Ендржеевский, Методика доказательства теорем 84

Е. Д. Крюкович, Практические работы по теме «Подобие фигур» 86

Миткевич, Устные упражнения на уроках геометрии 87

Н. А. Извольский, Р. К. Гангнус, Высказывания по докладам по геометрии 90

III. Алгебра

М.[К. Гребенча, Функции и уравнения. 93

Т. Островский, Решение уравнений. 103

Л. Горская, Из опыта обучения решению уравнений 106

К.'. С е н к е в и ч, Из опыта обучения решению уравнений. 108

Л.'Г. Гельфанд, К вопросу о закреплении знаний. 109

В. Ф. Яковенко, Относительные числа. 111

IV. Арифметика

Т. А. Кондратьев, О решении арифметических задач 115

Малинин, О преподавании законов действий в V классе. 118

Н. А. Принцев, О наглядности в преподавании арифметики 122

Е. Карпович, Борьба с ошибками в курсе арифметики 123

V. Вопросы учета, стандартизации

3. П. Корчиго, Борьба с коренным недостатком в знаниях учащихся по математике. 126

Логиновская, Вопросы стандартизации математических обозначений ' 128

VI. Вопросы внеклассной работы

Л. В. Федорович, О внеклассной работе по математике 134

П. П. Кузнецов, Два года работы школьного математического кружка 138

Н. Г. Плеханова, Р. И. Бончковский, Высказывания. 143

VII. Книги, пособия

С. Ю. Калецкий, О плане издание Учпедгиза по математике 145

П. Я. Д о р ф, К обзору пособий, представленных на выставке 148

Обращение ко всем преподавателям математики средней школы -150

I. ОБЩАЯ ЧАСТЬ

О НЕКОТОРЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ В РАЗВИТИИ МАТЕМАТИКИ И ИХ ЗНАЧЕНИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАНИЯ.

Проф. П. С. Александров (Москва)

В развитии математики за последние 100 лет следующие основные события являются определяющими, и притом определяющими не только для научного развития математики, но и для преподавания математики. Первой событие—возникновение проективной геометрии и начавшаяся в связи с ней постепенная аксиоматизация геометрии. Здесь приходится в первую очередь иметь в виду французского ученого Понселэ, затем Штейнера, фон-Штаудта, Клейна, Гильберта, ряд итальянских ученых и др

Второе крупное событие в развитии математики новейшего времени это переустройство математического анализа, связанное в первую очередь с именами Коши, Вейерштраса, Дедекинда, Кантора и Римана; переустройство математического анализа было связано с постепенным созданием теории функций комплексного и действительного переменного на почве теории множеств. Вся структура современной математики в значительной степени изменилась, и в конце концов развитие математики, происходящее сейчас за последние, примерно, БО лет, может быть охарактеризовано как постепенное применение теоретико-множественного метода в различных отделах математики.

Наконец, третье направление, третье событие в математике, самое позднее, это—возникновение современной так называемой абстрактной алгебры и все более возрастающее влияние алгебры на самые различные отделы математики. Эта тенденция сказалась в самые последние годы; процесс этой алгебраизации мы переживаем сейчас, он ни в какой степени не является законченным.

Невозможно в одном докладе говорить о всем этом разнообразном комплексе вопросов. Я постараюсь наметить некоторые пункты и, главное, указать, в каком направлении собравшимся здесь преподавателям математики целесообразно в первую очередь расширять свои знания, какие для этого имеются литературные источники и как знакомство с этими математическими явлениями могло бы отразиться на преподавании математики.

Сначала я хочу сказать несколько слов об основной тенденции развития геометрии за последние годы. На рубеже предшествующего века, вернее в первую четверть предшествующего века, мы имели следующее. Во-первых, грандиозная фигура Гауса, охватившего всю тогдашнюю математику и положившего начало целому ряду дисциплин, Понселе—во Франции и у нас Лобачевский. Несмотря на разнообразие точек зрения, которые имели место, основная тенденция была одна и та же. Это, если хотите, отказ от господствовавшего до того времени грубого, я бы сказал, механического понимания пространства, рассматриваемого как раз навсегда определенная эмпирическая данность. Понятие пространства в современной математике бесконечно богаче, и я скажу— бесконечно более диалектично, чем это думали геометры классического периода. Источники этого динамизма современной геометрии надо искать в тех геометрических идеях, которые 100 лет назад родились в разных местах и у разных людей. Дело в том, что то пространство, которое изучает математика, есть пространство, хоть и возникшее на почве опыта, но развивающееся дальше, это гораздо более сложное и. отвлеченное логическое построение, чем совокупность данных голой эмпирии. Сама роль аксиомы совершенно иная, чем можно заключить, читая первую страницу учебника геометрии. Аксиомы—это не «самоочевидные истины», о которых говорится в учебниках, это—те основные предпосылки, которые могут меняться в зависимости от того, какие именно геометрические дисциплины вы строите. Аксиомы далеко не являются раз навсегда определенными; они меняются в зависимости от той или иной системы геометрии. Это сделалось ясным в связи с открытием Лобачевского, которое 100 лет назад восприняли многие из математиков как какую-то непонятную азбуку. Как можно говорить о пространстве, где аксиома о параллельных совершенно не та, к которой как будто мы привыкли и которая имеет место в нашем пространстве? Но какие-либо аксиомы о параллельных, в смысле очевидной истины, современной геометрии неизвестны. Современная геометрия знает различные геометрические системы, одной из которых является эвклидова геометрия. Неэвклидова геометрия не есть искусственное построение какой-то фикции. Неэвклидова геометрия также связана с действительностью, но только эта связь более сложная и менее непосредственная. Если вы будете исследовать геометрические свойства ограниченного пространства, то никакой другой геометрии, кроме эвклидовой, вам не понадобится. Если вы будете изучать физические теории, которые говорят не об отдельных участках пространства, а говорят о пространстве и времени в целом, о пространстве физически активной материи, то для понимания структуры этого пространства и тех геометрических закономерностей, которые имеют место в этом пространстве, вам понадобится неэвклидова геометрия, понадобится геометрия не только двух или трех изменений, а и геометрия многомерная.

Поэтому не нужно, с одной стороны, думать, что геометрия так примитивна и так неподвижна, как об этом учат наши учебники. С другой стороны, не нужно думать, что геометрия представляет собой поле необузданной фантазии, где можно сочинять все, что кому придет в голову. Указанная выше точка зрения, постепенно развиваясь в течение XIX в., привела к чрезвычайно углубленной системе основ геометрии, которым, несомненно, должно быть оказано большое внимание в преподавании геометрии. Подробнее обоснование геометрии вы услышите в докладе проф. Четверухина. Основной вывод, который из этой аксиоматической геометрии можно было бы сделать для преподавания, заключается в следующем: нужно учащимся передать, что геометрия не есть наука о непреложных истинах, которые являются раз и навсегда неизменными. Эта точка зрения не соответствует современному научному положению вещей. Аксиома носит условный характер. Существуют разные системы 4

аксиом и разные геометрии. Среди них эвклидова геометрия в наибольшей степени связана с научной, технической и житейской практикой. Поэтому ее и преподают в школе.

Эта эвклидова геометрия не является тем безукоризненным логическим зданием, как это внушалось в старых учебниках. Не нужно думать, что доказательства, существующие в учебниках, являются действительно безукоризненной цепью «абсолютных истин». По отношению к учащимся должно быть больше искренности и больше научности в преподавании. Например, доказывается, что через три данные точки в пространстве может быть проложена одна, и только одна, плоскость. Это доказательство в строгом смысле слова дать нельзя не только в школе, но и вообще. Предложение, утверждающее, что через три точки проходит одна, и только одна, плоскость, это есть как раз одна из основных аксиом. Стало быть, о доказательстве здесь речи быть не может. Речь может идти лишь о наглядном пояснении содержания данной аксиомы. Таких примеров можно привести много. Нужно учащимся стараться подчеркнуть, что в одном случае мы имеем строго логический вывод, а в другом случае доказательством является в большей или меньшей степени сознательное обращение к пространственному воображению или к интуиции ученика и не стремиться дать ему точный логический вывод. Учащимся должно быть ясно показано, что вот здесь вы имеете действительно строгое доказательство, действительно строгий вывод, а тут мы считаем ту или иную вещь очевидной и простой. Не нужно бояться это сказать. Это гораздо лучше, чем фальсифицированное доказательство, которое с научной точки зрения не выдерживает критики.

Одним из основных моментов развития геометрии в XIX в. было чрезвычайно полное исследование так называемых проективных свойств пространства, т. е. свойств, относящихся к взаимному расположению, проектированию и пересечению прямых и плоскостей в пространстве.

Между прочим, преподавая в университете, я постоянно должен считаться с тем фактом, что у нас студенты совершенно недостаточно знают элементы стереометрии. Преподавание стереометрии в средней школе сплошь и рядом ограничивается одним бесконечным вычислением поверхностей и объемов, готовым применением формул. Учащийся приобретает известную быстроту, вернее, натаскивается на применении этих формул, но даже самое простейшее соотношение фигур в пространстве для него остается совершенно недоступным и совершенно непонятным. Мне приходилось па первом курсе математического факультета слышать вопрос такого рода: не будет ли прямая, параллельная данной плоскости, параллельна всякой прямой, лежащей в этой плоскости. Над устранением этого недопустимого положения вещей педагогам необходимо работать. Учащиеся должны приобрести знания элементарных пространственных фигур и навык в применении этих знаний. Задача воспитания пространственных представлений должна в гораздо большей степени интересовать преподавателя, чем это имеет место сейчас. Первая наиболее элементарная часть стереометрии должна быть выведена из того состояния загона, в которое она совершенно незаслуженно попала сейчас.

Учащиеся ищут все то, что дает им возможность в геометрии почувствовать действительно значительную науку, а не только собрание сухих формул. Учащиеся должны понять, что математика (и в частности геометрия) является великой наукой, является основной составной частью современного научного мировоззрения. У учащихся должно быть хотя бы некоторое знакомство с большими геометрическими идеями. Эти понятия мы должны дать учащимся даже в курсе геометрии для средней школы—в элементарной геометрии.

Вы желаете услышать в этом направлении конкретные указания. Я ограничусь только одним, предварительным советом: преподаватели математики, и в частности геометрии, должны сами ознакомиться с основными идеями современной, в частности, проективной геометрии. Если преподаватели сами с этими идеями ознакомятся, они сумеют в процессе разъяснения учащимся тех или иных совершенно элементарных вопросов изложить в понятной форме многие элементы больших геометрических идей.

Обладание этими основными идеями—это есть основная задача, над которой преподаватель должен сам работать. Можно начать с прекрасной книги Больберга «Новые идеи в геометрии». Эта книга хорошо написана. Каждый преподаватель геометрии должен знать эту книгу, и он тогда сможет многое рассказать своим ученикам, так как эта книга читается очень легко. Затем книга проф. В. Ф. Кагана «О задачах обоснования геометрии в современной постановке», вполне доступная для преподавателя средних школ. В отношении проективной геометрии я не знаю сейчас никакой общедоступной литературы на русском языке. Классическим, создавшим эпоху в науке, трудом является книга Гильберта «Основы геометрии». Но эта книга—для серьезного изучения.

Вот то, что я кратко хотел сказать по поводу геометрии.

Теперь о другой громадной области математической мысли: теория множеств и теория функций. Дисциплины эти настолько видоизменили все лицо современной математики, что не иметь о них никакого представления преподавателю нельзя. Дело заключается во включении на различных этапах математического размышления понятия бесконечного множества, в частности, обоснования при помощи этого понятия теории предела. Примерами бесконечных множеств являются множества целых и дробных чисел, множество прямых, лежащих на плоскости, плоскостей, лежащих в пространстве и т. д. Понятие бесконечного множества не следует путать с понятием бесконечности в смысле переменной величины.

Элементарные понятия теории множеств вторгаются в преподавание в средней школе (особенно в связи с понятием иррационального числа и предела). Каждый развитой ученик может поставить преподавателю какой-нибудь вопрос, относящийся к этим понятиям, и преподаватель средней школы обязан дать ответ, и притом так, чтобы ученик его хорошо понял.

Итак, с кругом вопросов, связанных с бесконечными множествами, каждый преподаватель математики должен познакомиться. Для этого ознакомления я могу рекомендовать книгу, написанную мною совместно € проф. А. Н. Колмогоровым: «Введение в теорию функций действительного переменного». Там первые главы написаны с абсолютной доступностью, чрезвычайно подробно. Преподавать в школе вы будете самые элементарные понятия, но знать вы должны гораздо больше, чем то, что вы будете преподавать: математические понятия, непосредственно связанные с вашим преподаванием, вы должны знать в их полном развитии, в полной перспективе, даваемой современной наукой. В качестве примера б

скажу несколько слов по поводу иррациональных чисел. Иррациональное число, это—то, что прежде всего надо понять, чтобы иметь возможность следить за развитием современного анализа. Насколько понятие иррационального числа может быть дано в школе, я ответить не берусь. Я знаю, что хорошо и элементарно построить теорию иррационального числа—задача очень трудная. Но с другой стороны, нужно вполне ясно отдать себе отчет в том, что именно с понятием иррационального числа проходит та грань, которая отделяет элементарную математику от высшей. Высшая математика отличается от элементарной тем, что в ней присутствуют идеи бесконечного процесса в той или иной форме. Идея бесконечного процесса впервые возникает на почве иррационального числа. Понятие иррационального числа—это важный момент в преподавании математики.

Между тем, что происходит в действительности в школе? Иррациональное число преподается в виде придатка к корням. Иррациональные числа с корнями ничего общего не имеют. Корень есть специальный тип иррационального числа, и думать, что извлечение корня типично для иррационального числа, это, конечно, математическая безграмотность. Мы сначала знакомим учащихся с самыми простыми примерами иррациональных чисел: с «неизвлекающимися» квадратными корнями, но мы должны познакомить их и с более сложными, «трансцендентными» иррациональностями, подробно побеседовав с ними хотя бы о числах е и л. Ведь в школе изучаются сложные проценты, а от них очень легко перейти к числу гик показательной функции.

Вообще, когда говорят об иррациональном числе, о прогрессии и логарифме, то надо дать ученикам почувствовать, что то, что они изучают, — вопрос высшей математики. Надо на этом элементарном материале дать учащимся почувствовать принципиальную разницу высшей и элементарной математики. Это вполне возможно и нужно сделать.

Теперь я перехожу к последнему вопросу, а именно к моменту алгебраизации и к тому, что такое алгебра. По этому поводу точка зрения, которую я разделяю, заключается в том, что алгебра в основном есть учение о четырех простейших математических действиях и обо всем том, что на почве этих простейших математических действий может быть получено.

Дело в том, что в математике есть две основные пружины. С одной стороны, это понятие предела, рационального числа, непрерывности, бесконечного ряда и т. д., т. е. все то, на почве чего возникает современное здание математического анализа. С другой стороны, это четыре действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Это — алгебра, это—та математика, которая по существу с бесконечностью не имеет дела.

Нужно сказать, что алгебраические действия в широком смысле слова могут иметь своим объектом не только числа. Можно складывать, например, движения. Можно сложить два вращения и опять получить вращение. Весь этот материал учащимся известен. Ведь из курса физики они знают параллелограмм сил, а может быть и сложение вращений. Изучая алгебру в старших классах, они должны понять, что алгебра является аппаратом, объединяющим все эти различные случаи сложения.

На почве алгебраических действий возникают целые обширные области математики. В средней школе, например, в алгебре изучают перестановки, но не учат тому, что перестановки можно складывать, а между тем это очень просто и увлекательно, и в то же время может дать возможность

учащемуся овладеть одним из важнейших понятий всей современной математики: понятием группы. Так на простом и элементарном материале можно учить большим математическим идеям.

Другой пример—четырехмерное и вообще n-мерное пространство. Это—большая, увлекательная и кажущаяся чрезвычайно трудной математическая идея. Между тем ее с большой легкостью можно понять на материале уравнения первой степени с четырьмя и больше неизвестными: изучение плоскостей и прямых в n-мерном пространстве есть просто-напросто изучение систем уравнений первой степени со многими неизвестными. Подготовленные учащиеся старших классов это поймут. Но прежде всего и во всяком случае относящиеся сюда понятия должны быть усвоены самими преподавателями. Только тогда они смогут как следует поставить изучение систем уравнений первой степени в школе и оживить хотя бы случай уравнений с двумя и тремя неизвестными соответствующими геометрическими примерами. То, что этих геометрических примеров нет в теперешнем преподавании, является недопустимым анахронизмом. Я не собираюсь здесь расширять программу средней школы по математике, увеличивать материал. Все, о чем я говорю, можно проделать в пределах обычных программ. Не в программах дело, а в том, как они проходятся: преподаватель с большой математической культурой и на элементарном материале может раскрыть учащемуся большую перспективу и показать ему математику, как науку, а не только как «учебный предмет».

В связи с тем, что я только что говорил об алгебре и о геометрических иллюстрациях , систем уравнений 1-й степени, я рекомендую вниманию учителя книгу Шрейера-Шпернера: «Линейная алгебра в геометрическом изложении». Это—университетский курс Гамбургского университета, элементарно написанный и богатый примерами.

Позвольте закончить доклад пожеланием, чтобы элементам современной научной математики был проложен прочный путь к сознанию преподавателя. Только тогда преподавание математики в нашей советской школе достигнет того уровня, который соответствует современному развитию науки.

ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ И МАТЕМАТИКА Проф. С. А. Яновская (Москва)

Это было в девятых классах двух образцовых школ Москвы. Девочка выводила формулу для суммы членов арифметической прогрессии и явно путалась в словах «больше» и «меньше», без которых почему-то не умела обойтись. Я ее попросила написать два относительных числа: 1) а и 2) a-f-b и спросила, которое больше. При общем одобрении всей аудитории она сказала: «Конечно, а-j-b».

За девочкой вышел мальчик. Ему достался вопрос о нулевом и отрицательном показателе. Мальчик был толковый и добросовестный. Он сначала разделил а^ж на а”, причем сказал: «Мы знаем правило, что при делении степеней с одинаковым основанием показатель делителя вычитается из показателя делимого. Так как т—?п=О, то, следовательно,

= а*. Но, с другой стороны, ~ = 1. Поэтому мы уславливаемся, что а*=1.

Я задала уже не ученику, а педагогу, несколько вопросов с целью узнать, почему мальчик сказал «уславливаемся»: считает ли она, что мальчик действительно доказал, что а°=1, на что последовал ответ: «Безусловно». Почему же он в таком случае считал необходимым «условиться». Ведь не «уславливаемся» же мы, приняв эвклидову аксиому о параллельных, «считать» сумму углов треугольника равной двум прямым? Ответ был прост: «Так написано у Киселева».

В самом деле, у нас еще многим неясен вопрос об отношении диалектического материализма к требованию строгости в математике. У нас слишком часто еще верят на слово буржуазным математикам, что строгость и научность в математике совместимы лишь с формальной логикой.

Правда, здесь я касаюсь лишь одной стороны вопроса. Второй, не менее важный вопрос, касающийся выражения «условимся», я оставляю в стороне. О нем я уже писала*

Как известно, сущность (одна из основных сущностей) формально логического мышления состоит в механическом переносе законов, установленных для одной конкретной области, на область, применимость к которой этих законов не установлена. Именно такой тип мышления характерен для меньшевиков, вообще партий II Интернационала. Ибо он позволяет им отрывать положения марксизма от той конкретной обстановки, к которой они относятся, выхолащивать из них революционное содержание, превращать в систему оторванных от жизни, от революционной практики догм. Характеризуя ту группу лжемарксистов, к которой принадлежат меньшевики и оппортунисты из II Интернационала, т. Сталин пишет: «Не умея или не желая вникнуть в существо марксизма, не умея или не желая претворить его в жизнь, она (эта группа— С. Я.) живые и революционные положения марксизма превращает в мертвые, ничего не говорящие формулы. Свою деятельность она основывает не на опыте, не на учете практической работы, а на цитатах из Маркса. Указания и директивы черпает она не из анализа живой действительности, а из аналогий и исторических параллелей. Имя этой группы— меньшевизм (в России), оппортунизм (в Европе)» .

Наоборот, для марксистов-ленинцев «абстрактной истины нет, истина всегда конкретна» (Ленин). И характеризуя именно подлинных марксистов—марксистов-ленинцев, тов. Сталин пишет:

«Намечение путей и средств осуществления марксизма, соответствующих обстановке, изменение этих путей и средств, когда обстановка меняется, — вот на что, главным образом, обращает свое внимание эта группа. Директивы и указания черпает эта группа не из исторических аналогий и параллелей, а из изучения окружающих условий. В своей деятельности опирается она не на цитаты и изречения, а на практический опыт, проверяя каждый шаг свой на опыте, учась на своих ошибках и уча других строительству новой жизни»⁸.

. Блестящее применение этого марксистско-ленинского метода мы находим в работах самого тов. Сталина, в частности в развитом им ленинском учении о возможности построения социализма в одной стране. Разбирая известную формулу Энгельса, данную им в 40-х годах прошлого столетия, Сталин еще в 1925—26 гг. замечает, что она сбыла правильна в свое время, но теперь она стала недостаточной» и должна быть «заменена формулой Ленина о том, что при новых условиях развития капитализма и классовой борьбы пролетариата победа социализма в отдельных странах вполне возможна и вероятна». Между тем, социал-демократия «цепляется теперь за старую формулу Энгельса в своей борьбе с ленинизмом». Об этом же говорил т. Сталин и в заключительном слове на XIV партконференции:

«То, что считал Энгельс в 40-х годах прошлого столетия, в условиях домонополистического капитализма, неосуществимым и невозможным для одной страны, стало осуществимым и возможным в нашей стране, в условиях империализма. Конечно, если бы Энгельс был жив, он не стал бы цепляться за старую формулу. Но не так думают господа из лагеря социал-демократов. Они цепляются за старую формулу Энгельса для того, чтобы, прикрывшись ею, облегчить себе борьбу против нашей революции».

Неудивительно, что тот же меньшевистский подход, характерный для партий II Интернационала—этого передового отряда контрреволюционной буржуазии,—уже тогда был характерен и для скатившихся в дальнейшем в лагерь контрреволюции и белогвардейщины троцкистов и зиновьевцев.

В математике формальные методы, основанные на отрыве формы от содержания, на механическом переносе формул, годных при одних условиях, в условия, для которых применимость этих формул по меньшей мере не доказана, были очень распространенными в XVIII столетии. Вот, например, как «доказывали» тогда правило знаков при умножении отрицательных чисел.

Рассматривали формулу:

(1), (а — Ь)*(с — d) = oc—be—ad-j-bd,

справедливую для случая, когда' а>Ь, c>d.

Чтобы умножить, например, 999 на 99,. можно поступить следующим образом —положив а = 1 000, с = 100, b = d = 1, применить формулу (1), что дает:

(1000 — 1) • (100—1) = 1000 • 100 — 1 • 100— 1 000 • 1 4- 1 • 1 = 998901.

Эту же формулу механически распространяли даже и на случай, когда a<b, с <d.

Именно полагали: а = с = 0. Но в таком случае формула (1) превращается в

(2) (О — Ь)-(0 — d) = 0-0— Ъ -0 — O-d + bd= + bd, т. е.

(_ b)(—d) = + bd.

Подобного рода «доказательства» приводили, однако, в некоторых случаях к довольно «неожиданным» результатам. Так, механически распространяя на всякие ряды, которые рассматривались как простые суммы. только с бесконечным числом слагаемых, правила операций, справедливые Для сумм конечных, приходили к выводу, что 0=1. В самом деле, рассмотрим ряд 1 — 1+1 — 1+1 — 1 + 1—1 + 10

и просуммируем его один раз, собирая члены следующим образом:

Так как каждое из слагаемых, заключенных в скобки, равно нулю, то, следовательно, должна быть равна нулю и вся их сумма.

Теперь соберем члены этого ряда в группы так: 1 + (— 1 + 1) + 4- (— 1 +1) + (— 1+1) +•••

Так как все члены этой суммы, кроме первого, равны нулю, то, следовательно, сумма должна быть равна первому члену, т. е. единице. Итак, одна и та же сумма одновременно равна и нулю и единице, а так как сложение операция однозначная, то, следовательно, нуль должен быть равен единице.

Нужно сказать, что в ту пору этим выводом не смущались. Некоторые даже видели в нем «доказательства» того, как из ничего можно сделать нечто, чем, как известно, полагалось заниматься никому иному как боженьке.

Подобные методы оказались, однако, несовместимыми с развитием математики. Огромные успехи, достигнутые математикой в XIX столетии, в значительной мере обусловлены тем обстоятельством, что под влиянием возросших потребностей практики и естествознания в связи с большим накоплением материала математики вынуждены были стихийно стать на диалектическую точку зрения и отказаться от формальных, метафизических методов мышления. Хотя и в извращенной и односторонне искаженной форме это сказалось и в работах тех из них, кто, как например Коши, занимал в области философии глубоко идеалистические позиции. Но Коши был крупнейшим математиком, и сила его, как математика, именно в этой стихийной диалектике, в конкретном подходе к основным понятиям и формулам математики. Вот что пишет Коши (нужно иметь в виду, что в то время, как в алгебре в эпоху Коши господствовали обобщения и «доказательства» в стиле приведенных нами, геометрия с древности славилась своею строгостью): «Что же касается до способов изложения, то я старался придать им ту строгость, которая требуется в геометрии, совершенно избегая суждений, извлекаемых из алгебраического обобщения. Хотя и допускаются подобные суждения, особенно при переходе от сходящихся рядов к. расходящимся, от вещественных количеств к мнимым выражениям, но мне кажется, что их можно принять за наведения, посредством которых, и то не всегда, только угадывается истина, что весьма мало удовлетворяет точности, которою хвалятся математические науки. К тому же наведения могут дать безграничный простор алгебраическим формулам, между тем как в действительности большая часть этих формул справедлива только при известных условиях и то для некоторых значений количеств, в них заключающихся. Определяя эти условия и эти значения и устанавливая точный смысл законоположений, мною устанавливаемых, я устраняю всякую неопределенность. Правда, чтобы остаться верным этим началам, я должен был допустить многие предложения, которые поражают с первого взгляда. Так например, в VI главе я говорю, что расходящийся ряд не имеет суммы¹., в IX главе: если постоянные или переменные како й-н ибудь функции из вещественных, по условию, сделались мнимыми,

¹ Характерно, что это казалось поразительным в эпоху Коши С.Я.

то означение, принятое для выражения функции, при вычислении может быть сохранено только при новом условии, дающем возможность выразить смысл такого означения, сообразный с последним предположением и т. д. Подобного рода предложения, вызывая потребность большей отчетливости и с пользою ограничивая обобщения, не только служат делу анализа, но и дают новые материалы для весьма важных исследований. Таким образом, прежде отыскания суммы какого-нибудь ряда я должен был рассмотреть, в каких случаях ряды могут суммироваться, т. е. в чем заключаются условия их сходимости, и относительно этого я нашел общие правила, которые, по моему мнению, заслуживают некоторого внимания» \

Мы привели эту длинную цитату потому, что в ней содержится одна из первых формулировок того требования не распространять формально математическую формулу или правило за пределы области, для которой они установлены, которое так характерно для современного понимания научной строгости в математике, и применение которого уже в руках Коши дало блестящие результаты, в учении о рядах, например.

Однако и Коши не избег формализма и односторонности. Так, например, он сам формально подошел к установленному им положению, что расходящийся ряд не имеет суммы, заранее отвергнув всякую попытку при определенных условиях поставить в соответствие и расходящемуся ряду некоторое число.

Второй, крупнейший успех математики XIX столетия, связанный с созданием Георгом Кантором теории множеств, лежащей в основе всей современной математики, также связан с отказом от формального, механического переноса положений, установленных для области конечных целых чисел, на область чисел бесконечных. Трудности, связанные с введением бесконечных чисел, находятся, по мнению Кантора, «в зависимости от того факта, что новые числа во многих отношениях представляют характер прежних чисел, а в гораздо более многих других отношениях обладают совершенно своеобразной природой, благодаря которой мы часто встречаем у одного и того же числа соединенными различные признаки, которые никогда не встречаются вместе у конечных чисел, но всегда раздельны». В качестве возражений против бесконечных чисел приводим «соображение, что, если бы существовало какое-нибудь бесконечное целое число, то оно должно было бы быть одновременно и четным и нечетным числом, а так как оба эти признака не могут существовать вместе, то, следовательно, не существует такого бесконечного целого числа.

Здесь, очевидно, молчаливо предполагают, что признаки, раздельные в случае традиционных чисел, должны были бы сохранить то же отношение и в случае новых чисел. Отсюда умозаключают о невозможности бесконечных чисел. Кому не бросается в глаза паралогизм этого рассуждения? Разве всякое обобщение или расширение понятий не связано и даже немыслимо без отказа от частных признаков? Разве не в самое последнее время пришли к столь важной, приведшей к величайшим успехам, мысли ввести комплексные величины, не обращая внимания

¹ Коши, Алгебраический анализ, пер. Эвальда, Григорьева, Ильина, ИЗД. 1864, стр. VI—VIII.

на то, что их нельзя назвать ни положительными, ни отрицательными?

Повторяю, огромные успехи, достигнутые математикой в XIX и XX столетиях, тесно связаны с отказом от формальных методов, с проникновением в математику конкретного подхода к изучаемым объектам и соотношениям между ними.

За строгость математического доказательства боролись такие крупнейшие математики XIX и XX столетий, как Гаус, Коши, Кантор, Дедекинд, Вейерштрасс, Гильберт, с именами которых связана коренная ломка всех основных понятий математики и создание новой, современной математики. Понятие «строгости» сопровождают нередко эпитетом «формальная». Больше того, поверивши, что речь идет именно о формальной строгости, некоторые упрощенцы, в том числе и материалистически настроенные, готовы видеть в этом требовании идеализм, во всяком случае тормоз на пути развития математики. Даже такой крупнейший математик, как Ф. Клейн, был не чужд противопоставления строгости продуктивности, подразделял историю математики на периоды продуктивные и периоды, когда на первый план выдвигается именно требование строгости. Последние рассматривались при этом лишь как задним числом подводящие итог, обоснование под первые, а не как периоды ориентировки в новой, сложной обстановке, требующей новых методов, существенно нового подхода. История математики также требует, однако, конкретного подхода, в частности и для выяснения того, в каких случаях требование строгости действительно носило лишь формальный, не отвечающий существу дела характер, и в каких оно было на самом деле, как это, например, имело место в XIX столетии, именно требованием конкретности истины, требованием по существу разобраться в сложившейся обстановке и выработать адекватные ей методы. Что в XIX столетии это было именно так, доказывают то огромное ускорение в развитии математики, та колоссальная продуктивность, которые явились следствием широкого распространения, так называемых, теоретико-множественных методов, датирующих от Кантора, Дедекинда и Вейерштрасса. Но буржуазные математики становятся на путь материалистической диалектики лишь стихийно, и чтобы оценить их методы по существу, нужно не верить им на слово, но подвергать их собственные учения конкретному анализу.

Борясь за научную строгость в математике, мы боремся в действительности не за формальную логику, называемую так в противоположность логике содержательной (диалектической), а за выполнение основного требования материалистической диалектики—з а конкретность истины. Мы видели, какую огромную роль играет это требование в учении Ленина и Сталина, видим, к каким блестящим результатам приводит применение его на практике социалистического строительства. И мы старались показать, что и в применении к математике справедливо ленинское положение о том, что «абстрактной истины нет, истина всегда конкретна», что и здесь действительные успехи были связаны не с торжеством формальных методов, а с фактическим отказом от них.

СОСТОЯНИЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ВЫБОРОЧНОГО ОБСЛЕДОВАНИЯ НКП РСФСР

Проф. Е. С. Березанская (Москва)

Историческое постановление ЦК партии о школе четко поставило перед школой требование дать грамотных людей, владеющих основами наук, способных активно участвовать в социалистическом строительстве нашей страны.

Все здесь присутствующие знают, как каждый из нас—каждый из учителей, каждый из учащихся—мобилизовал себя на выполнение этой директивы. И вот, товарищи, это наше совещание и должно сказать, что же сделано в этом направлении, насколько мы продвинулись вперед, что у нас плохо, что надо сделать для того, чтобы полностью выполнить эту директиву. Каждый из присутствующих здесь знает, каково продвижение в его школе, в его районе, в его области и крае.

Здесь сегодня мне и т. Шрейдеру поручено сообщить о том, каковы результаты работы по математике, каковы те достижения и те недочеты, которые имеются по РСФСР. Наркомпрос располагает для этого достаточными данными.

Наркомпросом было проведено несколько массовых выборочных обследований. В 1932 г. было проверено 66 средних школ 9 областей с охватом около 25 тыс. учащихся; в 1933 г. было проверено 182 школы 10 областей с охватом до 165 тыс. учащихся. Весной 1934 г. было проверено 120 школ 14 краев и областей с охватом до 100 тыс. учащихся по всем предметам и теперь, в январе этого года было проверено небольшое количество школ—40 школ 4 областей, причем по математике конкретно было охвачено 12 тыс. чел. и весной будет проверено около 400 школ с очень большим охватом учащихся.

Вы, конечно, видите, товарищи, что состояние знаний по математике учитывалось довольно полно. Все то, что показывали результаты обследований, доводилось до сведения учителей через методические письма, которые были выпущены в 1932 г. к началу занятий, в 1933 и 1934 гг.

Кроме того, те сведения, которые получались с мест, оказали влияние на проводимую разгрузку программы, на изменение сетки часов, что все вы, товарищи, знаете на опыте этого учебного года.

Как же проводились эти массовые выборочные обследования и по каким вопросам?

Во-первых, собирались данные по вопросу о том, как выполнялась программа на местах. Здесь вскрылось, что программа была перегружена, что времени, которое давалось на проработку программы, не хватало для высококачественного выполнения. И вы знаете, что в результате этого в настоящем году весной были даны указания на места с тем, чтобы курс девяти лет распределить на десять лет. Эта разгрузка, главным образом, пала на три класса—V, VI, VII.

Обследование велось и по выяснению материальных условий, в которых работает школа, по выяснению кадров преподавателей, которые работают на местах, и по вопросам методической работы, работы с учительством и организации педагогов в самой школе. Но, кроме того, в 1932 г. и два раза в 1934 г. проводились контрольные письменные работы среди этой колоссальной массы обследованных учащихся.

Контрольные работы обрабатывались методами статистики, и надо отметить, что числовые результаты, которые мы получали, всегда были значительно ниже тех показателей, которые давала нам школа.

Наши показатели достаточно объективны. Здесь мы не принимаем во внимание различные обстоятельства, выдвигаемые в качестве оправдания низкого качества знаний, как например того, что учитель был болен и целый месяц не занимался с учащимися тригонометрией или другим предметом; мы не учитываем того, что учащиеся не выполняют домашних заданий, и из-за этого получается снижение темпов, качества работы и т. д. Таких субъективных причин мы не учитываем. Мы просто оперируем здесь теми цифровыми результатами, которые получаем при обработке полученных материалов. Но мы не учитываем также того, что учащийся действительно ставится в более трудную обстановку, когда он должен выполнить письменную работу, оставаясь сам с собой, но повторяю, что прежде всего мы получаем цифры. Потом занимаемся их анализом.

Контрольные работы мы проводим по полугодию. Они содержат по алгебре, арифметике, геометрии не больше, чем пять-шесть, а иногда семь вопросов. Это—вопросы комбинированные. Понятно и то, что когда ставят вопросы по всему курсу полугодия или года, то учащийся дает более низкие показатели, чем по той теме, которую он сейчас прорабатывает, но статистический подсчет не дает констатации всех указанных фактов. Поэтому для анализа при массовом обследовании пользуются дополнительно 10-процентным выборочным материалом. От каждого обследуемого класса берутся 4 работы—две работы средних учеников, одна работа слабая и одна хорошо выполненная, и эти 4 работы анализируются детально.

На основании выборочного материала можно установить и то, насколько школы объективно учитывают результаты своей работы.

Я хочу остановиться еще на одной форме контрольных работ, которую мы проводили. Дело в том, что Институт политехнического образования по поручению Наркомпроса разрабатывает детальные контрольные работы по каждому вопросу программы. Например, в VI классе для отдела «Относительные числа». По этой теме имеется контрольная работа, содержащая от 30 до 40 вопросов, которыми охватывается содержание этого отдела полностью; особо изучаются те вопросы, которые известны, как слабо усвоенные учащимися, обычно дающие типичные ошибки; учитывается, насколько продвинулась школа в их ликвидации. Этой тщательной работой нельзя охватить очень большое количество учащихся. Ею охватываются, примерно, 300—400 чел. по каждой теме. На этих работах можно детально видеть недочеты в работе каждого отдельного класса, причины их и ставить вопрос о тех способах, какими эти недочеты можно ликвидировать.

В своем кратком докладе о состоянии преподавания арифметики и алгебры говорить о всех ошибках я не имею возможности. Я буду говорить о тех недочетах, которые проходят красной нитью за весь период обследования, начиная с 1932 г. Есть ошибки, которые мы все знаем и которые всегда снова проявляются у учащихся. Значит, в школе недостаточно обращается внимание на это, или учитель не знает, как не допустить эти ошибки. Или, если они допущены, как их искоренить. У нас в этом учебном году еще остается последняя четверть, и мы ставим вопрос со всей

серьезностью перед каждым преподавателем, перед каждым методистом, работающим в школе, чтобы они на это обратили внимание и помогли учителю исправить отдельные дефекты, которые не делают нашу работу, особенно по алгебре и, в частности, по арифметике, удовлетворительной на сегодняшний день.

Кратко остановлюсь на общих вопросах: 1) Насколько в этом году выполнена программа? В прошлом году весной программа не была выполнена на 30 проц., сейчас не выполнена, приблизительно, на 10 проц. Я не в состоянии останавливаться по годам обучения и указать, какая в каждом отдельном году имеет место недоработка программы, но должна отметить, что эта недоработка проходит красной нитью по всем школам. Преподаватель говорит по этому поводу, что слишком перегружена программа VI и IX классов. Это учтено. Тов. Берг будет делать сообщение о программе, и вы увидите, что вся работа идет в направлении еще большей разгрузки программы VI класса. Программу IX класса разгрузить труднее. Для тех школ, которые имеют X класс, программа будет разгружена; X класс станет органической частью всей десятилетки, но для тех'школ, которые не имеют X класса, придется при некотором напряжении все же эту программу проходить, иначе учащиеся нам кинут упрек, что мы не подготовляем их для поступления в вуз. Преподаватель объясняет эту недоработку программы, главным образом, тем, что имеются прорывы в знаниях прошлого курса, но эта недоработка должна с течением времени уменьшиться. Кроме того, мы имеем совершенно определенные показатели, что тот факт, что в школе появились учебники, имеют большое положительное значение. Но школы еще недостаточно обеспечены учебниками, примерно в 20 пр. всех школ имеется один учебник на одного учащегося или на двух; до 60 проц. школ обеспечены одним учебником на трех и четырех человек. Наличие учебников позволяет учителю не диктовать правил, формулировок, условий задач, укорачивает то время, которое нужно на изучение программы. Значит, те недостатки, которые имели место в прошлые годы, изживаются, и учебники помогают количественно выполнить программу. Что касается качественной недоработки, то об этом я буду говорить ниже.

Каково оборудование школ? В настоящее время я всех этих вопросов касаюсь бегло, и потому сейчас заострю внимание совещания лишь на одном вопросе—о классной доске. С этим вопросом у нас в текущем году совершенно неблагополучно. Об этом говорится уже много лет, но, как видно, учителя математики недостаточно обращают на это внимание. Преподаватель недостаточно уважает свою работу, если допускает такую вещь, которую приходится наблюдать даже в школах г. Москвы. Вхожу в класс, в VII, где ученики занимаются сложными алгебраическими преобразованиями. Вы знаете, что если написать пример на действия с алгебраическими дробями, а затем стереть первую и вторую строчки, то работа для ученика теряет всякий смысл. И вот на этой доске был записан лишь конец решения примера; повторить, проанализировать решение было совершенно невозможно. Ученики, сидящие даже посреди класса, ничего не видели, так как доска отсвечивала. Доска была слишком мала и поставлена так, что ничего не было видно из записанного на ней. Половина класса сидела и н/видела, что делается на доске. Эта мелочь становится в нашей массовой школе большим злом, которое должно быть немедленно изжито. Конечно, дело администрации позаботиться об этом, но мы должны на совещании постановить, что преподаватель обязательно должен добиться того, чтобы одно из необходимых условий его работы было высокого качества.

Не приходится удивляться, что при такой постановке дела, о которой я здесь говорила, результаты усвоения алгебраических преобразований в этой школе оказались недостаточно хорошими.

Здесь для членов совещания устроена выставка наглядных пособий. Здесь имеется минимальный набор пособий, издаваемый для средней школы Наркомпросом. Все остальные экспонаты представляют собою самодельные пособия; изобретения отдельных лиц и учреждений. Вообще преподавание математики требует простых наглядных пособий, которые предоставляют много возможностей инициативе и учителя и учащихся. Но, товарищи, школы в массе, и в Москве и на местах, этим делом не занимаются совершенно; при массовом обследовании единицы школ показали наличие у них тех или иных наглядных пособий. А для наших старших учащихся VIII—IX классов это крайне необходимо. Там, где ставятся вопросы стереометрии, преподавание геометрии без соответствующих наглядных пособий почти не показывает тех результатов, которые можно было бы ожидать. Если говорить о решении задач по Рыбкину, то более удачно сделаны работы учащихся, которые пользовались наглядными моделями, изготовленными ими для самих себя. Без этого многие учащиеся не могут, как следует, усвоить курс стереометрии. Вот этих самодельных пособий мы очень мало видим в массовой школе, а вы знаете, что изготовление их связано с самыми простыми средствами—бумага, картон, проволока, все это дает очень большие возможности.

Я не буду останавливаться на всех остальных сторонах учебного процесса, не буду говорить об отдельных условиях, которые снижают качество работы, как например, то, что во многих школах, а также дома у учащихся не было достаточного освещения и т. д., но скажу еще несколько слов о наших кадрах, об учителях математики средней школы—по тем сведениям, которые мы имеем. Учитель математики средней школы по образованию своему, по педагогическому стажу, в массе более подготовлен к работе, чем учитель начальной школы. Можно сказать, что, примерно, 60% учителей средней школы имеют стаж от 10—20 лет и больше. Вы видите, что основная масса учителей имеет большой педагогический стаж. Гораздо меньше учителей, имеющих педагогический стаж до 10 лет.

Если говорить о возрасте преподавателей, то главная масса от 30— 40 лет и свыше 40 лет; 70% обследованных школ дали нам эти результаты. Учителей математики с высшим математическим образованием оказалось, примерно, ¹/₅ часть обследованных учителей. Этого, конечно, для средней школы мало. С высшим педагогическим образованием, но не специально математическим, часто с незаконченным, мы имели до 60% обследованных учителей.

Слабо обеспечены надлежащими кадрами у нас пятые классы, а иногда и шестые. Дело в том, что в последние годы молодой педагог, который приходит к нам, это часто молодежь в смысле педагогического стажа по математике, но не в смысле общего педагогического стажа. Многие учителя, приступившие к работе в V классе, это—выдвиженцы из начальных школ, и часто мы, преподаватели, за плечами которых имеется 20-летний математический педагогический стаж, допускаем, 2 Материалы математики. 7231. чтобы наши товарищи, выдвинутые из начальной школы, совершенно самостоятельно работали в области преподавания математики. Это, конечно, только одна из причин, по которой у нас основа математики— арифметика—недостаточно прочно усваивается учащимися. Но каждый преподаватель, с которым рядом в школе работает молодой преподаватель или преподаватель-выдвиженец, должен наблюдать за его работой и помогать ему.

Теперь я перейду к тем качественным показателям, которые выявлены были при массовом обследовании школ. Я больше всего буду останавливаться на недочетах.

У нас безусловно имеются достижения по арифметике и алгебре в выполнении учащимися отдельных действий над числами и буквами, в знании правил и т. д. Видна большая работа учителя. Но в общем, как я уже сказала, результаты едва удовлетворительные.

Где наши прорывы? Во-первых, если даются учащимся отдельные упражнения, отдельные вопросы, то довольно большой процент учащихся выполняет их удовлетворительно, но если дать более сложный пример, комбинированный, на совместные действия, то получаются очень низкие показатели и очень печальные результаты. Во-вторых, решение задач. Надо сказать, что часто мы, преподаватели средней школы, говорим о том, что начальная школа дает учащимся знания плохого качества, и поэтому средняя школа ничего хорошего сделать не может. Это, конечно, неверно, если есть недочеты в знаниях учащихся, пришедших из начальной школы, то нужно уметь так повторить прошлый курс, чтобы учащимся удалось ликвидировать те прорывы, которые у них имеются.

Надо сказать, что хотя кривая успешности по начальным школам от младших классов к старшим падает, но все же в IV классе мы имеем в массе почти удовлетворительные результаты. Если вас интересует продвижение учащихся IV класса, то можно указать, что упражнения на целые числа в массовой школе в 1933 г. дали 29% решаемости контрольной работы, весной 1934 г.—58%, а в декабре 1934 г.—79%. В среднем мы имеем в этом году в IV классе 67% решаемости при вполне объективном подсчете. Это, конечно, едва удовлетворительно, понятно, что эти 33%, которые недостают, это как раз то, без чего нельзя дальше продолжать изучать курс арифметики. Это значит, что мы еще не получаем вполне грамотных учащихся в V класс, и нам придется вести дополнительно подготовительную работу по курсу целых чисел в V классе. Но это лучше, чем было.

В то же время, товарищи, мне хочется указать, что у нас имеются очень хорошие классы. Хотя по арифметике ни одна школа не дала 100% решаемости, но во многих школах мы имеем 91—97% выполнения в среднем, а это значит, что меньше одного примера в среднем не решила вся группа (потому что если мы даем 6 примеров, то каждый пример оценивается в 16—17%); такова 7-я школа Володарского р-на г. Ленинграда, школа им. Бубнова в Горьковском крае, школа № 5 в Воронеже, Пермская школа и др. Но наряду с этим у нас имеются такие школы, где учащиеся дали всего 27—30% решаемости контрольной работы.

Я не буду говорить о тех показателях, которые получены по каждому навыку и уменью курса, но надо остановиться на вопросе о целых числах и сказать, что мы имеем в этом году. Ведь с этим тесно связан вопрос о том, надо ли ставить повторение целых чисел в пятом классе; этот вопрос решается тем, что знают наши учащиеся, переходящие в V класс, оказывается, что ребята V класса в этом году, после того как им было дано около 30 час., а в некоторых местах и больше времени на целые числа все-таки еще делают ошибки. Они не дают 100%, они дают 70% по тем или другим навыкам. Всем известны случаи умножения и деления с нулем посредине и на конце, случаи остатка при делении, когда делитель имеет нуль на конце, и в некоторых школах получено правильных, ответов по этим вопросам всего лишь 20%. Это в V классе. Мы, конечно, брали не образцовые школы, не опытные школы, мы брали массовые школы и брали такие школы, в которых, мы видим, что дело преподавания математики поставлено очень плохо. Но ведь мы должны научить, всех. Представителям соответствующих областей сказано об этом; надо- помочь этим школам.

Я укажу некоторые отдельные дефекты в работе. Учащиеся безусловно: знают названия действий в V классе, но все же они часто результат любого действия называют суммой. Изучают зависимость между членами действия, но при проверке действий, действие сложения обычно проверяют вычитанием, действие вычитания проверяют сложением, действие деления проверяют умножением, а то, что действие вычитания может быть проверено вычитанием, действие деления делением, это как-то ускользает: никто из проверенных учащихся не использовал этого знания.

В Институте политехнического образования разработана таблица, на которой показано как каждая ошибка в арифметике потом отражается в курсе алгебры. Как научить учащихся понимать перенос членов из одной части равенства в другую, понимать зависимость между членами уравнения, если они не освоили зависимость между компонентами действий, пли усвоили формально; когда они не могут сказать, что уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность? Мы имеем 60—68% правильных ответов на этот вопрос, а 32% неправильных ответов говорят о том, что в VI и VII классах мы опять с этим столкнемся на новой основе и придется опять бороться за изживание этих недочетов.

Самое тяжелое—это случаи умножения с 0 и единицей. Я не буду об этом распространяться, внесу предложение, которое уже осуществляется во многих школах: у нас, как правило, если отдел программы, например, умножение, уже пройден, то к этому вопросу не возвращаются до тех пор, пока не ставится вопрос о его повторении. Но ведь всегда можно, войдя в класс, спросить любого ученика; сколько получится, если ноль умножить на 5; сколько получится, если единицу умножить на пять или пять умножить на единицу и т. д. Таким путем можно выкорчевывать те мелкие дефекты, которые имеются. Вопрос об умножении нуля и единицы очень важен и отражается на знаниях по алгебре. Были даны примеры с относительными числами: разделить—1 000 на 4-1 000; получили массу ответов: «нуль». И перед уроком алгебры можно проводить бегло упражнения по арифметике, если незнание того или иного арифметического вопроса мешает успешности занятий по алгебре. Ведь арифметические недочеты это то, что не дает нам свыше 62%, знаний по алгебре; 62%—это ниже, чем удовлетворительно.

Также неудовлетворительно обстоит дело с пониманием выражения: «насколько и во сколько раз одно число больше или меньше другого» и записи его. Этот вопрос тоже, конечно, относится к работе начальной школы, в V классе не следовало бы заниматься такими задачами, но они

помещены в задачнике для того, чтобы учитель, зная состав своего класса, мог, в случае нужды, выбрать одну-две-три, сколько ему нужно задач, для того, чтобы давать их учащимся, чтобы помочь учащимся понять этот вопрос, если они недостаточно его усвоили; ведь запись сравнения двух чисел есть основа и составления уравнения в алгебре.

Наиболее катастрофическое положение с вопросом о порядке действий. Здесь мы имеем всего 25% решаемости. У нас нет установленного стандарта для порядка действий. Но условие, которое принято сейчас в учебнике арифметики, в задачнике и методике, известно, и надо его придерживаться. Наши учащиеся не только не знают порядка действий, но и не знают смысла записи со скобками.

Мое предложение такое—принять тот порядок, который сейчас проведен в учебнике, которым пользуется массовая школа, иначе работать будет невозможно, потому что у нас получится разнобой.

Затем все обследования показали, что законы действий в курсе арифметики V класса даются крайне формально и учащиеся далеко не всегда могут объяснить, почему они выполняют умножение многозначных чисел именно по данному правилу.

Многие делегаты совещания уже здесь говорили о том, что очень трудно этот отдел дается учащимся в V классе. Но весь вопрос заключается в методическом подходе к этому вопросу. На конкретных примерах, показывая учащимся необходимость этих законов и применение их к вопросам устного счета, выводу самих правил действий, можно воспитать в учащихся понимание этих законов, а формулировки их можно дать и позже.

Перехожу к вопросу о дробях. Это—основная задача курса арифметики всего пятого года обучения': знание дробей, понимание дробей. В этом году мы еще не могли полностью проверить, насколько усвоены дроби учащимися, так как массовое обследование было проведено только за вторую четверть, но в небольшом масштабе мы проверили работу и за третью четверть. Так что все-таки по этому вопросу мы высказываться можем. Я хочу обратить внимание прежде всего на то, что учащиеся не считают у и — неправильной дробью; они отказываются часто целые

числа 1, 4, 7 выразить в виде дроби. Около 30% опрошенных учащихся этой работы не выполнило.

Последствия такие: когда в алгебре мы даем пример на сложение и вычитание алгебраических выражений целых и дробных, или даем пример на решение уравнения такого вида, когда один член дробный, а другой или третий—целое выражение, то выполнить этой работы учащиеся не могут. Приучить учащихся к записи целого числа в виде дроби со знаменателем единица, или иным, можно также постоянным повторением, небольшими упражнениями в конце или начале уроков. Без этого мы не можем говорить, что наши учащиеся имеют основные понятия о свойстве дробного числа.

Остановлюсь еще на одном недочете. Когда ставится требование сравнить несколько дробей, получается невероятная путаница в ответах, потому что учащийся хочет поставить значок «меньше» и «больше» и не знает, какой значок что означает.

Подытожить результаты ответов на этот вопрос было очень трудно. Если просто учесть, кто неправильно выполнил работу, хотя, может быть, он знает, какая из дробей больше, но только не умеет пользоваться* соответствующим знаком, то получим 23—24% неправильных ответов даже по вопросу, какая дробь больше: ^х/з или ¹/₅.

То же с относительными числами. Трудно установить, понимают ли ученики меньше ли нуля данное относительное число или больше, что- больше правильная дробь или ноль, какое из относительных чисел больше и т. д.

Если принять ответы учеников так, как они есть, то приходится сказать, что наши ученики часто не представляют себе, что дробь больше пуля.

Затем по вопросу о сокращении дробей. Иногда на вопрос, что означает сократить дробь, получаются хорошие ответы: сократить дробь «значит разложить числителя и знаменателя на множителей и делить до тех пор, пока числа не будут взаимно-простыми». Но в большинстве случаев ученики отвечают: «сократить дробь — значит уменьшить ее или изменить ее». Следует на уроке всегда выявлять у ученика, сокращающего дробь, степень понимания того, что он делает, и, главное, приучить его доводить сокращение дроби до конца. Не сокращение дроби до конца, это—та ошибка, которая очень часто встречается и потом дает печальные результаты и в действиях с алгебраическими дробями.

Все эти годы мы имеем плохие результаты по алгебре в VII классе. В V классе учащиеся находят кратное данного числа, находят общее наименьшее кратное нескольких чисел, но не всегда до конца понимают, что это означает. Перед тем как в VII классе переходить к сокращению алгебраических дробей и приведению их к общему знаменателю, надо еще и еще раз обязательно повторить все эти вопросы на числах. А в V классе надо изучение вопросов нахождения общего наименьшего кратного и общего наибольшего делителя разделить большим промежутком времени для того, чтобы ученики усвоили эти понятия и не смешивали их.

Я не буду останавливаться на других ошибках по арифметике, скажу лишь еще об одном—о состоянии знания по вопросам нахождения части числа и целого по части. Здесь неблагополучно. Спрашиваешь учащегося: чему равны три четверти от 20? Получаешь всевозможные неверные ответы, включая 20-------------- 19^х/<- Но попробуйте спросить нескольких ребят, как ты найдешь ³/₄ от 20, и при этом бросить на стол 20 спичек. Они немедленно дадут правильный ответ. У нас в программе сказано, что в V классе нахождение части числа надо решать умножением на дробь. Это верно, но менее подготовленных учащихся надо учить непосредственно находить часть от целого числа рассуждением. Если они не поняли в курсе начальной школы этот вопрос, если им были даны недостаточно образные конкретные примеры, то надо это снова с ними повторить, а не выполнять формально программу V класса. В задачнике нахождение части числа и целого по части выделено отдельным разделом. Почему эти вопросы выделены? Для того они и выделены, чтобы учитель брал упражнения тогда, когда этого требует дело. Во-первых, этому навыку надо приучать всегда; даже при действиях с целыми числами ученик должен уметь найти четверть (или треть) такого числа, которое на четыре (на три) делится; потом он должен вычислять две четверти, три четверти числа и т. д. Вы можете ставить этот вопрос и брать соответствующие примеры из задачника, когда впервые встречаетесь с дробью, находите четверть любого числа, выражающего длину, ширину или др. Это я считаю одним из самых тяжелых моментов в работе школ. Мы стараемся тщательно работать, придерживаясь буквы программы. Мы формально работаем, не подготовляем ученика к восприятию нового вопроса; ждем, пока в программе не будет поставлен отдел: нахождение части числа и обратная задача. Для того чтобы учащиеся поняли эти трудные задачи—нахождения части числа и целого по части, надо подготовить ученика к этому вопросу и после того, как вопрос пройден, надо неоднократно в различных комбинациях к нему возвращаться.

Еще остановлюсь на одном вопросе. Четыре года мы видим одно и то же: как только дается в контрольной работе пример на деление дроби на целое число или целого числа на дробь, получается более низкий процент решаемости, чем в общем случае деления дробей. По алгебре—та же самая картина. Как только вы дадите деление целого выражения на дробное или дробного на целое, так немедленно получается 40—45% решаемости. Пора с этим покончить. Пора приучить учащихся представлять целое выражение как дробь со знаменателем единица и добиться, чтобы деление во всех случаях выполнялось правильно.

Следующий вопрос: если вы предложите подобрать к написанному вами множимому множителя так, чтобы произведение было меньше множимого, то в большей части случаев ученик припишет правильно множителя—дробное число, но очень редко ученик VI или VII класса напишет в качестве множителя отрицательное число, хотя изучает относительные числа. Если вы напишете одно число и предложите приписать второе, как слагаемое, чтобы сумма была меньше, чем данное число, или приписать вычитаемое, чтобы разность была больше, чем данное число, то хороших результатов не получите. Отсюда ясно, что понимание смысла и свойств относительных чисел недостаточно. Давая соответствующие небольшие упражнения, можно углубить представления учащихся о дробном и отрицательном числе.

И, наконец, товарищи, как обстоит дело у наших учащихся с решением примеров в несколько действий? Плохо, как в арифметике, так и в алгебре. Учащийся или ошибается в выполнении действий, или не досмотрит, или неаккуратно напишет и не так поймет написанное и т. д. Качество знаний понижается из-за того, что наши учащиеся неаккуратно пишут. Неужели нельзя сейчас, в порядке воспитательной работы, научить учащихся писать аккуратно, чисто? Ведь вы знаете, что в алгебре неаккуратная запись совершенно губит все дело, потому что там неправильно написанные значок, черточка порождают обычно много ошибок и не дают правильно решить до конца ни один пример.

Если только 20% учащихся действительно не умеют выполнить действий, а затем только 20% неправильно перепишут пример; 20% из-за неаккуратности пропустят число при вычислении, то в результате мы имеем, что комбинированные примеры у нас решают только 40% учащихся, а в некоторых школах 16%, 14%; и из этих отдельных недочетов слагается то низкое качество знаний, которое мы имеем сейчас.

0 решением задач, как уже сказано, дело обстоит также ниже удовлетворительного. В среднем массовая школа дала нам 44% решаемости. Совсем легкие задачи, в которых было сказано, что из 2 пешеходов один вышел позднее другого на 1 час, не были решены. Если время движения одного обозначить ж, то как обозначить время движения другого пешехода: sc плюс единица или х минус единица? Вот в чем оказалась трудность для учащихся. А затем—некоторые из тех, которые правильно составили уравнение, не сумели довести решение примера до конца без ошибки, о чем уже сказано раньше.

Не имея возможности подробно остановиться на качестве знаний учащихся средней школы по алгебре, я укажу, что имеются школы (и не одна), которые дали в среднем 100% решаемости; есть школы, отдельные ученики которых дали 100% решаемости, а в среднем, примерно, 80—85%, причем такие школы имеются и сельские и городские и по VI, VII, VIII, 1Хи X классам. 10-процентное выборочное обследование, которое мы провели, показало нам, что в нашей массовой школе имеются учащиеся, которые выполнили работу не только без ошибок, но и без лишних действий и аккуратно. К сожалению, показатели для IX, X классов в среднем получены не выше, чем по семилетке. По московским школам эти классы дают более высокие показатели. Но имеются и такие классы, в которых ни один пример не был решен до конца верно, или только один (17%). Их немного, но они есть. В среднем по алгебре получено 62% решаемости, но колоссальная разница между худшими и лучшими школами: одни дают в среднем 30% решаемости, другие—100% решаемости. Это, конечно, совершенно несравнимые величины, и нужно очень серьезно ставить вопрос о том, что делать.

В VI и VII, VIII и IX классах самый низкий процент решаемости дали самые по сути простые примеры, а именно нахождение численного значения алгебраического выражения, будь то выражение целое, дробное, рациональное или иррациональное. Здесь дело только в том, что мы сами недооцениваем значения этого вопроса. Надо сознаться, что когда мы преподаем алгебру, забываем арифметику. Мы забываем, что учащиеся за буквами а и б часто ничего не видят и не понимают, зачем над ними производят какие-то действия.

Необходимо при изучении любого отдела алгебры ставить упражнения на нахождение численного значения алгебраического выражения. При изучении целых одночленных и многочленных выражений, подставляя вместо букв числа и вычисляя результат, учащиеся лучше усвоят и повторят действия с дробными числами и с относительными числами; при изучении алгебраических дробей с одночленным числителем и знаменателем на числах нужно показать, что числитель и знаменатель алгебраической дроби может быть и отрицательным и положительным числом, и дробным и целым числом ит. д. Это требует немного времени от каждого урока, и если учащиеся в первый раз это сделают плохо, то во второй раз они сделают лучше, а через пять раз они очень хорошо поймут смысл частного (численного) значения буквенного выражения.

Изучение арифметики не заканчивается, когда учащийся окончил V и VI классы. Арифметические вычисления должны проходить на всем протяжении средней школы. Мы часто на уроке не доводим решения задачи и в алгебре и в геометрии до конца, говоря, что там дальше идут вычисления; наоборот, следует всегда доводить решение задачи до конца в ее вычислительной части, показывая учащимся, чем старше они становятся, все более быстрые сокращенные приемы вычислений, показывая им точность получаемого ими результата, приучая их контролировать возможность и реальность полученного ими ответа.

Если учащиеся допускают ошибки при разложении алгебраического выражения на множители, чего проще приучить их контролировать правильность полученного ответа на числах. При требовании разложить на множители а(т + п) + т + п многие учащиеся дали ответ а(т + п); при требовании разложить л⁸+аЬ4-а + Ь был получен от многих учеников ответ а(а + Ь). Эта ошибка, выражающаяся в потере во втором множителе слагаемого + 1, легко обнаруживается при проверке на числах. А типичная ошибка учащихся, которую никак не удается изжить,— сокращение слагаемых в числителе и знаменателе дроби, может быть предотвращена, если несколько раз на числах показать учащимся неверность получаемого ими результата. А перемена знаков у членов дроби? Большинство ошибок у наших учащихся VII класса в действиях с алгебраическими дробями заключается в бессознательной перемене знака. Лишь подстановкой численных значений букв и проверкой правильности получаемого результата при перемене знаков (или выяснении неправильности при неправильной расстановке знаков) можно уяснить учащимся этот вопрос и ликвидировать то положение, которое имеется в настоящее время.

Я хотела именно остановиться на вопросе об алгебраических дробях. Сейчас у нас из семилетки выходят учащиеся, в массе, не имея тех знаний по алгебре, которые нужны и соответствуют требованиям, поставленным нашей школе. Это надо сказать совершенно откровенно на основании результатов проведении» контрольных работ.

Почему? Вот почему. Все контрольные работы показали следующее: наши учащиеся в массе делают 2 ошибки, которые по существу аннулируют все их знания по алгебре. О первой я уже сказала: для решения необходимо переменить знак у членов

одной из дробей; и здесь имеют место разнообразнейшие варианты ошибок. Дальше я остановлюсь на 2-й ошибке в действиях с алгебраическими дробями. Ведь курс семилетки по алгебре—это решение уравнений с дробными (и целыми) числовыми и буквенным членами, а во многих школах в седьмых классах по всем примерам с дробными членами мы имели 10—16% решаемости. Что это значит? Это значит, что учащиеся VII класса не могут до конца решить верно ни одного примера и не могут решить ни одного уравнения, содержащего дробные члены.

В некоторых VII классах в конце 3-й четверти учителя вообще не дали учащимся решать примеры на действия с дробными выражениями, объясняя тем, что в 3-й четверти они проходили буквенные уравнения, а алгебраические дроби прошли давно и не повторяли. Что же оказалось в решениях примера на буквенные уравнения? Пример был такой:

Ь + х Ъ + х '

В подавляющем большинстве случаев решение было дано в виде: , п — а + mb

а — то + же = п, откуда х = --------- —---

Только один плюс поставлен не на месте, и пример не решен. А это- основа курса седьмого класса. 

Но для того что вы преподаватель мог успешно справиться с этими выдачами, ему нужно помочь, и за этой помощью совещание обращается к Наркомпросу и другим организациям.

Совещание считает необходимым:

1 Своевременно снабдить школы вновь отредактированными программами, учебниками и пособиями к новому учебному году.

2. Продолжать издание и переиздание методик, приспособив их к практическим нуждам учителя; издать для учителей специальные труды по математике, а также по истории математики, богатые фактическим материалом. Увеличить тираж журнала «Математика в средней школе» и сделать его строго периодическим.

3. Издать математическую библиотечку для учащихся.

4. Увеличить количество и номенклатуру выпускаемых наглядных пособий по математике, а также чертежных принадлежностей.

б. Обеспечить обслуживание школ полуфабрикатами и раздаточным материалом. Обеспечить преподавателя математики удобными классными досками и хорошим мелом.

По поручению совещания:

Президиум совещания преподавателей математики в средней школе:

Проф. П. С. Александров, В. Н. Делоне, С. А. Яновская, Е. С. Березанская, Н. Ф. Четверухин, М. К. Гребенча, В. Э. Фриденберг, А. М. Астряб, В. М. Б радио, mm. М. Т. Малышев, К. Я. Харченко, М.И. Змиева, В. П. Федорова, Е. И. Отто, Мслъгина, Синчукова, М. М. Дейнеко.