• 1. ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА И ОБРАТНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ

К числу навыков, которыми должен овладеть школьник на уроках математики, относится умение сформулировать для теоремы соответствующую ей обратную. Например, для теоремы (1) это будет (Г), для (2) — (2'), для (З)-(З'):

(1) Точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от его сторон-,

(Г) Если точка одинаково удалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе-,

(2) В треугольнике против равных углов лежат равные стороны-,

(2') В треугольнике против равных сторон лежат равные углы,

(3) Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны;

(3') Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то он является ромбом (утверждение ложно).

В самом общем виде в основе понятия обратной теоремы лежит понятие импликации (следования): в обратной теореме посылка исходной импликации становится заключением и, наоборот, заключение — посылкой.

Одновременно с понятием обратной теоремы рассматривается понятие противоположной теоремы и теоремы, противоположной к обратной. Например, для теоремы (1) противоположным будет утверждение (1а), т. е. утверждение, полученное отрицанием обеих частей

¹ Точнее было бы говорить не о прямой и обратной теоремах (или, вообще, утверждениях, высказываниях), а о двух в з а и м н о-обратных теоремах: каждая из теорем в этой паре является обратной по отношению к другой; соответственно, любая из них может быть принята за прямую,

исходного, а противоположным к обратному — утверждение (16), т. е. утверждение, полученное тем же способом, что (1а), но не из исходной теоремы (1), а из обратной (Г): (1а) Точка, не лежащая на биссектрисе угла, неодинаково удалена от его сторон',

(16) Если точка неодинаково удалена от сторон угла, то она не лежит на биссектрисе этого угла.

Эти понятия играют весьма важную роль в математике, поскольку математический факт обычно рассматривается не сам по себе, а на фоне других фактов, с которыми он логически связан. По законам логики из четырех связанных друг с другом по смыслу утверждений — данное, обратное данному, противоположное данному и противоположное обратному — должны доказываться независимо одно от другого только два—например, данное и обратное к нему. В то же время противоположное и противоположное обратному — при условии, что первые два верны,— уже не требуют доказательства (а если неверны — опровержения), поскольку противоположное утверждение равносильно обратному (т. е. логически эквивалентно ему, имеет то же самое истинностное значение), а противоположное обратному равносильно исходному. Так, (1а) равносильно (Г), а (16) равносильно (1); утверждение (36) равносильно утверждению (3) (оба истинны), а (За) равносильно (3') (оба ложны): (За) Если четырехугольник не является ромбом, то его диагонали не перпендикулярны',

(36) Если диагонали четырехугольника не перпендикулярны, то он не является ромбом.

Положение, согласно которому утверждение, противоположное обратному, равносильно исходному, называется в логике законом контрапозиции. Закон контрапозиции может использоваться в доказательствах. А именно, когда теорема доказывается от противного, это означает, что вместо данной теоремы доказывается соответствующая ей противоположная к обратной, которая в силу закона контрапозиции ей равносильна.

Рассмотрение данного утверждения вместе с его обратным важно тем, что в том (и только в том) случае, когда прямое и обратное утверждения, касающиеся некоторого объекта, одновременно истинны, возникает как бы новый однозначный признак этого объекта или его свойства, т. е. возможность выразить одно его свойство через другое (см. [1 ]). Например, в силу того что для любого числа п свойство Р «Число п делится на 3» влечет свойство Q:

«Сумма цифр числа п делится на 3», а свойство Q влечет свойство Р, свойство Q является признаком свойства Р. Между тем, если для любого четырехугольника из свойства Р «Четырехугольник является ромбом» следует свойство Q «Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны», но обратное неверно, то наличие у четырехугольника свойства Q не является признаком наличия у него свойства Р.

