МАШИНА ИЛИ «НАУКА ЛЕНТЯЕВ»?

Мы решили несколько задач. Было показано, что почти во всех рассмотренных примерах решение задачи может быть достигнуто без символики и приемов алгебры логики, когда счастливая догадка подсказала способ рассуждения. Такая возможность не лишает алгебру логики ее значения. По этому поводу поучительно вспомнить рассуждения академика А. Н. Крылова о взаимоотношениях математики и техники.

Встречались представители техники, которые недооценивали значения математики. Они ссылались на тот факт, что, например, «в средние века и в древности возводились неподражаемые дворцы и храмы, поражающие не только размерами, красотою форм и линий, но и легкостью сооружения, разумным использованием материала, соблюдением даже в деталях, например в контрфорсах, истинных принципов строительной механики, которой тогда не было, да и быть не могло, так как даже правило параллелограмма сил известно не было».¹ Это внушало противникам математики мнение, что математика в сущности есть переливание из пустого в порожнее, ибо «всё, что в ней есть, взято из ее основных, до тривиальности очевидных, аксиом; значит, всеобъемлющий ум видел бы сразу в этих аксиомах и все их следствия, то есть — всю математику».²

На это А. Н. Крылов отвечает: «Д а, ум всеобъемлющий (разрядка наша. — И. Д.) это видел бы, но известно, что ум человеческий ограничен — глупость беспредельна. Математика и нужна уму ограниченному, как подспорье для правильных умозаключений».³

¹ А. Н. Крылов Прикладная математика и ее значение для техники. Изд. АН СССР, 1931, стр. 5

² Там же, стр 6.

³ Там же.

К этим словам А. Н. Крылова можно добавить следующее. В минувшие века чудеса архитектуры возводились в тех случаях, когда находился гениальный строитель. Люди вроде Леонардо да Винчи рождаются редко. Поэтому и чудеса архитектуры возникали с большими перерывами во времени. В наши дни, когда ежегодно возводятся десятки высотных зданий, нельзя рассчитывать на гениев, а «нужно, чтобы эти здания могли строить Иванов и Петров — люди, не относящиеся к гениям. Им для возведения высотных зданий необходимы большие знания по математике.

Совершенно так же обстоит дело с решением задач, приведенных выше. Встречались студенты, которые легко, без символического аппарата, решали предлагаемые примеры, но таких было мало. У подавляющего же большинства не хватало догадки для решения этих задач. Решение их стало им доступным только при помощи предложенных оонов алгебры логики.

Естествен вопрос: нельзя ли приобрести способность догадки, которая помогла бы решить любую задачу?

Бытописатель насекомых Жан Анри Фабр (1823— 1915), член-корреспондент Парижской академии наук, лауреат Нобелевской премии, награжденный за литературную деятельность двумя орденами Почетного легиона, в одной из своих книг пишет: «Если мне выпало на долю написать страницу-другую, которые читатель пробежал без окуки, то я обязан этим в большой степени математике, этой удивительной учительнице в искусстве направлять мысли, приводить в порядок неупорядоченное, выкорчевывать глупости, фильтровать грязное и дать ясность — эту высшую форму из всех качеств риторики. Но она (математика) не создает способности догадки или остроумия — тот деликатный цветок, который растет не на всякой почве и распускается так, что никто не знает, как».¹

Ту же мысль на более прозаическом языке выражает талантливый современный венгерский математик Д. Пойа в книге, изданной на русском языке под названием «Как решить задачу».

¹ Сборник «Обучение и воспитание в школе». Ленинградский городской институт усовершенствования учителей, Л., 1946, стр. 139 54

После ряда примеров решения задач в результате удачных догадок автор дает параграф, которого читатель ожидает с первой страницы книги:

«Правила, как делать открытия. Первое правило — надо иметь способности, а наряду с ними и удачу. Второе правило — стойко держаться и не отступать, пока не появится счастливая идея. Установить безотказно действующие условия или правила эвристики¹, которые позволили бы решать все математические задачи, было бы куда более желательно, чем найти философский камень, которого тщетно искали алхимики. Такие правила творили бы чудеса, но чудес не бывает. Найти безотказно действующие правила, применимые ко всем возможным проблемам (разрядка наша. — И. Д.), — это старая мечта, но мечта, которая навсегда останется только мечтой. Но эвристика может стремиться изучить типичные приёмы и процессы (умственные операции, ходы, шаги), полезные при решении задач. Собрание таких вопросов и советов, сформулированных в достаточно общем виде и расположенных в четкой последовательности, возможно, менее ценно, чем философский камень, но зато такой список — вещь реальная, и может быть составлен».²

Этот вывод Пойа равносилен тому совету, который каждый учитель дает учащимся, нередко заявляющим, что их «не научили решать задачи». Научить решать любую задачу невозможно, но научиться решать задачи, не содержащие особенных трудностей, можно.

Алгебра логики вносит значительный вклад в сокровищницу полезных приемов для решения задач, притом таких, которые другими средствами не решаются или решаются с большим трудом.

Однако не следует, как иногда бывает, отрицать значимости решения задач обычными логическими рассуждениями.

Развитие логического мышления, которое в чистой форме применяется при арифметическом решении задач, является очень нужным при изучении математики.

¹ Эвристика — система логических приемов и методических правил теоретического исследования.

² Д. Пойа. Как решить задачу. Учпедгиз, М., 1959, стр. 141.

В этой связи можно привести рассказ знаменитого Эйнштейна из его биографии.

Гимназист 1-го класса Альберт Эйнштейн в переменах между уроками слышал, что старшие ученики говорят об уроке алгебры. Он спросил дома у дяди, что это за алгебра? Дядя ответил: «Алгебра — это арифметика лентяев. Им лень думать, поэтому они обозначают искомое число какой-нибудь буквой, делают механически преобразования и получают