Skip to main content

О математической логике и философии математики - Начальные сведения об основаниях математики (Иве, Ньюсом) - Математика, кибернетика №7 1968  год - старые книги

Советская нехудожественная литература

 О математической логике и философии математики

Описание: Настоящая брошюра содержит перевод заключительной главы книги известных американских математиков-педагогов Говарда Ивса и Кэролла Ньюсома «Введение в основания и основные понятия математики» Эта книга, пользующаяся в Соединенных Штатах известной популярностью и выдержавшая уже несколько изданий, представляет собой элементарный учебник для студентов — будущих преподавателей математики; от имеющихся в нашей литературе учебников она отличается в первую очередь отказом от ориентации на какой-то один определенный раздел математической науки: в этой книге авторы затрагивают вопросы, относящиеся к арифметике и к алгебре, к геометрии и к математическому анализу. Основной целью, которую преследуют авторы, служит ознакомление неискушенного читателя с тем, что следует назвать «математическим методом», с общим характером построения математических теорий и методами рассуждений.
Разумеется, настоящая брошюра никак не может рассматриваться как учебник математической логики или оснований математики — такой задачи авторы перед собой и не ставили. Читатель может ознакомиться по ней с характерными для указанных разделов математики постановками вопросов, с некоторыми из тех задач, которые здесь ставятся и решаются, но отнюдь не с решениями сколь-нибудь глубоких задач. Кроме того, из всего массива современной математической логики и учения об основаниях математики авторы затрагивают только весьма небольшую часть, ограничиваясь лишь элементарными вопросами логики высказываний и беглой характеристикой трех из имеющихся в учении об основаниях математики школ. Брошюра обращена к массовому читателю. Так, например, она может оказаться полезной и интересной учителю математики, студенту педагогического или технического вуза, даже любителю математики, не имеющему никакой специальной подготовки. В противоположность этому некоторая часть книг и статей, указываемых в подстрочных примечаниях, рассчитана на более опытного читателя.

© «ЗНАНИЕ» Москва 1968

Авторство: Г. Иве, К.В. Ньюсом, (перевод с английского Ф. Л. Варпаховского)

Формат: PDF Размер файла: 7.48 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

1. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИК 5

2. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 14

3. ДРУГИЕ ЛОГИКИ 24

4.КРИЗИС ОСНОВ МАТЕМАТИКИ 31

5. ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ 37

ЗАДАЧИ 45

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатную книгу времен СССР - О математической логике и философии математики - Начальные сведения об основаниях математики (Иве, Ньюсом)  - Математика, кибернетика №7 1968 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

5. ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

МОЖНО СЧИТАТЬ, ЧТО ФИЛОСОФИЯ ОБЪЯСНЯЕТ НАМ наши знания, пытаясь отыскать некоторый смысл в естественном беспорядке этих знаний. С этой точки зрения можно говорить о философии чего угодно — о философии искусства, жизни, религии, образования, общества, истории, науки, математики и даже самой философии. Философия представляет собой процесс отшлифовывания и упорядочения наших знаний и наших оценок; она отыскивает связи между явлениями, которые обычно кажутся совершенно не связанными, и обнаруживает существенные различия в таких вещах, которые в обыденной жизни мы принимаем за одно и то же; философия есть теория, исследующая природу какой-либо области знания. В частности, основная задача философии математики заключается в упорядочении или переосмыслении всей той хаотической массы математических знаний, которая накоплена в течение столетий. Ясно, что философия меняется с течением времени, и вновь приобретенные знания могут либо изменить всякую в отдельности взятую философию, либо сделать ее устаревшей. В этом разделе мы будем интересоваться лишь современной философией математики, которая сформировалась под влиянием текущего кризиса основ и последних достижений математической науки.

В настоящее время существуют три главных философских направления, каждое из которых имеет свою большую литературу и своих многочисленных приверженцев. Это уже упоминавшиеся три школы — школа логистов, виднейшими представителями которой являются Рассел и Уайтхэд, интуиционистская школа, возглавляемая Брауэром, и формалистская школа, созданная в основном Гильбертом. Разумеется, сейчас существуют и другие философские направления. Некоторые из этих направлений независимы, другие являются различными комбинациями главных направлений, однако ни те, ни другие не получили столь широкого распространения, ц предлагаемые ими усовершенствования являются значительно менее кардинальными.

Ниже' мы попытаемся охарактеризовать каждую из трех основных философских школ. Разумеется, ни объем настоящей брошюры, ни самые ее цели не позволяют осветить пред- 37

мет с надлежащей всесторонностью; мы надеемся, однако, что сумеем дать некоторое представление о современных философских школах, исследующих основания н основные понятия математики.

(1) Логицизм. Согласно основному тезису логистов математика является частью логики. Из инструмента математики логика превращается в первооснову всей математической науки. Понятия математики должны быть выражены в терминах понятий логики, а теоремы математики должны быть выведены из теоремы логики, и лишь с точки зрения чисто прак-. тических удобств имеет смысл отличать математику от логики.

Уже Лейбниц (1666 г.) трактовал логику как науку, которая заключает в себе основные принципы и идеи, лежащие в основе всех прочих наук. Дедекинду (1888 г.) и Фреге (1884—1903 гг.) впервые удалось выразить понятия математики с помощью понятий логики, а Пеано (1889—1908 гг.) обнаруживает, что символический язык логики чрезвычайно удобен для формулировки математических теорем. Названные ученые были прямыми предшественниками логистов, однако по-настоящему логицизм начинается с появлением монументальных «Принципов математики» Уайтхэда и Рассела (1910—1913 гг.) В этой большой и сложной работе авторы пытаются последовательно и строго свести всю математическую науку к логике. Идеи Уайтхэда и Рассела получили свое дальнейшее развитие в работах Витгенштейна (Wittgenstein, 1922), Хвистека (Chwistek, 1924, 1925), Рам-, сея (Ramsey, 1926), Лангфорда (Langford, 1927), Карнапа (Carnap, 1931), Куайна (Quine, 1940) и других.

Основной тезис логистов естественным образом вытекает из стремления построить основания математики таким образом, чтобы дальнейшее сведение стало уже невозможным. Мы видели, что основания математики тесно связаны с системой вещественных чисел, которую можно свести к системе натуральных чисел, а затем и к теории множеств. А поскольку теория множеств является существенной частью логики, то совершенно естественно возникает идея о сведении математики к логике. Таким образом, тезис логистов можно понимать как попытку синтеза, к которому подводит определенная значительная тенденция в истории применения математического метода.

В «Принципах математики» вводятся «первоначальные идеи» и «первоначальные высказывания», соответствующие «неопределяемым терминам» и «аксиомам» любого абстрактно-дедуктивного построения, Эти первоначальные идеи и высказывания не подлежат интерпретации и представляют собой такие понятия логики, которые основаны на интуиции; их следует рассматривать или во всяком случае принимать а 38

качестве неких правдоподобных описаний и гипотез, подсказанных нам опытом. Короче говоря, мы переходим здесь от абстрактного к конкретному и в связи с этим не пытаемся доказывать непротиворечивость первоначальных высказываний. Целью авторов было построение математических понятий и теорем на базе первоначальных идей и высказываний; при этом имелось в виду начать с исчисления высказываний, перейти далее к исчислению классов и отношений и перестроить систему натуральных чисел, а вместе с ней и все то, что может быть из нее выведено. Построенная в «Принципах математики* система натуральных чисел обладает в точности теми свойствами, которые мы ей обычно приписываем, а сами натуральные числа вполне однозначно определяются при этом как любые предметы, удовлетворяющие определенной системе аксиом.

Для преодоления противоречий теории множеств в «Принципах математики» строится так называемая «теория типов». Теория эта, грубо говоря, устанавливает определенную иерархию элементов. Некоторым первичным элементам приписывается тип 0, множества элементов типа 0 является элементами типа 1, множества элементов типа 1 являются элементами типа 2 и т. д. Правомерньгм считается рассматривать лишь такие множества, все элементы которых принадлежат одному типу. Следование этому правилу исключает возможность им- предикативных определений и тем самым позволяет избежать противоречий. Поскольку в «Принципах математики» речь шла также об иерархиях внутри иерархий, оказалось необходимым разработать так называемую «разветвлённую» теорию типов.