Несмотря на столь важную роль понятия обратной теоремы в математике, это понятие не является в математическом смысле слова точно определенным: человек, который может построить для данной теоремы обратную (или осознать два предложения как взаимообратные), действует в значительной степени «интуитивно», т. е. не на основе точного определения, а с помощью приблизительного определения и неформализованного «собственного опыта». Задача данной работы — дать этому понятию точное определение. Это определение, с одной стороны, должно моделировать, или имитировать — в смысле А. Тьюринга — человека, практически владеющего навыком построения обратной теоремы (т. е. навыком обращения теорем); с другой стороны, оно должно выявлять логические и языковые механизмы, лежащие в основе обращения. Естественно, что точное определение должно дать возможность обучать человека понятию обратной теоремы более эффективно, превратив процесс обучения из интуитивного и стихийного в сознательный и детерминированный.

Первым шагом будет уточнение самой постановки задачи. А именно, сначала необходимо понять, с какими объектами имеет дело понятие обратной теоремы, т. е. понять, какого рода объектом является теорема вообще.

Уточним прежде всего соотношение между теоремой и утверждением. Теоремой в математике обычно называется верное, а точнее, доказуемое утверждение; действительно, сказать, что данное утверждение является теоремой,— все равно, что сказать, что оно истинно (а при более формальном подходе — доказуемо). Однако в задаче об обратной теореме истинность утверждения вообще не играет существенной роли. С одной стороны, когда для данного утверждения строится обратное, заранее неизвестно, будет ли полученное утверждение истинным. С другой стороны, построить обратное можно и для утверждения, которое само по себе ложно. По этой причине предпочтительнее было бы говорить об обратных (да и об исходных!) утверждениях, а не теоремах.

Поскольку, однако, указанное ограничение на употребление слова «теорема» соблюдается непоследовательно (так, нередко можно услышать, что та или иная теорема неверна, что некоторая теорема еще не доказана, например, Великая теорема Ферма, и т. д.), мы будем употреблять слова «теорема» и «утверждение» как синонимы и, в частности, будем употреблять словосочетание «обратная теорема» в том же смысле, что «обратное утверждение».

Теорема обычно предстает перед нами как сформулированная в виде некоторого предложения на естественном языке. Однако нельзя сказать, что теорема является предложением, поскольку одна и та же теорема допускает разные формулировки, т. е. очевидно, что есть разные предложения, которые выражают одну и ту же теорему. Так, во многих методических пособиях в связи с понятием обратной теоремы школьнику предлагается дать для той или иной известной ему теоремы другую формулировку — например, сформулировать ее в виде условного предложения. И действительно, скажем, предложение (1) Точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от его сторон и отличное от него предложение (1.1) Если точка лежит на биссектрисе угла, то она одинаково удалена от его сторон выражают одну и ту же теорему—являются разными формулировками одной и той же теоремы.

Таким образом, теорема — это, скорее, не предложение, а смысл предложения; иначе можно сказать, что теорема — это то общее, что имеется во всех различных ее формулировках (или даже класс всех возможных формулировок). Теорема выражается каждый раз некоторым предложением, но может быть выражена с равным успехом и другими предложениями — если они имеют тот же смысл, т. е. если они синонимичны данному.

Перейдем теперь к понятию обратной теоремы. Здесь следует обратить внимание на два обстоятельства. Первое состоит в том, что одна и та же теорема может, вообще говоря, иметь несколько разных обратных (этот факт отмечал И. С. Градштейн 11] и, далее, В. Г. Болтянский [2], но в школьной практике обычно исходят из того, что обратная теорема для каждой единственна). Например, у теоремы (4) соответствующих ей обратных по крайней мере две, ср. (4') и (4"):

(4) В двух равных кругах равные хорды одинаково удалены от центра-,

(4')В двух равных кругах хорды, одинаково удаленные от центра, равны,

(4")Если в двух кругах равные хорды одинаково удалены от центра, то круги равны.

Действительно, предложения (4') и (4") имеют разный смысл, т. е. выражают разные теоремы. Таким образом, говоря об обратной теореме, не следует, вообще говоря, полагать, что это единственная теорема, обратная данной: обращение теоремы может быть однозначным и неоднозначным; соответственно обратная теорема будет единственной обратной или одной из обратных.

Второе обстоятельство еще более существенно. Мы уже согласились, что исходная теорема — это некоторый класс синонимичных друг другу предложений, а обратная теорема (или каждая из обратных, если обращение неоднозначно) — это другой класс предложений, тоже синонимичных между собой. Например, исходная теорема может быть выражена предложениями (1), (1.1) и т. д., а обратная теорема выражается предложением (Г), а также (Г.1) Точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе, (Г.2) Всякая точка, которая равноудалена от обеих сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. И еще многими другими. Неверно было бы, однако, полагать, что каждая теорема, обратная данной, всегда соответствует целиком всему классу синонимичных предложений, выражающих исходную теорему. Дело в том, что разные предложения, синонимичные друг другу, т. е. имеющие один и тот же смысл, могут отличаться друг от друга какими-то деталями своего содержания, из-за которых результат их обращения оказывается существенно различным по смыслу. Так, предложения (5) и (6) оба синонимичны предложению (4); это явно формулировки той же самой теоремы:

(5) Если хорды двух равных кругов равны, то эти хорды одинаково удалены от центра-,

(6) Если два круга равны, то в них равные хорды одинаково удалены от центра.

Однако предложения (5') и (6'), обратные соответственно для (5) и (6), не синонимичны между собой и выражают разные теоремы:

(5') В двух равных кругах хорды, одинаково удаленные от центра, равны (—Если хорды двух равных кругов

одинаково удалены от центра, то эти хорды равны) \ (6^х) Если в двух кругах равные хорды одинаково удалены от центра, то круги равны.

При этом предложения (5) и (6), хотя они и синонимичны предложению (4), в отличие от (4) обращаются, с точностью до синонимии, однозначно. Таким образом, все три синонимичных предложения (4), (5) и (6) ведут себя при обращении по-разному.

В таком случае приходится констатировать, что термин «обратная теорема» плохо отражает стоящее за ним содержание. Реально, когда речь идет о построении теоремы, обратной данной, имеется в виду, вообще говоря, не теорема как таковая, а теорема в некоторой заданной ее формулировке, т. е. теорема, выраженная в виде определенного предложения. Таким образом, задача, которая фактически имеется в виду, — это не задача об обратной теореме, а задача об обратном предложении: речь идет не о том, чтобы построить для данной теоремы обратную ей теорему, а о том, чтобы построить для данного предложения обратное ему предложение (или несколько несинонимичных друг другу обратных предложений, если таковые имеются) ².

Если рассматривать теорему как класс всех возможных ее формулировок, то теоремой, обратной данной теореме, можно считать любую теорему, одна из формулировок которой является обратной по отношению к какой-либо из формулировок данной теоремы (рис. 1).

² Более точно то же самое можно сказать так. Одно и то же предложение всегда имеет много разных обратных: достаточно получить одно обратное предложение, и тогда любое ему синонимичное будет также обратным к исходному предложению. Так, каждое из предложений (Г). О'-О» (1'-2) является обратным для (1). В то же время не все предложения, обратные данному, синонимичны между собой. Так, предложения (4') и (4"), обратные предложению (4), не синонимичны друг другу. Под задачей построения обратного предложения мы имеем в виду следующее: для каждого предложения, все обратные которому синонимичны друг другу, должно быть построено одно (по крайней мере) из этих обратных. Для каждого предложения, все обратные которому распадаются на несколько классов попарно синонимичных друг другу предложений, должно быть построено по одному (по крайней мере) обратному в каждом из этих классов. Для предложения (1), таким образом, достаточно найти одно предложение: (Г) или (Г.1) или (Г.2) или еще какое-нибудь синонимичное им; для предложения (4) необходимо найти по меньшей мере два предложения: (4')— или любое ему синонимичное — и (4")— или любое ему синонимичное.