Дополнение 100

Глава 6. Улипо 104

Ответы и решения 123

Глава 7. Улипо. II. 125

Глава 8. Ним Витхоффа. 134

Ответы и решения. 147

Дополнение 149

Глава 9. Треугольники из бильярдных шаров и другие задачи 153

1. Треугольники из бильярдных шаров 153

2. Каннибализм среди торов, или торы-тороеды 155

3. Исследуя тетрады 156

4. Рыцари и лжецы 158

5. Маршруты исчезнувшего короля 159

6. Эллипсы Штейнера 161

7. Различные расстояния. 161

8. Парадокс в лимериках. 163

Ответы и решения 164

Дополнение 171

Глава 10. Математическая индукция и цветные шляпы 175

Ответы и решения 185

Дополнение 188

Глава 11. Отрицательные числа 193

Дополнение 206

Глава 12. Разрезание фигур на N конгруентных частей 210

Ответы и решения 222

Дополнение 225

Глава 13. Надежные шифры 231

Ответы и решения 244

Глава 14. Надежные шифры. II 246

Глава 15. Гиперболы. 255

Ответы и решения 270

Дополнение 271

Глава 16. Новый Элевсин 273

Ответы и решения 286

Дополнение 286

Глава 17. Теория Рамсея. 288

Ответы и решения 305

Дополнение 306

Глава 18. От колючек до Беррокаля 309

Дополнение 327

Глава 19. Игральные кости Зихермана, принцип Крускала и другие курьезы. 328

Ответы и решения

Дополнение

I лава 20. ioi пчсскнс <а ia‘in Ршмонла Смаллиана 349

Oiiicii.i и решения 362

. loiio.iiieiuie 364

Глава 21. Воwpainciiiie локюра Mai рикса. 365

От переводчика

Автор предлагаемой вашему вниманию книги хорошо известен в нашей стране и за рубежом и вряд ли нуждается в рекомендации. Это он «тот самый» Мартин Гарднер, матемаг и добрый волшебник, более четверти века творивший чудеса на страницах журнала «Scientific American», успевший написать и издать целую библиотеку замечательных книг, во многом определивших лицо современной занимательной математики, автор интереснейших комментариев к кэрролловской «Алисе», человек, совершивший немало других не менее удивительных и достославных деяний.

Стиль Мартина Гарднера, бесхитростный и, казалось бы, незамысловатый, обладает неотразимой привлекательностью и для неофита, и для искушенного профессионала. Преподносимый Гарднером математический факт удивителен, почти парадоксален, таинствен и манящ. Этот факт - приглашение к раскрытию тайны, к постижению истины. Но простота гарднеровского стиля сродни не простоте примитивистов, а простоте, присущей произведениям высокого искусства; она достойна зрелого мастера, каковым, несомненно, является Мартин Гарднер.

Широкому читателю публикации Гарднера, будь то журнальная статья или книга, открывают редчайшую, чтобы не сказать уникальную, возможность приобщиться к радости самостоятельного исследования. Не раз и не два бывало, что по прочтении очередной статьи Гарднера в выпуске «Scientific American» кто-нибудь из любителей принимался за задачу, безнадежную с точки зрения сведущих профессионалов, и находил решение!

Нередко, особенно в последние годы, Гарднер берет на себя смелость знакомить читателя с необычными объектами, измышляемыми математиками и находящими применение для описания явлений, наблюдаемых физиками. Именно Гарднер познакомил миллионы читателей во всем мире с непериодическими мозаиками Пенроуза, одним из первых оценив их важность и красоту. Несколько позднее эти необычные мозаики нашли применение в теории нового класса твердых тел-так называемых квазикристаллов. Именно Гарднер познакомил широкую аудиторию с объектами дробной размерности (фракталами), существенно расширившими наши представления о тех математических письменах, которыми, по словам великого Галилея, начертана величественная Книга Природы. Остро реагируя на все новое и необычное, Гарднер первым поведал своим многочисленным читателям об удивительных языковых экспериментах, проводимых группой Улипо. Гарднеру мы обязаны знакомством и с сюрреальными числами Конуэя, надежными шифрами, поразительными скульптурами Беррокаля, в которых изысканность формы сочетается с коварством головоломки и многими другими не менее значительными и необычными объектами. Сколь бы эксцентричными и экзотическими ни казались некоторые материалы Гарднера, среди них нет «пустышек» в каждом из них заложена глубокая идея, оценить которую нам, читателям, удается не сразу.

Каждый томик Гарднера читатель берет с нетерпением и ожиданием чего-то необычного, как берут дети коробочку с сюрпризом. Нужно сказать, что ожидания эти непременно оправдываются - такова еще одна особенность стиля Гарднера.

На Западе имя Гарднера довольно часто ассоциируется с именем одного из его литературных героев-доктором Матриксом, подобно тому, как нерасторжимо связаны имена Марка Твена и Тома Сойера или Гека Финна, Сервантеса и Дон Кихота, Гуго Штейнгауза и доктора Шарадека, Конан Дойля и Шерлока Холмса. В нашей стране доктор Матрикс совершенно неизвестен, поскольку книги Мартина Гарднера о нем на русский язык никогда не переводились. Подобно Конан Дойлю, решившему было погубить Шерлока Холмса после роковой схватки с профессором Мориарти в пучине Рейхенбахского водопада, но вынужденного впоследствии на радость читателям извлечь своего героя из небытия. Мартин

Гарднер также на время расстался со своим персонажем с тем, чтобы затем снова вернуть его читателям.

Эта книга - тринадцатая в серии книг, выпущенных Мартином Гарднером по материалам, опубликованным в разделе «Математические игры», и обсужденных с читателями. На ее страницах любителя, как всегда, ожидает много интересного и неожиданного, и мы не вправе более испытывать его терпение.

Ю. Данилов

Предисловие

Роджеру Пенроузу

за его прекрасные и удивительные открытия в математике, физике и космологии, за глубокое творческое постижение процессов, происходящих в природе, и за скромность, позволяющую ему не предполагать, что он исследует всего лишь плоды человеческого разума.

В предлагаемую вниманию читателя книгу вошли статьи, опубликованные в разделе «Математические игры» журнала «Scientific American», который я редактировал в течение 25 лет. Это - тринадцатый том в серии моих публикаций такого рода. Тема, которая объединяет все книги моей серии, если таковая вообще существует,-занимательная математика, т. е. математика, излагаемая в игровом духе. Как и в предыдущих книгах, в статьи, вошедшие в настоящее издание, были внесены исправления и дополнения на основе живой обратной связи с читателями. Что же касается мозаик Пенроуза (особенно их неожиданных приложений в теории кристаллического состояния), криптосистем и французской группы Улипо, то со времени моих первых публикаций произошло так много событий, что я счел за благо посвятить каждой из этих тем новенькую-с иголочки - статью. Впервые публикуются и поразительные новые известия о моем давнем друге докторе Матриксе. Я сообщаю о своем открытии: выяснилось, что доктор Матрикс не был убит агентом госбезопасности, как предполагалось ранее, а благополучно здравствует в Касабланке.

Мартин Гарднер

Глава I

Мозаики Пенроуза

Публикуя в конце 1975 г. в журнале «Scientific American» статью о периодическом разбиении плоскости на конгруент- ные выпуклые многоугольники (эта статья вошла в мою книгу [1, 1*П), я обещал читателям опубликовать со временем статью о непериодических разбиениях плоскости. Я выполнил свое обещание и опубликовал в 1977 г. статью, в которой впервые сообщалось о замечательной непериодической мозаике, открытой известным английским специалистом в области математической физики и космологии Роджером Пенроузом. Именно эта статья и воспроизведена в этой главе. Но прежде всего позвольте мне дать некоторые определения и сообщить кое-какие необходимые предварительные сведения.

Периодической мозаикой, или разбиением плоскости, называется такая мозаика, в которой можно выделить область, заполняющую без пробелов и наложений всю плоскость при трансляциях, или параллельных переносах, т. е. при сдвигах области без поворотов или отражений. Голландский художник М. К. Эшер известен тем, что многие его рисунки и гравюры представляют собой периодические мозаики, составленные из областей, напоминающих очертаниями живых существ. Типичная эшеровская мозаика изображена на рис. 1. Примыкающие друг к другу белая и черная птицы образуют фундаментальную область, которая при трансляции заполняет («замощает») всю плоскость. Представим себе, что плоскость покрыта прозрачной пленкой, на которую нанесены контуры каждой элементарной области. Только в том случае, если мозаика периодическая, вы можете сдвинуть пленку, не поворачивая ее, в новое положение, при котором контуры на ней в точности совпадут с контурами областей на плоскости.

Первое число в квадратных скобках означает номер главы, второе-номер ссылки в списке литературы, помещаемом в конце каждой главы. Номера с одной звездочкой относятся к тем ссылкам, которые в оригиналах приведены непосредственно в тексте, номера с двумя звездочками - к литературе, добавленной переводчиком.- Прим. перев.

Существует бесконечно много фигур, например правильных шестиугольников, из которых можно сложить только периодическую мозаику. Существует бесконечно много других фигур, из которых можно сложить и периодические, и непериодические мозаики. Бесконечную шахматную доску нетрудно превратить в непериодическую мозаику из одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников или из четырехугольников: для этого достаточно разбить каждый квадрат на две части так, как показано на рис. 2А слева, и изменить ориентацию, чтобы нарушить периодичность. Нетрудно построить непериодическую мозаику из домино.

Из равнобедренных треугольников можно также построить мозаику, располагая их радиально, как показано на рис. 2А в середине. Хотя такая мозаика отличается высокой упорядоченностью, она не периодическая. Как отметил Майкл Голдберг в 1955 г. [2, 1], такую мозаику можно разрезать пополам, а затем сдвинуть одну полуплоскость относительно другой на один шаг или на несколько шагов, образуя непериодическую спиральную мозаику типа той, которая изображена на рис. 2А справа. Равнобедренный треугольник допускает бесконечно много деформаций при замене его равных сторон двумя конгруентными линиями, как это показано на рис. 2Б слева. Если новые стороны состоят из прямолинейных отрезков, то возникает многоугольник с 5, 7, 9, 11, сторонами, образующий спиральную мозаику. На рис. 3 изображен поразительный орнамент, который получается по такому рецепту из многоугольника с девятью сторонами. Впервые он был построен Хайнцем Фодербергом с помощью сложной процедуры. Метод Голдберга делает построение такого орнамента почти тривиальным.

Рис. 2

(А) Непериодическое разбиение плоскости на конгруентные фигуры. (Б) Эннеагон, или девятиугольник (изображен слева штриховыми линиями), пара эннеагонов (справа), образующих восьмиугольник, из которых можно сложить периодическую мозаику.