Не имея возможности построить анализ, не пользуясь им- предикативными определениями, авторы вынуждены были ввести специальную аксиому — «аксиому сводимости». Однако произвольный и непримитивный характер этой аксиомы вызвал серьезную критику оппонентов; в дальнейшем логисты сосредоточили свои усилия в основном на построении такого аппарата, который сделал бы ненужным пользование аксиомой сводимости.

Успехи логистов оцениваются по-разному. Некоторые считают их программу удовлетворительной, другие выступают с многочисленными возражениями. Одно из этих возражений связано, например, с тем, что систематическое построение логики (как и любой дедуктивной науки) само по себе предполагает некоторые математические идеи; такова, например, важная идея итерации, используемая при построении теории типов, или же идея дедукции из данных посылок.

(2) Интуиционизм. Согласно тезису интуиционистов математика должна быть построена с помощью одних лишь фи- Нйтных конструктивных средств на основе системы натураль

ных чисел, причем самая эта система считается известной из интуиции. Таким образом, основы математики базируются на интуиции, точнее на безусловно присущем интуитивном ощу-. щении сменяемости и последовательности событий, благодаря которому, воспринимая некоторый объект, мы можем говорить о следующем за ним объекте, затем о следующем за этим последним объектом объекте и т. д. В результате мы получаем различные бесконечные последовательности, в частности хорошо известную последовательность натуральных чисел. Пользуясь далее интуитивным представлением о последовательности натуральных чисел, мы обязаны построить все прочие математические объекты уже чисто конструктивно, т. е. в конечное число шагов, путем привлечения конечного числа операций. Тем самым интуиционисты предлагают путь последовательно генетического построения математики.

Интуиционистская школа была основана в 1908 г. голландским математиком Л. Е. Дж. Брауером (Brauwer), впрочем основные идеи интуиционистов выдвигались и ранее, например Кронекером (в 80-х годах прошлого века) и Пуанкаре (в 1902—1906 гг.). С течением времени интуиционистская школа окрепла и разрослась, к ней примкнули многие выдающиеся современные математики, и следует признать, что интуиционизм оказал громадное влияние на весь строй мысли, связанный с вопросами оснований математики.

В некоторых своих частях интуиционизм является почти революционным. Так, интуиционистские требования в отношении конструктивного построения объектов приводят к определенному пониманию существования математических объектов — пониманию, которое не разделяется большинством действующих математиков. Для интуициониста доказательство существования объекта заключается в конструктивном построении объекта в конечное число шагов; если же из факта несуществования объекта следует противоречие, то это с интуиционистской точки зрения не считается еще достаточ- ныхМ доказательством. А отсюда следует, что неприемлемыми оказываются многие доказательства современной математики.

Важной областью, на которую интуиционисты распространяют свои требования конструктивности доказательств, является теория множеств. Для интуициониста не существует множества в качестве некоей готовой совокупности элементов, множество считается заданным лишь в том случае, если указан закон, который позволяет шаг за шагом построить все элементы множества. Тем самым из рассмотрения исключаются такие противоречивые множества, как «множество всех множеств».

Замечательно также и то, что требование конструктивных доказательств приводит к отказу от общепринятого закона исключенного третьего! Пусть, например, число х определено 40

следующим образом: если 1 есть л-я десятичная цифра в десятичной записи числа л и вслед за нею идут цифры 2 3 4 5 6 7 8 9 в этой именно их последовательности, причем левее Л-го знака такой последовательности цифр нет, то х — (—1) Л в противном случае х=0. И хотя число х определено теперь вполне корректно, интуиционистские ограничения не позволяют нам утверждать, что высказывание «х=0» является либо истинным, либо ложным. Про это высказывание можно сказать, что оно истинно лишь после того, как будет указано соответствующее доказательство, состоящее из конечного числа шагов. Аналогичным образом исчерпывается вопрос о ложности данного высказывания. Пока же никакое из двух доказательств не указано, высказывание не является ни истинным, ни ложным и закон исключенного третьего оказывается неприменимым. Однако если наложить дополнительное ограничение, потребовав, скажем, чтобы k было меньше 5000, то тогда уже с полным правом можно утверждать, что наше высказывание либо истинно, либо'ложно, поскольку при 6<j5000 истинность или ложность высказывания может быть установлена в конечное число шагов.

Интуиционисты, следовательно, отвергают закон исключенного третьего в случае бесконечных множеств, однако для конечных множеств закон этот сохраняет силу. Брауэр указывает, что такое положение вещей обусловлено историческими причинами. Законы логики возникли тогда, когда люди имели дело с конечными множествами, а впоследствии эти законы были неосновательно распространены на бесконечные математические множества, в результате чего и возникли противоречия.

В «Принципах математики» закон исключенного третьего равносилен закону противоречия. У интуиционистов дело обстоит не так — в связи с этим представлялось интересным построить логику, основанную на интуиционистских идеях. Эта задача была выполнена Рейтингом, который в 1930 г. завершает построение интуиционистской символической логики. Таким образом, интуиционистская математика привела к созданию логики нового типа, и можно поэтому говорить о том, что сама математическая логика является разделом математики.

Существует один важный, решающий вопрос: в каких границах можно построить современную математику, если ввести предлагаемые интуиционистами ограничения? Если бы оказалось, что вся математика может быть перестроена на интуиционистской основе и это не привело бы к слишком значительным усложнениям, то проблему основ математики можно было бы считать решённой. Интуиционисты преуспели в построении значительной части современной математики, в частности теории континуума и теории множеств, однако мно

гое еще не сделано. Пока чго интуиционистская математика оказалась менее мощной по сравнению с классической математикой, а ее построения — более трудоемкими. В этом основная беда интуиционизма — слишком многое из того, чтэ дорого большинству математиков, приносится в жертву. Однако такое положение вещей должно измениться, поскольку существуют и другие, более эффективные способы построения интуиционистской математики. И, кроме того, несмотря на многочисленные возражения, которые выдвигаются противниками этой школы, повсеместно считается, что интуиционистский метод не может привести к противоречиям *.

(3) Формализм. Согласно формалистскому тезису математика имеет дело с формальными логическими системами и представляет собой совокупность абстрактных построений, причем математические термины и утверждения суть соответственно символы и формулы, включающие эти символы? первоначальная основа математики лежит не в логике, а сводится к одним лишь знакам или символам, существующим независимо от логики, и к операциям над этими знаками. Поскольку формалисты лишают математику какого бы то ни было конкретного содержания, они оказываются перед необходимостью доказывать непротиворечивость каждой математической теории. Без соответствующих доказательств непротиворечивости вся формалистская программа становится бессмысленной. Формалисты предлагают, таким образом, последовательно аксиоматическое построение математики.

Формалистская школа была основана Давидом Гильбертом в связи с завершением последним аксиоматического изучения геометрии, В своих «Основаниях геометрии» Гильберт переходит от материальной аксиоматики Эвклида к современной формальной аксиоматике. Формалистские идеи, развитые позднее Гильбертом, были выдвинуты им в качестве средства преодоления кризиса основ, вызванного теоретико-множественными парадоксами, и в ответ на выступление интуиционистов, бросивших вызов классической математике. Формалистская концепция возникла у Гильберта еще к 1904 г., но лишь начиная с 1920 г. Гильберт и его сотрудники Бернайс, Аккерман (Ackermann) и фон Нейман приступают к серьезной разработке формалистской программы.

Спасение классической математики на пути, указанном Гильбертом, зависит от решения проблемы непротиворечивости.

* С интуиционистской школой читатель может познакомиться по книге: А. Г е й т и н г. Интуиционизм. Лк, «Мир», 1965. На русском языке существует также сборник статей одного из основоположников этого направления—Г. Вейля (см. Г. Вейль. О философии математики. М.—Л., Гостехтеориздат, 1934). Следует отметить, что дальнейшее развитие интуиционистских идей привело к появлению так называемой конструктивной школы в основаниях математики, имеющей горячих приверженцев и в нашей стране.

Серия - Математика, кибернетика

БОЛЬШЕ НЕТ

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

★ВСЕ➙ДЛЯ ВУЗОВ-ТЕХНИКУМОВ, Математическая логика, Педагогическое образование, Философия математики, Серия - Математика, кибернетика, Математика - Перевод с иностранного, Автор - Ньюсом К.В., Автор - Иве Г.

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНОЕ ИЗ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА (НАУКА)

БОЛЬШЕ НЕТ

НАУКА МАТЕМАТИКА СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика