Skip to main content

Прямая и обратная теоремы - Элементы алгебры логики (Градштейн) 1959 год - старые книги

Советская нехудожественная литература

 Uchebniki-SV_32640.jpg

Описание: Книга имеет целью разъяснить логические отношения между прямой, обратной, противоположной и противоположной обратной теоремами и понятия о необходимом и достаточном условиях. В книге в доступной для широкого читателя форме освещаются некоторые элементы теории множеств. В отличие от 2-го издания, 3-е издание включает главу, содержащую начальные сведения из математической логики. Книга снабжена большим количеством задач и вопросов для активного усвоения материала.

Книга покойного Израиля Соломоновича Градштейна «Прямая и обратная теоремы» посвящена рассмотрению логических соотношений между прямой, обратной, противоположной и противоположной обратной теоремами, ясное осознание которых необходимо, как известно, для правильного понимания математических доказательств.

Книга предназначена для лиц, изучающих математику, прежде всего для учащихся средних учебных заведений различных типов, но может быть также полезна и для студентов вузов и учителей.

© Государственное издательство физико-математической литературы Москва 1959 

Авторство: Градштейн Израиль Соломонович

Формат: PDF Размер файла: 9.8 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

От издательства . 4

Из предисловия к 1-му изданию. 7

Глава 1. Прямая и обратная теоремы. 9

  • 1. Введение. Теоремы, аксиомы и определения 9
  • 2. Теоремы 11
  • 3. Система теорем. Изучение математических объектов 13
  • 4. Множества и свойства. 15
  • 5. Соотношения между множествами 18
  • 6. Изображение соотношений между множествами с помощью схем 22
  • 7. Обратная теорема. 27
  • 8. Противоположные теоремы 38
  • 9. Доказательство от противного 42
  • 10. Отрицание 50
  • 11. Необходимые и достаточные условия. 52
  • 12. Геометрическое место точек. 54
  • 13. Закон обратимости 61
📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ

Глава II. Элементы математической логики. 65

  • 14. Введение. 65
  • 15. Суждения. Их истинность и ложность 68
  • 16. Связь суждений. 74
  • 17. Равносильность. 80
  • 18. Равносильные суждения. 82
  • 19. Различные формы обратных и противоположных теорем 91
  • 20. Всегда истинные и всегда ложные суждения 94
  • 21. Суждения о свойствах . 100
  • 22. «Все» и «существует» 104

Решения задач, помещенных в тексте. 111

Итак, взаимоотношение между четырехугольниками 36

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатную книгу времен СССР - Прямая и обратная теоремы - Элементы алгебры логики (Градштейн) 1959 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ
  • 7. Обратная теорема

Читатель, наверно, помнит, что теоремой, обратной данной, называется такая теорема, условием которой служит заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы1). Например, для теоремы «в параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам» обратной является следующая: «четырехугольник, в котором диагонали, пересекаясь, делятся пополам, является параллелограммом»; для теоремы «если в четырехугольнике все стороны равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны» обратной является: «если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то в нем все стороны равны».

Обратные теоремы так же, как и прямые могут быть как верны, так и не верны. Так, в первом из приведенных примеров верны и прямая и обратная теоремы; во втором примере теорема верна, а обратная, как мы покажем дальше, не верна. Поэтому справедливость обратных теорем (как и прямых) подлежит доказательству, и действительно, в математических книгах вы такие доказательства найдете. Но в учебниках элементарной математики, давая доказательства обратных теорем, обычно недостаточно выясняют значение обратных теорем. Между тем обратные теоремы, или, точнее говоря, теоремы, которые сами верны и обратные к которым также верны, играют очень большую

1) Киселев А. П., Геометрия. Учебник для 6—9 классов средней школы, ч. I, М., Учпедгиз, 1958, стр. 18, § 30. В дальнейшем ссылки на эту книгу мы будем коротко обозначать так; Киселев, стр., §

роль в математических исследованиях. Поэтому мы подробно остановимся на значении обратных теорем 1).

Вернемся снова к приведенной нами в виде примера теореме «в параллелограмме диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам» Эта теорема верна. Ее можно формулировать еще и так: «у одного из видов четырехугольников, у параллелограмма, диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам». Естественно возникает вопрос: является ли параллелограмм единственным видом четырехугольников, у которых диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам? Вопрос этот равносилен вопросу о справедливости обратной теоремы: «четырехугольники, у которых диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам, суть параллелограммы». Доказательство обратной теоремы сводится к доказательству того, что противоположные стороны четырехугольника, у которого диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам, параллельны. Эта обратная теорема, как легко доказать, правильна, и поэтому на поставленный ранее вопрос мы можем дать утвердительный ответ.

Параллелограмм обычно определяют как вид четырехугольника, обладающий следующим основным, характеризующим его свойством: противоположные стороны этого четырехугольника параллельны 2). Отсюда выводят ряд других свойств этого четырехугольника, в том числе и свойство его диагоналей при своем пересечении взаимно делиться пополам. При этом оказывается, что это последнее свойство

1) [Следует иметь в виду, что в научной литературе по математике термин «теорема», как правило, употребляется в ином смысле, чем в этой книге. Именно под теоремой имеют в виду предложение математической теории, истинность которого доказана с помощью логических рассуждений. С этой точки зрения, когда о некотором предложении говорят как об обратной теореме, это означает, что истинность этого предложения уже доказана: выражение же «неверная обратная теорема» считается не имеющим смысла. Следуя такому употреблению слова «теорема», мы должны были бы говорить в этой книге о прямых, обратных, противоположных и противоположных обратным предложениях (предложение может быть как истинным, так и ложным), выделяя затем среди предложений, встречающихся в математике, такие, истинность которых доказана с помощью логических рассуждений, и только к предложениям этого последнего вида относить название «теорема». Однако такая терминология не соответствует школьной практике, в которой вошло в обычай говорить о верности и неверности обратных и противоположных теорем.]

2) Или, что то же, как вид трапеции, у которой боковые стороны параллельны.

настолько характеризует параллелограмм, что его можно принять за основное свойство, характеризующее парал

лелограмм как вид четырехугольника.

Перейдем теперь ко второму примеру: «если в четырехугольнике все стороны равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны». Легко показать, что эта теорема верна. Итак, мы в этом случае выделяем четырехугольники по их следующему основному свойству: стороны выделенных четырехугольников равны. Все выделенные четырехугольники обладают (так как указанная теорема верна) еще и другим свойством — взаимной перпендикулярностью диагоналей. Естественен снова вопрос: является ли это второе свойство также основным свойством выделенной нами группы четырехугольников, т. е. будут ли равны стороны в с я к о г о

четырехугольника, у которого диагонали взаимно перпендикулярны? Очевидно, что указанный вопрос равносилен вопросу о правильности обратной теоремы: «если в четырех

угольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то в нем все

стороны равны». Ответ на этот вопрос в данном случае получается отрицательный, т. е. в данном случае обратная теорема не верна. Чтобы убедиться в этом, м достаточно построить четырехугольник, диагонали которого будут взаимно перпендикулярны, а стороны не будут равны.

Для такого построения

возьмем на каждой из двух

взаимно перпендикулярных прямых MN и PQ по точке (черт. 7).

Выбранные нами точки А и В соединим прямой. Из точки В

делаем на прямой /ИМ засечку радиусом, равным 2АВ, и полученную точку С соединяем с В прямой. На прямой PQ выбираем какую-либо точку D и соединяем ее прямыми с точками Л и С. У четырехугольника ABCD диагонали

взаимно перпендикулярны по построению, а стороны не равны, так как одна из них, ВС, в два раза больше другой. АВ.

Ясно, что для изучения геометрических фигур (как и других объектов) очень важно знать не только свойства данной фигуры, но и какие из этих свойств можно

принять за основные ее свойства» вполне определяющие данную фигуру. Эти свойства геометрических фигур выделяются посредством доказательства обратных теорем.

В обоих рассмотренных нами примерах мы имели дело с некоторым множеством М, а именно множеством четырехугольников. Из этого множества М мы выделяли часть, подмножество А, элементы которого обладают некоторым свойством а. Таким подмножеством А в первом примере служили параллелограммы, т. е. четырехугольники, у которых противоположные стороны параллельны (свойство а), а во втором примере—четырехугольники с равными сторонами (свойство а). Далее мы убеждались в том, что элементы подмножества А, кроме свойства а, обладают еще и некоторым другим свойством, скажем р, т. е. что множество А с М, определяемое свойством а, является частью множества ВсМ, определяемого свойством р. Свойством р в первом примере было свойство диагоналей взаимно делиться пополам при своем пересечении; во втором примере свойством р была взаимная перпендикулярность диагоналей. Далее мы спрашивали себя: можно ли считать свойство р основным свойством множества Л? Иными словами, все ли элементы первоначально рассмотренного нами множества М, обладающие свойством р, обладают также и свойством а, т. е. является ли множество А правильной частью множества В или оно целиком совпадает с множеством Л? Все ли четырехугольники, у которых диагонали взаимно делятся пополам, являются параллелограммами? Все ли четырехугольники с взаимно перпендикулярными диагоналями имеют равные стороны? Ответ на этот вопрос зависит от верности или неверности так называемой обратной теоремы. Значение одновременной справедливости (истинности) или несправедливости (ложности) прямой и обратной теорем можно еще лучше подчеркнуть, если ввести понятие тождества множеств а свойств.

Если множество Ас В и множество В с А» то говорят, что множества А и В тождественны, и записывают это так'. A=iB.

Утверждение, что Ас В означает, что каждый элемент множества Л является вместе с тем и элементом множества В. При этом возможны два случая: а) в множестве В имеются также элементы, не входящие в множество Л; б) в множестве В нет ни одного элемента, не входящего в множество Л. В последнем случае не только Ас В, но и В с А, т. е. 30

в этом случае множества А и В тождественны. Таким образом, в тождественные множества входят одни и те же элементы.

Если свойство аср и свойство p<za, то мы говорим, что свойства а и $ тождественны, и записываем это так: а=р. Иными словами, свойства а и $ тождественны, если всякий объект, обладая одним из этих свойств, обладает непременно и вторым из них.

Тождественные свойства определяют, очевидно, тождественные множества, н, обратно, свойства, определяющие тождественные множества, также тождественны.

Вернемся теперь снова к прямой и обратной теоремам. Итак, взаимоотношения между прямой и обратной теоремами можно характеризовать следующим образом:

Пусть мы имеем некоторое множество М. Прямая теорема утверждает, что элементы множества М, обладающие свойством а (принадлежащие множеству Л), обладают также и свойством р (принадлежат также множеству В). Правильность этого утверждения подлежит доказательству или опровержению', оно может быть истинным или ложным. Обратная теорема утверждает, что элементы множества М, обладающие свойством р (принадлежащие множеству В), обладают также и свойством а (принадлежат также и множеству А). Правильность этого утверждения также подлежит доказательству или опровержению.

Например, вы выделяете из множества (М) четырехугольников параллелограммы (множество А), как четырехугольники, у которых противоположные стороны попарно параллельны (свойство а), и приходите к заключению, что противоположные стороны такого четырехугольника попарно равны (свойство р, определяющее множество В).

В обратной теореме вы рассматриваете четырехугольники, обладающие свойством р — равенством противоположных сторон,— и показываете, что эти стороны параллельны, т. е. что этот четырехугольник является параллелограммом.

Одновременная истинность прямой и обратной теорем означает следующее', подмножество А, выделенное из множества М свойством а, тождественно подмножеству В. выделенному из множества М свойством р.

Таким образом, одновременная справедливость прямой и обратной теорем означает справедливость тождеств: а) множеств

МА = МВ

(«сократить» на «множитель» М нельзя) и б) свойств

а-|-принадлежность множеству Л1 =

s р 4“ принадлежность множеству Л1

(«сократить» на слагаемое «принадлежность к множеству М» нельзя).

Легко заметить, что если исходить из второй теоремы, названной нами обратной, и считать ее прямой теоремой, то теорема, названная нами прямой, окажется обратной. Поэтому часто говорят не о прямой и обратной теоремах, а о двух взаимно обратных теоремах. Таким образом, два предложения, из которых одно утверждает, что элементы множества М, обладающие свойством а, обладают и свойством р, а другое, что элементы множества М, обладающие свойством {3, обладают также и свойством а, называются взаимно обратными теоремами.

Задача 12. Для каких теорем вы знаете правильные обратные теоремы?

В задачах 13—17 сформулируйте и докажите теоремы, обратные следующим:

Задача 13. В параллелограмме диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам.

Задача 14. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Задача 15. Если некоторое число (написанное по десятичной системе) делится на 9, то и сумма его цифр делится на 9.

Задача 16. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Задача 17. Верна ли теорема, обратная следующей: «если в треугольнике один угол тупой или прямой, то два других — острые»?

Мы уже говорили о том, что обратная теорема (как и прямая) может быть неверна. Важно при этом указать следующее: верна или не верна обратная теорема, часто зависит от того, как мы эту обратную теорему сфор мул ируем.

Возьмем, например, теорему: «диагонали ромба взаимно перпендикулярны». Если обратную сформулировать так: «четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны есть ромб», то эта теорема окажется неверной, как это легко заключить из сказанного на стр. 29. Если же сформулировать ее так: «параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, есть ромб», то она окажется верной (доказательство этой теоремы предоставляется читателю).

Разберемся подробнее в этом примере. В первом случае мы выделили ромбы и четырехугольники с взаимно перпендику- 32

лярными диагоналями из множества четырехугольников. В этом случае теорема оказалась неверной. Во втором случае мы выделили ромбы и четырехугольники с взаимно перпендику- лярными диагоналями из множества параллелограммов. В этом втором случае теорема оказалась верной. Почему это получилось? Параллелограммы выделяются из множества четырехугольников, как подмножество элементов, обладающих свойством у — параллельностью противоположных сторон. Ромбы выделяются из множества параллелограммов, как подмножество элементов, обладающих свойством а — равенством двух соседних сторон. Таким образом, ромбы представляют собою элементы множества четырехугольников, обладающие свойством a-f-T-

Прямая теорема верна, т. е. четырехугольники, обладающие свойством а-}~7’, обладают также свойством р (перпендикулярностью диагоналей).

Первая формулировка обратной теоремы равносильна утверждению, что четырехугольник, обладающий одним только свойством р, обладает также свойством a-f-Ъ т. е. обладает и свойством а и свойством у. Это утверждение неверно. Вторая формулировка обратной теоремы равносильна утверждению, что четырехугольник, обладающий двумя свойствами Р и у, т. е. свойством Р + т. обладает также свойством а. Это утверждение оказывается верным. Иначе говоря, в данной теореме мы рассматриваем объекты (четырехугольники), удовлетворяющие двум условиям: 1) эти четырехугольники являются параллелограммами, 2) диагонали у этих четырехугольников взаимно перпендикулярны. В заключении же содержится одно утверждение. Итак, обратную теорему мы можем строить двояким образом: или взять в качестве заключения в обратной теореме все условия, накладываемые на объект в прямой теореме, а условием обратной теоремы сделать только одно заключение прямой, или взять в качестве заключения обратной теоремы только часть условий, накладываемых на объект в прямой теореме, а остальную часть условий прямой теоремы вместе с ее заключением сделать условием обратной теоремы.

Вообще условие теоремы может заключать в себе несколько условий, накладываемых на рассматриваемый объект, а ее заключение — несколько утверждений относительно этого объекта. Комбинируя различным образом условия, накладываемые на рассматриваемый объект, и утверждения, содержащиеся

3 Зак. 192. И. С. Гр ад штейн 33

в заключении теоремы, мы можем из данной теоремы получить целый ряд обратных.

Проиллюстрируем это еще на следующем примере. В теореме «если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то они также равны» объект — четырехугольник— подчинен двум условиям:

1) одна пара его противоположных сторон должна быть параллельна:

2) другая пара его противоположных сторон должна быть параллельна.

Заключение этой теоремы содержит два утверждения:

1) одна пара противоположных сторон указанного четырехугольника равна;

2) другая пара противоположных сторон указанного четырехугольника равна.

Комбинируя условия и следствия этой теоремы, можно получить следующие обратные теоремы:

I.  «Если в четырехугольнике обе пары противоположных сторон равны, то они также и параллельны» (эта теорема верна).

II. «Если в четырехугольнике одна и та же пара противоположных сторон равна и параллельна, то другая пара противоположных сторон также равна и параллельна» (теорема верна).

III. «Если в четырехугольнике одна пара противоположных сторон равна, а другая параллельна, то в этом четырехугольнике первая пара, кроме того, параллельна, а вторая пара равна» (теорема не верна: условию этой теоремы удовлетворяет также и равнобочная трапеция).

Наконец, укажем, что обратная теорема вовсе не должна содержать (в своем условии и заключении) все условия и все заключения прямой теоремы. Так, в последнем примере обратную теорему можно было бы сформулировать еще и так:

а) «Если в четырехугольнике одна и та же пара противоположных сторон равна и параллельна, то другая пара противоположных сторон параллельна» (отсутствует одно из заключений прямой теоремы: другая пара противоположных сторон равна).

б) «Если в четырехугольнике одна и та же пара противоположных сторон равна и параллельна, то другая пара противоположных сторон равна» (отсутствует одно из условий прямой теоремы: другая пара противоположных сторон

параллельна). Обе эти теоремы можно объединить в одну, приведенную выше (теорема И).

Задача 18. Покажите, что теорема «четырехугольник, у которого один из углов прямой и диагонали равны, есть прямоугольник» не верна.

Задача 19. Сформулируйте теоремы, обратные теоремам, указанным в задачах 2 и 4. Будут ли эти теоремы верны?

Задача 20. Рассматривая параллелограмм как вид трапеции, покажите, какой смысл имеет теорема «четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, есть параллелограмм».

Задача 21. Сформулируйте и докажите теорему, обратную следующей: «диагонали прямоугольника равны».

Взаимоотношения прямых и обратных теорем можно очень наглядно представить с помощью схем, о которых была речь в § 6. Представим, например, с помощью такой схемы теорему «диагонали ромба взаимно перпендикулярны» и теоремы, ей обратные. Пусть прямоугольник ABCD (черт. 8) соответствует множеству четырехугольников. Выделим в этом прямоугольнике часть, которая соответствовала бы параллелограммам, и заштрихуем эту часть вертикальными штрихами. Выделим далее в прямоугольнике ABCD часть, соответствующую множеству четырехугольников с взаимно перпендикулярными диагоналями, и заштрихуем ее горизонтальными штрихами. Каково должно быть взаимное расположение выделенных нами частей схемы? Часть схемы, заштрихованная горизонтально, может либо перекрываться с частью схемы, заштрихованной вертикально, либо не в перекрываться. Если бы части схемы, заштрихованные горизонтально и вертикально, между собою не перекрывались, как на черт. 8, то это означало бы, что нет ни одного параллелограмма со взаимно перпендикуляр- А ными диагоналями, т. е. что пересечение множества параллелограммов с множест

вом четырехугольников, у которых диагонали взаимно перпендикулярны, пусто. Но, как известно, такое утверждение не соответствует действительности. Значит, части схемы, заштрихованные вертикально и горизонтально, чем-то

перекрывают друг друга. При этом может быть три случая: часть схемы, заштрихованная горизонтально, полностью покрывает часть схемы, заштрихованную вертикально (черт. 9), или часть схемы, заштрихованная вертикально, полностью покрывает часть схемы, заштрихованную горизонтально (черт. 10), или, наконец, эти две части схемы частично перекрываются. Черт. 9 говорит о том, что у всех параллелограммов диагонали взаимно перпендикулярны; но эта теорема не верна, поэтому черт. 9 не подходит в нашем

Черт. 9. Черт. 10.

случае. Черт. 10 также не подходит нам, так как теорема «четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями есть параллелограмм» не верна. Итак, части схемы с горизонтальными и вертикальными штрихами должны частично пересекаться. Далее, из множества параллелограммов выделим множество ромбов. Как мы знаем, это последнее есть правильная часть множества параллелограммов. Ввиду этого часть схемы, соответствующая множеству ромбов, должна составлять какую-то часть схемы, заштрихованной вертикальными штрихами. Закрасим в серый цвет часть схемы, соответствующую множеству ромбов. Проанализируем теперь, каково должно быть взаимное расположение части схемы, заштрихованной горизонтальными штрихами, и части схемы, окрашенной серым. Часть схемы, окрашенная серым, должна быть заштрихована горизонтально, и притом горизонтальные штрихи должны полностью покрыть эту часть схемы, так как диагонали у ромбов взаимно перпендикулярны. Более того, перекрытие частей схемы, заштрихованных горизонтально и вертикально, должно быть полностью окрашено в серый цвет, так как справедлива обратная теорема: «параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом».

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Математическая логика, Серия - Библиотека учителя математики, Математика - ДЛЯ ВУЗОВ-ТЕХНИКУМОВ, Автор - Градштейн И.С.

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНОЕ ИЗ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА (НАУКА)

БОЛЬШЕ НЕТ

НАУКА МАТЕМАТИКА СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика