МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОСТУЛАТЫ

И ЧЕЛОВЕЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ

Аксиоматика

1. Аксиоматика средней школы. Приступив к занятиям в средней школе, каждый из нас имел возможность познакомиться с определенными аксиомами геометрии и арифметики. Они представлялись неопровержимыми истинами и скоро перестали тревожить нашу память, подобно ночным кошмарам. Вот знакомые примеры таких формулировок: «каждое количество равно самому себе»; «целое больше, чем одна из его частей»; «все прямые углы равны между собой»; и т. д. Два вывода вытекало из этих аксиом: во- первых, что все они явно самоочевидны, и, во-вторых, что все математические теоремы следуют из них в строго логическом порядке.

Обычно учащийся не чувствует какого-либо страха при утверждении очевидного. Так, в самом деле, может ли он себе представить, что количество не равно самому себе? Но получается совсем иначе, когда речь заходит об утверждении, что все математические формулировки вытекают из аксиом и исключительно из них. Здесь внимательный студент сразу почувствует, что в привычных следствиях были использованы многие другие самоочевидные понятия, кроме явно утверждаемых аксиом. Из современных исследований оснований геометрии мы знаем, что ни одна геометрия не может базироваться на нескольких предложениях, представляемых в школьных учебниках в виде аксиом. Аксио

матика Гильберта, например, охватывает пять групп аксиом, среди которых имеется так называемая аксиома непрерывности, значительно отличающаяся от простых формулировок школьных учебников.

Тем не менее можно утверждать, что простая школьная аксиоматика полезна для развития у учащихся навыков логического мышления. Но эта практика имеет и свои серьезные недостатки. Так, даже в таком предложении, как «целое больше любой своей части», сами значения слов довольно туманны.Формулировка предполагает, что учащийся, к которому она адресуется, из повседневного опыта знает о существовании двух соотношений: части к целому и большего к меньшему. Аксиома утверждает, что эти два соотношения в определенном смысле в одном случае могут быть справедливы, а в другом не справедливы, причем можно отдельно обсуждать справедливость того или иного из них в каждом случае. В некоторых случаях это более или менее очевидно. Так, если говорят, что Франция является частью Европы, обычно допускается, что Франция меньше Европы, хотя даже в этом примере должно предполагаться некоторое знакомство с понятием площади. Но рассмотрим другой пример: принято говорить, что хороший сон является составной частью хорошего самочувствия. Однако если рассмотрим сон как независимое качество, а не просто как один из признаков хорошего самочувствия, то вопрос соотношения большего и меньшего здесь нарушается. Можно возразить, что такие случаи не предусматриваются аксиомами, но это означало бы, что данная формулировка нуждается в предварительном разъяснении и, таким образом, не может быть положена к основу логической системы. Из двусмысленной посылки можно сделать недвусмысленный вывод. Формулировки, которые вызывают осложнения и необходимость разъяснений, не могут служить отправной точкой в строго систематизированной отрасли науки.

Часто высказывались возражения по поводу так называемого аксиоматического метода при обучении начинающих. Однако большинство возражений делалось с позиций, в корне отличных от наших. В целом этот метод критиковался как «слишком формальный», мало основанный на интуиции и потому «оторванный от жизни». Но это явно соображения педагогической природы, не представляющие здесь никакого интереса для нас. Наша критика ведется с чисто логической точки зрения.

Использование в школьных учебниках аксиом, сформулированных в неточных и неопределенных выражениях и, следовательно, не позволяющих делать недвусмысленные выводы, является несостоятельным.

2. Классическая аксиоматика. Исторически происхождение аксиоматической традиции идет от аксиом евклидовых «Начал». Однако сохранившиеся до нашего времени греческие тексты начинаются с ряда определений, за которыми следует пять постулатов и девять общих понятий. В более ранних латинских переводах последние (среди них, например, «добавление равного приводит к одинаковым результатам») называются «communes notiones sive axio- mata». Согласно нашей современной терминологии, постулаты, например постулат о параллельных, причисляются также к числу аксиом.

Заключительная часть первой книги Евклида содержит теоремы и решения задач, доказательства которых выводятся из предшествующих определений, постулатов и общих понятий. Последующие книги содержат дальнейшие определения (окружности, касательной к окружности и т. д.), из которых выводятся дополнительные теоремы на основе первоначальных аксиом. Здесь соотношение различных предложений ясно: сначала даются определения, затем вводятся без доказательств определенные положения и наконец из этих положений выводятся другие с помощью обычных дедуктивных методов.

Схему, подобную созданной две тысячи лет назад, мы находим в основе математической физики — механике, созданной Ньютоном в его Philosophiae naturalis principia mathematica. Она начинается с восьми последовательных определений понятий массы, силы и т. д. Далее мы находим утверждения, что время, пространство, координаты и движение не нуждаются в каком-либо определении — лишь только в определенных уточнениях. После них следует «axiomata sive leges motus», основную же часть работы составляют выводы законов движения. Мы не будем здесь рассматривать, насколько строго можно получить формулировку законов движения твердого тела (например, физического маятника) без каких-либо посылок, кроме тех, которые были описаны тремя законами движения Ньютона.

Механика Ньютона наиболее полезна тем, что дает нам образец для составления системы аксиом. Без сомнения, основная часть ньютоновской системы заключена во вто

ром законе движения (который включает в себя первый — так называемый закон инерции): «Изменение движения (момент, как бы мы теперь сказали) пропорционально приложенной силе». Следовательно, если сила не прилагается, то движение остается без изменений (что и утверждает закон инерции). Его можно сравнить с предыдущей формулировкой (IV): «Сила, приложенная к телу, выводит тело из состояния покоя или равномерного прямолинейного движения». Как можно заметить, аксиомы предваряются определениями. Так, если приложенная сила определяется как изменяющая состояние движения, то из этого следует, что при отсутствии приложенной силы равномерное прямолинейное движение остается без изменений. Таким образом, мы видим, что определения и аксиомы вообще не являются независимыми друг от друга, и можно заметить наивность мнения, что аксиомы сами по себе в какой-то степени выражают определяемое понятие. В таком же соотношении находятся определения и постулаты Евклида, хотя и не так очевидно.

Классические аксиомы Евклида и Ньютона, долгое время служившие образцом построения для всех областей точных наук, характеризуются тонким смешением кажущихся определений и точных постулатов, которые в действительности не могут рассматриваться как независимые друг от друга.

3. Реформа Маха. В ньютоновской механике путаница, вытекающая из недостаточного различения определений и аксиом, была исправлена Эрнстом Махом. В его «Механике», опубликованной в 1883 году, впервые был сформулирован принцип, получивший всеобщее признание и составляющий основу современной аксиоматики. Кратко можно сказать, что фундаментальные основы определяются аксиомами, это означает, что, кроме введения новых терминов, в основе дедуктивной науки не существует дополнительных определений к аксиомам. Мы покажем это на примере механики.

Существуют два основных понятия, входящие в ньютоновскую механику, — сила и масса. Ньютон определил массу первоначально как «количество материи». Сразу же можно заметить, что это определение совершенно ничего не говорит и ни в коей мере не помогает уяснять сущность движения. Единственно, что при этом получается,—слова «количество материи» оказывается возможным заменить словом

«масса», если они где-нибудь появляются в современном тексте, и тогда возможно избавиться от первого определения полностью, ничего не изменяя в механике. Если не обращать внимания на факт, что во времена Ньютона, возможно, одно выражение было более употребительным, чем другое, определения фактически являются равнозначными выражениями, причем совершенно одинаковыми по значению.

С другой стороны, мы уже показали, что ньютоновское определение силы в значительной степени предопределяет содержание первых двух законов движения: сила не меняет расположения тела и не определяет его скорости — она только изменяет скорость. Таким образом, сила сначала определяется как что-то, изменяющее скорость, а затем закон устанавливает, что скорость изменяется с помощью силы. Этот способ умозаключений хорошо представлен Мольером: маковое семя обладает наркотическим действием. Почему? Потому, что в нем есть наркотическая сила.

Но насмешки здесь не уместны, ибо в ньютоновских Principia заключено одно из наиболее дальновидных и оригинальных открытий, когда-либо сделанных в физике. Его можно описать следующими двумя фразами: во-первых, условия, в которых тело находится в каждый данный момент (его положение по отношению к другим телам и другие наблюдаемые свойства), определяют мгновенное изменение скорости (или ускорение), но не его скорость; во-вторых, для разных тел при одинаковых условиях наблюдаемые ускорения различаются числовым значением, которое присуще соответствующему телу, и, следовательно, постоянны для каждого из рассматриваемых тел. В этом и состояли два открытия Ньютона. После того как они были сделаны, уже легко было добавить, что константа, связанная с любым телом, может быть названа «массой» (или, если хотите, «количество материи»), и условие, определяющее ускорение,— «приложенную силу».

Таким образом, определения сведены к объяснению слов, к введению сокращений (без которых в принципе можно обойтись). Все существенное содержится в самих аксиомах. Они очерчивают понятия, словесные описания которых могут быть выбраны в случае надобности позднее. Мы можем кратко суммировать.

Как показал Мах, ньютоновские основания механики могут быть перестроены таким образом, что можно начи-

нать не с определений, а с утверждений (аксиом), которые также достаточны, чтобы определить фундаментальные понятия силы и массы. Далее все, что требуется добавить к аксиомам, — пояснить слова, служащие в качестве словесных сокращений.

4. Геометрия Гильберта. Давид Гильберт был первым, кто создал в 1899 году новую форму аксиоматики для геометрии. Она явилась отправным пунктом для распространения аксиоматического метода во многих отраслях точных наук. Из работ Евклида и ряда других предшественников Гильберта (Паш, Веронезе и другие) стало очевидно, что геометрия особенно приспособлена для такой трактовки. Свойства пространства, описываемые геометрией, являются простейшими из известных физических представлений.Они не обращены к каким-либо опытным данным, подобно тому, как механика обращается к понятиям геометрии даже в случае своего фундаментального понятия движения. Единственное, что берется из повседневного опыта в геометрии, — это счет. В структуре оснований геометрии основания арифметики принимаются как нечто данное.

Система Гильберта, как говорилось ранее, отличается от евклидовой тем, что она начинается не с определений пространственных элементов, а рассматривает их как определяемые аксиомами:

«Мы рассматриваем три различных системы элементов; элементы первой системы мы называем точками... элементы другой — прямыми линиями... элементы третьей — плоскостями... Мы считаем, что точки, прямые линии и плоскости находятся в определенных соотношениях друг к другу, и обозначаем эти соотношения словами, такими, как «лежащая», «между», «параллельная», «конгруэнтная», «непрерывная». Точное, и для математических целей полное, описание этих соотношений содержится в аксиомах геометрии».

Первая группа аксиом Гильберта содержит аксиомы связности, например: две несовпадающие точки определяют прямую линию; в случае четырех точек одна из них может не лежать в данной плоскости. (Заметим, что и здесь счет принимается за нечто само собой разумеющееся). Вторая группа — аксиомы порядка — в основном раскрывает понятие «между», например, из любых трех точек на прямой линии одна и только одна находится между двумя другими. За этими аксиомами следуют аксиомы конгруэнтности, 8