многообразие представляет собой как бы «лоскутное одеяло», сшитое из маленьких, довольно просто устроенных кусочков. Но так как кусочков может быть очень много, а сшивать их можно по-разному, свойства многообразия как целого могут быть очень сложными и необычными, особенно если мы возьмем многообразия размерности большей двух.

Многообразия возникают в самых разных областях теоретической и прикладной математики. Возьмем, например, плоский маятник, т. е. систему, состоящую из стержня, шарнирно закрепленного в неподвижной точке О, который может свободно вращаться вокруг нее в плоскости. Положение такой системы можно охарактеризовать углом ср (рис. 21, а). Если мы возьмем теперь окружность радиуса R и будем истолковывать ср как полярный угол некоторой точки на этой окружности, то установим тем самым взаимно однозначное соответствие между положением нашей механической системы в данный момент времени и точкой на окружности. Изменению нашей системы соответствует движение точки по окружности. Как говорят, конфигурационное пространство данной механической системы представляет собой одномерное многообразие (окружность). Прикрепим теперь к концу А нашего стержня шарнирным образом еще один стержень. Положение новой системы в данный момент времени будет характеризоваться теперь не одним, а двумя углами р_1э ср₂ (рис. 21, б), и его удастся изобразить уже не на окружности, а на торе. Если мы прикрепим последовательно еще некоторое количество стержней, то положение системы будет описываться с с помощью п углов (p_lt р₂, . . ., ф_л), а соответствующая точка станет двигаться по некоторому n-мерному многообразию, называемому n-мерным тором. Подобным же образом изучение сложных механических систем сводится к исследованию движения точек на многообразиях.

Понятие многообразия существенно используется и в таком фундаментальном разделе современной физики, как общая теория относительности. В ней наш мир рассматривается как некоторое сложное многообразие, метрические свойства которого в каждой области зависят от распределения масс. Эти вопросы чрезвычайно сложны. Читателю, который ими заинтересуется, можно рекомендовать несколько популярных книг, приведенных в конце данной брошюры. Здесь же хотелось бы отметить, что существуют многообразия (в том числе трехмерные и четырехмерные), 56

которые имеют конечный объем, но не имеют границы — они, так сказать, «конечны» и «безграничны» в одно и то же время. Некогда совершенно неопровержимым казалось следующее рассуждение. Если бы наша Вселенная не простиралась в бесконечность, значит у нее где-то была бы граница. А тогда, что находится за этой границей?

Ныне подобное рассуждение не выдерживает критики. Оно верно лишь в предположении, что во всей вселенной действует евклидова геометрия. Но такое предположение с точки зрения современной физики неверно. Очень может быть, что наш мир представляет собой какое-нибудь «конеч- ное-безграничное» многообразие. Это можно пояснить следующей аналогией. Если бы на обычной сфере очень большого радиуса жили двумерные существа, ничего не ведающие о трехмерном мире, то, не выходя за границу небольшой области на сфере, они с хорошим приближением могли бы считать,, что в их пространстве действует евклидова геометрия, и повторить рассуждение о том, что их мир простирается в бесконечность. Однако, на самом деле, на сфере геометрия иная, чем на плоскости, и мир наших существ конечен (его площадь равна 4л7?²), хотя и не имеет границ.

Почему же они верблюды?

Математика отнюдь не ограничивается теми пространствами, о которых шла речь в этой брошюре. Процесс абстрагирования и обобщения заводит нас все дальше и дальше. Можно, например, отказаться от понятия угла в линейном пространстве, но сохранить понятие длины. Можно отказаться, далее, и от самой структуры линейного пространства и даже от системы координат, сохранив только понятие расстояния между точками, удовлетворяющего простой и естественной системе аксиом. Можно, наконец, отказаться и от понятия расстояния, сохранив, однако, смысл у выражения: «две точки расположены близко друг к другу». При этом мы получим соответственно нормированные, метрические и топологические пространства. Они тоже играют важную роль в математике, хотя мы и не можем здесь остановиться на них подробней. Стоит только отметить, что чем меньшим количеством понятий мы пользуемся, чем беднее наша система аксиом, тем больший круг объектов охватывает соответствующая теория, но тем она

и менее содержательна, поскольку у очень большого числа разных объектов не так-то много общих свойств. Насколько же содержательной и полезной оказывается та или иная математическая модель, показывает время.

Кому-то принадлежит одно удачное сравнение, которое звучит примерно так.

Можно сказать, что бывают разные верблюды — одни горбаты, другие ходят на двух ногах, третьи ползают по земле, у четвертых один глаз, пятые плоски, шестые покрыты чешуей, седьмые зеленого цвета. На это всякий здравомыслящий человек ответит: «Да, но почему же вы их всех называете верблюдами?»

Действительно, почему объекты, столь не похожие друг на друга, назывались пространствами? Это название получили множества точек, векторов, числовых наборов, функций, поверхностей и т. д. Что между ними общего? Попробуем разобраться.

Допустим, что у вас есть какая-нибудь числовая таблица, например таблица измерений температуры за год. Как легче представить себе общую картину — просматривая колонки цифр или изобразив их на диаграмме? Разумеется, каждый скажет, что второй способ лучше, он более нагляден. Не зря ведь в самых различных ситуациях используются всевозможные графики, гистограммы, кардиограммы, диаграммы и т. п.

Геометрический образ гораздо нагляднее абстрактной формулы или таблицы, он легче воспринимается, на нем мы быстрее улавливаем характерные особенности данного явления или процесса. Наша геометрическая интуиция сильно развита. Если нам удается истолковать какой-то математический факт на геометрическом языке, то он делается от этого гораздо более прозрачным. Все пространства, о которых мы упоминали выше, обладали (одни в большей, другие в меньшей степени) некоторыми свойствами нашего привычного пространства. Поэтому многие факты, относящиеся к этим пространствам, мы можем угадать, опираясь на свою геометрическую интуицию (вспомните, например, решение линейной системы уравнений), причем догадка может обладать такой силой убедительности, что доказательство станет практически ненужным. Нет ли здесь противоречия? Ведь мы начинали наш разговор с того, что подчеркивали необходимость отказаться от геометрической наглядности при построении евклидовой геометрии. Противоречия нет. Одно дело, когда

мы критически пересматриваем основы некоторой математической теории, когда мы анализируем непротиворечивость и полноту ее системы аксиом. Здесь действительно апелляция к наглядности может оказаться роковой. Однако когда мы пользуемся этой теорией, когда получаем развернутые следствия из системы аксиом, геометрическая интуиция не только не вредн*а, но очень полезна. В принципе, конечно, сложные теоремы можно вывести из системы аксиом чисто дедуктивным путем, но на это иногда приходится затрачивать такие большие усилия, что если бы мы не- опирались на некоторые наглядные представления, то не смогли бы сколько-нибудь значительно продвинуться в нашем исследовании. По существу, анализ систем аксиом, лежащих, например, в основе различных геометрических систем, относится не собственно к геометрии, а к основаниям математики. В этой связи можно вспомнить сложные разделы математического анализа, который в. конечном итоге опирается на структуру множества вещественных чисел. Однако мы вспоминаем об аксиомах вещественных чисел только в начале курса анализа, когда вводятся первые основные понятия и доказываются первые теоремы. Потом мы преспокойно забываем основания анализа и вовсю пользуемся графиками, ранее доказанными теоремами и т. п. В этой связи уместно привести слова Пуанкаре о методе, применяемом в «Основаниях геометрии» Гильберта.

«Можно было бы вставить аксиомы в логическую машину. и из нее вышла бы вся геометрия.

Эта забота может казаться искусственной и детской, и бесполезно указывать, насколько бы это было гибельно в преподавании и вредно развитию ума, насколько бы оно действовало иссушающе на исследователей, у которых оно быстро убивало бы оригинальность. Но у Гильберта она объясняется и оправдывается, если мы припомним, какая цель преследуется».

У математиков, постоянно имеющих дело с многомернымй пространствами, вырабатывается своеобразная аналитико-геометрическая интуиция. Они спокойно, например, «проводят» плоскости, касательные к семимерной сфере в восьмимерном пространстве и «видят» в каком-то смысле соответствующую геометрическую картину, хотя, разумеется, увидеть в буквальном смысле слова даже четырехмерное пространство невозможно. И при доказательстве теорем элементарной геометрии вовсе не следует отказываться от чертежей, что бы ни говорили всевозможные «экстремисты» от математики.

Объем брошюры, к сожалению, не позволил нам рассказать о многих интересных вещах, например о подходе к геометрии с точки зрения теории групп, основы которого были заложены Феликсом Клейном в «Эрлангенской программе». Но это предмет особого разговора.

В заключение следует отметить, что автор не стремился излагать историю вопроса во всей полноте; были упомянуты лишь некоторые исторические факты. Не всегда указывалось также, кто первый ввел то или иное пространство, ту или иную модель в математику.

Читателям, которые заинтересуются этими вопросами, следует обратиться к специальной литературе по истории математики.