ПРЕДИСЛОВИЕ

В истории мировой науки встречаются имена ученых, которые счастливо сочетали в себе качества глубоких исследователей и замечательных мастеров слова, вовлекавших своими книгами молодежь в избранную ими область знания. В нашей стране геология, минералогия, востоковедение имели своими пропагандистами академиков В. А. Обручева, А. Е. Ферсмана, И. Ю. Крачковского. Таким же пропагандистом геометрии был Вениамин Федорович Каган.

Выпуская в свет его избранные «Очерки по геометрии», ученики и друзья Вениамина Федоровича надеются, что эта книга привлечет молодого читателя и, может быть, направит его интересы в область математики, в область геометрии.

ВЕНИАМИН ФЕДОРОВИЧ КАГАН (1869—1953)

Деятельность Вениамина Федоровича Кагана, одного из основателей советской геометрической школы, педагога и общественного деятеля, прожившего большую жизнь в эпоху, насыщенную великими историческими событиями, хорошо знакома старшему поколению советских математиков и в особенности его ученикам и товарищам по Московскому университету. Следующие ниже строки оживят, быть может, в памяти знавших Вениамина Федоровича его обаятельные черты и помогут молодому поколению, для которого предназначено настоящее издание его избранных геометрических работ, оценить их содержание и цели.

Вениамин Федорович Каган родился 10 марта 1869 г. в маленьком городке Шавли бывшей Ковенской губернии (теперешний Шауляй, в Литовской ССР). Его отец был мелкий служащий, которому с трудом удавалось кормить семью. С особенной нежностью вспоминал Вениамин Федорович свою мать; ее влияние на сына было благотворно — ей он был обязан тем, что, несмотря на материальные затруднения семьи, он с десятилетнего возраста начал посещать гимназию в Ека- теринославе (теперешнем Днепропетровске); она же внушила ему любовь к литературе, воспитывая его вкус на своей привязанности к русским и немецким классикам. Эту любовь Вениамин Федорович пронес через всю жизнь — те, кому посчастливилось еще на школьной скамье быть учениками Вениамина Федоровича, хорошо помнят его привычку, поначалу казавшуюся странной, а потом сделавшуюся необыкно-

венно привлекательной — цитировать, поясняя свои мысли, Пушкина, Шиллера, Гёте.

Окончив в 1887 г. гимназию, Вениамин Федорович был принят в число студентов физико-математического факультета Новороссийского университета (в Одессе); однако уже в 1889 г. он был исключен из университета. Поводом к исключению послужило его участие в «студенческих беспорядках»— в попытке студентов почтить память Н. Г. Чернышевского, умершего в этом году. Эта попытка была подавлена царским правительством. Распоряжением министра народного просвещения Вениамин Федорович был лишен права поступления в другое учебное заведение, а по распоряжению министерства внутренних дел был выслан в Екатеринослав «под надзор полиции».

Сохранилось письмо (от 19 января 1890 г.), полученное Вениамином Федоровичем от неизвестного нам «доброжелателя» ¹:

«.Во время пребывания моего в Петербурге я был у министра и говорил о Ваших способностях и Ваших занятиях. Он сообщил мне, что хотя еврею трудно устроиться в другой университет, но, тем не менее, предложил мне написать особую записку. Возможно, что Вас примут обратно, но при условии — дать обещание посвятить себя исключительно научным занятиям и не нарушать правил университета.

Обдумайте всё, но хорошо; тут колебаний быть не может; нужна твердая решимость. Если решитесь, то приготовьте прошение на имя министра, в котором скажите, что Вы просите о принятии Вас в университет и обещаете подчиняться всем университетским правилам. Конечно, если Вы дадите обещание, то, понятно, обещание должно быть выполнено. Это необходимо и для меня, и для Вас, и для Ваших товарищей-евреев.»

Вениамин Федорович не принял совета, «необходимого» ему и его товарищам,— свою последующую жизнь он не посвятил «исключительно научным занятиям» и в любой жизненной ситуации оставался верен своему общественному долгу.

¹ Его подписи не удалось разобрать; вероятно, это был один из университетских преподавателей В. Ф. Кагана.

Годы ссылки в Екатеринослав были для Вениамина Федоровича годами материальных лишений, но и в этих трудных условиях он не оставил своего призвания — лишенный математического руководства и окружения, он самостоятельно изучает предметы университетского курса и в 1892 г. успешно сдает экстерном государственный экзамен при Киевском университете.

В эти же годы складываются и научные интересы Вениамина Федоровича. Они зародились рано: еще будучи гимназистом, он начал сотрудничать в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики» (сначала называвшемся «Журналом элементарной математики»)—этим было положено начало глубокой связи Вениамина Федоровича с журналом, в котором он опубликовал многочисленные статьи и редактором которого впоследствии сделался. В 1887 г. на страницах «Вестника» была напечатана первая научная работа Вениамина Федоровича «Об обратных фигурах». Но только в студенческие годы он вошел в круг тех научных интересов, которым были отданы его юношеская страсть и зрелые годы. Это были вопросы, связанные с геометрией Лобачевского и с проблемами обоснования геометрии.

Уже на втором курсе университета Вениамин Федорович заинтересовывается мало тогда известной и даже еще недостаточно признанной геометрией Лобачевского. Начиная путь исследований, Вениамин Федорович уже тогда черпал сведения не из сводной литературы вопроса, в то время еще незначительной, а из первоисточника — из подлинных сочинений великого русского геометра.

Закончив университетское образование, Вениамин Федорович отдался своим научным интересам — они приобрели к этому времени полную определенность. Изучив наследие Лобачевского, он поставил себе задачу усовершенствовать первоначальное изложение вопроса и расширить его в некоторых направлениях. Полученные результаты Вениамин Федорович начал с 1893 г. печатать в «Вестнике», а также опубликовал в 1895 г. в «Известиях Казанского физико-математического общества» и в «Nouvelles Annales des Mathema- tiques» свои исследования по геометрии на поверхности постоянной отрицательной кривизны — поверхности, несущей на себе геометрию Лобачевского.

В 1895 г. Вениамин Федорович приезжает в Петербург — тогдашний центр математической жизни России — и присту

пает к сдаче магистерских экзаменов. Вступив в общение с петербургскими математиками (А. А. Марковым, А. И. Коркиным и др.) и направляемый ими во всем, что касалось его общей математической подготовки, он не встретил, однако, с их стороны поддержки своим научным интересам. Недооценка основополагающих и революционных взглядов Лобачевского, идущая со времени Остроградского, еще не была преодолена.

Мощная петербургская математическая школа оказала большое влияние на Вениамина Федоровича: он приобрел глубокие познания в области анализа и на всю жизнь сохранил любовь к алгорифмической математике. Однако в области своих геометрических изысканий и в особенности в возникавшей у него уже тогда потребности глубоко проникнуть в логические основы геометрии он оставался в тот период одиноким; друзей и единомышленников в этом направлении ему удалось встретить только позднее, в Одессе.

Успехи молодого научного работника побудили акад. А. А. Маркова и проф. К. А. Поссе привлечь Вениамина Федоровича, сейчас же после сдачи магистерских экзаменов, к работе в Петербургском университете в качестве приват- доцента. Однако личное ходатайство этих виднейших математиков министр просвещения отклонил по причине еврейского происхождения В. Ф. Кагана; только в 1897 г. министерство разрешило предоставить ему доцентуру в Новороссийском университете.

Научная среда, которую нашел Вениамин Федорович в Одессе, оказалась весьма благоприятной для его научных устремлений. Вопросы обоснования математических наук, тогда только начинавшие занимать русских математиков, были предметом специальных интересов группы одесских математиков, во главе которых стоял проф. И. В. Слешинский. Позже (в 1903 г.) к этой группе ученых примкнул С. О. Шатуновский, яркое критическое дарование которого нашло широкое применение в сфере логического анализа основ математики и, в частности, геометрии,— к этому времени эти вопросы уже стали центральными и в научной деятельности В. Ф. Кагана. В этот период закладываются основы глубокой дружбы двух ученых, разных по возрасту и темпераменту, но связанных единством научного мировоззрения,— дружбы, которая благотворно повлияла на формирование каждого из них и прошла через всю их жизнь.

В этой удачно сложившейся научной обстановке Вениамин Федорович заканчивает начатый им еще в юности цикл работ по разработке геометрического наследия Лобачевского- и выпускает в 1900 г. свою первую книгу «Очерк геометрической системы Лобачевского». Ее общее направление, ее план и многочисленные детали создали ту традицию любовного, глубокого и тщательного изложения наследия Лобачевского, которая сделалась с этих пор характерной для русской математической литературы и нашла особенно полное отражение в советской математической литературе наших дней.

После выхода «Очерков» Вениамин Федорович обращается к разрешению трудной задачи логического обоснования геометрии. В прежних своих работах он руководился непосредственным чувством геометра, захваченного новизной и своеобразием самого содержания неевклидовой геометрии, и выработал в себе «интуицию», которая позволяет ему исследовать геометрические факты в пространстве Лобачевского с таким же логическим бесстрашием, которое свойственно геометру, работающему в области евклидовой геометрии. Теперь его вдохновляет задача построить логически безупречную геометрическую систему и притом так, «чтобы выполнить весь этот труд до конца, чтобы действительно доказать каждое высказанное утверждение» ¹.

Оценивая работы, выполненные в этом направлении предшественниками В. Ф. Кагана, мы действительно видим, что- каждая из них представляет скорее только план исследования. Даже завершающая работа этого периода, книга Гильберта «Основания геометрии» (первое издание которой вышло в 1899 г.), не безупречна в этом отношении; в последующих изданиях своей книги Гильберт неоднократно совершенствовал план, но всё же не завершил его выполнения.

Опубликованная В. Ф. Каганом в 1902 г. «Система посылок, определяющая евклидову геометрию» существенно отличается от ранее предлагавшихся систем. В основу построения кладется «неопределимое» понятие «точки», с его помощью определяются другие геометрические образы, рассматриваемые как совокупности точек, вводится понятие «расстояние» между двумя точками как число, остающееся инвариантным при движении в пространстве. Это метрическое построение дает возможность получить полный перечень определений и

¹ Из предисловия В. Ф. Кагана к первому тому «Оснований геометрии» (1905 г.), см. стр. 523 этой книги.

постулатов, достаточных для строго логического, не использующего геометрическую интуицию, построения евклидовой геометрии.

Детальному проведению намеченного в предварительных статьях плана посвящен первый том (вышедший в 1905 г.) обширной двухтомной диссертации В. Ф. Кагана «Основания геометрии»¹. Около 800 страниц текста понадобилось написать, чтобы «действительно доказать каждое высказанное утверждение», чтобы «дать не план работы, а самую работу». Это было сделано впервые в мировой литературе. Вениамин Федорович не ограничился только тщательным анализом выбранной им системы аксиом (логическую независимость каждой аксиомы от других и их взаимную совместность автор доказывает путем использования «аналитических пространств»), но и рассмотрел разнообразные проблемы, возникающие при строго логическом построении евклидовой геометрии, например теорию измерения углов, вопрос о разложении многоугольника (многогранника) на составляющие треугольники (тетраэдры) и многое другое.

В 1907 г. вышел второй том «Оснований», посвященный «историческому очерку развития учения об основаниях геометрии». Глубина и вместе с тем ясность изложения разнообразных геометрических проблем, яркое описание истории открытия неевклидовой геометрии, подробное изложение трудов по основаниям геометрии, принадлежавших предшественникам Вениамина Федоровича, создали этой книге в нашей стране успех. Она скоро сделалась источником, из которого черпали знания и те, кто приступал к изучению геометрии Лобачевского, и в особенности те, кто взял на себя пропаганду идей Лобачевского. Она послужила также первым учебным пособием по таким вопросам, как риманова геометрия многомерных пространств и теория непрерывных групп.

Судьба первого тома «Оснований» не столь счастлива. В течение первых трех десятилетий нашего века интересы большинства математиков, работавших в области оснований геометрии, сосредоточивались на развитии аксиоматики, предложенной Гильбертом. Но в тридцатых годах вновь возникает, в связи с развитием общей теории метрических пространств, тенденция к построению евклидовой геометрии на

¹ Последняя, резюмирующая глава этого тома помещена в настоящей книге.

базе понятия «расстояние». И только с этого времени система аксиом В. Ф. Кагана, одна из первых, построенных в таком направлении, стала предметом внимания геометров.

Из работ Вениамина Федоровича, тесно примыкающих к его исследованиям по основаниям геометрии, особенно выделяется остроумное и более простое, чем у Дена, решение проблемы, предложенной Гильбертом. Этому посвящена статья «О преобразовании многогранников» *; Вениамин Федорович дает в ней доказательство существования равновеликих, но не равносоставленных многогранников и условия разложимости двух равновеликих многогранников на соответственно равновеликие части.

Оба тома своих «Оснований» автор предложил физико- математическому факультету Новороссийского университета в качестве магистерской диссертации. Произнесенная на защите диссертации речь была напечатана на страницах «Вестника опытной физики и элементарной математики» и в 1908 г. вышла отдельным изданием ^{1 2}.

Это было первое в нашей стране популярное изложение вопросов обоснования геометрии. Оно оказало исключительное влияние на приобщение русских математиков к новой тогда области геометрии. Многие советские геометры старшего поколения говорят, что эта вдохновенная речь взволновала их математическое воображение и привлекла их к работе в области геометрии.

Защита в 1907 г. знаменует завершение важного периода деятельности Вениамина Федоровича. В эту пору проявляются основные черты его научного мировоззрения. И даже в тех его последующих работах, которые лежат в других областях исследования, явственно проступают сохранившийся на всю жизнь интерес к геометрии пространств постоянной кривизны и тенденция к строгому логическому обоснованию геометрии.

После защиты диссертации именно эта тенденция играла доминирующую роль в научной деятельности Вениамина Федоровича. Уже с 1905 г. его внимание было направлено на тог переворот в наших взглядах на пространство и время, который шел от физиков и был геометрически формулирован математиками. Кажущаяся парадоксальность идей специаль

¹ Эта статья вошла в состав настоящей книги.

² «Задача обоснования геометрии в современной постановке». Этой речью начинается настоящая книга.

ной теории относительности толкала Вениамина Федоровича на необходимость продумать логические основы новой концепции. Дополнительный интерес этой проблемы обоснования, близкий по своему общему направлению к его работам по основаниям геометрии, заключался также и в том, что лорен- цова группа близка к группе движений в пространстве Лобачевского. Общий план работы и основные результаты были намечены уже довольно скоро, но интенсивная педагогическая деятельность Вениамина Федоровича с 1907 по 1913 г. и разразившаяся в 1914 г. война помешали ему завершить начатую работу. Только после Октябрьской революции Вениамин Федорович снова вернулся к этим вопросам и завершил свои изыскания книгой «Геометрические основания исчисления времени», которая была напечатана в 1920 г. в Одессе. Книга эта, однако, не вышла в свет, потому что весь ее тираж был по недосмотру работников типографии уничтожен в 1922 г., когда Вениамин Федорович был уже в Москве. Он не возвратился, однако, к теме своей утраченной работы ¹ — в это время его уже занимали геометрические проблемы, связанные с построением общего принципа относительности.

Вопросами, в которых развитие аппарата тензорного исчисления шло параллельно с далеко идущими исследованиями в области римановой геометрии многомерных пространств, Вениамин Федорович начал заниматься уже с того времени, когда первые сведения о совершённом Эйнштейном перевороте в теории тяготения дошли до России. Это были героические первые годы революции. Трудные условия, в которых тогда жила страна, не помешали Вениамину Федоровичу включиться в мощный поток нового направления в римановой геометрии.

Его оригинальные исследования в этой области представляют в некотором смысле продолжение работ по геометрии Лобачевского. Вениамин Федорович ставит задачу нахождения метрики «субпроективных пространств» — так он назвал пространства, которые могут быть отображены на плоское проективное пространство так, что геодезические линии переходят в кривые, расположенные в двумерных плоскостях, принадлежащих некоторой связке. Эти пространства, получив

¹ Только одна ее алгебраическая деталь была им опубликована в. 1926—1927 гг. в работе «О некоторых системах чисел, к которым приводят лоренцовы преобразования». Эта работа была продолжена его учениками.

шие впоследствии в литературе название «пространств Кагана», являются прямым обобщением пространств постоянной кривизны.

Глубокие основания для выделения субпроективных пространств из общего числа римановых пространств выяснились дополнительно впоследствии; было показано, что после пространств постоянной кривизны субпроективные пространства являются наиболее простыми (в смысле возможности скользить в самих себе).

Работы Вениамина Федоровича по субпроективным пространствам были продолжены его учениками; дальнейшие исследования по теории этих пространств принадлежат не только советским, но и многим видным зарубежным геометрам (Схоутен, Стройк, Врэнчану и др.)¹.

В 1937 г. Вениамин Федорович открыл новую область исследований по расширению понятия двойственности. В своей работе «О метрической двойственности» он также вдохновляется геометрическими фактами геометрии постоянной кривизны, а именно хорошо известным явлением двойственности, имеющим место на эллиптической плоскости и, с некоторым искажением, на плоскости Лобачевского. Плодотворность этих обобщений была вскоре подтверждена в работе П. К. Рашевского «О полиметрической геометрии», представляющей собой развитие геометрических идей, поднятых в работе Вениамина Федоровича².

Научная деятельность Вениамина Федоровича всегда была тесно связана с его педагогической работой. Особую любовь и неустанное внимание он отдавал своему университетскому преподаванию. Оно носило глубоко своеобразный характер, хорошо знакомый советской математической общественности, насчитывающей в своей среде многих его учеников, многочисленных его слушателей и громадное число читателей его книг. Уже с 1897 г., с самого начала преподаватель

¹ Полная картина этих исследований дана в статье Г. И. Кручковича, помещенной в книге В. Ф. Кагана «Субпроективные пространства», изданной уже после смерти Вениамина Федоровича и содержащей его работы по субпроективным пространствам и метрической двойственности.

² Последующее развитие этого направления освещено в статье П. К. Рашевского, помещенной в той же книге «.Субпроективные пространства».

ской деятельности Вениамина Федоровича, установились основные черты его лекций: негромкая, внутренне взволнованная речь; она перемежается паузами, в течение которых лектор, кажется, не столько обдумывает следующую фразу, сколько мысленно возвращается к общему плану своего изложения, снова и снова проверяя его значимость для аудитории, стремление сделать выпуклым самый замысел теории (слово «замысел» — любимое слово Вениамина Федоровича, которым он часто пользовался и в устной речи, и в своих печатных работах), и наряду с этим любовное изложение тщательно подготовленной сложной выкладки, приводящей к архитектурно стройной формуле — глубокому следствию исходных посылок.

Эти же черты страстного и вдумчивого педагога проявились у Вениамина Федоровича в средней школе в дореволюционный период. В течение полутора десятков лет, с 1903 по 1917 г., одновременно с научной и университетской деятельностью он вел изо дня в день напряженную и требовавшую затрат душевных усилий работу инспектора «частной гимназии»; в ней учились еврейские дети, которые не могли получить образование в государственной («казенной») гимназии вследствие существовавшей тогда «процентной нормы». К преподаванию в этой школе Вениамин Федорович привлек многих своих коллег по университету и вместе с ними создал высокий стиль обучения и воспитания, который способствовал широкому развитию и духовных, и умственных запросов школьников.

Но полный размах педагогическая деятельность Вениамина Федоровича получила только после Октябрьской революции, в первые годы становления Советского государства. Содержание многих университетских курсов, прочитанных им, являлось часто пропагандой новых научных взглядов, еще не нашедших себе должного места в установившейся системе преподавания. Таким был его курс «Теория относительности» — первый в истории русских университетов, который он прочел еще в 1921 —1922 гг. в Одессе. Среди его слушателей были хорошо знакомые советской науке ученые — будущие академики Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси, И. Е. Тамм, А. Н. Фрумкин. Естественным продолжением этого курса был прочитанный уже в Москве в 1922—1923 гг. курс тензорного исчисления и римановой геометрии; из слушателей этого курса вышли последователи Вениамина Федоровича.