Предисловие

Мысли о творчестве больших мастеров, высказанные ими самими, всегда представляют интерес. Они вводят нас в рабочую лабораторию автора, показывают, как формировались его научные вкусы, что побудило его заняться той или иной областью науки. Часто они содержат — пусть иногда спорные — суждения о разных аспектах его специальности, месте и роли избранной им проблематики, новых тенденциях в развитии, оценки деятельности его коллег и т.п. К сожалению, такого рода мемуарная литература, особенно доступная широкому кругу читателей, в области математических наук весьма скудна. Поэтому следует приветствовать перевод «Размышлений» одного из крупных английских математиков современности профессора Л. Морделла, который в течение многих лет работал в Манчестерском университете, а затем был приглашен в Кэмбридж на главную математическую кафедру Великобритании, которую ранее занимал Харди.

«Размышления» Морделла (род. в 1888 году) интересны еще и потому, что они, с одной стороны, ярко характеризуют судьбу «чистого» математика в капиталистических странах, где — в особенности в Великобритании — фундаментальным исследованиям, не связанным с прикладными вопросами, долгое время не придавалось большого значения. (Харди был как раз первым английским математиком, которому удалось в двадцатых годах нашего столетия добиться полного признания важности современных математических исследований в английских университетах.) С другой стороны, автор «Размышлений» объективно оценивает тот большой вклад, который сделали советские математики в развитие теоретической и абстрактной математики (в частности, теории чисел). Брошюра была издана Морделлом двенадцать лет назад (в 1959 г.), и поэтому в некоторых своих научных утверждениях orta несколько устарела, что, однако, не снижает ее ценности для читателей, не являющихся специалистами в данных областях математики. Вместе с тем она содержит прогнозы, не утратившие своей актуальности и по сей день, например, относительно роли электронных вычислительных машин в прогрессе математических наук.

Морделл занимает несколько особое место среди математиков середины двадцатого века. Его отличают сравнительно редкая оригинальность мышления, пристрастие к трудным, долгое время не поддававшимся решению проблемам, исключительное упорство в поисках решения, а также пристальный интерес к задачам элементарной математики. Многим читателям будет небезынтересно ознакомиться с одним примером этой последней стороны деятельности Морделла,

Еще в 1905 году Несбиттом (сравнительно мало извести пым английским математиком) было сформулировано в виде задачи неравенство (впоследствии перешедшее во многие эле* ментарные задачники):

х₂+х₃ X₃+Xt

для всех Xi ^ 0, %2 0, Хз ^ 0. Это неравенство легко доказывается многими способами. В дальнейшем возник на пер-: вый взгляд нетрудный вопрос об обобщении этого неравенств на п 3 чисел:

Х₂-}-Хз Х3+Х4

для всех х* 0, 6 = 1, 2,п. Однако многочисленные и дли-: тельные попытки доказать это неравенство (несколько неточно называемое циклическим неравенством Диаманты — математика из Сингапура) не привели к успеху. Только в 1958 году именно Морделлу удалось весьма изящно доказать его для п = 4, 5 и 6, чем был сделан первый шаг в решении этой труднейшей задачи. Отметим, что теперь известна справедливость неравенства для л = 7, 8, 9 и 10 (доказательства весьма сложны) и то, что оно неверно для п = 14, 16, 18, 20, 22, 24 и для п ^26. Под вопросом справедливость неравенства остается только для л=11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23 и 25. Известно также, что оно верно для всех п, если образуют монотонную последовательность. В 1969 году советский школьник Володя Дринфельд доказал.

Введение

В основу этой небольшой книжки положено содержание послеполуденного доклада, с которым в январе 1955 года я имел честь выступить перед членами Канадского королевского общества в Торонто: Это общество объединяет не только ученых, и моя задача была довольно затруднительной, поскольку среди присутствующих находились, наверное, только два или три математика. Трудно подготовить доклад для математической аудитории, требующей, чтобы он был хорошо понятным, но в то же время достаточно содержательным. Но насколько труднее заинтересовать аудиторию, состоящую из не математиков!

И вот о чем я подумал, получив приглашение. Я, по существу, уже «бывший* математик, Почетный Профессор, то есть профессор Кембриджа в отставке, которому представилась возможность еще два года работать в должности приглашенного профессора в Торонто. По общепринятым у математиков оценкам мою карьеру нельзя назвать неудачной. Мои работы оказали определенное влияние на некоторые разделы современной математики, и мое общение — как личное, так и через публикации — со многими математиками, особенно с молодыми, помогало им развить свои способности. Кроме того, я читал лекции в восьмидесяти университетах, институтах и на конгрессах Великобритании, большей части Европы, Индии, Пакистана, Канады, США, Западной Африки, Судана и Уганды. Поэтому есть основания надеяться, что некоторые мои идеи, взгляда и мнения, касающиеся математики и математиков, могут иметь какой-то интерес.

Доклад вызвал значительную дискуссию, видимо, потому, что многие идеи, в нем содержавшиеся, оказались созвучными идеям, важным для исследователей других областей. Возможно, эти идеи давно уже созрели в умах этих исследователей и просто необходим был случай для окончательного их оформления. Что так бывает, я знаю по себе. Беседа всегда помогала мне в кристаллизации мыслей, и я использовал свой доклад, чтобы придать им должную форму и привести их в систему.

Впоследствии я выступал с этим докладом на математическом отделении университета в Торонто, на неофициальной встрече во время Канадского математического конгресса» в университете Мак-Гилла, на Математическом обществе Глазго, на Математическом обществе Манчестера, в Абердинском университете, в университетских колледжах Уганды и Нигерии и в Кембриджском университетском клубе философии науки. Часто выражались пожелания, чтобы я опубликовал доклад, и теперь я рад это сделать. Я прибавил еще несколько разделов, включая раздел о функциях электронных компьютеров; желательность осветить эту тему выявилась в ходе дискуссии в Торонто. Я добавил несколько других замечаний, а также ряд математических деталей. Думаю, что изменения не оказались столь серьезными, чтобы сделать книжку недоступной для не математиков.

1. Что такое математика?

Прежде всего, что такое математика? Многие математики, логики и философы давали определения» которые, на мой взгляд, не могут быть удовлетворительными» особенно для тех, кто неспециалист в математике. Я не буду пытаться сделать это лучше. Достаточно, трудно определить даже какую-нибудь одну отрасль математики. Термин «геометрия» знаком всем, но далеко не всем известно его значение. Это слово, особенно в прежние времена, часто употреблялось многими как синоним математики, и о геометре говорилось в том же смысле, в каком мы говорим о математике. Выдающийся геометр Принстонского университета» профессор Веблен определил геометрию как именно ту часть математики, которая должна называться геометрией по мнению большинства специалистов (т. е. название устанавливается большинством голосов. — Ред.). В наше время многие математики рассматривают геометрию как ветвь алгебры. Но само понятие «алгебра» подверглось сильному изменению в течение последнего столетия. Многие годы существовала дисциплина, известная под названием «алгебра», по поводу содержания которой не возникало сомнений. Затем она поглотила значительную часть теории инвариантов и теории групп и сделалась «высшей алгеброй» или просто «алгеброй». Значительное ее развитие в течение последних тридцати пяти лет привело к возникновению термина «абстрактная» алгебра или «современная» алгебра. И никто сейчас не может предсказать, как долго она будет оставаться «современной» или «абстрактной».

Так что же такое математика? Она имеет так много различных аспектов, что дать ей определение так же трудно, как сформулировать критерий для отнесения живого организма к животным или растениям. Иногда нельзя с уверенностью сказать, принадлежат ли данные теоремы и их вывод к математике или они относятся к логике. Пожалуй, будет понят* нее и полезнее всего, если я скажу, что математика, вероятно, начинается там, где возникает понятие числа обычно в явной, но иногда и в неявной форме, а в некоторых случаях в столь скрытой, что его можно обнаружить, только как следует подумав. Понятие числа может возникнуть по-разному, например, при счете, как средство количественных оценок материальных объектов, как абстракция всевозможных измерений, как понятие, связанное с явлениями природы. Так, геометрия имеет своим истоком проблемы, возникшие при измерении земельных участков. Естественная любознательность человека пробудила в нем желание иметь надежный логический фундамент под эмпирическими результатами, которые были ему хорошо известны. Дальнейшие размышления на эту тему привели к зарождению древнегреческой геометрии.

Еще до этого человек научился думать о числах вне связи с теми предметами, от которых они произошли. Я не буду пытаться дать определение натуральных чисел 1, 2, 3... и т. д., а просто повторю фразу Кронекера, который сказал - «Бог создал натуральные числа. Все остальное — дело рук человека». Для этого человеку нужны были пытливость, способность к наблюдению и экспериментированию, сила разума и логика. Некоторые свойства натуральных чисел были изучены уже на самой ранней стадии. Евклид в своей 1-Х книге рассматривает свойства четных и нечетных чисел, устанавливая, например, что сумма двух четных и двух нечетных чисел есть число четное. Но даже чисто практические проблемы заставляли изучать дальнейшие свойства чисел. Возьмите знаменитый результат Пифагора, связывающий длины сторон прямоугольного треугольника. В самом простом случае стороны треугольника относятся как 3:4:5, и это — очень полезный результат для построения прямого угла. Неизбежно возник вопрос — существуют ли другие прямоугольные треугольники с целыми сторонами, и вскоре был обнаружен треугольник с соотношением 5: ,12: 13. Далее мы приходим к- проблеме отыскания целых чисел х, у, z, таких, чтобы выполнялось равенство x² + y² = z² Элементарными средствами можно показать, что решение проблемы дается соотношениями:

х—а²—b², y — 2ab, z=a² + b²,

Где, а и b — любые целые числа; отсюда можно извлечь сколько угодно решений. Но теперь, конечно, возникает следующий вопрос: все ли целочисленные решения, удовлетворяющие условию, что х, у и z не содержат общего множителя, а у — четно, охватываются нашими формулами? Это настоящая математическая проблема, решение которой связано (S арифметическими свойствами чисел, и хотя древние греки знали эти свойства, но они не решили задачу. Приоритет здесь принадлежит, по-видимому, неизвестному арабскому математику, написавшему манускрипт, датированный 972-м годом нашей эры. Возникли и другие вопросы, касающиеся квадратов и кубов, и на многие из них можно было дать ответы уже с помощью тех элементарных методов, которые бы-, ли тогда известны. Много результатов было получено в четвертом веке нашей эры Диофантом, написавшим на эту тему целую книгу. Под диофантовым уравнением понимается теперь уравнение f(x, t/)=0, если нас интересуют его рациональные решения — либо целые, либо дробные. Проблема этого уравнения имеет многовековую историю, и только в нашем столетии были получены наиболее существенные результаты, к ней относящиеся.

Я хочу раз и навсегда подчеркнуть, что термин «математика» употребляется в данной книжке в том смысле, какой в Великобритании вкладывают обычно в термин «чистая математика», противопоставляемой прикладной математике, натуральной философии и теоретической физике; соответственно употребляется и термин «математик». Основной наш интерес будет связан с результатами, теоремами, методами и доказательствами некоторых положений, а не с практическими приложениями их или с рассмотрением явлений внешнего мира. Иногда бывает полезным, удобным и более наглядным выражать математическую проблему в терминах материальных объектов. Но даже когда исследуются материальные процессы, многие люди больше всего интересуются математической стороной дела; такие люди должны быть отнесены к математикам. Хорошо известно, что как раз такой интерес ведет к фундаментальному развитию чистой математики. Других больше всего интересует материальный мир; они рассматривают математику как исключительно ценное и мощное средство исследования. Вряд ли мне следует объяснять, что Одна из важнейших задач математики — помощь другим наукам.

Стало уже общепринятым утверждение, что быстрее всего развиваются те науки, фундаментальные результаты которых Могут быть сформулированы математически. Используя математические методы, выводят важнейшие следствия, которые иным способом вряд ли можно было бы получить. Одно это, не говоря уже о других аспектах, оправдывает претензии математики на титул Королевы Наук.

1. Становление математика

Как становятся математиком? Возможностей заинтересоваться математикой существует, вероятно, больше, чем любой другой наукой, и многие выдающиеся математики проявляли несомненные признаки математического гения в самом раннем возрасте. В начальной школе все дети учат арифметику. Это, конечно, простая форма математики, но в ней скрыты большие возможности. Например, сложение целых чисел может подсказать проблему об отыскании суммы ряда 1 +2 + 3 + ... . Гаусс, один из величайших математиков мира, будучи ребенком, открыл метод отыскания этой суммы, который, действительно, употребляется при суммировании арифметической прогрессии. Далее, такие известные всем понятия, как линия, треугольник и квадрат, таят в себе возможности геометрических открытий. Говорят, Паскаль в двенадцатилетнем возрасте самостоятельно открыл часть геометрии Евклида.

Математика, обычно изучаемая в средних школах США и Канады, а именно алгебра, элементарная геометрия и тригонометрия, иногда оказывает стимулирующее действие на способных учеников. Но в большинстве случаев интерес к математике у студентов этих двух стран проявляется не раньше второго-третьего года обучения в колледже.

В британских школах второй ступени давно уже для способных к математике учеников практикуется преподавание аналитической геометрии и анализа. Более того, такие ученики обычно получают хорошую математическую практику, готовясь ко вступительным экзаменам. К тому времени, когда они поступают в университет, их влечение к математике и желание работать в этой области бывают уже довольно ярко выраженными.

Небезынтересно напомнить, что Исаак Ньютон, поступая в 1661 году в девятнадцатилетнем возрасте в Тринити-колледж, почти не знал математики, кроме, разве, арифметики.

Иногда учебники математики, даже весьма старые, попавшись случайно на глаза школьнику, могут заразить его желанием изучить предмет подробнее. Воображение индийского математика Рамануджана было разбужено чтением наиболее трудных глав «Тригонометрии» Лони. Мой интерес к алгебре пробудился в тринадцать или четырнадцать лет, когда я нашел в знаменитом букинистическом магазине в Филадельфии старый американский учебник алгебры — вероятно, это был «Полный курс алгебры» Фиклина, вышедший в 1875 году. Необъяснимо, почему книга может так привлечь ребенка, произвести на него такое сильное впечатление и оказать воздействие на его развитие. Его увлечение возрастает, когда ему удается понять содержание книги, несмотря на все трудности, и успех окрыляет его на дальнейшие попытки. Частэ он быстро решает задачу, которая требует у его школьных? друзей много времени и усилий или вообще не поддается им* Он начинает понимать красоту математики все больше и больше, его интерес растет, и вскоре ему открывается огромное разнообразие математики. Дальше он уже не может противостоять своему влечению и делает математику своим главным занятием.

Его решение крепнет после успешной сдачи экзаменов. Однако некоторые великие математики, например, Галуа и Эрмит, не блистали на экзаменах. А совсем недавно доказательство догадки об аппроксимации алгебраических чисел, которое искали многие сильнейшие математики мира, было дано человеком, чья зачетная книжка Кембриджа была отнюдь не столь прекрасной, как можно было бы предположите по его выдающемуся результату, Видимо, для успешной сдачи экзаменов нужны некоторые качества, каковыми может и не обладать прирожденный математический талант.

С другой стороны, по прекрасным экзаменационным оценкам не всегда можно предсказать блестящее математическое будущее. Бывает, что тот, кто подавал большие надежды в школе и в колледже, оказывается беспомощным, когда перед ним встают серьезные и творческие проблемы. Некоторые при этом осознают, что математика — не их стихия. Так, в; прошлом целый ряд студентов Кембриджского университета^ чьи работы были удостоены особого отличия, в дальнейшем; если судить по важности их работ, не сделали в математике чего-либо стоящего.

Но никто не пойдет далеко в математике и не станет настоящим математиком, ебли не обладает некоторыми необходимыми качествами. В нем должны жить Вера, Надежда и Любопытство, и самое важное из этих качеств — Любопытство. Он должен постоянно спрашивать себя — почему, как и когда, и это должно быть главной пружиной, которая двигает им. Он должен верить в свои способности, в свою силу и на*' деяться на успех. Он никогда не должен отчаиваться, а дол* жен всегда идти вперед и не позволять себе предаваться на-j долго унынию. Никто больше его не нуждается в пословице!' «если сразу не удалось, пытайся, пытайся, пытайся еще».

Мы уже говорили, что ребенок, начав изучать математик ку в школе, может серьезно увлечься ей. Поэтому не удивительно, что математики часто созревают как исследователи гораздо раньше, чем представители других наук, и делают великие открытия в возрасте до двадцати лет или не достигнув тридцати. Говорят, что в этом возрасте они делают свой лучшие работы, и поэтому математику называют «забавой молодых». Действительно, многим математикам в молодые годы удавалось вносить большой вклад в математику и рем: тать проблемы, которые долго не поддавались более старым математикам. Можно привести много ярких примеров такого рода. Следовательно, можно ожидать, что математики по сравнению с другими учеными получают более раннее признание. Это так и есть, и подтверждается средним возрастом, в котором математик получает профессорское звание или выбирается в Королевское общество.

Харди в своей «Исповеди математика», говоря о возрасте, в котором математик делает свою лучшую работу, пишет, что он не знает ни одного примера крупной математической работы, принадлежащего человеку старше пятидесяти лет. Многое зависит от определения термина «крупная работа». Но я могу сказать, что уже после пятидесяти лет, в 1940 году, я сделал открытие, которое многие молодые математики охотно бы записали на свой счет. Около двухсот лет назад Лагранж нашел наилучшую возможную оценку для минимума значения, определенной бинарной квадратичной формы ах²+Ьху+су² для целых значений х и у, не равных одновременно нулю. Соответствующий результат для неопределенной формы был получен А. Марковым в 1879 году. Для бинарной кубической формы ax³ + bx²y+cxy²+dy³ частичные и неполные результаты были найдены около 1858 года Эйзенштейном, Арндтом и Эрмитом. В течение восьмидесяти лет эти результаты были последним словом в этой области, поскольку не видно было путей для их улучшения. Казалось, что математики охладели к этой проблеме. Тем не менее в 1940 году я заинтересовался ею и сумел получить результат, наилучший из всех возможных. Доказательство потребовало использования новых методов, и они оказались пригодными для более широких приложений. Обнаружились новые возможности и стали доступными для исследования проблемы, к которым, казалось, не было никаких подступов. Все это явилось мощным стимулом и знаменовало начало нового большого продвижения в «геометрии чисел», осуществленного Малером, Дэйвенпортом, К. А. Роджерсом и другими. В прошлом, практически, все работы касались выпуклых областей, а теперь были получены результаты для невыпуклых областей, что очень расширило наши знания. Вероятно, здесь можно провести аналогию с тем положением, которое создалось, когда математики, ранее изучавшие сходящиеся ряды, нашли средства анализа расходящихся рядов.

• Трудности изучения математики

Некоторые математические утверждения, такие, например, как 24-2=4, 2X2=4, считаются очень легко доказуемыми или вовсе не нуждающимися в доказательствах где точное значение у=0,989.

«Размышления» Морделла — интересный человеческий документ нашей эпохи, изобилующий свежими мыслями о математике как науке и как профессии, искренне написанный ученым, объективно оценивающим состояние этой науки во всем мире и свою роль в ней. Несомненно, «Размышления» найдут благодарных читателей среди нашей молодежи и всех тех, кто интересуется историей науки вообще и математики в особенности.

Профессор В. И, Левин