Skip to main content

Простые числа (Шнирельман) 1940 - старые книги

Советская академическая и специальная литература

Простые числа (Шнирельман) 1940

 

Назначение: Настоящая брошюра может служить введением в ту часть математики, которая занимается изучением свойств целых чисел и носит название теории чисел. В этой брошюре затрагиваются, однако, только те свойства целых чисел, которые связаны с разложением их на простые множители.
От читателя не требуется никаких предварительных познаний кроме школьного курса математики. Эта брошюра будет понятной также и интересующимся математикой учащимся последних классов средней школы.
Только для чтения последнего параграфа нужно иметь некоторые сведения из интегрального исчисления. Не знающие интегрального исчисления могут просто не читать этот параграф, нисколько не потеряв при этом главного содержания брошюры.
Можно также при чтении пропустить четвертый параграф, если он покажется трудным, потому что для понимания дальнейшего содержания брошюры этого параграфа знать не нужно.
Л. Шнирельман.

© Государственное издательство техникотеоретической литературы
МОСКВА 1940 ЛЕНИНГРАД

Авторство: Шнирельман Л.Г.

Формат: PDF Размер файла: 3.83 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

  • 1. Разложение целых чисел на простые множители 5
  • 2. Сравнения 13
  • 3. Теория целых комплексных чисел 22
  • 4. Арифметика чисел вида а и в, где р есть кубический корень из единицы 29
  • 5. Разложение целых чисел на сумму четырех квадратов ... 38
  • 6. Различные доказательства существования бесконечного множества простых чисел 43
  • 7. Разложение л! на простые множители и тождество Чебышева 46
  • 8. Грубые оценки для числа простых чисел, не превосходящих данного числа х 48
  • 9. Доказательство постулата Бертрана 51
  • 10. Асимптотические формулы Мертенса 53
  • 1. Разложение целых чисел на простые множители.

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатно Академическое и специальное издание времен СССР - Простые числа (Шнирельман) 1940 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

Мы будем считать известным понятие о целом числе, положительном и отрицательном, и о действиях сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел.

Целые числа, положительные и отрицательные, могут быть расположены по величине в последовательность —3,—2, — 1, 0, 1, 2, 3,..., бесконечную в обе стороны.

Сумма, разность и произведение двух целых положительных или отрицательных чисел есть снова целое положительное или отрицательное число. Частное от деления одного целого числа на другое может уже не быть целым числом.

Если целое число а при делении на целое число Ь дает целое частное с, то говорят, что а делится на Ъ. Число Ъ называется множителем или делителем числа а, число а называется кратным Ь.

Если число а равно произведению целых чисел ...

то говорят, что а разлагается на множители ть т2,..., тР

Настоящая брошюра посвящена изучению закономерностей, касающихся делимости чисел и разложения чисел на множители.

Для всей теории делимости основным является понятие простого числа. Простым числом называется целое число, не имеющее никаких делителей, меньших его по абсолютной величине, кроме чисел z+z 1 Ц. В дальнейшем под простыми числами мы будем всегда разуметь положительные простые числа.

В теории делимости чисел играет основную роль разложение всякого целого числа на простые множители.

Принцип математической индукции.

Мы будем в дальнейшем пользоваться важным вспомог!* тельным средством при математических исследованиях, заключающимся в следующем общем положении, называемом принципом математической индукции:

!) ± 1 не причисляются к простым числам.

Если какое-нибудь свойство принадлежит числу 1 и если можно доказать, что справедливость этого свойства для чисел, не превосходящих л, влечет за собой справедливость его для числа «4-1, то это свойство имеет место для всех целых положительных чисел.

В качестве приложения принципа математической индукции докажем следующее предложение:

Теорема. Всякое целое положительное число либо равно единице, либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел.

Доказательство. Для единицы наша теорема, очевидно, справедлива. Пусть она имеет место для всех чисел, не превосходящих п. Докажем, что она верна и для «4“1*

Если п 4- 1 есть простое число, то теорема верна для « 4~ Если «4~1 не есть простое число, то п-\-\ —прг^, где пг и ла — числа, меньшие «4“!- Числа пх и л2, согласно предположению индукции, можно разложить на простые множители. Тогда из равенства «4"11П2 следует, что и «4"! можно разложить на простые множители.

Согласно принципу математической индукции, заключаем о справедливости высказанной теоремы для любых целых положительных чисел.

Доказательство Эвклида БЕСКОНЕЧНОСТИ РЯДА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ.

Теорема. Простых чисел существует бесконечное множество.

Доказательство. Допустим, что простых чисел существует лишь конечное число, и пусть pit р2, ..., рг будут все простые числа. Образуем произведение

Согласно доказанному выше, это число должно разлагаться на простые множители. Пусть разложение его на простые множители напишется в виде

№.../?r4-l=^2...gs.

Очевидно, что ни одно из простых чисел qv qz,..., qs не может совпадать ни с одним из р2,...., рг, потому что совпадение р{ с q^ влекло бы за собой, на основании равенства PiP2...pr—^172-делимость 1 на рь что, очевидно, абсурдно.

Мы доказали, таким образом, что из предположения, что кроме plt pit..., рг других простых чисел нет, вытекало бы, 6

что кроме них существуют еще простые числа qv q^,..., qs. Полученное противоречие доказывает теорему.

Примечание. Аналогично можно доказать, что существует бесконечное множество простых чисел вида 4л — 1. Именно, предполагая, что простых чисел вида 4л — 1 существует- лишь ограниченное число: ^2,..., qr, образуем произведение т = 4q±q2... qr—1. Это число не может иметь лишь простых множителей вида 4л-|-1, так как произведение чисел подобного вида также имело бы вид 4и4~1* Так как всякое нечетное простое число имеет или вид 4л 4-1, или вид 4л — 1, то среди простых множителей числа т должно быть по крайней мере одно простое число вида 4л—1, которое, очевидно, не совпадает ни с одним из qit и значит qv q2, .qr не исчерпывают все простые числа вида 4л—1.

Совершенно так же докажем, что существует бесконечное множество простых чисел вида 6л — 1.

Некоторые общие замечания о целых числах.

Приведем следующие, хотя и простые, но важные и часто применяемые свойства целых чисел.

а) Существует лишь конечное число целых положительных чисел, меньших данного целого числа. Поэтому

б) Если имеем последовательность убывающих целых положительных чисел л2 л3 ..., то такая последовательность всегда конечна.

в) Если имеется какое-нибудь множество целых положительных чисел, меньших данного, то среди них всегда найдутся наибольшее и наименьшее.

Общий наибольший делитель.

Общим наибольшим делителем целых чисел т и п называется наибольшее из целых чисел, являющихся одновременно делителями тип. Такое число должно существовать на основании замечания в).

Предварительные замечания, а) Если два числа тип делятся на число d, то все числа вида km±ln, где k и I—целые числа, тоже делятся на d.

Доказательство. Обозначим частные от деления т на d и п на d соответственно через тх и nv Тогда, очевидно, km±ln = d т. е. kmdzIn делится на d.

Этим свойством мы уже пользовались при изложении доказательства Эвклида бесконечности ряда простых чисел.

б) Вычитая из целого положительного числа а наибольшее не превосходящее его кратное cb целого положительного числа Ь, получим остаток г от деления а на Ь, так что a = cb-\-r\ с называют частным от деления а на Ь. Остаток г меньше Ь. Он равен нулю тогда и только тогда, когда а делится на Ь.

Алгорифм Эвклида.

Пусть даны два числа т и п, и т п. Разделим т на п и образуем частное mi и остаток rr Имеем т = т^п-\-гГ Докажем, что общий наибольший делитель чисел т и п равен общему наибольшему делителю чисел п и rv Для этого достаточно показать, что всякий общий делитель чисел т и п является общим делителем чисел п и гг и обратно. Но на основании замечания а) видим из равенства т = rlt что всякий общий делитель чисел п и делит т (и п), а из равенства 1\ = т— трг видим, что всякий общий делитель чисел тип делит (и п).

Если формулировать словами полученный результат, то можно сказать, что общий наибольший делитель чисел тип равен общему наибольшему делителю числа п и остатка от деления т на п. Этот остаток меньше п.

Таким образом задача о нахождении общего наибольшего делителя чисел тип свелась к задаче о нахождении общего наибольшего делителя меньших чисел п и rv

Алгорифм Эвклида заключается в повторном применении этого приема. Применяя его к числам п и rit получим новые числа и га, где г2 есть остаток от деления п на гг Общий наибольший делитель чисел и г2 тот же, что у п и гх т. е. у т и п, г± и г2, в свою очередь, заменяем через г2 и г8, где г3 есть остаток от деления на г2, и т. д.

Так как каждое следующее г+1 меньше предшествующего г{, то их последовательность не может быть бесконечной. Поэтому при повторении последовательного деления. на ri+l мы должны притти, в конце концов, к такому которое делится нацело на rj+1, давая в качестве следующего остатка г^2 нуль. Общий наибольший делитель всякой пары последовательных rt и r.^t, в частности и равен общему наибольшему делителю т и п. Но /j делится на г^+1. Их общим наибольшим делителем является, очевидно, г^. Следовательно, общий наибольший делитель т и п равен 7-.+1.

Иными словами, общий наибольший делитель двух целых чи= сел т и п равен последнему не равному нулю остатку, получающемуся при применении алгорифма Эвклида к числам т и п.

Следствие 1. Обозначим последовательные частные, получающиеся при применении алгорифма Эвклида, через ти т2,..., irtj. На основании связи между делимым, делителем и остатком, очевидно, имее$г

rt — т— тхп, г2 — п —m2rv rs = ri — msr2,

  • •••••

rj+1 — d — общему наибольшему делителю т и п. Вставляя последовательно выражения. г1, г2,..., rj в последующие, получим соотношение вида

— d = тХ—nY, где X и Y—целые числа.

Следствие 2. Если т и п — взаимно простые числа, т. е. их общий наибольший делитель равен 1, то можно подобрать целые числа X и Y, удовлетворяющие уравнению

тХ—nY = 1.

Следствие 3. Если произведение целых чисел т и п делится на число k, взаимно простое с т, то п должно делиться на k.

Доказательство. Так как т взаимно простое с k, то по следствию 2 можно подобрать числа X и Y, удовлетворяющие уравнению

mX—kY — 1.

Умножая обе части этого уравнения на л, получаем уравнение тпХ — knY — п.

Левая его часть делится на k, потому что тп делится на k по условию. Следовательно, п делится на k.

Следствие 4. Если произведение чисел т и п делится на простое число р, то или /п, или п делится на р.

Доказательство. Если т не делится на р, то, ввиду простоты числа р, т взаимно простое с р, и тогда, на основании следствия 3, п должно делиться на р.

Теорема. Всякое целое положительной число разлагается единственным образом на простые множители, если отвлечься от порядка сомножителей в разложении.

Доказательство. Пусть мы имеем два разложения одного и того же числа на простые множители, т. е. равенство

PiP2---Pr = ^i72” (*)

где все р и q—простые числа.

На основании следствия 4, из того, что произведение ЯгЯъ'-'Яз делится на рг, следует, что один из сомножителей должен делиться на рг. В самом деле, qtq2. ..q8 есть произведение двух множителей qt и q2. ,.q8, и по следствию 4, если qt не делится на рг, то q2... q8 = q2 (q3... qs) делится на pr. Тогда, если q2 не делится на рг, то q*.q8 делится на рт, и т. д. Таким образом, в конце концов, мы придем к числу qit делящемуся на рг. Эго число, как простое, должно совпадать с р,.1). Деля обе части равенства (*) на рг, получим равенство

Р1Р2 • • • Рг-1 = ^2 • • • Я^ -“Яз-

Повторяя то же рассуждение применительно к р , получим

Продолжая это рассуждение, убедимся в том, что каждое р совпадает с каким-нибудь из q^ и обратно, т. е. r—s и рр Ра» • • • Рг и Я и Яъ--- Яг представляют одну и ту же совокупность чисел, если отвлечься от порядка, в котором они расположены.

Следствие 1. В силу доказанной теоремы всякое целое положительное число может быть, и притом единственным образом, представлено в виде произведения

Pi "Pr r

где рр...,рг — различные простые числа, а показатели степеней— целые неотрицательные.

Следствие 2. Каждый делитель числа р/1 • имеет вид

01 0

Pl -"Prr,

где 0 .... 0р,.аг.

Доказательство. В силу единственности представления числа в виде Pi’1.. .р/г ни один из его делителей ие может делиться на простое число, не содержащееся среди чисел рр..., рг. По той же причине ни один из делителей числа р/1... р/г не может содержать, например, рх в сте-

х) Подчеркнем еще раз, что мы всюду предполагаем простые числа положительными.

пени, высшей чем ах. В обоих случаях, умножая делитель на частное от деления на него числа р^1... р*г, мы получили бы существенно отличное разложение этого последнего числа на простые множители.

Применения теоремы о разложении чисел НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ.

I. Решение неопределенного уравнения, х2 4* у2 — z2 в целых числах.

Можно предположить х, у, z не имеющими общего множителя, большего единицы, ибо иначе можно было бы заранее сократить обе части уравнения x2-\-y2 = z2 на квадрат этого множителя. Из этого предположения будет следовать, очевидно, что х, у, z попарно взаимно просты, ибо если бы, например, х и у делилось на Z 1, то и z делилось бы на d. Таким образом, в частности, одно из чисел х, у должно быть нечетным. Легко видеть, что другое должно быть четным. В противном случае, если бы х = 2Л-|-1, у = 2/-]-1, то х2 +.У2 — 4 (2 k -f- Р 4“ /) Ц- 2 делилось бы на 2, но не делилось бы на 4 и не могло бы быть поэтому квадратом *)•

Пусть х четное, у нечетное; тогда z нечетное. Полагая z—у = 2t, z-]~ у = 2и, имеем

х2 = z2—у2 == (z -f-J') (* —У) =* 4/н.

t и и взаимно просты. В самом деле, если бы t и и имели общего множителя / 1, то d входил бы также в z = t-\-u и у = и — t, а мы видели, что z и у взаимно просты.

Поэтому t и и должны быть порознь точными квадратами.

Докажем это. Именно здесь мы будем опираться на теорему о разложении чисел на простые множители. Имеем

tu “ (Я “ (г’1 • • • ^’’7=р'" • ■ ■ •

Таким образом, в силу следствия 2 теоремы о разложении, / = и = ...рг\ где 4-^ = 2^ (i = l,...,r).

Но так как t и и взаимно просты, то для каждого i одно из чисел равно нулю и потому другое равно 2oq. Значит,

г) Если а2 четно, то и а тетно, a = 2b, d2 = 4$2, т. е. а2 делится на 4. Таким образом квадрат не может делиться на 2, не делясь на 4.

все показатели в разложениях чисел t и и четны, откуда и следует, что каждое из этих чисел есть точный квадрат:

t — tf, и = и*.

Отсюда

х — 2ult1, у — и? — /Д z — u^-\-t^. (**)

Таким образом каждое решение уравнения (*) во взаимно простых целых числах должно быть представимо в виде (**), где tx и — взаимно простые целые числа, из которых одно четно, а другое нечетно (иначе у и z были бы оба четными). Но и обратно, каковы бы ни были взаимно простые целые числа tL и иг разной четности, числа х, у, г, составленные из них по формулам (**), дают решение уравнения (*) во взаимно простых числах. В самом деле, прежде всего

= 4М1%2 4 (^2 _ ^2)2 = (И1Я 4- /х2)2 = 22;

кроме того, если бы у и z делились на простое число d, то также г—j/ = 2^2 и z-±-y = 2и^ делились бы на d, и так как d не может быть равно 2 (ибо, в силу разной четности чисел tr и «р у и z нечетны), то в силу следствия 4 (стр. 9) ил и должны были бы делиться на^, в противоречие с предположением о их взаимной простоте. Следовательно, у и г, а значит, также все три числа х, у и z взаимно просты.

Таким образом формулы (**) при и ut взаимно простых разной четности дают все решения уравнения (*) во взаимно простых целых числах.

II. Доказательство теоремы Ферма для четвертых степеней.

Докажем следующую теорему:

Уравнение х4 -f-y4 == z4 не имеет решений в целых числах^ отличных от нуля, и даже более', уравнение x4-\-y4 = z^ не имеет отличных от нуля целых решений.

Доказательство. Допустим, что существует система отличных от нуля решений последнего уравнения. Тогда среди этих систем решений должна существовать такая, для которой z принимает наименьшее возможное значение. Покажем, что х и у при этом будут взаимно простыми. В самом деле, если бы х и у имели общий делитель d, то z делилось бы j х у z £

на а и целые числа у, и давали бы систему решений с меньшим z.

Как и в предшествующем исследовании уравнения я9 убеждаемся в том, что из пары чисел хиу одно должно быть четным, другое нечетным.

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Теория чисел, Элементарная математика, Шнирельман Л.Г.

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНОЕ ИЗ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА (НАУКА)

БОЛЬШЕ НЕТ

НАУКА МАТЕМАТИКА СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика