Глава седьмая.

Алгебра без арифметики 76

Глава восьмая.

Матричная алгебра .  89

Глава девятая.

Определители . 108

Глава десятая.

Проективная геометрия 125

Глава одиннадцатая.

О кажущихся невозможностях . 146

Глава двенадцатая.

О преобразованиях  162

Глава тринадцатая.

Конечные арифметики и конечные геометрии. 169

Глава четырнадцатая.

О группах 178

Об авторе. 191

Глава первая

О КРАСОТЕ И СИЛЕ

Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом.

К- Вейерштрасс

Мудрость рождается из пристального наблюдения за тем, как растут люди.

Конфуций

Эта книга о том, как растить математиков. Может быть, у вас и нет такого намерения. Но все же, я надеюсь, вы найдете в этой книге что-нибудь интересное для себя.

Сам, я, например, не собираюсь выращивать растения. Я никогда не занимаюсь садоводством, если могу обойтись без этого. Но я очень люблю смотреть на сады, выращенные другими. Мне было бы еще интереснее встретить человека, который объяснил бы (а очень мало садовников умеют это делать), как развивается растение; каким образом семечко в земле знает, куда направить стебель, а куда корни; как цветку удается поворачиваться всегда к солнцу; какие химические элементы растение получает из почвы и как ему удается превратить их в свою собственную, живую ткань. Интерес к этим вопросам совершенно не зависит от того, собираетесь ли вы действительно заниматься садоводством.

Я стараюсь писать эту книгу не с точки зрения садовода-практика, а для людей, которые хотят понять, что такое развитие. Я пишу не для учителей математики (хотя и учителя могли бы практически применить изложенные идеи), а для тех, кто хочет разобраться в характере мышления математика.

Иногда трудно передать то, что действительно достойно сообщения. Допустим, вы провели несколько лет в определенном месте; эти годы имеют для вас особое значение. Это могло быть в раннем детстве или в школьные годы, или же в период взрослой жизни, когда новые впечатления, приятные или неприятные, сделали вашу жизнь необычно интересной. Если вы вновь попадаете в это место, оно кажется вам каким-то особым. Ваши спутники, попавшие туда впервые, видят просто приятную деревеньку или обыкновенную городскую улицу. Они не видят того основного, что заставляет вас стремиться вновь посетить это место. Для того чтобы они поняли ваше стремление, вам нужно быть немного поэтом. Вы должны уметь описать это место так, чтобы передать ваши чувства.

Такое описание вполне возможно. Вообще, мы переоцениваем различия между людьми. Я уверен, что если бы кому-нибудь удалось на день стать кем-то другим, изменения были бы гораздо меньшими, чем можно ожидать. Чувства были бы теми же самыми, но обращенными на другие предметы!

Вообще говоря, в процессе обучения передаются скорее сведения о предметах, чем живой ход мысли. Допустим, например, что ко мне приходит человек с каким-либо вопросом: это может быть неясная задача из школьной арифметики или серьезная научная проблема. Допустим, мне удается решить эту задачу; тогда мне очень легко объяснить ее решение. Представим себе, что я так и сделал, т. е. что я объяснил этому человеку, как поступать в данном конкретном случае. Но если он натолкнется на задачу другого типа, он опять обратится ко мне, так как я сообщил ему только решение данной задачи, но не обучил его самостоятельному мышлению. Я бы почувствовал настоящее удовлетворение лишь в том случае, если бы смог передать моему ученику не просто знания, а гибкость ума, которая дала бы ему возможность в дальнейшем самостоятельно решать задачи.

Само собой разумеется, здесь существуют определенные пределы, о которых не следует забывать. Ум — это один из факторов, важных для решения проблем, а он часто бывает врожденным. Но, кроме ума, имеется ряд факторов, которые зависят главным образом от образования и воспитания, а именно, чувство страха или уверенности, привычка полагаться на себя, инициатива и настойчивость. Я не думаю, чтобы мы сильно отличались от наших пещерных предков по врожденным качествам ума. Все историческое развитие до настоящего времени, все государственные различия между отдельными странами существенно связаны с изменениями в системе образования '.

Книжки, подобные этой, сами по себе свидетельствуют о серьезных переменах. Ни в прошлом веке, ни тем более раньше не было такого громадного количества читающих и думающих людей. А сейчас они образуют своего рода незримое братство, интернациональный университет.

В настоящее время, когда наши познания природы вещей столь велики, а наше понимание самих себя столь мало, становится чрезвычайно важной правильная оценка огромных, неиспользованных возможностей образования. Промышленная революция предполагает и требует революции в психике (которая очень мало изменилась с тех времен, когда люди отказывались верить, что паровозы могут двигаться).

Настоящая книга написана в стране, где происходили и происходят огромные перемены в системе образования. В 1948 году был основан университет Золотого Берега ^{1 2}. Для поступления в универ

¹ Клакхон (Kluckhohn) в своей книге «Mirror for Мап» приводит интересный пример американского мальчика, воспитанного в Китае. Он по внешнему виду остался американцем, а во всех других отношениях стал похож на китайца.

² Золотой Берег — прежнее название республики Гана.— Прим. ред.

ситет отбирались лишь талантливые, любознательные молодые люди. Исходя из возможностей их врожденного ума, они все через десять — двадцать лет должны были стать научными работниками в области математики или профессорами университета. Но в это время в стране не существовало математических традиций. Их следовало создать.

Но для этого нам надо было как следует разобраться в существе встающих перед нами задач. Надо было изучить жизнь будущего математика в одном из старых математических центров; рассмотреть все те факторы, которые помогают ему развиваться: атмосферу школы и колледжа, бесчисленные идеи, намеки и указания, которые он получает от преподавателей и из книг. Из всего этого нам следовало составить для себя ясное представление о том, что мы пытаемся сделать, какими качествами должен обладать математик и как их необходимо развивать.

В первых пяти главах я как раз пытаюсь определить, какими характерными качествами должен обладать математик и как он развивается. Эти главы содержат также ряд математических этюдов, предназначенных для иллюстрации того, что интересует математика. В последующих главах излагаются различные разделы математики, отобранные мною по признаку их необычности, новизны и богатству применений. Все это вполне элементарные теории; чтобы читатель мог разобраться в них, ему достаточно самых смутных воспоминаний о школьной математике.

К расчетам я прибегал редко и нигде не использовал их в качестве составной части доказательства. Этот факт интересен: он показывает, что целый ряд разделов современной математики (с 1800 г.) не является развитием старых работ, а идет в совершенно новом направлении.

Вообще, вы не найдете здесь длинных математических выкладок. Почти все математические открытия имеют в основе очень простую идею. Учебники часто скрывают этот факт. Они обычно содержат громоздкие выводы и этим создают впечатление, что математики —

Рис. 1. Схема построения книги.

Главы 1—5, использующие математику только для иллюстрации основных качеств, которыми должен обладать математик, на схеме не указаны. Расположение на схеме одной главы под другой показывает, что в верхней главе используются идеи, изложенные в нижней; так, чтобы понять главу 11, необходимо прочесть главу 10.

Стрелка от одной главы к другой указывает на существующую между ними связь. Например, один из разделов главы 13 («Конечные геометрии») не может быть понят без ссылок на материал главы 11. Все же остальные разделы главы 13 можно читать так, как если бы это была первая глава книги. При чтении книги вы убедитесь, что одноэтажные дома встречаются в ней гораздо чаще, чем небоскребы.

это люди, которые всю жизнь просиживают за письменными столами и переводят тонны бумаги. Это чепуха. Многие математики очень успешно работают в ванной, в кровати, ожидая поезда или катаясь на велосипеде (предпочтительно при слабом уличном движении). Математические вычисления производятся до или после открытия. Само открытие возникает из основных идей. Именно эти основные идеи я и намереваюсь изложить. Конечно, нельзя обойтись и без некоторых деталей, если мы хотим, чтобы это была книга по математике, а не просто сентиментальная рапсодия в честь математики.

Но прежде чем вы расстанетесь со своими деньгами, покупая эту книгу, я хочу честно предупредить вас, что в некоторых местах вам все же встретятся довольно длинные алгебраические выражения. Один из вопросов, которые я как раз хочу обсудить, это — как нужно рассматривать алгебраическое выражение. Чем длиннее выражение, тем важнее знать, как его рассматривать. Например, в главе 9, посвященной определителям, вы увидите довольно громоздкие группы символов. Они приведены для того, чтобы мы могли воскликнуть: «Ну и путаница! Как же в этом хаосе можно найти ту простую идею, которую мы собираемся рассмотреть. Где та стройность формы и внутренняя закономерность, без которых немыслима математика?»

Следует помнить, что в каком-то смысле высшая математика проще элементарной. Исследовать, например, лесную чащу пешком очень трудно, с самолета это делается проще.

Подчеркиваю еще раз, что эта книга не ставит себе целью дать обзор развития математики с 1800 года, а также не является кратким сообщением о том, чем занимаются математики в настоящее время.

В книге просто рассматриваются отдельные вопросы из области математики, не более. Сомневаюсь, чтобы можно было сделать больше в книге подобного объема.

СФЕРА МАТЕМАТИКИ

Немногие представляют себе, как огромна сфера действия современной математики. Вероятно, было бы легче овладеть всеми существующими языками, чем всеми математическими знаниями, известными в настоящее время. Мне кажется, что все языки можно было бы выучить за одну человеческую жизнь; а всю математику, конечно, нет. К тому же объем математических знаний не остается неизменным. Ежегодно публикуются все новые открытия. Например, в 1951 году для реферативного изложения всех математических статей, вышедших за год, потребовалось 900 печатных страниц крупного формата. Только за январь упомянуто 451 название, причем реферировались статьи и книги, рассматривающие новые проблемы; лишь в немногих из них упоминались известные факты.

Человеку, желающему быть в курсе всего нового в математике, пришлось бы прочитывать ежедневно около 15 статей, весьма больших по объему и содержащих сложные математические выкладки. Трудно даже мечтать о выполнении подобной задачи.

Открытия, которые делают математики, столь разнообразны по своему характеру, что однажды кто-то, видимо, в отчаянии предложил определить математику как «все, чем занимаются математики». Казалось, что только такое широкое определение может охватить все, что относится к математике. Математики решают проблемы, которые в прошлом не считались математическими, и трудно предсказать, чем они еще будут заниматься в будущем.

Точнее было бы определение: «Математика — это классификация всех возможных задач и методов их решения». Это определение, пожалуй, тоже расплывчато, так как оно охватывало бы даже такие рубрики, как газетные объявления «Обращайтесь со всеми вашими сердечными заботами к тете Минни», что мы никак не имеем в виду.

Для целей нашей книги достаточно было бы определение: «Математика — это классификация и изучение всех возможных закономерностей». Слово «закономерность» здесь используется в таком смысле, с которым многие могут не согласиться; а именно, в самом широком смысле, как название любого рода закономерностей, которые могут быть познаны умом. Жизнь, особенно интеллектуальная жизнь, возможна лишь потому, что в мире существуют определенные закономерности *. Птица, например, различает черные и желтые полоски осы; человек знает, что растение развивается из посаженного в землю семени. В обоих случаях существует осознанная закономерность.

Закономерность — это наиболее стабильная характеристика постоянно меняющегося мира. Сегодняшний день не может быть похож на вчерашний. Нельзя увидеть дважды одно и то же лицо под одним и тем же углом зрения. Узнавание возможно не потому, что опыт точно повторяется, а потому, что в огромном разнообразии жизненных явлений можно распознать определенные закономерности. Такую постоянную закономерность мы имеем в виду, когда говорим «мой велосипед» или «река Темза», хотя велосипед довольно быстро изнашивается, а воды реки непрерывно переливаются в море.

Любая математическая теория должна непременно сочетать в себе мощь метода, обусловливающую возможность применений к естественным наукам, и красоту, стройность, столь привлекательную для ума. Нам кажется, что наше определение математики удовлетворяет обоим этим требованиям. Вся наука зиждется на закономерностях, имеющихся в природе; для практики важна классификация этих закономерностей. С другой стороны, ум должен получать

¹ Ср. «Наука и метод» Пуанкаре.

удовольствие при изучении и познании закономерностей, поскольку необходимость и желание всегда связаны в природе. Если следование законам природы характерно как для человека, так и для животных, то естественно ожидать, что подчинение закономерностям доставляет удовольствие, такое же, как удовлетворение любой другой человеческой потребности.

Интересно заметить, что «чистые» математики, движимые только чувством стройности и математической формы, часто приходили к выводам, которые в дальнейшем оказывались чрезвычайно важными для науки. Греки изучали свойства эллипса более чем за тысячу лет до того, как Кеплер использовал их идею для определения траекторий планет. Математический аппарат теории относительности был создан за тридцать — пятьдесят лет до того, как Эйнштейн нашел для него применение в физике. Подобных примеров можно было бы привести много. С другой стороны, много стройных теорий и проблем, которые любой «чистый» математик причислит к математике, возникли в связи с физикой.

КАКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЛЮБИТ

ПРИРОДА?

Еще один интересный факт. Мы иногда встречаем одну и ту же закономерность в разных областях природы, как если бы число закономерностей было крайне лимитировано. Закономерность, которую математики обозначают Ди, встречается более чем в десятке различных областей науки. Она возникает в связи с такими явлениями, как тяготение, свет, звук, теплота, магнетизм, электростатика, электрический ток, электромагнитные излучения, морские волны, полет самолета, колебания упругих тел и строение атома, не говоря уже об одной чисто математической теории первостепенной важности — теории функций комплексного переменного.

Практики часто допускают ошибку, рассматривая все эти проявления Ди по отдельности. Это приводит к излишней трате сил. Мы здесь имеем дело не с двенадцатью отдельными теориями, а с одной теорией, имеющей 12 применений. Здесь везде проявляется одна и та же закономерность. Физически ее применения различны, математически — одинаковы.

Идея наличия одной и той же закономерности в различных условиях очевидна. Остается только придумать для нее соответствующее название; и вот мы имеем один из самых общих терминов современной математики — изоморфный (igog — подобный, |АО(мрт] — форма), т. е. «имеющий одну и ту же форму». Ничто не доставляет математику большего наслаждения, чем открытие, что две вещи, которые он ранее считал совершенно различными, оказываются математически идентичными, изоморфными. «Математика,— говорит Пуанкаре,— это искусство называть разные вещи одним и тем же именем».

Возникает вопрос: «Чем вызвано то, что эта закономерность встречается так часто?» Здесь мы уже лавируем на грани математического мистицизма. Окончательного ответа на этот вопрос быть не может. Предположим, мы доказали, что эта закономерность имеет ряд свойств, делающих ее особенно подходящей; но тогда бы неминуемо возник следующий вопрос: «Почему же природа предпочитает именно эти свойства?» — и так без конца. Тем не менее на вопрос, почему именно закономерность Ди встречается так часто, можно частично ответить

Невозможность дать окончательный ответ на вопрос «Почему Мир устроен так, а не иначе?» вовсе не означает, что такая постановка вопроса абсолютно бесполезна. Нам, может быть, удастся показать в будущем, что все научные законы, открытые до сих пор, имеют ряд общих свойств. Математик, изучающий закономерности этих общих свойств, имеет все основания надеяться, что его работа окажется полезной для будущих поколений; хотя, конечно, абсолютной уверенности в этом быть не может — ни в чем нельзя быть абсолютно уверенным. Кроме того, он может надеяться удовлетворить таким образом свою собственную потребность в глубоком проникновении в законы Вселенной.

МАТЕМАТИК КАК КОНСУЛЬТАНТ

Практики, как правило, не имеют представления о математике как о способе классификации всех проблем. Обычно они стремятся изучать только те разделы математики, которые уже оказались полезными для их специальности. Поэтому они совершенно беспомощны перед новыми задачами. Вот тогда-то они и обращаются за помощью к математикам. (Это разделение труда между инженерами и математиками, вероятно, оправдано; жизнь слишком коротка для того, чтобы одновременно изучать и абстрактную теорию и инженерное дело.) Встреча математика и инженера обычно очень забавна. Инженер, ежедневно имея дело с машинами, настолько привыкает к ним, что не может понять чувств человека, видящего машину впервые. Он забрасывает своего консультанта-математика огромным количеством подробностей, которые для того ровным счетом ничего не значат. Через некоторое время инженер приходит к выводу, что математик — абсолютный невежда и что ему нужно объяснять простейшие вещи, как ребенку или Сократу. Но как только математик поймет, что делает машина или что от нее требуется, он переводит

¹ Объяснение может заключаться в том, что в вакууме все точки пространства равноценны, а также нет преимущественных направлений. Поэтому нельзя ожидать, чтобы законы, справедливые в вакууме, выделяли какую-нибудь отдельную точку или направление. Это значительно ограничивает выбор возможных законов. Закономерность Ду = 0 выражает символически тот факт, что величина v в любой точке равна среднему значению v на поверхности шара с центром в этой точке. Для этого закона все точки и все направления одинаковы. Это простейший закон такого рода.

задачу на язык математических терминов. После этого он может заявить инженеру одно из трех:

1)  что задача известна и уже решена;

2)  что это новая задача, которую он может попытаться решить;

3)  что это одна из тех задач, которую математики безуспешно пытались решить, и что еще могут пройти века, прежде чем будет сделан хотя бы шаг к ее решению, и что поэтому инженеру придется решать ее эмпирически.

К сожалению, третий случай встречается удручающе часто. Но первый и второй случаи также довольно часты, и вот тогда-то математик, благодаря его знанию закономерностей, может принести пользу в тех областях, о которых он в некотором смысле ничего не знает.

Математик, желающий консультировать инженеров, должен поэтому изучать не только те задачи, которые уже встречались; он также должен быть готов анализировать задачи, которые только еще могут возникнуть. Можно считать, что практические задачи образуют в известном смысле определенный тип задач. Например, очень часто практическая задача принимает форму дифференциального уравнения. Некоторые дифференциальные уравнения мы умеем решать, а другие нет. Поэтому математик стремится расширить свой арсенал, изучая те дифференциальные уравнения, которые пока еще не решены; это неизбежно поставит перед ним ряд фундаментальных вопросов, например: «Какая разница между уже решенными и нерешенными дифференциальными уравнениями? В чем состоит трудность их решения?»

Но не всегда практическую задачу удается отнести к какому-либо математическому типу. Иногда возникают задачи, совершенно не похожие на уже встречавшиеся. Ключ к их решению может быть найден совершенно случайно. Они даже могут напомнить какую-нибудь задачку, решенную на досуге. В подобном случае такая задача может лечь в основу новой крупной теории. Впрочем, эта доктрина, как и все доктрины, может привести к заблуждениям. Человек может потратить всю свою жизнь на решение пустяковых задач, теша себя надеждой, что они, возможно, станут началом новых областей математики. И так, конечно, может случиться; все зависит от умения определить, что может оказаться важным, и нет правила, которое позволило бы судить о правильности выбора. Любой математик согласится, что существуют теории, которые до сих пор не нашли практического применения, но чувствуется, что они являются очень важной частью математики. Работа над ними свидетельствует не об отходе от главного направления, а как раз об обратном — о борьбе за развитие математики. Когда-нибудь эти теории, «подобно эллипсу», найдут своего Кеплера и, «подобно тензорному анализу», своего Эйнштейна. Но, во всяком случае, ими подготовлен мощный аппарат для решения определенного класса задач, если возникнет такая необходимость.

МАТЕМАТИК КАК ХУДОЖНИК

Я пишу и представляю себе, как «чистый математик» читает эту книгу со все возрастающим недовольством. Даже если предположить, что у него хватило терпения дочитать до сих пор, он, наверное, говорит: «Вы рассматриваете математику как нечто приносящее практическую пользу. Но математика не прикладная наука, она важна сама по себе. Важна не полезность математики, а ее стройность. Прикладная математика — это самая скучная часть математики. Посмотрите-ка на людей, работающих над теорией чисел, не имеющей никакого практического применения,— вы предложили бы им заниматься бухгалтерией?»

Этой точке зрения, которой придерживаются многие крупные математики, можно противопоставить утилитарный, бюрократический взгляд на математику. Согласно этой немного пуританской математики должны стыдиться своей приверженности к красоте и стройности, и им следует заниматься лишь решением неотложных практических задач, получаемых от практиков.

Обе точки зрения несовершенны. Ясно, что следование любой из них до логического конца явилось бы роковым и для математики, и для технического прогресса.

Давайте рассмотрим вначале точку зрения «математика ради математики» и проанализируем как частный пример ее применение к положению в стране Золотой Берег. Золотой Берег — это страна, где живут умные, жизнерадостные люди. Не надо думать, что это несчастная страна, но все же это страна, которая нуждается во многом. Во многих местах плохое водоснабжение, отсутствует канализация, распространены заразные болезни, не хватает продуктов питания, некоторые дети хронически недоедают. Так как же в этих условиях мы можем оправдать расходы математического факультета нового университета? Ссылками на стройность математики? В таких условиях защищать расходы на факультет математики только на основании прелести математики было бы верхом бессердечия. Математика имеет культурную ценность, но ее ценность состоит вовсе не в том, чтобы любоваться новыми закономерностями, с полным безразличием ко всему окружающему. Совершенно очевидно, что практическая сила математики как прикладной науки для техники, биологии и медицины имеет первостепенное значение в любой развивающейся стране. Красота без силы — бессмысленна.

Следует также сказать несколько слов в защиту математика- художника. Полезность без красоты бессильна. Работа, которой занимаются только ради ее результата, без какого бы то ни было удовольствия от самого процесса работы, может оказаться выполненной плохо. Инженер иногда начинает изучать математику потому, что она полезна для него как для специалиста, но если он больше ничем не интересуется, если он не увлечется самим предметом, математика мало ему поможет.

Утилитарный подход к математике оправдан лишь в одном отношении; он признает тот факт, что математик— человек, что он зависит от усилий других людей: ему нужна пища, одежда, кров и очаг — и за все это он должен как-то отплатить обществу. Такую постановку вопроса легче всего принимают нематематики: администраторы и налогоплательщики. Вообще, соображения полезности приводят к заключению, что математики нужны; но они не показывают путей, как их создавать. Было бы весьма желательным, чтобы Сахара покрылась дубовыми рощами, в тени которых отдыхали бы путешественники, но одного желания мало, чтобы там выросли деревья. Математикам, как и деревьям, нужны условия, пригодные для роста.

Можно, конечно, возразить, что люди не деревья, что если человек понимает, что нужно что-то сделать, он в состоянии приняться за это. Эта мысль справедлива лишь в определенных пределах. Социальные условия в какой-нибудь стране могут быть благоприятны для развития математики; если стране срочно нужны математики и все об этом знают, тогда математика может там процветать. Но это все же не отвечает на вопрос, как начинается это процветание. Внешних побудительных факторов, будь то хороших или плохих, еще недостаточно. Такие чувства, как жажда денег, стремление к славе или любовь к человечеству, не могут сделать из человека великого композитора. Многим молодым людям хотелось бы сидеть за пианино и импровизировать перед восторженной толпой. Но многие ли способны на это? — Желать — еще не значит уметь. Чтобы сочинять музыку, нужно любить музыку, а не успех (или, во всяком случае, музыку не меньше, чем успех). А чтобы стать математиком, нужно увлекаться прелестью закономерностей и логической стройностью законов. Это не значит, конечно, что такое увлечение должно быть единственной страстью, у вас могут быть и другие цели, вы можете заниматься другими делами, но если вы не попадете под очарование математики, вы в математике ничего не совершите.

В этом смысле точка зрения математика-художника ближе к жизни, чем отношение математика-бюрократа. Первый, по крайней мере, понимает, как люди становятся математиками. Как чистый художник, так и чистый бюрократ ошибаются или, во всяком случае, не совсем правы. Если бы обучение математике должно было основываться лишь на одной из этих теорий, то можно сказать с уверенностью, что теория художника принесла бы гораздо меньше вреда. Художник может быть анархистом, представителем богемы или даже бродягой, но он, по крайней мере, живой человек, а без жизни нет роста. И если такой человек научит детей любить свой предмет, то всегда остается надежда, что его ученики в зрелом возрасте обратят свои способности на полезные дела. Но если вы отдадите их в руки человека с крайне утилитарными взглядами, то они, наверное, не принесут никакой пользы обществу, так как растеряют все свои способности.

КАКИМИ КАЧЕСТВАМИ ДОЛЖЕН ОБЛАДАТЬ МАТЕМАТИК?

Не представляю себе, как можно довольствоваться знаниями, полученными из вторых рук; хотя чужое знание может нас кое-чему научить, мудр бываешь лишь своей собственной мудростью.

Монтень, О педантизме

Для всех математиков, характерна дерзость ума. Математик не любит, когда ему о чем-нибудь рассказывают, он сам хочет дойти до всего. Конечно, зрелый математик, узнав о каком-нибудь великом открытии, поинтересуется, в чем оно состоит, и не станет терять время на то, чтобы открывать уже открытое. Но я имею в виду юных математиков, у которых дерзость ума проявляется особенно сильно. Если вы, например, преподаете геометрию девяти-десятилетним ребятам и рассказываете им, что никто еще не смог разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля, вы непременно увидите, что один-два мальчика останутся после уроков и будут пытаться найти решение. То обстоятельство, что в течение двух тысяч лет никто не решил эту задачу, не помешает им надеяться, что они смогут это сделать в течение часового перерыва на обед. Это, конечно, не очень скромно, но и не свидетельствует об их самонадеянности. Они просто готовы принять любой вызов. А ведь в действительности уже доказано, что невозможно разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля. Их попытка найти решение — того же рода, что попытка представить]/2 в виде рациональной дроби plq.

Хороший ученик всегда старается забежать вперед. Если вы ему объясните, как решать квадратное уравнение дополнением до полного квадрата, он непременно захочет узнать, можно ли решить кубическое уравнение дополнением до полного куба. Остальные ученики класса не задают подобных вопросов. С них хватит и квадратных уравнений, они не ищут дополнительных трудностей.

Вот это желание исследовать является второй отличительной чертой математика. Это одна из сил, содействующих росту математика. Математик получает удовольствие от знаний, которыми уже овладел, и всегда стремится к новым знаниям.

Эту мысль можно пояснить на примере дробных показателей степени из школьного курса алгебры. Легко представить себе человека, который, поверхностно познакомившись с дробными и отрицательными показателями степени, начнет недоумевать, зачем все это

нужно. Ведь приходится преодолевать столько логических трудностей! Мне представляется, что тот, кто открыл дробные показатели степени, сначала работал над целыми показателями и получил такое большое удовлетворение от этой работы, что ему захотелось развить этот раздел, и он готов был взять на себя логический риск. Ведь на первых порах новое открытие почти всегда является вопросом веры и лишь позднее, когда становится ясным, что это действительно открытие, приходится находить логическое оправдание, которое удовлетворит самых придирчивых критиков.

Я уже говорил об интересе к закономерностям — третьем необходимом качестве математика. Уже в самом начале арифметики встречаются закономерности. Например, из четырех одинаковых камней можно сложить квадрат, а из пяти — нельзя. Математические, как и музыкальные, способности проявляются очень рано, с четырех лет, а иногда и раньше. Один малыш однажды сказал мне: «Мне нравится слово September [сентябрь], ведь получается sEptEmbEr». Сам я никогда не замечал закономерного чередования гласных и согласных в этом слове. Оно действительно совершенно симметрично. Такому ребенку, конечно, понравится арифметика.

В таблице умножения имеется один элементарный пример закономерности. Обычно дети любят умножать на 2 и на 5, потому что последние цифры ответа легко запомнить: при умножении на 2 всегда получаются четные цифры, а при умножении на 5 еще проще: всегда 0 или 5. Но даже в умножении на 7 есть свои закономерности. Если мы посмотрим на последние цифры произведений 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, т. е. на 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0, то увидим, что разность между последующей и предыдущей цифрами составляет: —3, +7; —3, —3, +7; —3, —3, —3. В этом ряду чувствуется совершенно определенный ритм '. Если прочесть последние цифры ответов при умножении на 7 в обратном порядке, то мы получаем последние цифры от умножения на 3.

Даже в начальной школе можно развить навык наблюдения за математическими закономерностями. Большая часть ранних работ Гаусса явилась следствием его привычки делать вычисления и анализировать полученные результаты. Эрмит, один из крупнейших французских математиков, также подчеркивал, как часто наблюдательность ведет к математическим открытиям. Правда, одной наблюдательности мало, чтобы стать великим математиком.

Так же как умение замечать арифметические закономерности помогает школьнику решать арифметические примеры, умение наблюдать закономерности в алгебре помогает избегать ошибок или обнаруживать описки.

¹ Подобная закономерность встречается в записи диезов и бемолей при ключе. Запись семи диезов представляет собой последовательность шагов: 3 вниз, 4 вверх, 3 вниз, 4 вверх, 3 вниз.

Например, условием равенства корней квадратного уравнения вида ах² + 2Ьх + с = 0 является

Ь²—ас = 0.

(Читателю, возможно, более знакомо условие Ь² = 4ас для уравнения ах² + 6х+с = 0.) Подобное же условие можно найти для равенства корней кубического уравнения. Кубическое уравнение имеет три корня; спрашивается, в каком случае два из них равны.

Для уравнения ax³ + 3bx² + 3cx + d=0 условием равенства двух корней будет (Ьс—ad)²—4(ас—b²) (bd—с²)=0. Это условие можно также записать в виде

a²d²—6abcd+46³d+4ас³—3b² с² = 0.

Если вы проанализируете левые части указанных условий, вы обязательно заметите следующие закономерности:

(1)  Общее количество множителей в каждом члене выражения одинаково. Например, в выражении Ь²—ас каждый член состоит из двух букв, умноженных друг на друга, т. е. степень каждого члена равна двум. В более длинном условии для равенства двух корней кубического уравнения каждый член содержит четыре буквы, умноженные друг на друга; например, b³d есть сокращенное bbbd.

(2)  В этих выражениях имеется также равновесие другого рода, хотя эта вторая закономерность не сразу заметна: равновесие между буквами, которые стоят раньше или позже в алфавите. Например, в условии для кубического уравнения имеются члены abed и a²d² = aadd. Сравним их вторые буквы. В члене aadd вторая буква есть а, в члене abed вторая буква есть Ь. Буква а стоит в алфавите раньше , чем Ь. Но справедливость торжествует: если мы посмотрим на третьи буквы этих выражений, то видим, что aadd содержит d, в то время как abed содержит с; буква d стоит в алфавите позже с. Равновесие совершенно точное: а стоит перед b, a d после с. То же самое равновесие сохраняется во всех членах. Это можно проверить следующим образом. Оценим каждую из букв а, Ь, с, d определенным количеством очков: а = 0, 6 = 1, с = 2, d = 3. Тогда сумма очков в каждом члене будет равна 6; например, для abed имеем 0+1+2 + 3 = 6, для ас³ 0 + 2 + 24-2 = 6.

Число очков, сопоставленное данной букве, называют ее весом; таким образом, вес каждого члена равен 6. В выражении Ь²—ас вес каждого члена равен 2.

(3)  Сумма численных коэффициентов в каждом выражении равна нулю. Действительно, в Ь²—ас коэффициентами являются числа + 1 и —1, сумма которых равна нулю, а в выражении

a²d²—3abcd + 4b³d + 4ас³—3b²c²

—числа 1, —6, 4, 4, —3, которые в сумме также дают 0. Другими словами, если в приведенных выражениях положить a = b = c = d=l, то эти выражения обратятся тождественно в нуль.

АНАЛОГИ ТЕОРИИ ГАЛУА

Теория Галуа интересна. Но полезна ли она? Ответ на этот вопрос служит прекрасной иллюстрацией того, какого рода полезность может иметь математическая теория. Теория Галуа непосредственно на практике нигде не применяется. Никому на практике не нужно решать уравнения пятой степени. Если бы такое уравнение возникло в практической работе, вы начертили бы график и посмотрели бы, в каких точках эта кривая пересекается с осью х.

Истинная ценность теории Галуа заключается в том, что она служит моделью для почти любого рода исследований. Раньше математик спрашивал: «Как найти способ решить эту задачу?» И если он не мог найти его сегодня, он продолжал свои поиски завтра. Но с появлением теории Галуа изменилась сама постановка задачи. Мы больше не гадаем, существует ли вообще способ решения. Мы спрашиваем: «Есть ли основания предположить, что задача может быть решена такими-то средствами? Можно ли разбить ее на более простые задачи? Что делает задачу разрешимой, и как мы можем проверить эту разрешимость?». Мы не пытаемся более изобретать; мы пробуем познать природу задачи, с которой нам приходится иметь дело.

В отличие от алгебраических уравнений решение дифференциальных уравнений —дело большой практической важности. Между 1883 и 1892 гг. Пикар и Вессио создали теорию дифференциальных уравнений, очень напоминающую теорию Галуа для алгебраических уравнений. Похоже на то, что она возникла под влиянием теории Галуа.

Очевидной целью математического исследования является распространение идей Галуа на все типы математических задач: нужно показать, какие из них являются задачами-атомами и как узнавать составные задачи.

Любая подобная теория представляет ценность в основном для математика-теоретика. Она сберегает ему время, которое он потратил бы на поиски решения задачи с помощью совершенно непригодных в данном случае методов. Она предполагает некоторый систематический подход к решению новых задач. У инженера редко находится время для фундаментальных математических исследований, он обычно довольствуется методами, развитыми математиками, применяя их для нужд практических вычислений. Теория Галуа не имеет непосредственного применения в инженерной практике.

ОБ АВТОРЕ

У. У. Сойер родился в 1911 году. Он получил образование в Хайпетской школе и в Сент- Джонс-Колледже в Кембридже, где занимался главным образом математическими аспектами квантовой теории и теории относительности. Читал лекции по математике в Данди и Манчестере, а в 1945—1947 гг. был деканом математического факультета Лейстерского технологического колледжа. В это время он занимался исследованиями по применению математики в промышленности и поисками новых путей преподавания математики студентам технических учебных заведений. Опыт его работы частично описан в книгах «Математика в теории и практике» и «Проект и работа».

В 1948—1950 гг. У. У. Сойер — декан математического факультета университетского колледжа Золотого Берега. В настоящее время ¹ читает лекции по математике в Кентерберийском колледже в Кристчерче, в Новой Зеландии.

Пытаясь бороться с нехваткой преподавателей математики в Новой Зеландии, он организовал добровольные математические общества школьников. Надеется, что интерес, вызванный этими обществами, заставит его учеников выбрать путь учителя математики. Первая книга Сойера «Восторг математика» была опубликована в 1943 г.

¹ Данная аннотация к английскому изданию относится к 1955 г.— Прим, ред.