ВВЕДЕНИЕ

Нельзя не отметить, что весьма часто люди, даже достаточно подготовленные математически, относятся к идеям неевклидовой геометрии с недоверием, считая, что единственным правильным учением о пространстве является классическая евклидова геометрия. Подтверждением этому служит тот факт, что даже у нас, на родине Н. И. Лобачевского, не прекращаются попытки «доказательства» 5-го постулата Евклида и научные учреждения СССР систематически получают письма с такими «доказательствами» и с опровержением неевклидовой геометрии. Совсем недавно в президиум АПН РСФСР поступило письмо, автор которого считает, что «преподавание геометрии Лобачевского в педвузах и университетах нашей страны является государственным преступлением, так как.» и далее следует весьма наивное опровержение одной из основных теорем неевклидовой геометрии.

Все эти факты свидетельствуют о том, что необходима самая широкая популяризация идей неевклидовой геометрии, тем более, что без понимания их окажутся непонятными и многие идеи современной физики и астрономии. В настоящее время, когда человек проник в межпланетное пространство и изучает строение атомного ядра, становится совершенно неотложной задачей выяснение свойств космического пространства и определение пространственной структуры микромира, а для этого необходимо определить, каковы геометрии этих пространств. Цель дальнейшего изложения — дать некоторое представление о свойствах пространств, отличных от евклидова пространства, которое служит предметом нашего повседневного опыта. Для чтения книги не требуется никаких дополнительных сведений, кроме знания математики в пределах школьной программы.

Однако некоторые привычные понятия и предложения классической геометрии придется в одних случаях расширить, в других — изменить, чему будут посвящены первые главы. Для активизации самостоятельной работы читателя над книгой, а иногда для углубления некоторых вопросов главы снабжены упражнениями, работа над которыми поможет лучше усвоить изложение, а также познакомиться с предложениями, необходимыми для понимания дальнейших выводов. Задачи, помеченные звездочками, должны быть непременно решены, так как результаты решения используются в тексте.

Основная мысль книги: пространство есть совокупность некоторых геометрических образов, связанных между собой определенными взаимоотношениями. В зависимости от характера этих связей получаются различные виды пространства, как евклидово, так и неевклидово. Чтобы убедиться в этом, мы сначала построим пространство, основные элементы которого отличны от образов классической геометрии, а в то же время взаимоотношения между ними и все следствия из них в точности отображают аксиомы и теоремы/ изучаемые в школе. Подобным же образом будут построены пространства неевклидовых геометрий.

Глава 1

КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Геометрия как наука возникла в процессе практической деятельности людей. Людям нужно было сооружать жилища и хозяйственные постройки, проводить дороги и каналы, устанавливать границы земельных участков и определять их размеры.

Немалую роль в этом отношении сыграли и эстетические потребности людей: желание украсить жилище и одежду, изобразить картины окружающей жизни. Все это заставило человека познавать пространственные свойства вещей материального мира и изучать обнаруживающиеся при этом закономерности. Эти закономерности неоднократно проверялись и подтверждались многочисленными наблюдениями и опытами, и полученные знания передавались от поколения к поколению сначала устно, потом письменно.

Этот естественный и неизбежный путь познания окружающего нас мира, при котором мы открываем определенные закономерности, наблюдая большое число предметов и явлений и переходя от частных случаев к обобщению, носит в науке название индукции (от латинского слова inductio — наведение).

Уже за несколько столетий до нашей эры культурные народы древности располагали сведениями о пространственных свойствах предметов, умели измерять длины, площади и объемы и применяли свои знания в практической жизни. Однако знания эти еще не были систематизированы и сообщались обычно в виде правил и рецептов.

1. 2. На формирование науки геометрии оказали значительное влияние исследования мыслителей древней Греции, которыми впервые были сформулированы основные

положения науки о законах правильного мышления — логики.

Среди этих мыслителей в первую очередь нужно назвать Аристотеля (384 — 322 гг. до н. э.). Было установлено, что новые истины (т. е. соответствующие действительности знания о предметах окружающего нас мира) можно получить и не прибегая к наблюдениям и опытам, а используя ранее добытые истины и делая из них правильные выводы. Такой путь нашего мышления, когда мы из общих истин получаем частные выводы, носит в науке название дедукции (от латинского слова deduct io — выведение).

Если правила дедукции применить к -изучению пространственных форм, то мы увидим, что многие их свойства мы можем обнаружить, применяя правила вывода к уже установленным свойствам и закономерностям, Например, зная из многократных опытов и наблюдений, что «через две точки можно провести одну и только одну прямую линию», мы уже без всяких опытов можем утверждать, что «две различные прямые могут иметь не более одной общей точки».

Дальнейшее развитие этих идей привело ученых древней Греции к мысли соединить все знания о пространстве в такую систему, в которой подавляющее число найденных закономерностей получалось бы путем логических выводов из сравнительно небольшого числа ранее установленных и многократно проверенных опытным путем истин. Так возникла наука, получившая у греков название геометрии и сохранившая это название до наших дней.

Само слово «геометрия» происходит от двух греческих слов: у-ц — земля и ретрессо измеряю, и по-русски должно быть переведено словом «землемерие».

Попытки греческих ученых построить систему геометрии начинаются, по-видимому, с V столетия до н. э. Но наибольшее влияние на все последующее развитие геометрии оказала система геометрии, изложенная в работе греческого ученого Евклида, жившего в Александрии в III столетии до н. э. Сочинения Евклида, называемые «Начала», состоят из тринадцати книг, содержание которых охватывает в основном все то, что в настоящее время изучается в школьном курсе элементарной геометрии.

1. 3. «Начала» Евклида в течение почти 2000 лет были основной книгой, по которой изучали геометрию. Она была переведена на языки всех культурных народов мира. Не

однократно переводилась она и на русский язык. Последнее русское издание «Начал» вышло 1948 —1950 гг. под редакцией профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского.

Евклид начинает изложение геометрии с перечисления основных предложений, на которые опирается вся система этой науки. К этим предложениям он относит: 1) о п редел е н и я, которыми объясняется смысл употребляемых в дальнейшем слов; 2) аксиомы и постула- т ы, в которых устанавливаются соотношения, связывающие основные понятия геометрии и принимаемые без доказательства.

Приведем примеры определений из «Начал» Евклида.

1.  Точка есть то, что не имеет частей.

2.  Линия есть длина без ширины.

3. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

С современной точки зрения эти определения далеко не безукоризненны, однако на дальнейшее изложение «Начал» это обстоятельство не оказывает существенного влияния, так как автор этими определениями не пользуется.

Приведем примеры постулатов.

Допустим:

1. От всякой точки до другой точки можно провести прямую линию.

2.  Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5.  Если прямая, пересекающая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые при неограниченном продолжении пересекутся с той стороны, где эта сумма меньше.

Все эти предложения называются постулатами, так как содержат в себе. допущение (postulatum — требование, допущение).

Приводим примеры некоторых аксиом.

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. Если к равным прибавляются равные, то и суммы будут равны.

3. Если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны.

Аксиома 7 содержит определение геометрического равенства (конгруэнтности):

7. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

Все последующее изложение геометрии состоит из предложений —теорем (Оеюртата — от глагола Owprjco — обдумываю), каждое из которых выводится из ранее установленных предложений, т. е. сопровождается доказательством.

1. 4. Дальнейшее развитие геометрии шло в направлении усовершенствования системы Евклида, исправления неточностей, включения новых теорем. При этом особое внимание геометров привлекал к себе 5-й постулат. С одной стороны, его формулировка была слишком сложной по сравнению с другими постулатами и аксиомами, а с другой стороны, и самый факт существования точки пересечения не казался столь очевидным и бесспорным, как факты, утверждаемые в других аксиомах и постулатах. Причиной этого явилось то, что в 5-м постулате мы впервые сталкиваемся с понятием бесконечного. В то время как в остальных постулатах описываются свойства фигур, легко проверяемые и обозримые на ограниченном куске плоскости, произвести такую же проверку 5-го постулата оказывается физически невозможным.

Действительно, если сумма внутренних односторонних углов, о которых идет речь в постулате, сильно отличается от 180° (рис. 1), то очень легко убедиться, что прямые а и b пересекутся в пределах чертежа. Если же эта сумма очень мало отличается от 180°, например равна 179°30', как это сделано на рисунке 2, где 2_ а = 60°, а Z- р = 119°30', то существование точки пересечения оказывается совсем не очевидным: эта точка либо находится очень далеко за пределами чертежа, либо вовсе не существует.

Желание построить логически безупречную систему геометрии побудило многих геометров искать новую, более простую формулировку 5-го постулата и вместе с тем найти доказательство этого постулата, основываясь на всей совокупности ранее установленных постулатов и аксиом.