Skip to main content

Математика (наука)

Новое в начальном обучении математике - Учебное пособие № 371 (Исаков, Скаткин) 1970 - Скачать старые книги

Советская нехудожественная литература бесплатно

Новое в начальном обучении математике - Учебное пособие № 371 (Исаков, Скаткин) 1970

Описание: Это учебное пособие № 371, изданное в 1970 году Московским государственным педагогическим институтом имени В. И. Ленина, предназначено для преподавателей математики в начальных классах и методистов. Книга под редакцией П. С. Исакова и Л. Н. Скаткина посвящена актуальным на тот момент изменениям в методике преподавания математики в начальной школе. В сборнике рассматриваются новые подходы к обучению, в том числе использование теории множеств, интеграция геометрии и алгебры в единый курс математики, а также международный опыт преподавания (представлен анализ методик ГДР, США и Франции). Особое внимание уделяется формированию у младших школьников базовых математических понятий, развитию вычислительных навыков и геометрического мышления. Издание отражает масштабную реформу математического образования, проводившуюся в СССР и других странах в конце 1960-х годов.

Печатается по постановлению редакционно-издательского совета Московского ордена Трудового Красного Знамени государственного педагогического института имени В. И. Ленина.

© Министерство просвещения РСФСР Московский ордена Трудового Красного Знамени государственный педагогический институт имени В.И. Ленина Москва 1970

Авторство: Под редакцией П. С. Исакова и Л. Н. Скаткина

Формат: PDF Размер файла: 7.11 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие. 3

Н. П. К и цел е в а. Обучение сложению в пределах 100 в первом классе 5

П. К- Петрушин. Идея соответствия при обучении элементам геометрии в младших классах 16

Н. Ф. В а п и я р. Использование элементов самоконтроля при обучении письменным вычислениям. 32

А. Г. Курбатова. Дидактический материал для учащихся первого класса по теме «Сложение и вычитание в пределах 100» 41

А. Ф. Коликов. Новое в начальном обучении математике в ГДР 49

П. С. Исаков. Опыт включения некоторых геометрических идей в преподавание математики в начальных классах школ США 63

С. Л. Альперович. Изучение геометрического материала на элементарном курсе начальной школы Франции 76

Л. Феликс. Современная математика с педагогической точки Зрения 83

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатную книгу времен СССР - Новое в начальном обучении математике - Учебное пособие № 371 (Исаков, Скаткин) 1970 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вместе с бурным развитием науки и техники в настоящее время наблюдается проникновение математики в такие области, которые ранее далеко отстояли от нее: в биологию, медицину, экономику, лингвистику. Это связано с тем обстоятельством, что в самой математике произошли существенные изменения — в ней все большее значение приобретает теоретико-множественная концепция, являющаяся фундаментом всей современной математики, и математическая логика, связанная с вычислительной математикой и кибернетикой. В связи с проникновением математических методов во многие области науки и практики повышается общекультурная роль математики и возрастают требования к математическому образованию в средней школе. Вместе с тем возникает необходимость в пересмотре содержания общего образования по математике в направлении сближения школьного преподавания с современным состоянием математической науки.

В связи с проводимой в нашей стране и других странах реформой математического образования в средней школе происходит пересмотр содержания начального обучения математике.

Проекты обновления содержания начального обучения математике, разрабатываемые в разных странах, имеют некоторые общие черты.

1. В опытах, направленных на преобразование содержания начального обучения математике уделяется большое внимание постепенному формированию у учащихся начальной школы основных математических понятий, связей и отношений между ними на основе обобщения соответствующих конкретных представлений.

Одним из основных понятий математики является понятие натурального числа.

Однако понятие натурального числа представляет собою сложное абстрактное понятие, которое исторически возникло на основе понятия множества. Поэтому проводятся эксперименты, направленные на то, чтобы изучение математики на

чать с более простого и имеющего существенное значение в математике понятия — понятия множества. В некоторых опытах преподавания это понятие сообщается учащимся уже на первых шагах обучения в явном виде, в других — понятия теории множеств используются в качестве основы методики обучения математике, но не являются предметом изучения в начальных классах.

2 Вычислительным навыкам, как и в прежней практике обучения, уделяется значительное место, но овладение ими в проводимых опытах пытаются построить на основе использования арифметической теории, чтобы этим повысить сознательность усвоения навыков вычислений. При этом устанавливаются взаимосвязи между арифметическими действиями, между данными и результатами каждого действия.

3. Делаются попытки создать единый начальный курс математики, в котором были бы объединены основы арифметики, элементы геометрии и начатки алгебры; при этом расширяется объем геометрических знаний, относящихся к свойствам геометрических фигур и основным геометрическим понятиям.

4. Предполагается, что включение в программу разнообразного математического материала, подлежащего сравнению, установлению черт сходства и различия, обобщению, будет способствовать в большей степени развитию познаватель- ных способностей учащихся.

5. В проводимых экспериментах проверяется не только обновленное математическое содержание, но и совершенствуются методы обучения в направлении активизации познавательной деятельности учащихся и индивидуализации обучения. При этом предпринимаются попытки в этих условиях использовать в преподавании начального курса математики некоторые приемы программированного обучения.

Отмеченные выше положения получили отражение в проекте программы по математике для начальных классов советской школы, разработанной комиссией в составе И. К. Андронова (председатель), М. А. Бантовой, Ю. М. Колягина, Н. А. Менчинской, М. И. Моро, А. С. Пчел ко и Л. Н. Скат- кипа.

Помещаемые в настоящем сборнике статьи детализируют и конкретизируют указанные выше направления в перестройке начального обучения, осуществляемые в нашей стране и за рубежом.

Л. Скаткин

Н. П. КИЦЕЛЕВА

ОБУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЮ В ПРЕДЕЛАХ 100 В ПЕРВОМ КЛАССЕ

Настоятельная необходимость совершенствования школьного образования ставит ряд новых вопросов перед методистами. Один из них — повышение роли теории при обосновании вычислительных приемов, которые должны изучаться учащимися начальной школы. Детальный анализ вопросов обучения сложению и вычитанию в I—II классах позволил выявить следующее:

а) выработка вычислительных приемов ведется без должной опоры на теорию, которая вполне доступна учащимся этого возраста;

б) изучение материала растянуто по времени, сложение и вычитание в пределах 100 изучается лишь во втором классе.

Предлагаемая система обучения приемам сложения и вычитания имеет своей целью обеспечить сознательное усвоение обобщенных приемов вычислений на теоретической основе, изучение сложения и вычитания в I классе в пределах 100. Она строится на изучении следующих вопросов:

1. Состав чисел в пределах 10 (на основе операций с предметными множествами).

2. Разбиение любого числа на две части.

3. Замена суммы двух слагаемых суммой трех слагаемых.

4. Переместительный и сочетательный законы сложения.

Рассмотрим обоснование приемов вычислений в пределах 100. Прием прибавления по частям уже в неявной форме основан на сочетательном законе. Например, чтобы к 4 прибавить 3, можно к 4 прибавить сначала 1, а потом 2.

44-3 = 4+1+2 = 5 + 2 = 7.

Или же, что является более важным, создаемся новое понятие, которое ведет к расширению теории.

В качестве примеров первого вида назовем окружности, касательные к трем сторонам треугольника; наименование должно следовать не только за доказательством существования, но еще за описанием построения; определение через доказательство существования (например, доказательство существования наименьшего общего кратного двух чисел) недостаточно для ребенка: ему необходимо конструктивное определение.

Ко второму виду относится определение расстояния от точки до прямой. Этим необходимо воспользоваться, чтобы заставить ребенка подумать над тем, что такое расстояние; то, что могут ему сказать о расстоянии между двумя точками, не может его интересовать, так как это понятие ему хорошо знакомо. Но у него нет понятия расстояния от точки до множества точек, ни понятия расстояния между двумя множествами точек, хотя он смутно чувствует, что необходимо сделать для уточнения такого понятия. Нам следует узаконить употребление слова «расстояние» и принять предварительные меры, которые заставляют авторов научных трудов писать по поводу абстрактных пространств следующие фразы: «Теперь мы можем определить расстояние» (Фреше).

Другим основным определением при отсутствии которого дети ничего не понимают в употреблении дробей, является определение рационального числа-, оно венчает определение эквивалентных дробей, которые в конечном счете называют «равными», но которые не являются никогда «одинаковыми». Пока все вычисление с дробями обосновываются посредством сладких тортов или лент, алгебра невозможна, и умный ребенок, не принимающий все на веру, имеет основание спросить (и это в третьем классе), можно ли всегда заменить на при решении произвольной системы уравнении.

