6. Значение математики для развития других наук, техники и жизни лю дей . 75

7. Практика как критерий истины в математике. Точность математики 84

Глава вторая. Построение математических теорий  90

1. Цель и средства обоснования математики. Математическая строгость  —

2. Алгоритмы 104

3. Процесс абстрагирования основных понятий и посылок математических теорий 108

4. Развитие способов обоснования математики и понятие математической строгости 114

5. Содержание и значение математической символики  121

Часть вторая

Три основных кризиса основ математики

Глава первая. Разработка способов обоснования математики в древней Греции от Пифагора до Евклида 144

1. Математика пифагорейцев —

2. Проблема бесконечности в древнегреческой философии и математике 148

3. Три знаменитые задачи древности « 150

4. Преодоление кризиса основ древнегреческой математики 151

Г лава вторая. Развитие способов обоснования математики в XVIII и первой половине XIX века 152

1. Особенности способов обоснования математики в конце XVII и в XVIII веке —

2. Причины господства в XVIII веке метафизического подхода к вопро сам обоснования математики .168

3. Разработка способов обоснования математики в последней четверти XVIII и первой половине XIX века 180

Г лава третья. Разработка способов обоснования математики в последней четверти XIX и начале XX века 202

1. Исторические предпосылки развития теории множеств —

2. Основные понятия общего учения о множествах Г. Кантора. Трудности построения теории множеств 214

3. Философские взгляды Г. Кантора. Философско-математическое обосно вание теории множеств .» 220

4. Начальный этап критики концепции Г. Кантора 226

5. Парадоксы (антиномии) теории множеств . 234

6. Аксиоматическое построение теории множеств по Цермело . 23G

7. Трудности, связанные с аксиомой Цермело . 238

8. Проблема существования в математике 241

9. О философском аспекте трудностей теоретико-множественного обоснования математики» 244

Часть третья

Аксиоматический метод

Глава первая. Содержательная аксиоматизация теорий 246

1. Характеристика содержательной аксиоматизации теории —

2. «Начала» Евклида как образец содержательной аксиоматизации теории 247 3. Платон, Аристотель и методология «Начал» Евклида 250

Глава вторая. Полуформальная аксиоматизация теорий —

1. Характеристика полуформальной аксиоматизации теорий —

2. Элементы и аксиомы 253

3. Совместность (взаимная непротиворечивость) аксиом 254

4. Взаимная независимость аксиом 258

5. Равносильность систем аксиом —

6. Полнота систем аксиом 259

7. Значение аксиоматического метода для развития математики 260

8. Применения аксиоматического метода в приложениях математики 265

Глава третья. Роль практики в развитии аксиоматизации геометрии Ев клида и арифметики натуральных чисел 268

1. Разработка содержательной аксиоматики арифметики количественных натуральных чисел 269

2. Ответ на второй вопрос С. А. Яновской 272

3. Основные предпосылки разработки полуформальной системы аксиом

арифметики натуральных чисел 275

Г лава четвертая. Дополнения к характеристике полуформального аксиоматического метода ' 278

1. Роль аксиомы индукции в арифметике натуральных чисел . —

2. О так называемых условных определениях в математике 281

3. Границы действенной силы полуформального аксиоматического метода 284 4. Гносеологическое значение полуформального аксиоматического метода 285

Приложение 1. О непротиворечивости геометрии Лобачевского 286

1. Система аксиом геометрии Евклида . —

2. Интерпретация планиметрии Лобачевского . 291

3. Непротиворечивость геометрии Лобачевского 295

4. Независимость аксиомы параллельных от I, II, III и V групп аксиом

Гильберта 296

Приложение 2. Система аксиом геометрии Евклида, разработанная Г. Вейлем 298

Памяти моего учителя и друга Софьи Александровны. Яновской

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящие «Очерки» посвящены диалектико-материалисти-ческому анализу общих философских вопросов математики и ведущих конкретных методологических проблем этой науки при-мерно до начала XX века. Они состоят из трех частей, органи чески между собой связанных. В первой исследуются вопросы: 1) математика и материальная действительность; 2) логика по строения и развития математики как систематизированного, на учного знания. Во второй части анализируются три главных кри зиса основ математики — их содержание, эволюция и философ ская проблематика, причем рассмотрение этих вопросов в отно шении последнего кризиса доводится до начала XX века. В третьей части рассматриваются аналогичные вопросы в отно шении аксиоматического метода, и притом снова хронологически в тех же рамках. Рассмотрение эволюции и философского со держания конкретных методологических проблем математики имеет целью, во-первых, подтвердить основные выводы, сделан ные при рассмотрении общих философских вопросов математи ки, и, во-вторых, создать базу для рассмотрения философской и логической проблематики оснований математики в XX веке, че му целесообразно посвятить самостоятельное исследование. До конца XIX века математические теории строятся как содержа тельные или как полуформализованные. Конец XIX — начало XX века открыли эпоху формализации математики: теории мно жеств, учения о числе, геометрии и других математических теорий.

При написании «Очерков» я старался всегда и везде не упу скать из виду живую, работающую математику с ее запросами к логике и философии.

По структуре и частично по содержанию настоящие «Очер ки» воспроизводят мои «Очерки по вопросам обоснования ма тематики», изданные Учпедгизом в 1958 г. Первая часть «Очер ков» рассчитана на широкий круг читателей. Вторая и третья части имеют в виду преимущественно читателей, обладающих соответственной математической подготовкой.

В заключение я хотел бы выразить глубокую благодарность всем тем, кто прочел рукопись «Очерков» целиком или частично и сделал ряд ценных замечаний. Я особо признателен академи ку П. С. Новикову и профессорам Б. А. Розенфельду, Д. А. Рай кову и П. К. Рашевскому. Разумеется, весь содержащийся в книге материал, а также точки зрения и оценки, с ним связанные, лежат целиком на ответственности автора.

Л1осква. Июнь 1968 г. В. Н. Молодший

ли бы гометрия Лобачевского была противоречивой, то противоречие имело бы место и в арифметике действительных чисел. Если арифметика действительных чисел непротиворечива, то непротиворечива и геометрия Лобачевского.

Можно, однако, и не ссылаться непосредственно на теорию действитель ных чисел В самом деле, выше мы описали совокупность объектов геометрии Евклида, которые вместе с тем подчиняются и всем плоскостным аксиомам гео метрии Лобачевского. Тем самым было доказано, что каждая плоскостная ак сиома геометрии Лобачевского и каждая вытекающая из них теорема выра жают свойства, присущие объектам планиметрии Евклида. Если бы планимет рия Лобачевского была противоречивой, то противоречие не замедлило бы про явиться и в планиметрии Евклида.

4. Независимость аксиомы о параллельных от I, II, III и V групп аксиом Гильберта

Если исходить из остальных аксиом геометрии Евклида, то нельзя ли при их помощи доказать справедливость аксиомы Евклида о параллельных?

Этот вопрос можно сформулировать так: можно ли при помощи I, II, III и V групп аксиом Гильберта доказать аксиому о параллельных?

Открытие геометрии Лобачевского показало, что в вышеустановленном смысле доказать аксиому Евклида о параллельных невозможно. Как теперь говорят, аксиома Евклида о параллельных независима от остальных аксиом геометрии Евклида.

Переходя к доказательству независимости аксиомы о параллельных, сде лаем сначала два замечания.

Представим себе, что мы исходим из некоторой полуформальной системы аксиом А. Каждая аксиома системы аксиом А выражает некоторое отноше ние, в котором выступают одноименные объекты любой ее интерпретации. Так, например, отношение точек и прямых, выражаемое аксиомой П3, имеет место как в обычной интерпретации планиметрии Евклида, так и в рассмот ренной нами другой ее интерпретации.

Пусть при помощи системы аксиом А нам удалось доказать какую-либо теорему В. Ясно, что теорема В выражает некоторое отношение, в котором выступают одноименные объекты любой из интерпретаций системы аксиом А. Так, в геометрии Евклида доказывается, что сумма углов любого треугольни ка равна двум прямым. Поэтому, какую бы мы ни исследовали интерпретацию геометрии Евклида, всегда ее объекты, которые могут быть названы треуголь никами, обладают выражаемым этой теоремой свойством: сумма их углов равна двум прямым.

Допустим, что, исследуя объекты какой-либо интерпретации системы ак сиом А, мы нашли, что некоторые из них выступают в каком-то ином, в яв ном виде в аксиомах не сформулированном, отношении. Ясно, что у нас по является законное стремление доказать, что эти объекты будут всегда высту пать в подмеченном нами отношении. Иногда это удается сделать довольно- просто. Но иногда мы не сможем дать доказательство не потому, что мы его еще не нашли, а потому, что его дать невозможно. В самом деле, представим себе, что в какой-либо другой интерпретации системы аксиом А одноименные 296

нашим объектам объекты выступают в диаметрально противоположном под-меченному нами отношении. Ясно, что тогда при помощи системы аксиом А мы никогда не докажем теорему, которая утверждает, что наши объекты должны выступать в подмеченном нами отношении.

Но точно такое же положение имеет место при попытке доказать аксиому Евклида о параллельных. В самом деле, система аксиом геометрии Лобачев ского отличается от системы аксиом геометрии Евклида только одной аксио мой, именно — аксиомой о параллельных. При этом аксиома Лобачевского о параллельных по смыслу противоположна аксиоме Евклида о параллельных. Если бы при помощи I, II, III и IV групп аксиом Гильберта нам удалось до казать аксиому Евклида о параллельных, то это значило бы, что, какую бы мы ни взяли интерпретацию этих аксиом, объекты любой из них (именно, пря мые) выступали бы в отношении, выражаемом аксиомой Евклида о параллель ных. Однако мы знаем, что объекты любой интерпретации геометрии Лобачев ского удовлетворяют всем аксиомам I, И, III и V групп аксиом Гильберта, но отношение, выражаемое аксиомой Евклида о параллельных, для них не справедливо. Отсюда мы заключаем, что при помощи аксиом I, II, III и V групп аксиом Гильберта нельзя доказать аксиому Евклида о параллельных.

Надо отметить, что независимость аксиомы Евклида о параллельных не исключение. Гильберт, например, показал, что при помощи аксиом I, II, III и IV групп нельзя доказать аксиому Архимеда.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

СИСТЕМА АКСИОМ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА, РАЗРАБОТАННАЯ Г. ВЕЙЛЕМ

Г. Вейль разработал и обнародовал в 1918 году новую полуформализо- ванную систему аксиом геометрии Евклида, существенно отличающуюся от системы аксиом Гильберта \ Особенности аксиоматики Г. Вейля обусловлены тем, что он имел в виду ее использование для наиболее естественного построе ния тензорного анализа и римановой геометрии как оперативного аппарата теории относительности.

Аксиоматика Г. Вейля — это аксиоматика n-мерного пространства Евкли да. При ее построении Г. Вейль использует данные теории действительных чисел, т. е. предполагает последнюю построенной ранее.

Сначала Г. Вейль изложил точечно-векторную аксиоматику n-мерного аф-финного пространства (1 —10 аксиомы). Добавив к этой аксиоматике аксиомы (Г—3'), описывающие метрические свойства n-мерного пространства Евклида, Г. Вейль получил полную систему аксиом n-мерной геометрии Евклида.

В системе Г. Вейля неопределимыми понятиями (в прямом смысле) явля ются понятия «точка» и «вектор». Они определяются косвенно, посредством перечисления их свойств в аксиомах. В приложениях (векторный и тензор ный анализ, теория относительности) понятия «точка» и «вектор» приобрета ют конкретный смысл, например вектор как скорость или вектор как сила.

Точечно-векторная аксиоматика п-м ерного аффинного пространства

Точечно-векторным n-мерным аффинным пространством называется мно-жество «точек» и «векторов», удовлетворяющих нижеследующим аксиомам 1 — 10.

Первая группа аксиом (1—4).

1. Существует по меньшей мере одна точка.

2. Каждой паре точек Л, В, заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор.

1 См.: Н. Weyl. Temps, espace, matiere. Lemons sur la theorle de la re- lativite generale, ed. 4. Paris, 1958. Первое издание работы Г. Вейля вышло в свет в 1918 году. Мы излагаем аксиоматику Г. Вейля, следуя П. К. Рашев скому. См.: П. К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ, изд. 2. М, «Наука», 1964.

Этот вектор обозначают символом АВ или одной (жирной) буквой а, х и т. п.

3. Для каждой точки А и каждого вектора х существу ет одна и только одна точка В, такая, что

АВ = х.

Знак = между векторами (как и между числами) рассматривается здесь как знак тождества.

4. (Аксиома параллелограм ма). Если AB = CD, то AC=BD.

здесь понимают только действительное

Если определить сумму векто ров как их геометрическую сумму, то можно доказать, что сложение векторов — операция коммутатив ная и ассоциативная.

Вторая группа аксиом (5—10).

Вторая группа аксиом имеет целью описание операции умноже ния вектора на число. Под числом число !.

5. Каждому вектору хи каждому числу «поставлен в соответствие определении ы й вектор.

Этот вектор называют произведением вектора х на число а и обо значают символом ах.

6. 1х=х,

7. (а+р)х=ах+рХ,

8. а(х+зО~ах+а^,

9. а(Зх)=(ар)Х.

Установленнные аксиомы и их следствия позволяют производить по обыч ным правилам выкладки с участием операций сложения и умножения на число.

Определение. Векторы Xi, х2, .,хл называются линейно зависимыми, если существуют п чисел аь а2, .» ап, из коих хотя бы одно отлично от ну ля, таких, что

а1 Х1 +а2хг+ +an^n:=0.

Если таких п чисел не существует, то векторы называются линейно не-зависимыми.

Пусть векторы Xj, х2, хп линейно зависимы и пусть ai#=0. Тогда

а2 ai

ап

— Хп

1 Можно привлечь и множество комплексных чисел. Тогда получаемое n-мерное аффинное пространство называется комплексным. Мы ограничива емся действительными числами, имея в виду описание аксиоматики геометрии Евклида.

Следовательно, при линейной зависимости по крайней мере один из век торов может быть выражен в виде линейной комбинации остальных, т. е., как еще говорят, разложен по ним.

10 (аксиома размерности). Существует п линейно независи мых векторов, но любые п+1 векторов линейно зави симы между собой.

Если п=3, то множество «точек» и «векторов», удовлетворяющих акси омам 1—10, является трехмерным аффинным пространством.

Чтобы из аксиоматики трехмерной аффинной геометрии получить аксиома тику обычной геометрии Евклида, надо к первой присоединить аксиомы, опи сывающие метрические свойства пространства Евклида. Для этого достаточ но определить в трехмерном аффинном пространстве скалярное произ ведение векторов.

Трехмерным евклидовым пространством называют трехмерное аффинное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, т. е. каж дой упорядоченной паре векторов х9у поставлено в соответствие число, обоз начаемое х,у или (х,у) и удовлетворяющее нижеследующим условиям:

1. Условие симметрии:

(х,у) = (у,х).

2. Условие билинейности:

(«1 Xj+а2Ха, y)=ai (Xbj)4-а2(Х2,у).

3. Условие положительной определенности:

Если 0, то

(х,х)>0.

Из аксиомы 3 следует условие невырожденности:

Если х=/=0, то существует такой вектор у, что

(х,у) =/= 0.

Скалярным квадратом вектора х называется скалярное произведение (х,х). Его обозначают х2, т. е. по определению х1=(х,х).

Векторы х и у называются ортогональными, если

(х,з>)=0.

Длиной вектора х называютрЛх ; ее обозначают символом [х[.

Расстоянием между точками А и В называют длину вектора АВ.

Из факта существования скалярного произведения векторов можно вы вести все метрические свойства трехмерного (n-мерного) пространства Евкли да. При п=2 получается евклидова планиметрия, п=1—геометрия евклидо вой прямой.

Математическим аппаратом специальной теории относительности является одна из четырехмерных псевдоевклидовых геометрий. Для общей теории отно-сительности нужен гораздо более общий аппарат псевдоримановой геометрии.