МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОТКРЫТИЯ

Анри Пуанкаре

Происхождение математического открытия — проблема, способная вдохновить пытливого психолога, ибо в этом открытии человеческий ум, по-видимому, очень слабо опирается на внешнюю реальность, в которой мы живем и действуем, и извлекает истину как бы из самого себя, так что, изучая процесс развития геометрического мышления, мы можем надеяться установить то, что является наиболее существенным свойством человеческого мышления вообще.

Первое, что удивляет нас или, скорее, должно было бы удивить нас, если бы мы так не привыкли к нему, это следующий вопрос — почему существуют люди, не понимающие математики? Если наука придерживается четких правил логики, доступных всякому здравомыслящему человеку, если ее доказательства основаны на принципах, которые никто, кроме сумасшедшего, не может не принять, то как может случиться, что имеется все же довольно много индивидуумов, абсолютно не воспринимающих эту науку?

Нет ничего удивительного в том, что не каждый способен сделать открытие. Также можно допустить, что не всякий способен удержать в своей памяти то, что он однажды выучил. Но кажется наиболее странным, когда думаешь об этом всерьез, что никто не умеет понять математические доводы в тот самый момент, когда они перед ним выдвигаются. И даже те, кто успевают следить за этими доводами, составляют явное меньшинство. Сказанное мной является твердо установленным фактом — опыт учителей, преподающих в старших классах, подтверждает это.

Пойдем дальше — как могут возникать математические ошибки? Нормальный разум не должен ошибаться в логике, и тем не менее существуют очень проницательные люди, не делающие никаких ложных шагов в повседневных рассуждениях, но в то же время совершенно не способные повторить без 24

ошибки математическую мысль, которая, хотя и бывает длинной, есть не что иное, как концентрированное выражение той аргументации, которую все мы легко понимаем в быту. Следует ли напоминать, что даже сами математики не являются здесь безгрешными?

Для меня ответ на все эти вопросы является очевидным. Представим себе длинную серию силлогизмов, в которой вывод каждого предыдущего является посылкой для последующего. Мы, как правило, способны усвоить каждый из силлогизмов и не подвергаемся опасности сбиться на пути от посылки к выводу. Но между моментом, когда мы впервые приходим к некоторому утверждению, являющемуся выводом определенного силлогизма, и моментом, когда мы вновь возвращаемся к нему как в посылке следующего силлогизма, проходит обычно много времени и здесь мы теряем многие звенья цепи — попросту забываем их или, что еще серьезнее, забываем их смысл. Поэтому случается, что мы заменяем их другими, несколько отличными от них предложениями, или сохраняем то же самое предложение, но придаем ему слегка другой смысл, и таким образом впадаем в ошибку.

Математик часто должен знать какие-то правила и, естественно, он начинает освоение с демонстрации этих правил. В момент, когда демонстрация еще довольно свежа в его уме, он полностью понимает смысл и значение правил, и в это время нет опасности, что он их забудет. Но позже он просто надеется на память и применяет их уже механически, и тогда память может подвести его, и он может применить правила неверно. Это приблизительно можно сравнить с тем, если бы мы забыли таблицу умножения — ошибки в вычислении стали бы неизбежными.

В свете только что сказанного вывод по отношению к математике должен быть таким — для ее усвоения необходима либо очень хорошая память, либо сильнейшая способность к концентрации внимания. Эти качества аналогичны тем, которые необходимы игроку в вист, которому необходимо запоминать вышедшие карты, или, если прибегнуть к примеру более высокого класса, шахматисту, воспроизводящему в сознании будущее развитие игры на много ходов вперед. Всякий хороший математик должен быть хорошим шахматистом и наоборот; кроме того, математик должен быть и хорошим вычислителем. Так и происходит в некоторых случаях. Гаусс, например, будучи гением в геометрии, в то же время обладал способностью быстро и безошибочно производить сложные вычисления.

Но существуют и исключения, а может быть я и неправ, называя их исключениями, ибо они, возможно, более многочисленны, чем случаи, подтверждающие правило. Скорее всего Гаусс был исключением. Что касается меня лично, то я должен признаться: я абсолютно не способен сложить два числа без того, чтобы не ошибиться. Кроме того, я очень плохо играю в шахматы. Я обычно легко могу рассчитать, что сыграв определенным образом, я навлеку на себя такие-то неприятности. После этого я рассматриваю другие варианты хода и отвергаю их по разным причинам. В конце концов я делаю тот самый ход, который был отброшен мною вначале, так как к тому времени я уже забываю об опасности, которую предвидел тогда.

Словом, моя память не то, чтобы плоха, но недостаточна для того, чтобы сделать меня сильным игроком в шахматы. Почему же, в таком случае, она не подводит меня в сложных математических рассуждениях, в которых запуталось бы большинство шахматистов? Бесспорно потому, что она руководствуется определенной нитью, проходящей через аргументацию. Математическая мысль не есть простая совокупность силлогизмов; эти силлогизмы расположены в ней в определенном порядке, и порядок, в котором элементы следуют друг за другом, гораздо важнее самих элементов. Коль скоро я чувствую этот порядок, так сказать, интуитивно настолько, что могу уловить общую идею всей аргументации, я могу не бояться того, что один из элементов выпадет из моей памяти — каждый из них в этом случае естественным образом ляжет на свое место без особых усилий памяти.

Когда я повторяю чье-то математическое рассуждение, мне всегда кажется, что я сам мог бы его придумать. Это только иллюзия, но даже в тех случаях, когда я не оказался достаточно умным, чтобы создать какую-то мысль сам, я воссоздаю ее при повторении за другим.

Понятно, что это чувство, эта интуиция, делающая возможным постижение скрытой гармонии отношений, расположения математических элементов, имеется не у каждого. Некоторые не обладают ни этим тонким чувством, которому даже трудно дать определение, ни силой памяти, ни концентрацией внимания, превышающей обычную, и поэтому они совершенно не способны усвоить даже простейшие понятия высшей математики. К этой группе относится большинство людей. Другие обладают интуицией в небольшой степени, но зато одарены незаурядной памятью и способностью сильно напрягать внимание. Они выучивают элементы один за одним наизусть и могут овладеть высшей математикой и некоторыми ее применениями, но никогда не станут в этой науке творцами. Наконец, иные имеют особую интуицию, о которой я говорил, и они способны не только понимать математику, даже если их память не является очень хорошей, но и стать создателями нового и с большим или меньшим успехом — в зависимости от степени развития интуиции — попытаться сделать математические открытия.

Что же представляет собой математическое открытие? Оно не заключается просто в новой комбинации тех понятий, которые уже известны. Это может быть сделано каждым, а создаваемые комбинации могут быть бесконечно разнообразными, однако подавляющее большинство из них не представляет никакого интереса. Открытие в математике совершенно определенно состоит не в конструировании бесполезных комбинаций, а в отыскании того меньшинства из них, которое приносит пользу. Таким образом, открытие есть отбор, селекция.

Как эта селекция должна производиться, я уже говорил. Математическими фактами, достойными изучения, являются такие, которые, благодаря их аналогии с другими фактами, способны привести нас к познанию законов математики — точно так же, как экспериментальные факты ведут нас к познанию законов физики. Это — такие факты, которые раскрывают глубокие связи между другими фактами, давно известными науке, но ошибочно считавшимися не имеющими друг к другу никакого отношения.

Среди отбираемых нами комбинаций наиболее плодотворными часто бывают те, которые упорядочивают элементы, взятые из самых разных областей. Я не хочу сказать, что, чтобы сделать открытие, достаточно связать между собою объекты настолько далекие друг от друга, насколько это возмо.кно. Огромное большинство таких соединений будет абсолютно бесплодным, но некоторые из них, правда очень редкие, оказываются исключительно плодотворными.

Я сказал, что открытие есть отбор. Но это, вероятно, не совсем правильное слово. Оно подразумевает покупателя, которому показывают громадное количество образцов и который рассматривает их один за другим для того, чтобы выбрать нужный ему. В нашем случае образцы образуют такое множество, что жизни человека не хватит для испытания каждого из них. Дело обстоит по-другому. Бесполезные комбинации не столь навязчивы, чтобы пробиваться в сознание открывателя. В сфере его мышления не проявляется ничего, кроме полезных комбинаций; даже те, которые он отвергает, имеют характер до некоторой степени полезных комбинаций. Все происходит так, как если бы у открывателя был некий предварительный экзаменатор, допускающий к окончательному испытанию лишь тех кандидатов, которые справились с определенным экзаменом.

То, что я говорил до сих пор, основано лишь на знакомстве с работами геометров, знакомстве, которое, конечно, сопровождалось анализом.

Теперь пора пойти дальше и заглянуть в самую душу математика. Здесь, я думаю, мне трудно сделать что-либо большее, чем поделиться собственными воспоминаниями. Я ограничусь рассказом о том, как я написал свой первый трактат по фуксовским функциям. Я хочу принести извинения за то,

что мне придется иногда употреблять некоторые термины, но это не должно тревожить читателя, так как ему не обязательно вникать в их смысл. Я буду говорить, например, как я нашел применения такой-то теоремы в таких-то случаях; сама теорема будет иметь варварское название, неизвестное большинству, но это не имеет никакого значения. Что интересует психолога — это не теорема, а обстоятельства.

В течение двух недель я пытался доказать, что не может существовать функция, аналогичная тем, которые я с тех пор называю фуксовскими функциями. В то время я был крайне невежественным. Каждый день в течение часа или двух я сидел за столом, изучая множество всяких комбинаций, но дело не двигалось с места. Однажды вечером я, против обычного, выпил черного кофе и почувствовал, что не могу заснуть. Вихрь идей завертелся в моей голове, я будто даже почувствовал, как они оттесняют друг друга, пока две из них не соединились, так сказать, в устойчивую комбинацию. Когда настало утро, я установил существование одного класса фук- совских функций, связанных с гипергеометрическими рядами. Мне осталось только проверить результат, что потребовало всего нескольких часов.

Затем я захотел представить эти функции в виде частного от деления двух рядов. Эта идея была совершенно сознательной и целенаправленной — я руководствовался аналогией с эллиптическими функциями. Я спросил себя, какими должны быть свойства этих рядов, если последние существуют, и без труда нашел ряды, названные мной тэта-фуксовскими.

В это время я покинул Казну, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической конференции, организованной Горным училищем. Путешествие заставило меня забыть мою математическую работу. Когда мы прибыли в Кутанс, нам подали карету для прогулки. В тот самый момент, когда я по-, ставил ногу на ступеньку, мне пришла идея, хотя в предшествующих моих мыслях не было ничего такого, что могло бы подготовить ее появление, что преобразования, использованные мной для определения фуксовских функций, были идентичными с преобразованиями неэвклидовой геометрии. Я не сделал проверки, не имея времени для этого, так как, сев в карету, я должен был продолжать беседу, но я уже был абсолютно уверен в своей правоте. Вернувшись в Казну, я произвел в спокойной обстановке необходимые выкладки и убедился для успокоения своей совести, что идея была совершенно правильной.

Затем я начал изучать некоторые арифметические проблемы — без каких-либо явных результатов и совершенно не предполагая, что они имеют какую-то связь с моими предыдущими исследованиями. Устав от попыток добиться успеха, я поехал, провести несколько дней у моря, где думал совер- 28

■Шенно о других вещах. Однажды, когда я бродил в скалах, меня снова озарила идея, столь же ясная, внезапная и несомненная, что определенные арифметические преобразования квадратичных форм тождественны преобразованиям неэвклидовой геометрии.

По возвращении домой, я проанализировал результат « вывел из него следствия. Квадратичные формы натолкнули меня на мысль, что существуют фуксовские группы, отличные от тех, которые соответствуют гипергеометрнческим рядам; я увидел, что к ним можно применить теорию тэта-фуксовских рядов и что, соответственно, существуют фуксовские функции, не совпадающие с теми, — единственными, известными мне в то время, которые происходят от гипергеометрических рядов. Естественно, я захотел установить все эти функции. Я начал их систематическую осаду и взял в плен одну за другой. Оставалась, однако, еще одна, по-прежнему недоступная, захват которой означал бы падение всей крепости. Но первое время все мои усилия оказывались тщетными, если не считать, что установление степени трудности проблемы само по себе все же имеет определенное значение. Вся эта поисковая работа велась уже абсолютно сознательно.

Затем по делам армейской службы я вынужден был уехать в Монт-Валерьен, где мои мысли оказались занятыми опять- таки совершенно другими вещами. Как-то я переходил улицу и вдруг понял, как решается мучившая меня задача. Я не попытался развить идею в тот же момент и сделал это только после окончания служебного задания, когда вернулся к своим научным занятиям. У меня в руках были теперь все элементы н оставалось только соединить их и упорядочить. Соответственно, я закончил весь свой трактат без всякого труда, не встав ни разу со стула.

Нет смысла увеличивать число примеров, и я ограничусь теми, которые привел. Если бы я начал рассказывать о других своих работах, то это лишь подтвердило бы сказанное. Еще ряд подтверждений можно найти, изучая биографии других математиков.

Случаи внезапного озарения, мгновенного завершения длительной подсознательной работы мозга, конечно, поразительны. Роль этой подсознательной деятельности интеллекта в математическом открытии можно считать, по-видимому, бесспорной. Мы попытаемся обнаружить ее и оценить ее значение и в таких случаях, когда она не столь очевидна.

Часто бывает так: человек работает над трудной проблемой, но ничего не может добиться сразу же, с первого приема. После безуспешных попыток он оставляет эту работу и некоторое время отдыхает, а затем снова садится за стол. В течение первых тридцати минут он все еще не может ничего добиться, а затем внезапно ему в голову приходит решающая

идея. Можно сказать, что в этом случае подсознание работало более эффективно потому, что был сделан перерыв, и отдых восстановил силу и свежесть мозга. Но более вероятно, что во время отдыха подсознание продолжало работать как и прежде, и результат этой работы проявился позже в найденной математиком формулировке подобно тому, как это происходило в описанных мною случаях, с той только разницей, что озарение пришло не во время прогулки, а в период сознательной работы мозга, но независимо от этой работы. Иными словами, мы наблюдаем здесь процесс, похожий на то, как если бы некий толчок пробудил к сознательной форме идею, созревшую во время отдыха, но остававшуюся до этого неосознанной.

Следует сделать еще одно замечание, касающееся условий подсознательной умственной работы, — она невозможна или, во всяком случае, бесполезна без предыдущего и последующего периодов сознательного мышления. Внезапное вдохновение никогда не могло бы прийти (и это уже достаточно веско подтверждено приведенными примерами) без многих дней предшествующих целенаправленных усилий, казавшихся в то время совершенно бесплодными и направленными по абсолютно неправильному пути. Эти усилия, однако, как выясняется, были не такими уж напрасными, какими они представлялись— их роль заключается в том, что они включили машину подсознания, которая без них не начала бы свое действие и не принесла бы плодов своего труда.

Таковы факты. Они наталкивают на целый ряд размышлений.

Прежде всего скажу, что моей целью было убедить читателя в том, что существует некое «подсознательное я» и что именно оно играет чрезвычайно важную роль в математическом открытии. Сейчас мы выяснили, что точка зрения тех, кто считает это «я» работающим совершенно автоматически, не является правильной. Мы убедились, что математическое мышление нельзя рассматривать как простой и однородный процесс, что его очень трудно сопоставлять с какой-нибудь машиной, пусть даже очень сложной и совершенной. Это — не просто применение определенных правил, перебор всех возможных комбинаций, удовлетворяющих некоторым заранее поставленным требованиям. Такие комбинации в своем подавляющем большинстве совершенно бесполезны. Истинная работа открывателя состоит в выборе из гораздо более узкого круга комбинаций, оставшихся после исключения явно бесплодных; последние даже не приходят математику в голову. Правила, которые могут обеспечить такого рода предварительную сортировку, являются настолько тонкими и сложными, что точно и однозначно сформулировать их практически невозможно; их скорее нужно чувствовать, чем описывать зо

словами. Но в таком случае разве можно говорить об их механическом применении?

Все, что я буду говорить дальше, является предварительной гипотезой, требующей проверки. «Подсознательное я» не является ни в каком смысле низшим по сравнению с «сознательным я»; его нельзя рассматривать как чисто автоматический механизм; оно способно к различению идей; ему присущи даже вкус и определенная тонкость чутья; оно может производить селекцию; оно способно восхищаться совершенной формой, и более того, оно способно к этому чуть ли не в большей степени, чем «сознательное я», ибо срабатывает и в тех случаях, когда последнее отказывает. Учитывая все это, можно поставить вопрос — не является ли подсознание высшей формой мышления по сравнению с сознанием? [1] Важность такого вопроса нетрудно понять. В недавней лекции М. Бутро показал, почему этот вопрос возникает и какие следствия вытекали бы из положительного ответа на него.

Должны ли мы дать положительный ответ, исходя из всех рассмотренных фактов? Признаться, я совсем не склонен этого делать. Давайте снова вернемся к фактам и посмотрим, нельзя ли дать им другое объяснение.

Совершенно очевидно, что комбинации, которые приходят в голову в виде внезапного озарения после относительно долгого периода подсознательной работы мозга, являются обычно полезными и плодотворными комбинациями, они представляются результатом предшествующего фильтрования. Следует ли отсюда, что подсознание, руководствуясь тонким чутьем ценности комбинаций, не формирует ни одной из них, кроме полезных? А может быть оно формирует и огромное количество всех остальных, но затем только те из комбинаций, которые представляют интерес, выходят в сознание, а бесполезные остаются в подсознании?

С этой второй точки зрения в результате автоматического действия подсознания формируются все комбинации, но лишь те из них, которые представляют интерес, получают выход в область сознания. Это тоже, конечно, загадочно. Как объяснить, что из тысяч продуктов нашего подсознательного мышления лишь некоторым дано перейти определенный порог, в то время как другие остаются за порогом? Простой ли случаи обусловливает такую привилегию для части комбинаций? Очевидно, нет. Мы знаем из других примеров, что из всех видов возбуждения наших органов чувств лишь самые интенсивные привлекают наше внимание, если, конечно, последнее не концентрируется на каком-то определенном восприятии по сознательным причинам. Обобщая это, можно предположить, что привилегированными подсознательными явлениями, спо- собными превратиться в сознательные, являются такие, которые прямо или косвенно оказывают наиболее глубокое воздействие на наши чувства.

Таким образом, неожиданно может оказаться, что наше восприятие находится в прямой связи с математическим мышлением, всегда считавшимся не эмоциональной, а интеллектуальной категорией. Но ведь мы определенно носим в себе ощущение математической красоты, гармонии чисел и формы, геометрического изящества. Все эти чувства — настоящие эстетические чувства, и они хорошо знакомы всем настоящим математикам. С другой стороны, они, безусловно, связаны с нашим общим восприятием.

Но принадлежат ли математические понятия, к которым мы применяем эпитеты «красота» и «изящество», к области истинной эмоциональной эстетики? Да, но только такие из них, элементы которых расположены в столь гармоническом порядке, что ум без всякого усилия, не вникая в детали, может постигнуть их сущность. Такая гармония одновременно удовлетворяет и нашим чисто эстетическим критериям. Она помогает разуму, направляет его по верному пути, служит ориентиром в поиске. Кроме того, представляя перед нашим интеллектом хорошо организованное целое, гармония осуществляет реализацию математического закона. Но, как я уже говорил выше, только факты, которые достойны нашего внимания и способны принести пользу, являются фактами, открывающими для нас возможность познания математической закономерности. Следовательно, мы приходим к такому заключению: полезные комбинации являются в то же время и наиболее красивыми, то есть такими, которые способны возбуждать знакомое всем математикам особое эстетическое чувство, хотя невежды могут относиться к существованию такого чувства весьма скептически

[1] О критике В. И. Лениным философских взглядов А. Пуанкаре см. в работе В. И. Ленина «Материализм и эмпириокритицизм». — Ред.