Второй цикл. В наших французских программах предусмотрено в начале второго цикла обстоятельное повторение и работа по применению понятий, введенных ранее в порядке первого ознакомления. Можно ли на этой стадии осуществлять аксиоматическое изложение? В арифметике и алгебре, где аксиоматизация относительно легче, ее удобнее осуществлять, так как упражнений в счете недостаточно (особенно

при современном положении, когда число часов, отводимых математике, ничтожно). Применение структур, абстрагированных в результате счета и измерения предметов, и специальных значений введенных чисел—такова наиболее скромная цель, какую может поставить перед собой преподаватель. Он освобождается, таким образом, от той строгости, которая предъявляется при введении аксиоматики. В геометрии аксиоматическое изложение в явном виде невозможно, однако необходим выбор подразумеваемой аксиоматики, осуществление которой будет идти по основным направлениям и позволит последовательно открыть ученику возможность различных аксиоматических конструкций. Кажется приемлемым, например, исходить из метрики, столь знакомой ученикам этого возраста, следовательно, из изометрий. Известно, что попытки взять в качестве отправного инструмента точечные преобразования посредством переноса или вращения (около 1915 или 1920 г.) провалились. Эти сложные понятия, особенно понятие образующей точки (или движущей точки), то есть точное значение квантора общности у, не подходит непосвященным начинающим. Наоборот, симметрия относительно прямой в плоскости (переворачивание) или относительно плоскости в пространстве кажется приемлемой для согласования известных фактов и построения изложения.

Бифуркация по отношению к геометрии Лобачевского возможна; аффинная геометрия выделяется постепенно, после введения параллелей, с введением векторов, и даже вырисовывается проективная геометрия: таким образом, встречаются все более и более общие теории в результате прогрессивного обеднения содержания множества различных предметов и множества их свойств, а следовательно, в результате расширения классов эквивалентностей, которые становятся подлинными объектами теории.

Наш прекрасный выпускной класс элементарной математики является в действительности тем классом, где может быть осуществлено аксиоматическое построение, даже если ограничиться самыми основными установками и если отказаться от постепенного построения всего здания.

Опыт, уже приобретенный учеником, доставляет для аксиоматизации отношения теорий, привычка к математическому рассуждению уже приобретена и способность к абстракции достаточна: эти условия уже перечислялись как необходимые. Так, изучение арифметики и алгебры необходимо начинать с самых основ, то есть с числа. Топологический эскиз делает возможным изучение функций; с другой стороны, введение векторных топологических пространств вводит аффинную геометрию. Таким образом, изучение геометрии начинается с ее промежуточной формы, которая через ослабление приводит к проективной геометрии и через усиление к евклидовой метрической геометрии. Щекотливым вопросом педагогики является введение «метрической ветви», так как ученики, встречая знакомую им область, не соблюдают последовательности и теряют терпение. Лучше, несомненно, быстро проходить эту область, ограничиваясь отдельными указаниями. Немного позднее несколько шагов в геометрию круга (где элементарным преобразованием является инверсия) по зволят возвратиться к мысли о системе аксиом геометрии, которую хотят построить. На этом этапе мыслится возможность различных аксиоматик, ведущих прямо к цели (как, например, аксиоматика Гильберта для метрической геометрии или аксиоматики Г. Шоке для изометрии).

Детский класс. Напротив, не являются ли размышления, приводимые в этой книге, совершенно бесплодными в отношении совсем юных школьников, которые посвящаются в основы счета? Мы сказали, что если абстрактные структуры должны сначала наблюдаться в действительности и в конечном счете отыскиваться в этой действительности для применения, то для математики они важны сами по себе. Согласимся с необходимостью этих трех направлений в начальном обучении арифметике. Но имеется ли у детей наблюдательность? способность к абстракции? к технике? Вот два случая, два подлинных рассказа, которые я передаю без комментариев.

Очень маленький ребенок, у которого его дедушка (наш коллега Фуше) спросил: «У меня было 7 яблок, я взял 3, сколько яблок у меня осталось?», отказался отвечать, пока не спросил, не в силах больше превозмочь своего недовольства: «А что же ты сделал с этими тремя яблоками?» После ответа: «Я их съел», ребенок с облегчением сразу ответил: «Тогда у тебя осталось 4». Ребенок не мог считать потому, что он думал о яблоках.

Я рассказала этот случай одной приятельнице, которая поведала мне взволнованым тоном, сокровенное воспоминание из ее детства: «Мне было около 5 лет. Я громко считала, как меня этому научила мать: три «яблока» и четыре «яблока» будет семь «яблок». Кто-то из присутствующих похвалил

Мою мать за этот конкретный метод, который должен бы поражать ребенка; очевидно, речь шла о яблоках. Я была в заблуждении. Как, это слово «яблок», которое я ритуально повторяла при счете, означало не что иное, как обычное яблоко, фрукт! Я испытала нечто вроде стыда; с тех пор, я при

счете больше никогда не произносила этого слова».

