завершением длительного развития, начавшегося с рассмотрения долей конкретных предметов и перешедшего к рассмотрению простейших конкретных дробных чисел.

Дальнейшее развитие понятия числа шло в нескольких направлениях, «это развитие с точки зрения внутреннего развития понятий может теперь показаться противоречащим логике вещей. Действительно, задолго до появления чисел 0 и целых отрицательных чисел в арсенале математики начали рассматриваться иррациональные числа. Конечно, логически естественнее ввести в рассмотрение отрицательные рациональные числа, чем иррациональные числа. Операция вычитания неизбежно приводит к ним. Однако история науки учит нас. что иррациональные числа появились в математике несравненно раньше, чем завершилось построение поля чисел рациональных. Уже более двух тысячелетий задачи геометрии привели к первым иррациональным числам. Само существование таких чисел казалось в то время поразительным, противоречащим естественному ходу вещей. И легенда, сохранившаяся от той поры, утверждает, что лицо, выдавшее непосвященным тайну существования иррациональных чисел, было наказано богами.

То обстоятельство, что теория иррациональных чисел была удовлетворительно построена только в XIX веке, не помешало широкому их использованию в предыдущие века. В математике и практической деятельности они получили права гражданства задолго до того, как было показано, что действия над ними не могут привести к ошибочным следствиям. Отрицательные числа и нуль вошли в математику в результате требований математики. Решение простейших линейных алгебраических уравнений приводило к числам этого рода. Практическое истолкование отрицательных решений не представляло затруднений (движение в обратном направлении, долг, отрицательная температура и т. д.).

Развитие алгебры, в первую очередь решение алгебраических уравнений высших степеней, привело к числам особого рода, получившим наименование мнимых и комплексных. Долгое время эти числа считались не вполне законными, однако уже в XVIII веке в математических работах они находили широкое употребление. Только XIX век привел к узаконению комплексных чисел в качестве полноправных чисел. Тогда же было показано, что алгебраические операции в поле комплексных чисел не могут вывести нас за пределы этого поля, Однако это обстоятельство не остановило развития понятия чисел. Другие соображения заставили предпринять дальнейшие шаги по развитию понятия числа в некоторых новых направлениях. При этом пришлось даже пожертвовать некоторыми привычными свойствами действительных и комплексных чисел. Впрочем, каждое расширение понятия приводило к потере некоторых свойств. Для иллюстрации этого утверждения укажем, что введение комплексных чисел привело к тому, что потеряло смысл утверждение, согласно которому любые два числа находятся в одном и только одном из соотношений: одно из них меньше, равно или больше другого.

Понятия математики позволяют приблизиться к познанию действительности. И ни одно из этих понятий не было создано по воле свободно творящего человека. Всегда новое понятие выкристаллизовывалось в результате рассмотрения конкретных объектов, взятых из физики, механики, других естественных и технических паук или же самой математики.

Мы не даем здесь полного исторического обзора развития понятия числа. Наша цель состоит в том, чтобы на этом примере проиллюстрировать следующую .мысль: когда перед нами имеется не только сформировавшаяся и уже формализованная математическая дисциплина, но весь исторический путь ее развития, то возникновение и становление ее понятий, зародившихся из интуитивных представлений, подсказанных практикой, становится ясным. Если же замкнуться в окончательно сформировавшейся математической схеме и за пределами этой схемы не желать ничего видеть, то связи математики с практическими проблемами, стоявшими или стоящими перед обществом, теряются. Теряется при этом и перспектива развития понятий науки. При таком и только таком подходе может возникнуть мысль о том, что математические понятия творятся свободной волей ученого, актом взлета ничем не ограниченной творческой его фантазии.

Приведенный пример определенно показывает, что действительный путь образования математических понятий был иной и восходил от частных конкретных задач и несовершенных представлений к максимальной общности, к стремлению охватить немногими общими понятиями все более широкий круг задач, выдвигаемых актуальной практикой своего времени позволяя тем самым.глубже проникать в природу вещей.