В стороне от этих проблем тоже не должен оставаться математик — участник исследования. В ряде случаев социологический опыт полезно провести не один раз, а несколько, меняя методику его постановки и обработки и следя за «устойчивостью» выводов.

Современная прикладная математика — наука особого рода, стоящая на грани между точными, гуманитарными и опытными науками, смело применяющая приемы, выработанные в каждой из этих групп наук, если они оказываются эффективными. Только такой она и может быть, если ее задача — не созерцание отвлеченностей, а активное вмешательство в жизнь.

МЫСЛИ О МАТЕМАТИКЕ

. совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда- нибудь, а только из действительного мира. . Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития. Как понятие числа, так и понятие фигуры, заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть весьма реальный материал. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто совершенно безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и Ь, хну, постоянные и переменные величины, и только в самом конце мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума — до мнимых величин.

Ф. Энгельс

Построения математического ума являются одновременно и свободными, и необходимыми. Отдельный математик свободен определять свои понятия и устанавливать свои аксиомы как ему угодно. Но вопрос: заинтересует ли он своих коллег-математиков продуктами своего воображения? Мы не можем не чувствовать, что некоторые математические структуры, развившиеся благодаря усилиям многих ученых, несут печать необходимости, которая не затрагивается случайностями их исторического появления. Каждый, кто созерцает зрелище современной алгебры, будет поражен этой взаимодополнительностью свободы и необходимости.

Г. Вейль

Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой К явлениям действительного мира.

Н. И. Лобачевский

Природа воплощает в себе то, на чем теоретически основана математика.

Р. Декарт

Математика, подобно жернову, перемалывает то, что под нее засыпают, и, как засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных посылок.

Т. Гексли

. измерение величин является отправным пунктом всех применений математики.

А. Лебег

. природа формулирует свои законы языком математики.

Г. Галилей Математика — это наука о связи величин.

Г. Грассман

. геометрия основывается на механической практике и есть не что иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказывается искусство точного измерения.

И. Ньютон

Достоверность математики является тем ее преимуществом, которым она обязана главным образом простоте своего предмета. Более того, нужно признать, что поскольку не все отделы математики имеют одинаковый по простоте предмет, постольку и достоверность в собственном смысле слова, — достоверность, основывающаяся на принципах, являющихся необходимо истинными и очевидными сами по себе, —присуща различным ее отделам не в одинаковой степени и неодинаковым образом. Многие отделы математики, опирающиеся или на физические принципы, т. е. на опытные истины, или же на простые гипотезы, обладают, так сказать, лишь достоверностью опыта или даже достоверностью чистого допущения. Строго говоря, обладающими полной очевидностью можно считать только те отделы математики, которые имеют дело с исчислением величин и с общими свойствами пространства: таковы алгебра, геометрия и механика. Даже и здесь, в степени ясности, которую наш ум находит в этих науках, можно заметить своего рода градацию и, если можно так выразиться, те или иные оттенки. Чем шире тот предмет, который ими охватывается и чем более обща и абстрактна та форма, в которой она в них рассматривается, тем больше их принципы избавлены от неясностей и тем более они доступны для понимания. Именно по этой причине геометрия проще механики, а они обе менее просты, чем алгебра.

Ж. Даламбер

Не может быть языка более всеобъемлющего, чем аналитические уравнения, и более простого, лишенного ошибок и неясностей, т. е. более достойного для выражения неизменных соотношений реального мира.

Ж. Фурье

Существует еще одна причина высокой репутации математики: именно математика дает точным естественным наукам определенную меру уверенности в выводах, достичь которой без математики они не могут.

А. Эйнштейн

Математика — это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлеченными понятиями любого вида, и в этой области нет предела ее могуществу.

П. Дирак

Нет никакого сомнения в том, что единственный способ, который с успехом может применяться в естественных науках, состоит в наблюдении фактов и в подчинении наблюдений вычислениям. Но было бы большим заблужде- пием допустить, что достоверность заключается только в геометрических доказательствах и в указаниях наших чувств . Будем поэтому усердно разрабатывать математические науки, не стремясь распространить их значения за естественные пределы, не будем увлекаться решением исторических вопросов посредством формул и искать нравственных оснований в теоремах алгебры или интегрального исчисления.

О. Коши

Ничто не может быть простее того понятия, которое служит основанием Арифметике. Мы познаем легко, что все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано.

Н. И. Лобачевский

Оценка математической теории определяется не только ее правильностью. Она зависит также от важности предмета и области применений. За пределами этого должно быть еще место свободным суждениям человека.

Дж. Буль

. к области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры, звезды или что-нибудь другое, в чем отыскивается эта мера.

Р. Декарт

Математика является вполне живой наукой, которая беспрестанно включает в себя все новые проблемы, обрабатывает их, отбрасывает устаревшие, и, таким образом, она все вновь и вновь омолаживается.

Ф. Клейн

В ее строго логической форме математическая дисциплина принимает столь искусственный характер, что ставит в тупик любого. Забываются исторические истоки, мы видим, как вопросы могут быть разрешены, но перестаем понимать, как и почему они были поставлены.

А. Пуанкаре

Тяжкий жребий — писать в наши дни математические книги. Если не соблюдать надлежащей строгости в формулировках теорем, пояснениях, доказательствах и следствиях, то книгу нельзя считать математической. Если неукоснительно соблюдать все требования строгости, то чтение книги становится весьма затруднительным.

И. Кеплер

. между математикой и естественными науками должны быть установлены более глубокие взаимоотношения, чем те, которые имели бы место, если бы, например, физика видела в математике лишь вспомогательную дисциплину, пусть даже необходимую, а математика рассматривала вопросы, выдвигаемые физиками, только как обильное собрание примеров для своих методов.

. На вопрос . можно ли действительно получить что- либо непосредственно применимое из тех абстрактных теорий, которыми предпочтительно занимаются теперешние математики? — я могу ответить, что греческие математики изучили свойства конических сечений чисто умозрительным путем задолго до того, как кто-либо мог предугадать, что эти кривые представляют собой пути, по которым движутся планеты, и я верю, что будет найдено еще много функций с такими свойствами, как, например, знаменитые тета- функции Якоби, с помощью которых можно, с одной стороны, узнать, на сколько квадратов разлагается любое заданное число, которые позволяют спрямить дугу эллипса, и, с другой стороны, дают возможность найти истинный закон колебаний маятника.

К. Вейерштрасс

Математические идеи возникают из опыта, хотя их генеалогия порой оказывается длинной и темной. Но после того как они сформировались, они начинают жить своеобразной собственной жизнью. При этом предмет математики можно сравнить скорее с творческой дисциплиной, подлежащей почти исключительно эстетическим обоснованиям, но ни в коем случае не с эмпирической наукой. Так как математическая дисциплина далеко уходит от своих эмпирических истоков . ее подстерегают очень серьезные опасности. Она становится все более эстетической, все более приближается к чистому искусству для искусства. Все это не так страшно, если данная область окружена взаимозависимыми структурами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если на эту дисциплину оказывают влияние люди с исключительно хорошо развитым вкусом. Однако существует серьезная опасность, что данный предмет в процессе своего развития вступит на путь наименьшего сопротивления, что поток, столь далеко унесшийся от своего источника, разольется на множество мелких ручьев и превратится в беспорядочное множество запутанных частностей. Другими словами, если область математики слишком удалилась от своего эмпирического источника или же подвергается усиленному «абстрактному» близкородственному скрещиванию, возникает опасность вырождения. Сначала, как правило, имеет место классический стиль. Однако, как только повляются признаки барокко, промедление становится опасным. Если мы достигли этого этапа, единственное лекарство — это возвращение к истокам, т. е. новое приближение к более или менее явно эмпирическим идеям. Я уверен, что в прошлом это было необходимым условием сохранения свежести и жизненной силы математики и что то же ожидает нас в будущем.

Дж. Нейман

Роль математики в различных областях человеческой деятельности и в разное время было существенно различной. Она складывалась исторически, и существенное влияние на нее оказывали два фактора: уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность описать его наиболее существенные черты и свойства на языке математических понятий и уравнений, или, как теперь принято говорить, возможность построить «математическую модель» изучаемого объекта.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, не тождественна объекту, а является его приближенным отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математика позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т. е. спрогнозировать результаты будущих наблюдений.

А. Н. Тихонов и Д. П. Костомаров

Без интуиции молодой ум не сможет продвинуться в понимании математики, он не сможет полюбить ее и найдет в ней лишь пустой набор логических упражнений, и прежде всего без интуиции он никогда не сможет применять математику.

А. Пуанкаре

Ни одно открытие не было сделано в математике с помощью усилий дедуктивной логики; они являются результатом творческого воображения, которое подсказывает, что кажется истинным, ведет иногда путем аналогий, иногда благодаря эстетическому идеалу, но не основано на твердом логическом фундаменте. Лишь когда открытие сделано, вмешивается логика для проведения контроля; она окончательно удостоверяет, истинно или иллюзорно открытие; ее роль, таким образом, лишь вспомогательная.

А. Лебег

Чистая математика обладает нечеловеческим свойством звездного света — сверкающего, яркого, но холодного.

Г. Вейль

Современная математика предпочитает характеризовать свой предмет как изучение общих абстрактных систем, каждая из которых построена из специфических абстрактных элементов и структурирована наличием произвольных, но недвусмысленных специализированных связей между ними.

М. Стоун

Некоторые математики мыслят абстракциями; математические идеи нуждаются в прогрессирующем абстрактном рафинировании, аксиоматизации, кристаллизации. Однако основные трудности в математике исчезают, если учесть, что математические понятия являются описанием некоторой вещественной реальности.

Жизненные соки нашей науки поступают в нее из корней; эти корни уходят своими бесчисленными разветвлениями в то, что можно назвать реальностью, т. е. в механику, физику, биологические формы, экономическое поведение, геодезию . Абстракция и обобщения не более жизненны для математики, чем индивидуальность феномена и, прежде всего, чем индуктивность интуиции. Только взаимодействие между этими силами и их синтез может сохранить математику живой и не дать ей превратиться в высохший скелет. Мы должны отвергнуть богохульную бесмыслицу, что последним оправданием математики является «слава человеческого разума».

Р. Курант

При помощи логики никто ничего не открывает; силлогизм может только приводить других к признанию той или другой, уже заранее известной истины, но как орудие изобретения бессилен. Математик иногда наперед высказывает весьма сложное положение, совершенно не очевидное и затем начинает доказывать его. В изобретении чуть ли не каждого шага доказательства играет роль не логика, а интуиция, которая идет поверх всякой логики.

В. А. Стеклов

. всякой аксиоматической обработке математического материала должно предшествовать конкретное, я бы сказал наивное овладение им.

П. С. Александров

Огромное большинство чисто логических сущностей и понятий, встречающихся на путях логического порядка обычно бесполезны и не могут оказать никакого влияния на прогресс науки.

Н. Н. Лузин

. чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен живописцу, умеющему гармонически сочетать цвета и формы, но лишенному натуры, модели — его творческая сила быстро бы иссякла.

А. Пуанкаре