III Эвклидова геометрия

37—38. Аксиома параллельности Эвклида V 48

IV. Аксиоматика гиперболической геометрии в единичном круге

39—40. Аксиомы I, 1—3, и II, 1—4. 52

41—44. Гиперболическая конгруэнтность отрезков. Аксиомы Ш, 1—3 53

45. Аксиомы Архимеда и Кантора. 56

46—48. Аутоморфная коллинеация граничного круга 57

49—51. Гиперболическая конгруэнтность углов. Аксиомы III,

52. Противоречие с эвклидовой аксиомой параллельности 68 53—54. Внутренняя непротиворечивость гиперболической

геометрии 64

55—56. Неэвклидова аксиома параллельности V' 66

57. Однозначность гиперболической геометрии. 69

V. Гиперболическая геометрия как самостоятельная дисциплина

58— 59. Предварительные замечания 70

60— 61. Гиперболические фигуры в специальном положении относительно граничного круга 71

62. Ортогональность 73

63— 64. Параллельные прямые 74

65— 66. Линии равных расстояний 76

67. Круг 78

68. Измерение углов 81

69— 70. Сумма углов в треугольнике. 82

71— 73. Измерение отрезков. Гиперболические функции 84

74. Угол параллельности 90

75— 76. Параллелограммы и трапеции 91

77— 81. Средняя линия Хельмслева 93

82— 85. Основные построения 99

86— 91. Замечательные точки треугольника 104

92— 95. Тригонометрия 110

96— 98. Правильные м-угольники. 115

99—100. Длина окружности 118

101—104. Аналитическая геометрия в прямоугольных координатах 120

105—106. Площадь треугольника 124

107—108. Площадь круга 129

109—110. Площадь между двумя параллельными прямыми 132

111—112. Асимптотические треугольники 133

113—115. Предельный круг 134

116—117. Абсолютный характер измерения отрезков и площадей 139

VI. Заключение

118. Доказательная сила интерпретации 142

119—120. Эллиптическая геометрия 143

VI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Доказательная сила интерпретации

• 118. В нашем изложении теоремы г. геометрии были получены с помощью интерпретации. Этот путь особенно удобен для читателя, знающего э. геометрию, и результаты, к которым он приводит, представляются особенно ясными и четкими благодаря наглядности и простоте этой интерпретации. Кроме того, на этом пути непосредственно выясняется связь между логической непротиворечивостью гиперболической и эвклидовой геометрии.

При всем этом, однако, против этого метода можно выставить следующее серьезное возражение:

Мы получали теоремы г. геометрии, преобразуя предложения э. геометрии с помощью интерпретации в г. предложения. Возможно, что найденные таким путем теоремы будут отражать специальные свойства интерпретации {55} и, не принадлежа к собственно г. геометрии, не будут иметь места при всякой интерпретации г. системы аксиом. Для того чтобы быть уверенным в обратном, надо было бы вывести эти теоремы непосредственно из г. аксиом.

Не входя в подробности, укажем только путь, на котором может быть опровергнуто это возражение. Основываясь лишь на аксиомах гиперболической геометрии, можно, как сделал это, например, Лобачевский, вполне однозначным образом вывести формулы г. тригонометрии и аналитической геометрии. С помощью их мы можем дать всем входящим в аксиомы основным понятиям аналитическое выражение. Так как это можно провести для любой интерпретации, то различные интерпретации будут аналитически тождественны; предложения г. геометрии будут выражать собой свойства некоторых чисто аналитических объектов, и поэтому все теоремы, которые выведены с помощью интерпретации {-£)}, будут принадлежать к г. геометрии в том смысле, что будут иметь место при всякой ее интерпретации.

Эллиптическая геометрия

• 119. Мы уже упоминали (§ 9) о том, что Саккери показал несовместимость гипотезы тупого угла с остальными аксиомами эвклидовой геометрии.

Б. Риман (В. Riemann) в своей знаменитой пробной лекции „О гипотезах, лежащих в основе геометрии" („Ober die Hypothesen, welche der Geometric zugrunde liegen"), опубликованной в 1854 г., пришел на основании аналитических и дифференциально геометрических соображений к двум отличным от гиперболической и противоречащим э. аксиоме параллельности системам геометрии. В обеих этих геометриях через данную точку к произвольной прямой нельзя провести ни одной параллельной. Одна из этих геометрий (известная из сферической тригонометрии)—сферическая геометрия, в которой не выполняется уже I постулат Эвклида ³); другая из них представляет собою геометрию, в которой имеет место гипотеза тупого угла. В последующем эти две геометрии будут называться римановыми геометриями.

Основываясь на результатах Кэли (A. Cayley, 1821—1895), знаменитый геттингенский математик Ф. Клейн (F. Klein, 1849 — 1925) открыл положенную нами в основу всех исследований интерпретацию {!£)} г. геометрии. Базируясь на ней, он, исходя из идей проективной геометрии, открыл изумительно простую связь между г. геометрией Лобачевского-Болиан и римановой несферической геометрией. Последнюю он называл „эллиптической геометрией").

') В этой геометрии "прямыми" являются большие круги сферы; через две диаметрально противоположные точки сферы проходит бесчисленное множество "прямых".

²) См. литографированные лекции Клейна по неэвклидовой геометрии. В настоящее время имеется печатное издание, представляющее

собой т. III книги F. Klein, Elementarmathematik vom hoheren Stand- punkte aus.

• 120. Изложим вкратце наиболее существенное из исследований Клейна.

В интерпретации {£)} мы смогли выразить г. длину отрезка через двойное отношение [теорема а) §79]; введя мнимые величины, можно выразить через двойное отношение г. величину угла. Гиперболическая величина угла равна выражению -у In <5, где 5 есть (представляющее собой комплексное £ число) двойное отношение следующих четырех прямых: двух сторон угла и двух касательных, проведенных из вершины угла к граничному кругу ^{* 2}).

Таким образом и г. длина отрезка и г. величина угла (если отвлечься от несущественного отличия постоянных множителей при логарифме) могут быть выражены с помощью точек граничного круга и касательных к нему через понятия одной лишь проективной геометрии и притом двойственным по отношению друг к другу образом.

Если ввести, как это сделано в § 115, граничные точки и сверхтонки, то все теоремы гиперболической геометрии представятся как теоремы проективной геометрии о свойствах ее элементов по отношению к граничному кругу.

Естественно попытаться обобщить г. геометрию,.взяв йме- сто граничного круга произвольное действительное коническое сечение, не распадающееся на пару прямых. Однако это не даст ничего нового. Но если взять вместо действительного граничного конического сечения мнимое, имеющее уравнение с действительными коэффициентами, например мнимый круг (/) х²-]-.У²+1 = б, то получим новую геометрию, именно, эллиптическую. Таким образом с точки зрения проективной геометрии отличие гиперболической геометрии от эллиптической заключается лишь в том, что в первом случае граничное коническое сечение действительное, во втором — мнимое).

*) Доказать это нетрудно, но доказательство заняло бы у нас слишком много места.

²) Уравнение этого конического сечения в прямоугольных координатах должно иметь действительные коэффициенты.

В эллиптической геометрии эллиптическими точками считаются все точки эвклидовой плоскости, в которой лежит круг (I), не исключая и точек бесконечно удаленной прямой этой плоскости. Расстояние между двумя точками А и В определяется как умноженный на --- z логарифм Двойного £

отношения(ABUU), где Un U—точки пересечения прямой АВ с кругом (I). Эллиптическая величина угла между двумя ‘полупрямыми определяется двойственно к длине отрезка, т. е. так же, как и г. величина угла. Так как кр\г (I) не имеет ни одной действительной точки, то в эллиптической геометрии не существует параллельных прямых.

Прямая в этой геометрии не имеет ни одной бесконечно удаленной точки; в э. геометрии таким свойством обладает эллипс. Эго и побудило Клейна назвать эту геометрию эллиптической.

Следуя аналогии с г. геометрией, мы сможем построить всю эллиптическую геометрию на основе проективной.

Эвклидова геометрия с этой точки зрения является предельным случаем между эллиптической и гиперболической геометрией, поэтому Клейн называет эвклидову геометрию параболической.

Эллиптическую геометрию, так же как и гиперболическую, обычно причисляют к неэвклидовым геометриям основываясь на том, что и в ней не имеет места эвклидова аксиома параллельности. Но в эллиптической геометрии не могут выполняться все остальные аксиомы эвклидовой геометрии, что следует из изложенного в § 57. Уже теорема с) § 24 показывает, что в эллиптической геометрии не имеет места хотя бы одна из аксиом I — III.

Таким образом термин „неэвклидова геометрия здесь применяется в расширенном смысле. В этом смысле существует целый ряд неэвклидовых геометрий, отличных как от гиперболической, так и от эллиптической.