Замечательный пример того, что может дать понимание структур на всех этапах обучения, представляет новый метод преподавания основ математики посредством цветных палочек, придуманных бельгийским преподавателем П. Кюизене- ром, метод, уточненный С. Гаттеньо. Речь идет о введении, почти без применения слов и символов, в множество целых чисел (практически в начале малых, но которые быстро превосходят сотню), а также множество обыкновенных дробей, структуру порядка, структуру кольца для целых и структуру поля для рациональных чисел. Речь идет именно о самих структурах, поскольку операции осуществляются одновременно на числах, длинах и цветах, следовательно, в итоге на абстрактном множестве. Материал содержит просто палочки, сечение которых квадрат, со стороной в 1 см, длиной 1 см (белые кубики), 2 см (красные), 3 см (зеленые) и т. д. до 10 см; цвета для 2, 4, 8, для 3, 6, 9, для 5, 10, образуют три семьи для 7 — черный. Сложение заключается в прикладывании концов, а отношение эквивалентности есть наложение: бесполезно давать определения! Отношение порядка очевидно, и несколько манипуляций обеспечивают великолепное усвоение коммутативности и ассоциативности сложения, а также свойства обратной операции. Замечено, что ребенок, особенно, если он мал, быстро отходит от числа и длины; он с поразительной быстротой оперирует на цветах: достаточно показать ему совсем маленький кончик палочки, чтобы он понял об элементе какого множества идет речь.

Самое любопытное, что можно наблюдать — это легкость

введения рационального числа: видя палочки, малыши не

медленно отвечают на вопрос: «Если эта палочка единица, 4

чем является эта другая?». Ответ будет, например, Так же, чтобы сосчитать, необходима промежуточная ступень чтобы сосчитать "д“Х-у необходима промежуточная ступень умножение осуществляется, путем удаления двух палочек 10, которые находятся рядом, и сделались просто промежуточным звеном в сравнении.

Чтобы убедиться в необыкновенном успехе этого метода, надо увидеть его в действии (например, в Атере де Бинш). Гаттеньо уточнил его при использовании среди детей самых различных способностей: отстающие дети, или, наоборот, считающиеся в своей школе очень способными, глухонемые и т. д. Даже дефективный ребенок из небольшой итальянской деревушки сумел ответить по поводу обратных дробей после десяти минут манипуляций с палочками (в настоящее время по инициативе ЮНЕСКО Гаттеньо вводит этот метод в Эфиопии). Естественно, ребенка тренируют также в выполнении операций в окружающей жизни и его учат писать с помощью обычных символов. Через некоторое время ребенок перестает пользоваться палочками и считает на числах: это не является неудачей. Наоборот, искомая цель достигнута (с точки зрения счета, по крайней мере), наподобие того, как стабилизирующие колесики детского велосипеда предназначаются для того, чтобы научить ребенка удерживать равновесие. Палочки служат тогда единственно для того, чтобы одним жестом и несколькими словами поставить задачу в предлагаемых упражнения и сделать проверку. Но этот материал, с помощью которого выявляются различные структуры, является многозначным: он, в частности, служит также для уточнения понятия объема и понятия площади (например, путем скольжения палочек одна на другой), и всегда при минимуме слов.

Выводы для преподавателя

Каждый добросовестный преподаватель старается преподавать то, что может быть понятно учениками, что может быть им полезно, а также то, что он считает истинным. Он передает технику, но также и мысль. Подобно тому, как прием счета входит как часть в обучение, значение науки является частью обшей культуры. Каково значение отдельной теоремы? Является ли она любопытным высказыванием, элегантным свойством или существенной деталью архитектуры теории? Является ли юна историческим осадком бывшей теории, и ее содержание раскрывает устаревшую мысль, или же это начало теории, которая не входит в программу определенного

НОВАТОРСТВО - НОВЫЙ ОПЫТ - ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИННОВАЦИИ В МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

КНИГИ И УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

БОЛЬШЕ НЕТ

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Математика - Для Учителей, Математика - новаторство - новый опыт - экспериментальное - инновации

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНОЕ ИЗ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА (НАУКА)

БОЛЬШЕ НЕТ

НАУКА МАТЕМАТИКА СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика