Развитие логарифмов 156

Глава IV. ПЕРИОД СОЗДАНИЯ МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН 167

Общий ход развития математики в XVII в. 167

Краткий очерк развития математического анализа в Западной Европе в XVIII в 223

Краткий очерк развития геометрии в Западной Европе в XVIII и начале XIX в 241

Краткий очерк развития математики в Западной Европе в XIX в 253

Глава V. РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ 265

Математика в Древней Руси 265

Развитие математики в России в XVIII в. 275

Развитие математики в России в XIX в. 292

Глава VI. КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ В СОВЕТСКОМ СОЮЗЕ. 337

Математика в Советском Союзе 337

Заключение. Несколько слов о современной математике 356

Приложение. Советские математики — лауреаты Ленинской и Государственной премий 359

Библиография 361

Именной указатель 365

ОТ АВТОРА

Главная цель второго издания «Очерков по истории математики», как и первого (1974 г.),— помочь учителям советских общеобразовательных школ и преподавателям математики педагогических институтов подобрать необходимый исторический материал при преподавании математики. В настоящем издании исправлены допущенные автором недочеты, добавлены некоторые новые разделы, а также внесен ряд дополнений, расширяющих общий обзор исторического материала. В частности, включены новые разделы «Математика в Древнем Китае» и «Несколько слов о современной математике». Внесены дополнительные сведения о развитии понятия о пространственных формах; дополнен раздел об Архимеде; значительно расширен раздел об индийской математике; в раздел о развитии математики у народов Средней Азии и Ближнего Востока внесены заметки о работах аль-Бируни, аль-Фараби и расширены сведения о работах аль-Каши; в разделе «Период создания математики переменных величин» добавлены сведения о П. Ферма; внесены заметки о работах Ж- Роберваля, X. Гюйгенса; добавлены сведения о борьбе математиков с философией церковников, в частности с Дж. Беркли; даны очерки о работах Л. Карно и о значении работ классиков марксизма-ленинизма в обосновании понятия о дифференциале, а также о трудах К. Вейерштрасса; в кратком очерке «Развитие геометрии в Западной Европе в XVIII и начале XIX в.» добавлен материал о творчестве Ф. и Я. Больяи и Ф. Римана; приведены дополнительные сведения о современных советских математиках.

Перед выходом из печати первого издания «Очерков по истории математики» в 1974 г. профессор Казанского университета им. В. И. Ленина доктор физико-математических наук Б. Л. Лаптев тщательно просмотрел рукопись и сделал ряд ценных указаний, использованных мной при окончательном оформлении книги. Выражаю ему глубокую благодарность за проделанный им большой труд, оказавший мне огромную помощь при работе над книгой.

Первое издание этой книги получило много отзывов, из которых три были опубликованы в печати. В журнале «Математика в школе» № 3 за 1976 год была помещена рецензия профессора Б. А. Розенфельда, в которой дано подробное обозрение моей работы, высказано пожелание о выпуске второго издания и внесен ряд предложений для нового издания книги. На рукопись, подготовленную для второго издания, Б. А. Розенфельд также дал подробную рецензию, содержащую много полезных указаний и предложений. Я был рад, что книга подверглась столь внимательному рассмотрению крупным представителем историко-математической науки, и со своей стороны постарался по мере возможности выправить замеченные профессором Б. А. Розенфельдом недочеты. Я выражаю свою глубокую благодарность.

Свою благодарность я приношу также доценту Тбилисского педагогического института Р. К. Таварткиладзе за рецензию на мою книгу в «Учительской газете» (номер 33 от 16 марта 1975 г.) и доценту Йошкар-Олинского педагогического института В. К. Смышляеву за рецензию в газете «Советская Татария» (номер 111 от 14 мая 1975 г.), отзывы которых, конечно, тоже способствовали осуществлению второго издания книги.

Автор

ПРЕДИСЛОВИЕ

В книге освещены основные этапы развития математики с древнейших времен до наших дней.

Она рассчитана на широкий круг читателей, в основном на преподавателей математики и учащихся старших классов средних школ, а также на преподавателей математики и студентов педагогических институтов.

Первое издание «Очерков по истории математики» вышло под научной редакцией В. Д. Чистякова, ныне покойного. Все примечания, сделанные им, имеют пометку: «Примеч. В. Д. Чистякова».

В истории развития математики академик АН СССР А. Н. Колмогоров выделяет четыре основных периода: 1) зарождения математики, 2) элементарной математики, 3) создания математики переменных величин и 4) современной математики.

Учитывая основное назначение книги, мы включили в нее главным образом вопросы, относящиеся к первым трем из указанных периодов.

Намечая эти периоды, мы отнюдь не хотим ввести в исто-» рию математики какие-то грани, строго отделяющие один период от другого, но общее развитие культуры, обусловленное экономическим и социальным развитием человечества, вносило в каждую историческую эпоху свои особые черты, которые были присущи и любой отдельной отрасли этой культуры.

Первый период — период зарождения математики — мы, со своей стороны, делим на две эпохи: 1) предысторию математики и 2) эпоху накопления первых математических знаний.

Предыстория математики — это те времена, когда человечество создавало первые основные математические понятия», но от которых не осталось никаких вещественных следов: ни записей, ни архитектурных и скульптурных памятников и пр. В этот период, самый большой в истории развития математики, человечество постепенно выработало понятие о натуральном числе, приемы счета и познакомилось с простейшими геометрическими образами

К эпохе накопления первых математических знаний мы относим те времена, когда у человечества уже сформировались определенные общественные группировки, которые можно рассматривать как древнейшие государства. В этот период уже появляются записи чисел, арифметические операции над ними, устанавливаются некоторые практические сведения из геометрии и решаются простейшие задачи алгебраического характера. Однако математические записи не сопровождаются обобщениями и не имеют строгого теоретического обоснования.

Следующий исторический этап развития математики — период элементарной математики (с VI в. до н. э. до XVII в. н. э.) — можно было бы назвать также периодом развития учения о постоянных величинах. Его характерной особенностью является то, что добытые человечеством практические сведения из области математики получают теоретическое обоснование. В этот период постепенно оформляются основные разделы элементарной математики: арифметика, геометрия, алгебра и тригонометрия.

Наконец, последним будет рассматриваться период создания математики переменных величин. В это время (XVII— XIX вв.) в математику входит переменная величина на базе учения о бесконечно малых величинах.

Зарождение учения о бесконечно малых величинах и создание новых разделов математики — аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений, а также теории вероятностей — вот основные вопросы, которые получат освещение при рассмотрении этого периода развития математики.

Развитие математики в России и Советском Союзе выделяем в особый раздел. Мы считаем, что для преподавателей математики такое расположение будет удобнее, так как при работе с учащимися средней школы им чаще всего приходится иллюстрировать уроки примерами тех достижений в области математики, которыми так богата наша страна.

Вопроса о развитии современной математики мы коснемся в заключении книги, отметив лишь некоторые его особенности.

них чисел теорема справедлива. При этом «достаточно большое число», согласно более поздним исследованиям математика Бороздкина, оказалось равным приблизительно числу, которое выражается так:

c = Z^1,96,

где е = 2,71828. Если бы это число можно было записать в развернутом виде, то его запись обернулась бы вокруг земного экватора 100 миллионов раз.

Методы, введенные Виноградовым, прочно вошли в науку и используются многими советскими и зарубежными учеными в их теоретических исследованиях. За свои заслуги перед наукой И. М. Виноградов награжден двумя орденами Ленина и медалями.

Николай Григорьевич Чеботарев

Николай Григорьевич Чеботарев (1894—1947), обучаясь еще в младших классах Каменец-Подольской гимназии, проявил большой интерес к математике. Поступив на математическое отделение физико-математического факультета Киевского университета, он стал одним из наиболее талантливых учеников выдающегося алгебраиста Д. А. Граве. Чеботарев заканчивал курс университета уже в Саратове, куда был эвакуирован Киевский университет во время первой мировой войны. По окончании учебы Чеботарев был оставлен при университете. В 1921 г. он начал свою научно-педагогическую работу в Одессе, где и создал много глубоких по содержанию научных работ в области алгебры. В особенности высокую оценку в научном мире получила его работа во вопросу о бесконечности множества простых чисел, принадлежащих к заданному классу подстановок группы Галуа. В дальнейшем эта работа послужила основой докторской диссертации Чеботарева, защищенной им в 1926 г. при Киевской Академии наук. В 1927 г. он был приглашен профессором в Казанский государственный университет, где и работал до конца жизни.

Казанский период жизни Чеботарева был временем наиболее высокого подъема его творческих сил. Им были проведены глубокие исследования по теории Галуа и создана так называемая теория резольвент для решения уравнений высших степеней. Резольвентой уравнения

х^п+а1Х^п-'+а₂х^п-²+. + а_п-1Х-1-а_п = 0 (1)

называется другое уравнение той же степени

у^п+А₁у^п-¹+А₂у^п~²+.+А_п = 0, (2)

где x=Co + c_ty + + c_n-2yⁿ~² +c_n-iyⁿ~ⁱ.

Проблема, поставленная и разрешенная Н. Г. Чеботаревым, заключалась в том, чтобы кэффициенты уравнения (2) зависели от наименьшего числа параметров. Он первый ука- 346

зал подход к решению вопроса и разработал методы для дальнейшего развития теории резольвент.

Методы современной алгебры своим развитием во многом обязаны трудам Чеботарева по вопросам теории групп Ли, диофантовых приближений и теории целых аналитических функций. Следует также отметить его труды по исследованию расположения корней уравнения.

Работая в области научных изысканий с большим энтузиазмом, Чеботарев заражал им своих учеников, которые с большим успехом продолжали разработку его идей. Это способствовало тому, что около Чеботарева сплотился широкий круг молодых ученых, заинтересованных решением алгебраических проблем, и таким образом зародилась возглавляемая им алгебраическая школа, центром которой являлась кафедра алгебры Казанского университета, руководимая Чеботаревым.

Научную работу Чеботарев всегда сочетал с работой в области методики преподавания математических дисциплин. Хотя он и не имел печатных трудов, отражающих его взгляды на методику изложения математических дисциплин, но много работал по созданию учебников элементарной математики. Так, с 1939 по 1941 г. он возглавлял группу преподавателей по созданию учебника арифметики для школ взрослых. С особым интересом он работал с середины тридцатых годов до последних дней своей жизни над созданием руководства по элементарной геометрии. К сожалению, он не успел его завершить. Уже после смерти Чеботарева этот не вполне законченный труд был рассмотрен крупными специалистами и получил высокую оценку как прекрасный материал для создания школьного учебника.

Безвременная смерть Чеботарева прервала его исследования, имеющие большие научные и практические приложения.

Большие заслуги Чеботарева для развития математики и математического просвещения были высоко оценены партией и правительством Советского Союза еще при его жизни: он был награжден орденом Ленина и двумя другими орденами и медалью; кроме того, в 1929 г. он был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1943 г. ему было присвоено звание заслуженного деятеля науки РСФСР. За работы по проблеме резольвент Н. Г. Чеботарев был удостоен в 1947 г. (посмертно) Государственной премии первой степени.

Скажем еще несколько слов о некоторых современных советских математиках.

Павел Сергеевич Александров

Павел Сергеевич Александров (род. 1896) —советский математик, с 1929 г. член-корреспондент Академии наук СССР, а с 1953 г. — академик, Герой Социалистического Труда (1969 г.), лауреат Государственной премии — родился в г. Богородске (ныне г. Ногинск Московской области). Закончил курс гимназии с золотой медалью. Окончив курс Московского университета в 1917 г., с 1921 г. П. С. Александров работал

в нем сначала доцентом, а затем профессором. С 1932 г. он президент Московского математического общества. Является основателем Московской топологической школы. В начале своей научной деятельности получил много значительных результатов в области теории множеств, теории функций действительного переменного. Занявшись вопросами топологии, создал один из основных ее разделов — теорию бикомпактных пространств. Ныне П. С. Александров — глава советской топологической школы и широко известен не только в Советском Союзе, но и за рубежом. Он состоит иностранным членом-корреспондентом Берлинской академии наук, иностранным членом Американского философского общества в Филадельфии, членом Национальной академии наук в Вашингтоне (с 1947 г.), членом Геттингенской академии наук и других иностранных обществ.

Мстислав Всеволодович Келдыш

Мстислав Всеволодович Келдыш (1911 —1978)—видный советский ученый в области механики и математики — родился в г. Риге. В 1931 г. он окончил курс Московского университета, с 1943 г.— член-корреспондент АН СССР, а с 1946 г.— академик. За теорию, расчет и разработку мер устранения вибраций на самолете и за исследования теории и методов расчета автоколебаний самолетных конструкций был дважды награжден Государственными премиями (в 1942 и в 1946 гг.). Основные его научные работы относятся к вопросам теории колебаний, аэродинамики, теории волн на поверхности тяжелой жидкости, удара о воду, приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, теории потенциала, конформных отображений и теории приближения функций комплексного переменного рядами полиномов. За огромные заслуги М. В. Келдыш был выдвинут на высокий пост президента Академии наук СССР (1961 г.) и занимал его до конца жизни.

Андрей Николаевич Колмогоров

Андрей Николаевич Колмогоров (род. 1903)—крупный советский математик — родился в г. Тамбове. В 1925 г. он закончил курс Московского университета, с 1929 г. работает в том же университете, с 1931 г. стал там профессором, а с 1939 г. он — академик АН СССР. Огромное количество его на-

учных работ относится к различным областям математических знаний. В начале своей научной деятельности он много работал в области теории функций действительного переменного, где им получены значительные результаты по сходимости тригонометрических рядов, теории меры, обобщенного понятия интеграла и теории операций над множествами. Им много сделано и в области разработки математической логики. Очень большое значение имеют его работы по теории вероятностей, где, применяя теорию функций действительного переменного, 350

он решил ряд трудных проблем и построил систему аксиоматических обоснований теории вероятностей. В дальнейшем А. Н. Колмогоров развил теорию так называемых стационарных случайных процессов, которая была использована в работах по автоматическому регулированию. Его теоретические исследования помогли также развитию вопросов по теории стрельбы и статистических методов контроля массовой продукции. Обладая глубокими познаниями в области современной математики, Андрей Николаевич в то же время много

внимания уделяет школьному преподаванию математики и активно участвует в создании учебников по этой дисциплине. Советский народ высоко ценит заслуги Андрея Николаевича, и он удостоен звания Героя Социалистического Труда (1969 г.) и является лауреатом Государственной премии (1941 г.). Научные труды А. Н. Колмогорова получили широкую известность не только в СССР: он является лауреатом премии Больцано (1963 г.), членом Польской академии наук, доктором Парижского университета, членом Национальной академии наук США.

Лев Семенович Понтрягин

Лев Семенович Понтрягин (род. 1908) родился в Москве. Еще учась в VI классе средней школы, он при взрыве примуса лишился зрения на оба глаза, но тем не менее продолжал учебу, в этом ему помогала мать. В школе его любимой дисциплиной была математика, и в выпускном классе он уже перешел к изучению основ высшей математики. В 1925 г. он поступил на физико-математический факультет Московского университета, где уже в 1927 г. профессор П. С. Александров привлек его к научной работе в топологическом семинаре. Окончив в возрасте 21 года курс¹ университета, Понтрягин поступил в аспирантуру Московского университета, а по завершении ее в 1929 г. был допущен к чтению лекций в Московском университете, а в 1939 г. за выдающиеся заслуги был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР. В настоящее время Л. С. Понтрягин является ее действительным членом (с 1958 г.).

В топологии и теории непрерывных групп им достигнуты большие успехи, и он считается самым крупным (в международном масштабе) специалистом по топологической алгебре, то есть по совокупности вопросов, граничных между алгеброй и топологией.

За заслуги перед наукой Лев Семенович награжден тремя орденами Ленина, двумя другими орденами и медалями, а в 1941 г. ему присуждена Государственная премия.

Сергей Львович Соболев

Сергей Львович Соболев (род. 1908) — крупный советский математик и механик, член Академии наук СССР с 1939 г.,

лауреат Государственной премии (1941 г.)—родился в Петербурге. Он еще учился в средней школе, когда обнаружились его замечательные способности к математическим наукам. Однако по окончании школы ему не удалось сразу поступить в университет, так как он не достиг еще возраста, достаточного для приема туда (ему было тогда 15 лет). Поэтому Соболев пошел в музыкальную студию. Лишь в 1924 г. он поступил в Ленинградский университет и сразу

начал упорно работать в области математических наук и изучать их не только в рамках университетских программ, но и самостоятельно, по специальной научной литературе. После окончания университета в 1929 г. Соболев упорно работал в области математической физики и сделал ряд самостоятельных открытий, которые имеют большое применение в сейсмологии, теории упругости и гидродинамике. Введенные им обобщения решения дифференциальных уравнений привели к увязке современного функционального анализа с классиче

ской теорией дифференциальных уравнений. Большое количество его работ посвящено динамике упругого тела. Им построена общая теория плоских волн. В его работах, касающихся теории упругости, заложена идея решения дифференциальных уравнений в частных производных, на основе которой он еще в 30-е годы открыл новый метод решения большого количества задач математической физики. Установленное им понятие решения дифференциальных уравнений с частными производными естественно увязано с понятиями о функции и ее производной.

В послевоенное время С. Л. Соболев много работал над вопросами вычислительной математики и первый применил для этой цели электронную технику, а также с новой точки зрения подошел к решениям задач математического анализа. Он явился одним из инициаторов создания Научного центра в Новосибирске, и ему поручено руководство Институтом математики Сибирского отделения Академии наук СССР.

Свою научную работу он всегда сочетает с педагогической и общественной деятельностью. Он занимает ряд почетных должностей, награжден семью орденами Ленина, двумя другими орденами и медалями.

* * *

Заканчивая на этом очень краткий очерк о некоторых выдающихся советских математиках, мы должны отметить, что подобных тружеников науки в области математики в Советском Союзе так много, что для описания их жизни и деятельности понадобилась бы не одна книга, а много томов, но нам кажется, что и указанных нескольких примеров достаточно для того, чтобы читатель мог понять, какую великую силу представляют наши ученые и как многообразна и полезна их работа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

НЕСКОЛЬКО СЛОВ о СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ»

Начало современного этапа в развитии математики характеризовалось глубокими изменениями во всех ее основных разделах: геометрии, алгебре и анализе.

Еще в первой половине XIX в. Н. И. Лобачевским и Яношем Больяй была создана новая, неевклидова геометрия. Ее идеи были смелы и неожиданны. С этого момента началось принципиально новое развитие геометрии, изменилось понятие того, что такое геометрия. Ее предмет и область применения стали быстро расширяться. В середине XIX в. немецкий математик Риман внес общую идею о неограниченности числа «пространств», которые может изучать геометр, и указал возможный их реальный смысл. Если прежде геометрия изучала только пространственные формы материального мира, поскольку они находили отражение в рамках евклидовой геометрии, то ныне предметом геометрии являются иные формы реального мира, сходные с пространственными, допускающие исследование на геометрическом материале. В самой евклидовой геометрии произошли большие изменения: в ней изучаются свойства несравненно более сложных фигур произвольных точечных множеств. Появляется также принципиально новый подход к самим исследуемым свойствам фигур. Выделяются отдельные группы свойств, которые подвергаются исследованию в отвлечении от других свойств, причем это отвлечение, это абстрагирование уже внутри геометрии порождает своеобразные ее разделы, являющиеся по существу новыми геометриями. Предметом рассмотрения геометрии служат все новые и новые пространства и их «геометрии»: пространство Лобачевского, проективное пространство, евклидовы многомерные пространства, пространство Римана, топологическое

¹ В этом кратком обзоре развития современной математики автор использовал материал статьи проф. А. Д. Александрова «Общий взгляд на математику» из книги «Математика, ее содержание, методы и значение», т. 1. М„ 1956.

пространство и проч. И все эти новые понятия находят свое применение.

Коренные изменения в алгебре наметились также еще в XIX в. Если алгебра минувшего времени, развивая символический характер, оперировала главным объектом — числом, то современная алгебра распространила свою область на величины гораздо более общего характера, сохраняя формально свои операции, подобные тем, какие производились ранее только над числами. Свои операции современная алгебра производит и над векторами, и над движениями разного рода и т. д. (Мы уже можем говорить об обычных по характеру действиях над ними: сложении, умножении и т. п.) Таким образом, область алгебры значительно расширилась и объектами ее операций являются часто не числа и даже не величины.

Такого рода обобщения и расширение алгебраической области начались еще со времен Э. Галуа, а в настоящее время сильно разрослись методы ее применения в различных науках: геометрии, анализе, физике, кристаллографии и пр. Обширными разделами современной алгебры являются теория групп и линейная алгебра. Теория групп возникла из простейшего учения о симметрии, а в своем развитии получила большое практическое применение, в особенности в приложении к теории алгебраических и дифференциальных уравнений. Норвежский математик Софус Ли (1842—1899) распространил методы теории групп на проблему интегрирования дифференциальных уравнений.

Вся теория линейной алгебры опирается на понятие функции вида: Ф(х) =ах+Ь. Исходя из этого понятия, строится вся система операций и создается основа для обоснования практических приложений в науке и технике.

В предыдущих очерках нам уже приходилось говорить о большой работе, проведенной учеными и философами над установлением и определением основных понятий математического анализа. Мы упомянем еще о работе немецкого математика Морица Кантора (1845—1919), в частности о его работе по установлению теории множеств, которая дала толчок к развитию многих других новых отраслей математики. Теория множеств оказала глубокое влияние на общий ход развития математики. Она явилась основой теории функций действительного переменного, топологии алгебры, теории групп, функционального анализа и пр. В особенности большое значение теория множеств имела и имеет для математического анализа.

В анализе развиваются новые разделы (например, теория функций действительного переменного). Эти новые разделы объединяются общим наименованием современный анализ, а прежние достижения в области анализа сохраняют название классический анализ. Современный анализ в особенности обязан своим развитием французским математикам Эмилю Борелю (1871—1956) и Анри Лебегу (1877— 1941) и советскому математику Н. Н. Лузину (1883—1952), давшему широкое развитие идеям теории функций действительного переменного.

Рассмотренные нами в одном из предыдущих очерков работы П. Л. Чебышева по вопросу о теории функций, наименее отклоняющихся от нуля, в дальнейшем развились в конструктивную теорию функций в трудах советского математика С. Н. Бернштейна (1880—1968).

Обоснование теории множеств привело к созданию еще одной области математики, которая сильно развивается за последнее время и составляет важную часть современной математики. Эта область математики, основанная на философских, исторических и логических началах, вошла в науку под именем математической логики и имеет большое практическое применение в науке и технике.

Автор не ставил своей целью охватить все новые области в развитии математики и не стремился подробно осветить детали развития современной математики, так как это потребовало бы больших дополнительных исследований и создания отдельной книги, а потому и завершает свою работу, ограничившись кратким обзором некоторых путей развития современной математики.