В настоящем сборнике читатель найдет статьи трех видных ученых— математиков Маршалла Стоуна и Мэри Картрайт и физика Е. Вигнера. Работы М. Стоуна и Е. Вигнера уже были опубликованы на русском языке — первая в сборнике «Математическое просвещение», а вторая — в журнале «Успехи физических наук». В разных аспектах все эти статьи нам представляются интересными, но требуют более или менее обстоятельных комментариев. В таком критическом разборе особенно нуждается работа Е. Вигнера. Если к статье М. Стоуна, перевод которой на русский вышел под редакцией профессора А. И. Маркушевича и был им снабжен краткими, но весьма полезными замечаниями, то статья Е. Вигнера была опубликована редакцией УФН без каких бы то ни было примечаний. То, что допустимо для научного журнала, не может распространяться на популярные издания. Вот почему в конце брошюры дается небольшое послесловие в виде примечаний составителя к статьям.

Для того чтобы читателя не раздражали многочисленные подстрочные примечания, все, на что составителю хотелось бы обратить внимание читателя и о чем одновременно высказать собственные взгляды, вынесено в конец сборника. Во всяком случае уже теперь хотелось бы сказать, что читателям, знакомым с основами диалектического материализма, бросится в глаза наивность и эклектичность многих утверждений, содержащихся в приводимых статьях. Одновременно читатели увидят, как крупные ученые повторяют почти в точности те же ошибки, какие были раскритикованы В. И. Лениным свыше шестидесяти лет назад в известном произведении «Материализм и эмпириокритицизм». Это обстоятельство лишний раз подчеркивает, что эта книга остается по-прежнему острым философским оружием и в наши дни.

Комментарии авторов статей, редакторов переводов и примечания переводчиков сохраняются в сборнике на тех местах, на каких они были помещены в первоначальных русских изданиях.

Ссылки на комментарии составителя сборника даны в тексте цифрами, поставленными в квадратные скобки,

Б.В. ГНЕДЕНКО, академик АН УССР.

Для учебников эти формулы были вершиной абстрактности, поскольку было совершенно неважно, складываются ли люди или дни. В наше время это выглядело бы как абстракция в своем худшем виде, но в древности, конечно, это был шаг вперед. Прежде чем создать эти сложные упражнения, вавилоняне должны были долгое время развивать арифметику в прикладных целях — для чисто практических потребностей и для астрономии.

Теперь обратимся к тем, кто создавал математику ради математики. Нам следует начать с Индуса, который около 1200 г. до н. э. писал: «Как гребешки на головах павлинов, как драгоценные камни на уборе змей, так над всеми науками Веданги возвышается ганита, математика». Ганита — буквально означает искусство вычисления; она состояла из арифметических действий на пальцах, устных арифметических действий и высшей арифметики вообще. Первоначально ганита включала в себя и астрономию, но геометрия в нее не входила. Разделы математики, находившиеся на одну ступеньку выше, назывались «пыльной работой», так как при их изучении чертили на земле или на посыпанной песком доске. Индийцы создали так называемую арабскую нумерацию и значительно раньше других получили важные результаты в алгебре.

Многие считают, что математику для математики первыми начали развивать древние греки и что они первыми осознали необходимость доказательства. Слово «матема» первоначально означало «знание», «наука», но потом приобрело более узкий смысл. Пифагор включал в математику геометрию, теорию чисел, сферику (или сферическую тригонометрию, используемую в астрономии) и музыку. Греки разделяли числа не только на четные и нечетные, но и на четно-четные, 2^да; четно-нечетные, 2(2п+1); нечетно-четные, 2^m+1 (2/г + 1), а также доказывали, что простых чисел имеется бесконечно много. Я сомневаюсь, что они умели вычислять так же хорошо, как древние вавилоняне, поскольку вычисления, вероятно, не очень их привлекали; кроме того, у них не было такой побудительной причины к развитию техники вычислений, как управление большим государством. Мне кажется, что я должна также упомянуть о трудностях, связанных с отсутствием удобной символики. Сэр Томас Хис писал об арифметике Никомаха следующее: «Если удалить словесную часть, то математическое содержание может быть выражено очень кратко». Но Хис пользовался современными обозначениями и арабской нумерацией. В «Осах» Аристофана один из персонажей просит отца подсчитать какую-то сумму «не на камушках, а на пальцах». Геродот пишет, что производя вычисления на камушках, греки перекладывали их слева направо, а египтяне — справа налево. Таким образом, перед вычислителем образовывались вертикальные ряды.

Греки также развили теорию геометрии, которая сохранила свое значение в течение почти 2000 лет и которая представляла собой первую строго развитую логическую систему в математике. В III в. н. э. неизвестный автор шутливо относил к ней слова Гомера:

Малой она родилась, но, взрослея, росла с каждым часом, Ныне, идя по земле, сотрясает вокруг целый мир.

Это означает, говорит Лаодакийский епископ Анатолий, цитируя эти строки, что математики начали с точки и линии, а пришли к таким вещам, которые управляют поднебесным миром. Но если такова была точка зрения древних греков в эпоху поздней античности, то можно ли говорить, что их геометрия была не по-настоящему абстрактной и что символы, обозначавшие у них точку и линию, лишь частично отражали абстрактные понятия точки и линии?

Смысл геометрической, или, говоря более общо, пространственной, концепции в математике остается для меня не совсем ясным. За последнее время все типы геометрий были поставлены на аналитическую основу и тем самым освобождены от логических трудностей, возникающих, например, у школьного учителя, доказывающего теорему о конгруэнтности треугольников совмещением одного треугольника с другим. Я поэтому спрашиваю себя: действительно ли геометрия и пространственная концепция составляют часть основ математики или же они относятся к приложениям, подобно земной и небесной механике или теории вероятностей? Причиной традиционного особого положения геометрии может быть то, что символы в ней не просто сами по себе обозначают объекты (абстрактные точка, линия, треугольник представляются соответственно точкой же, линией, треугольником), но более того, если речь идет о планиметрии, то они могут быть изображены на плоской поверхности карандашом, ручкой или начертаны на земле или на леске. Когда начала развиваться древнегреческая геометрия, не существовало удобных обозначений для чисел, и даже в XV столетии решение кубического уравнения описывалось в геометрических терминах и пояснялось рисунком из-за отсутствия алгебраических обозначений. В механике сравнительно наглядные реальные объекты невозможно было использовать непосредственно для пояснения теории; для описания результатов здесь были необходимы символы и рисунки. Но если задать вопрос, возрос ли со времен древних греков вклад пространственных представлений в современную математику по сравнению с вкладом других идей,

взятых из реальной жизни, то ответить на него очень трудно. Пространственное мышление привело к высокоабстрактной теории иррациональных чисел, созданной Кантором и Дедекиндом, и пронизывает математическую мысль почти во всех ее областях; теоретическая физика вызвала к жизни анализ (не без помощи геометрии), а теория вероятностей и математическая статистика основываются на многочисленных проблемах практики.

Пфейффер хорошо пояснил ситуацию, относящуюся к теории вероятностей. Основные его тезисы таковы: теория вероятностей развивалась, с одной стороны, благодаря блестящим интуитивным открытиям, а с другой стороны, благодаря нелепостям и противоречиям. Пока не заложен фундамент теории, математик не может обдумывать ее, направляя свою мысль лишь законами логики.

Я слышала от многих, что квантовая теория пока еще не достигла этой стадии, но, конечно, я недостаточно компетентна в этой области, чтобы делать суждения о ней.

Пфейффер говорит далее, что, хотя для создания удовлетворительной теории требуется длительное экспериментирование, нам теперь нет надобности повторять все те блуж- дения, которые предшествовали созданию адекватной математической модели. Мы имеем теперь математическую структуру, отношения элементов которой соответствуют определенным отношениям реальных объектов. Как только такая модель создана, изучена и усовершенствована, обычный человек может легко за весьма короткое время понять такие вещи, которые потребовали десятилетий напряженных умственных усилий гениев. Замечу, что Пфейффер утверждает следующее: наиболее эффективная современная математическая модель теории вероятностей характеризуется высокой абстрактностью.

Дж. Уиллард Гиббс писал: «Одна из главных целей теоретического исследования в любой области знания состоит в том, чтобы найти точку зрения, с которой предмет представляется наиболее простым». По мнению Бушоу, одно из наиболее важных отличий современной математики состоит в том, что математика берет старые математические идеи, разбирает их как часы, изучает части отдельно, затем соединяет в новых интересных комбинациях и смотрит, что может при этом получиться. Я уверена, что этот процесс чрезвычайно помогает упрощать теорию и тем самым служит превращению ее в более эффективный инструмент исследования практических проблем. Цитируя Гиббса, Мандельбройт добавляет: «Интегрирование в функциональных пространствах распространяет эту точку зрения на все новые и новые области знания и дает не только новый подход к проблемам, но и новые способы размышления над этими проблемами».

Можно упомянуть еще Фреше, основоположника теории абстрактных пространств, который в предисловии к своей книге приводит выдержку из изданного в 1971 году Адама- ром обзора по функциональному анализу: «Функциональный континуум не является примером простой идеи для нашего воображения. Геометрическая интуиция ничего не говорит нам о нем априори. Мы вынуждены преодолевать здесь свое невежество и можем сделать это только аналитически, создавая раздел теории множеств, посвященный функциональному континууму». В другом месте Адамар писал, что вариационное исчисление есть не что иное, как первая глава функционального анализа; о своих же работах в области вариационного исчисления, гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных и в некоторых других областях он говорил, что созданием их он в значительной степени обязан контактам с физиком Дюгемом — работам Дюгема по гидродинамике, теории упругости и акустике и многочисленным беседам с ним, имевшим место в Бордо. Таким образом, перед нами здесь полный цикл, ведущий от физических основ через вариационное исчисление к функциональному анализу и абстрактным пространствам, а оттуда — к многочисленным приложениям, подготовленным процессом алгебраизации геометрических идей и соединения их вместе в наиболее абстрактном новом направлении теории функциональных пространств.

Дальнейшее видоизменение этой тенденции определилось в последние годы, и состоит оно в использовании вспомогательных графических и механических моделей, позволяющих сделать математическую модель наглядной, хорошо запоминающейся и более легкой для дальнейшего изучения. Наглядность образов Адамара, крикетная игра Харди и траектория Литлвуда могут также рассматриваться как примеры таких вспомогательных моделей. Но более универсальное значение имеют аналоговые компьютеры с электронными устройствами для моделирования процессов, например, поведения жидкостей, или того, что описывается в математической модели. Итак, мы имеем следующее:

(А)    . Мир реальных явлений, известный нам благодаря опыту.

(Б). Абстрактный мир математической модели, использующей символы, чтобы представить соотношения и факты с предельной строгостью и лаконичностью.

(В)        . Вспомогательную модель.

Переход от А к Б есть представление явлений реального мира в математических терминах; переход от Б к А есть дедуктивная интерпретация этих математических представлений. И то и другое я рассматриваю как математическое мышление, но математика есть только дедукция внутри Б.

Можно также мыслить математически, переходя от Б к В, то есть осуществляя вторичную интерпретацию, а затем переходить обратно к Б, подтверждая некоторые свойства математической модели, или от В прямо к А.

Как указывает Пфейффер, ценность как математической, так и вспомогательной моделей зависит от того, насколько успешно свойства модели могут быть соотнесены с реальной ситуацией. Модели не могут быть использованы для доказательства каких-либо свойств реального мира, хотя изучение их может помочь нам в исследовании явлений реального мира. Модель не может быть истинной или ложной, она может быть пригодной или непригодной. Она не удовлетворяет пас, если (1) решения, даваемые моделью, не поддаются реальной интерпретации (например, возникают произвольно большие значения величин или произвольно малое различие между величинами) или если (2) модель неполна или противоречива, так что в ней возникают математические парадоксы. Многие модели до удивления хороши. Карл Пирсон писал: «Математика, оперируя со строчками своих символов, имея дело с формальными истинами, тем не менее, может получить бесконечно важные результаты, относящиеся к описанию физической Вселенной».

Еще сто лет назад ученые и математики знали понемногу обо всем, и каждый, кто в достаточной степени владел математикой — я особенно отнесла бы это к Ньютону,— мог сформулировать реальную проблему математически. Но и сегодня, в эпоху специализации, естествоиспытатели, экономисты или техники, соприкасающиеся с реальным миром, должны уметь переходить от А к Б. Сэр Сирил Хиншелвуд, бывший президент Королевского Общества, сказал: «Ученые должны знать математику как родной язык. Для ученого очень важно, хотя это и трудно, овладеть искусством формулировать проблемы в терминах математики. Прежде чем делать это, следует обдумать проблему с большой аккуратностью и тщательностью. Нужна большая практика, чтобы пользоваться языком математики. Не обязательно быть специалистом по дифференциальным уравнениям, вы можете пойти на консультацию к такому специалисту. Но вы пе должны надеяться, что математик переведет вашу проблему на математический язык. Необходимо с ранних лет развивать умение мыслить о реальных вещах, применяя математическую символику». Далее он развивает параллель между изучением французского языка в детском возрасте и обучением ребенка формулировать физические идеи и а языке математики на том уровне, когда и физические и математические познания его еще достаточно просты. Ребенок при этом постепенно привыкает к такому представлению. Хотя Хиншелвуд, так же как и я, проповедует, чтобы уче

ные сами формулировали свои проблемы в математической форме, он, видимо, подразумевает при этом неполную абстракцию. Математические символы у него все еще пред* ставляют физические понятия, им соответствующие, то есть не то, что относится к «чистой» математике. Однако, как ясно из замечания Мандельбройта о функциональных пространствах и из высказывания Адамара по поводу функционального континуума, без полной абстракции, осуществляемой некоторыми математиками, мы лишились бы некоторых наиболее выразительных средств математического языка, используемого учеными.

□ Уже после того как я прочла эту лекцию, мне встретился следующий отрывок из «Размышлений об истории математики» А. Робинсона:

«Геометрия Евклида считалась наукой, имеющей дело с реальными объектами — неважно, физического или идеального мира. Определения, которыми предваряются несколько книг «Начал», имеют целью показать читателю, с какими объектами он будет иметь дело, даже если эти определения потом оказываются неиспользованными, как знаменитые определения точки и линии. Фундаментальное значение неевклидовой геометрии состоит в том, что, отбрасывая аксиому о параллельных линиях, она отрицает единственность трактовки геометрических понятий, а значит и их реальность. К концу девятнадцатого столетия прежние интерпретации основных понятий геометрии стали уже непригодными. Это тем более важно, что геометрия долгое время считалась основой математики. Однако независимое развитие оснований арифметики, связанное с попытками преодоления сложностей в анализе, в какой-то мере может, по-видимому, лишить геометрию ее высокого положения».

Хотя в основном сказанное здесь согласуется с моей точкой зрения на евклидову геометрию, А. Робинсон, как мне кажется, не признает геометрического происхождения теории иррациональных чисел.

Я обнаружила также следующее высказывание Аабое в «Эпизодах из ранней истории математики»: «Даже беспрерывно повторяемое утверждение, что египтяне знали прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, не имеет никаких документальных подтверждений и было выдумано около 80 лет назад».

Перевод с английского В. Н. Тростникова

ЛИТЕРАТУРА

1.  S. Bochner. The role of mathematics in the rise of science. Princeton, 1966.

2.         D. Bushaw, Elements of General Topology. Wiley, New York, 1963.

3.  В. Datta and A. N. Singh. A History of Hindu Malhema- tics. Lahore, 1935.

4.  H. and H. A. Frankfort. The intellectual adventures of ancient man. Chicago, 1946.

5.         T. L. Heath. A histoiy of Greek mathematics. Vol. 2, Oxford, 1921,

6.  S. Mandelbroit. Les tauberiens generaux de Norbert Wiener, Bull. Amer. Math. Soc., 72 (1966), 48—51.

7.  O. Neugebauer. The exact sciences in antiquity. Acta. Hist. Sci. Nat. Medicinalium, Copenhagen, 9 (1951).

8.  P. E. Pfeiffer. Concepts of Probability Theory. McGraw-Hill, New York, 1965.

9.  J. Piaget, B. Innhelder, and A. Sjeminska. A child’s conception of geometry. Trans, by E. A. Lunzer. Basic Books, New York, 1960.

10.  N. Tinbergen. The Herring Gull’s World. Basic Books, New York, 1961.

Вместо послесловия

ПРИМЕЧАНИЯ СОСТАВИТЕЛЯ

К статье М. Стоуна

[’) М. Стоун систематически подчеркивает не только свое внутреннее удовлетворение от сознания того, что его результаты находят использование в вопросах естествознания или же в иных областях практики, но и значение практики для развития математики. Эго роднит его взгляды с нашими. Однако следует подчеркнуть, что его взгляды ограничены, и ему неизвестны ленинские концепции в теории познания.

[²]  Читателю ясно, что силлогизм, которому М. Стоун придает столь большое значение, представляет собой либо недоразумение, либо он дай в столь неопределенной форме, что ему можно придать любое смысловое значение. Хорошо известно, что рассуждения присущи не только математике и не только естественным наукам. Людям приходится рассуждать, делая при этом строгие логические заключения, при определении медицинского диагноза, в политике, при поиске неисправности в сложной технической системе и т. д. Без рассуждений не может быть какого бы то ни было общего знания. Считать, что с рассуждением связано только математическое знание,— по меньшей мере наивно. Ведь часто рассуждают — и притом логически полноценно — и при рассмотрении обычных житейских ситуацией, которые не имеют никакого отношения ни к математике, ни к каким-либо другим областям науки.

Точку зрения диалектического материализма на процесс познания ярко выразил В. И. Ленин следующими словами: <От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» (Поли. собр. соч., т. 29, стр. 152—153).

[³]  Автор правильно подчеркивает возрастание роли математики в совершенствовании наших знаний. Процесс математизации знаний вызывается глубокими и важными закономерностями общественного развития, в силу которых, раз начавшись, он уже не может закончиться. Развитие массового производства неизбежно приводит к необходимости поиска оптимального расходования материалов, машинного времени, людского труда, максимального сокращения транспортных расходов. До тех пор пока все эти задачи не получат точную математическую формулировку, не может быть и речи о разыскании оптимального решения. Исследование космоса, начатое нашей страной, не может быть осуществлено без широкого привлечения математических методов, без предварительного расчета

возможных вариантов, их сравнения и выбора оптимального в том или ином смысле. Проникновение в мир атома также требует непременного использования математических методов. На очереди стоят многочисленные новые задачи в самых различных областях человеческой деятельности, нуждающиеся в использовании математического аппарата и привлечении математического метода рассуждений. Но расширение поля применений математики неизбежно влечет за собой появление новых задач, а вместе с ними необходимость создания новых методов исследования. М. Стоун безусловно прав, когда высказывает уверенность в том, что математизация науки «неизбежно будет вызывать и стимулировать прогресс самой математики». В сущности, эту мысль отстаивал всей своей научной деятельностью П. Л. Чебышев, высказавший еще в 1856 году следующую мысль: «Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике» (П. Л. Чебышев. Поли. собр. соч., т. V. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1951, стр. 150).

(⁴]  Нет нужды опровергать здесь тезис М. Сгоуна о математике, «являющейся чистым и свободным творением разума», поскольку в советской литературе этому уделено достаточное внимание. Однако следует высказать полное согласие с другим его тезисом о нецелесообразности применения к математике чисто утилитарной мерки, поскольку это «может привести только к катастрофе: это вызвало бы иссушение источников современного математического познания и, в конце концов, затормозило бы деятельность в области прикладной математики». Диалектический материализм подчеркивает важность развития теоретического, абстрактного мышления. В настностн, в приведенной цитате В. И. Ленина теоретическому этапу развития науки отводится важное и почетное место.

[⁵] Автор многократно повторяет идеалистический тезис о свободе математики от физической необходимости. Материалистическое понимание процесса развития математики, формирования ее понятий можно найти в превосходной статье А. Н. Колмогорова «Математика» (БСЭ, т. 26, изд. 2-е), а также в небольшой статье Б. В. Гнеденко «Об образовании математических понятий». (В кн.: Математика в современном мире. М., «Знание», 1969. Серия «Математика, кибернетика», № 9).

М. Стоун чувствует нсудачность приведенных им формулировок и позднее сам говорит о том, что математика «продолжает черпать вдохновение у оракула природы и по-прежнему всегда сознает роль, которую она играет ...для понимания мира, в котором мы живем». Далее он говорит о заинтересованности математики в поддержании контактов с физикой, поскольку при этом возникают новые для математики задачи, «интересные сами по себе». Здесь автор подходит к точкам зрения советских математиков, воспитанных на философии диалектического материализма.

[⁶] Трудно согласиться с этим утверждением М. Стоуна, поскольку во многих странах преподавание математики в средней школе грешит как раз обратным: не дает учащимся представления об истинной роли математического метода в современной жизни, а стремится излагать начала с сугубо абстрактных позиций, не связывая понятия и результаты с явлениями окружающего нас мира.

К статье Е. Вигнера

['] К шутливым определениям философии и математики не следует относиться всерьез. Автор их привел, по-видимом.у, лишь для красного словца и для того, чтобы можно было начать изложение более серьезных точек зрения. Впрочем, эти точки зрения не так новы и сводятся к утверждению, что математик придумывает вводимые им научные понятия по своему желанию, основываясь лишь на чувстве формальной красоты. В действительности, научные понятия таким путем не возникают и в этом отношении математика не является исключением. Введе

нию нового понятия предшествует длительный процесс наблюдений и сопоставлений, выявления тех свойств, которыми обладают ранее введенные понятия данной области исследований и в какой мере предлагаемое новое понятие охватывает ранее изучавшиеся объекты исследования. Остроумие математика проявляется не в том, чтобы придумать что-то такое, чего раньше не было, а в том, чтобы ввести в рассмотрение то, что действительно необходимо для развития науки. Ведь если бы понятия математики придумывались лишь для доказательства поразительного остроумия и изобретательности создателя и никак не были бы связаны с тем, что уже изучала наука раньше, то наука прекратила бы свое существование. И это случилось бы хотя бы потому, что математики перестали бы понимать друг друга и была бы не одна математика, а столько математик (и даже больше), сколько существует математиков.

[²]  Утверждение автора о том, что «все законы природы являются лишь условными утверждениями...», требует некоторого дополнительного обсуждения. Нет сомнений в том, что на каждом этапе познания нам удается узнать лишь часть первопричин и последствий вечно движущейся I! развивающейся природы. Явления природы исключительно сложны, н для того чтобы приблизиться к пониманию присущих им закономерностей, мы вынуждены упрощать явления, отбрасывать многие свойственные им особенности и в этой упрощенной модели находить присущие ей закономерности. В этом смысле познаваемые нами закономерности природы условны. Об этом прекрасно сказано В. И. Лениным (Поли. собр. соч., т. 29, стр. 163—164). Но модели явлений природы создаются не по нашему произволу, а на основе того, что мы наблюдаем. Вот почему В. И. Ленин имел возможность сказать, что «...человеческое мышление по природе своей способно давать и дает нам абсолютную истину, которая складывается из суммы относительных истин. Каждая ступень в развитии науки прибавляет новые зерна в эту сумму абсолютной истины...» (Поли. собр. соч., т. 18, стр. 137).

[³]  Представление о том, что «свои понятия математики выбирают не из-за их простоты.., а из-за удобства манипулирования с ними» по меньшей мере наивны. Несомненно, что простота понятий и удобство манипулирования с ними являются существенными обстоятельствами и, конечно, из нескольких понятий, способных достаточно хорошо описать интересующий нас круг явлений, мы выберем то, которое проще, доступнее и удобнее для рассуждений и выкладок. Но если простота понятия и удобство манипулирования с ним не позволяют нам описывать основные характерные свойства явления, которое мы изучаем, то мы готовы поступиться и простотой понятия, и удобством манипулирования с ним. В науке сохраняются лишь те понятия, которые позволяют достаточно адекватно описывать изучаемые нами явления.

[⁴]  Два высказывания Вигнера не хотелось бы обойти молчанием. Во-первых, это почти заключительные его слова о «чудесной загадке соответствия математического языка законам физики, являющегося чудесным даром, которого мы не в состоянии понять...». Во-вторых, его слова, которыми он кончает вводную часть статьи: «...невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому нет».

Все разговоры о «чудесном даре» и мистике должны быть признаны либо недоразумением, либо заблуждением. В действительности математика является не даром свыше, а результатом длительной напряженной работы человечества. Понятия и методы математики создавались (и создаются) и совершенствовались (и продолжают совершенствоваться) под благотворным воздействием практики. Для каждой ступени познания удовлетворительно действуют какой-то математический аппарат исследования и какие- то понятия для описания изучаемых явлений. Но как эти понятия, так и математический аппарат имеют лишь ограниченное поле действия. Нередко переход на новую ступень нашего знания с очевидностью показывает нам недостаточность использованных ранее математических средств, Они оказываются неприспособленными для более детального, полного и разностороннего описания. Появляется необходимость в создании нового математического аппарата, способного дать более точное описание, более точное знание предмета исследования. И такой аппарат создается — создается под влиянием заказа естествознания. Постепенно он оттачивается и дает поразительные совпадения математической теории с результатами наблюдений. Но проходит какой-то срок и человечество в своем стремлении к познанию природы делает новый шаг. Прежнее описание интересующего нас явления оказывается слишком грубым и недостаточным, столь же грубой и недостаточной оказывается и ранее существовавшая математическая теория его. Вновь наука оказывается в состоянии напряженного поиска понятий и математических средств для описания этого явления на новом этапе нашего познания.

В результате естествознание (а также любая другая дисциплина) использует не какую-то сложившуюся и закостенелую математику, а математику, вечно развивающуюся, вечно обновляющуюся и приспосабливающуюся к потребностям достигнутой ступени знания и очередным его задачам.

Как ни чудесен аппарат арифметики и как он ни любим многими, он неспособен описать все разнообразие явлений природы, производственных и экономических процессов. Требуется создавать новые математические средства, способные удовлетворительно описывать и прогнозировать течение процессов. История математики убедительно показывает, что она шла именно этим путем и именно на этом пути накопила «мистическую» способность с невероятной точностью и эффективностью описывать течение разнообразных явлений и процессов.

К статье Мэрн Картрайт

['] М. Картрайт затрагивает очень важный вопрос современности — об особенностях математического мышления. Теперь в связи с математизацией знаний и практической деятельности особое внимание следует обратить на процесс обучения и воспитания у молодого поколения тех принципов, которые потребуются его представителям в будущей жизни, в практической работе. В наши дни все большее число педагогов и практических работников приходят к мысли, что математическое образование должно развивать строгое логическое мышление, прививать привычку к выяснению тех предпосылок, на базе которых проводится рассуждение, и строгому следованию этим предпосылкам. Очень важно одновременное развитие представлений об опытном происхождении математических понятий и знаний. М. Картрайт воспитывалась не в обстановке идей диалектического материализма, но легко усмотреть из статьи, что она разделяет основной принцип советского образования, который можно изложить следующими словами В. И. Ленина: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике» (Поли. собр. соч., т. 29, стр. 152—153). Она отмечает, что понятия математики возникали из практических потребностей людей, и одновременно подчеркивает то обстоятельство, что она и профессор Литлвуд исследовали вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений исходя из некоторых запросов радиотехники.

[²] Здесь следовало бы добавить слова: «или отказаться от классического детерминистского подхода и обратиться к теоретико-вероятностным концепциям».