ПРЕДИСЛОВИЕ СОСТАВИТЕЛЯ

Две небольшие статьи, объединенные в этом выпуске, переведены из четырехтомной антологии «Мир математики», изданной под редакцией Дж. Р. Ньюмена в США (1956 г.) и Англии (1960 г.). Комментарии к этим статьям, также воспроизведенные здесь, имеют редакторское название «Неразумность математики». Это название следует, конечно, рассматривать как шутку, рассчитанную на привлечение внимания читателя. Мы хорошо знаем, что математика разумна в том смысле, что ее понятия и методы берут свое начало в человеческой практике, а ее построения поэтому в той или иной мере отражают реальные явления и процессы. Происхождение даже самых абстрактных понятий современной математики может быть прослежено от истоков — объектов окружающего нас мира и предметов практической деятельности человека. Методы математических наук сводятся в конечном счете к оперированию формальной и диалектической логикой, законы которых, составляющие основу человеческого мышления вообще, также являются квинтэссенцией человеческого опыта.

Первая статья рассматривает математические парадоксы, вторая — место интуиции в математике. Эти две темы довольно тесно связаны, так как многие парадоксы возникают вследствие несовершенства нашей интуиции. Парадоксы, изложенные в первой статье, в большинстве своем широко известны, однако их систематизация и освещение авторами Каснером и Ньюменом несомненно представляет интерес для наших читателей. Э. Каснер — известный, пользующийся признанием популяризатор математики за рубежом; Дж. Р. Ньюмен — автор историко-математических исследований, редактор ряда математических антологий и также популяризатор. Их статья не лишена некоторых недостатков, происходящих в основном из-за чрезмерного упрощения отдельных тонких математических вопросов (например, понятия размерности).

Следует отметить также, что авторы недостаточно четко выделяют истинные парадоксы, т. е. логически противоречивые конструкции, возникающие в нечетко сформулированных аксиоматических системах (без необходимых «запретов»). Эти истинные парадоксы играют важнейшую роль в развитии математики, так как их устранение требует переустройства основ и ставит здание соответствующей математической дисциплины на более надежный фундамент.

Наряду с этими истинными парадоксами рассматриваются также кажущиеся парадоксальными, но верные в данной системе науки утверждения. Парадоксальность таких верных утверждений (опять-таки с точки зрения сегодняшних научных воззрений) является следствием несовершенства нашей интуиции, которая, как правило, применительно к математике очень поверхностна и в большинстве случаев не в состоянии проникнуть в глубокие взаимосвязи. Обычная интуиция также часто оставляет вне своего внимания особые исключительные случаи или обстоятельства той или иной ситуации, которые как раз и обесценивают общность интуитивно высказываемых утверждений. Надо сказать, что история математики знает имена ученых, обладавших почти фантастической интуицией в области математики и очень редко ошибавшихся в своих основанных на интуиции утверждениях. Одним из ярчайших таких примеров является индийский математик Раманужан (1887—1920 гг.)

Вторая статья — статья Г. Хана — по существу затрагивает глубокий философский вопрос о природе и роли интуиции. Философские позиции автора здесь далеко не безукоризненны, и это отмечается в послесловии переводчика, к которому мы отсылаем читателя.

Несмотря на несовершенный характер нашей интуиции, ее роль в развитии математики (как, впрочем, и других наук) чрезвычайно велика. Не следует только ее абсолютизировать и считать единственной путеводной звездой. Развитие интуиции начинается на очень ранних этапах обучения математике. Поэтому интересная статья — лекция Хана, использующая в основном материал, доступный старшему школьнику, можеть быть полезной и начинающим математикам.

Профессор В. И. ЛЕВИН

НЕРАЗУМНОСТЬ МАТЕМАТИКИ

Комментарии на тему «Важность существования абсурда»

Мы определяем парадокс как утверждение, по внешности или по существу являющееся абсурдным. Но как мы устанавливаем абсурдность утверждения? Общепринятым критерием служит общественное мнение. Большинство полагает, будто все, что большинство считает правильным, — правильно, а противоположность есть абсурд. С другой стороны, имеется склонное к софистике меньшинство, которое считает абсурдом как раз мнение большинства. В науке, конечно, нельзя пользоваться ни первой, ни второй меркой. Здесь целесообразно проверять утверждения опытным путем. И часто может случиться так, что высказывание, выглядевшее абсурдным, после проверки окажется истинным. Тогда парадокс исчезает, а наше знание увеличивается. Тяжелые предметы падают не быстрее легких, стол состоит из электромагнитных волн, человек произошел от обезьяны, тепло есть движение, Земля вращается вокруг оси, малярия вызывается комарами — все эти утверждения, от которых раньше могли встать дыбом волосы, — бывшие парадоксы, подтвержденные фактами. Процесс превращения парадокса в истину — трудный процесс, нередко вызывающий жестокое сопротивление. Многие из тех, кто провозглашал новые взгляды, были прокляты, некоторые подвергнуты пыткам и сожжены на костре. Даже в наши дни можно порекомендовать быть неправым, но рассудительным. Что же касается математики, то ее считают стоящей выше этих споров и дрязг. Гаусс говорил, что он воздержался от опубликования своих заметок по неевклидовой геометрии, чтобы «избежать крика беотийцев»; Ньютон панически боялся критики и всегда неохотно предавал свои теории обнародованию (ибо «философия — такая склочная дама»); другие математики также оставляли свои результаты при себе, чтобы не подвергаться насмешкам. И все же никому не выкручивали рук за отрицание постулата о параллельных линиях или за выдвижение новых идей в алгебре.

Математика избежала этих вещей отчасти потому, что ее утверждения не являются общепонятными. Неспециалисту трудно разобраться, какие из ее результатов достойны осмеяния; кроме того, математика кажется совершенно безвредной наукой, не угрожающей религиозным и политическим догматам даже в той степени, в какой может угрожать им физика и астрономия. Но есть и другие причины, по которым математика избежала гнева толпы. Важнейшая из них состоит в том, что ее утверждения считаются бесспорными. Распространено мнение, что математические высказывания могут быть либо совершенно очевидными, так что сомневаться в них — значит проявлять признаки безумия, либо менее очевидными, но доказуемыми с помощью логического рассуждения — как, например, утверждения, что 89x43=3827 или что 4-1=0. Однако тщательное исследование этих утверждений показывает, что дело обстоит не так просто. Как нельзя сделать высказывание действительно абсурдным, называя его абсурдным, так нельзя сделать его действительно истинным, называя самоочевидным. Далее, если верно, что математическая истина незыблема, когда она выведена из постулатов с помощью строгой логики, тов чем гарантия истинности самих этих постулатов? Ясно, что если зашатаются постулаты, то зашатается и все здание, на них воздвигнутое. И, наконец, как быть с самой логикой рассуждения? Кто поручится за ее надежность? Как говорили еще древние римляне, «кто засвидетельствует, что свидетели не лгут?»

Факт состоит в том, что математика имеет свои парадоксы, и некоторые из них служат причиной бурь. Одни выдвигают логические дилеммы, другие кажутся просто невероятными и напоминают утверждение, что Луна сделана из сыра. Маленькие притчи Зенона о движении (я употребил слово «маленькие» с чувством восхищения, а не пренебрежения; эти притчи вызвали немалое кипение умов и вызывают его до сих пор), вероятно, наиболее известные парадоксы, но и остальные, не столь знаменитые, вводят математиков и философов в смущение, колеблют установившиеся понятия и вызывают важные и далеко идущие реформы в логике и математике. Парадоксы подобны скелетам, появляющимся в разгар веселого праздника, но поскольку необходимость выбора рождает волю, они оказываются полезными скелетами. Благодаря им мы пересматриваем свои представления о том, что такое очевидное, невозможное, определенное, абсурдное. Конечно, всеведущий ум, сверхинтеллект, был бы избавлен от парадоксов в логике или математике, так как его нельзя было бы сбить с толку очевидностью или очевидной нелепостью. Но он был бы также незнаком (в отличие от нас) с одним из самых интересных и волнующих аспектов истории идей.

Две последующие статьи рассказывают о наиболее типичных парадоксах. Первая дает примеры геометрических парадоксов, несообразностей теории точечных множеств, конфузов арифметики и логических парадоксов. Вторая представляет собой лекцию математика и философа-позитивиста Ганса Хана, который был активным участником знаменитого Венского кружка, сыгравшего значительную роль в пересмотре оснований логики и естествознания, в раскрытии причин философских противоречий, развитии методов лингвистического анализа и в становлении новых взглядов на природу математики. Лекция Хана посвящена свойствам человеческой интуиции, ее роли в математическом творчестве, ее способности вовлекать нас в сети парадоксов, а также показывает, насколько успешно мы можем выбираться из этих сетей.