ПРЕДИСЛОВИЕ

Было бы ошибкой считать, что с евклидовых времен учение о круге остается неизменным и что изложение его во всех учебниках одинаково. Напротив, разработка этой теории продолжается и в наше время. При этом считается предпочтительным вести изложение «в одну линию», подгоняя теорему к теореме, доказательство к доказательству как звенья одной цепи и стараясь создать у читателя впечатление, что иной порядок изложения невозможен. Однако истинный дух геометрии означает нечто большее: он требует подхода к изучению геометрических образов не с одной, а с разных точек зрения, ибо только такой путь ведет к полному знанию. Поскольку это касается элементарной теории круга, которой мы ограничиваемся в ©той книжке, отметим, что попытка дать подобное изложение как будто предпринималась лишь в курсе элементарной геометрии Фладта. Но цели, которые преследовал этот курс, весьма отличны от тех, которые мы ставим себе здесь. Геометрия Фладта была написана как пособие для учителя, поэтому автор мог касаться многих вопросов совсем бегло, ограничиваясь часто одними лишь намеками. Мы же имеем в виду гораздо более широкий круг друзей геометрии.

Что касается характера изложения, то он предполагает активное сотрудничество читателя, выражающееся в решении многочисленных упражнении, и не только в ©том. Мы надеемся, что и помимо упражнений читатель найдет здесь достаточно стимулов для самостоятельной работы, ибо наша маленькая книжка не является, конечно, исчерпывающей — ведь цель и задача каждой научно-популярной книжки в первую очередь должна состоять в том, чтобы помочь читателю выйти за ее пределы.

Гёттинген, лето 1951 г

• 1. ВВЕДЕНИЕ

Первое систематическое изложение учения о круге мы находим в «Началах» Евклида. Но отнюдь не все, что содержится в этой книге, на самом деле принадлежит Евклиду. Некоторые из изложенных в «Началах» теорем приписывают, быть может не совсем обосновано, Фалесу Милетскому, который жил за 300 лет до Евклида; другие, как например теорему о правильном вписанном звездчатом пятиугольнике — Пентагоне, Пифагору Самосскому, жившему за 250 лет до Евклида; наконец, такими вопросами, как квадратура круга, в доевклидово время усиленно занимались многие и многие математики.

Названные греческие ученые в свою очередь тоже, конечно, не были первыми среди тех, кто изучал круг и его свойства. Нужно считать, что с кругом как геометрическим образом человек столкнулся в самые отдаленные времена. Хижинам и сосудам — мы назовем лишь немногое из повседневного обихода человека — уже в глубокой древности задолго до изобретения гончарного круга старались придавать круговую форму. Еще одним примером может служить колесо. Переход от сплошного диска, изготовлявшегося из ствола дерева и лишь приближенно напоминавшего круг, к колесу со спицами совершился очень рано; современное колесо было знакомо египтянам и вавилонянам, также как и предшественникам европейских народов. Такие колеса попадаются до сих пор при раскопках; еще чаще мы встречаем их на рельефных изображениях повозок, например вавилонских, где явственно видны колеса с шестью спицами, или на бесчисленных схематических рисунках на урнах каменного и бронзового веков, где встречаются большей частью четыре или

восемь спиц, обозначенных хотя и условно, но совершенно отчетливо.

Если обратиться теперь к вопросу о правильных многоугольниках и о делении окружности на равные части, то чаще всего мы встречаемся с этим на орнаментах. Различают два типа правильных звездчатых орнаментов-розеток, смотря по тому, обладают ли фигуры, из которых составлен рисунок, осевой симметрией или нет. Среди розеток первого типа трехлепестковые встречаются редко, четырехлепестковые же очень часто; розетки с пятью, а тем более с семью или девятью лепестками, естественно, также попадаются весьма редко, тогда как шести- и особенно восьмилепестковые розетки можно встретить довольно часто. Розетки второго типа не обладают осевой симметрией, они напоминают лопасти турбины; их иногда называют спиральными розетками. Помимо часто встречающихся трехлепестковых и четырехлепестковых розеток этого типа, попадаются пяти- и шестилепестковые, а также очень красивые семилепестковые, составленные из спиралей, затем восьмилепестковые и т. д.

Заметим, что при создании этих предметов обихода (сосуд, колесо и др.) или деталей украшений (орнаменты), имеющих в своей основе окружность (с ними можно познакомиться во многих музеях, например среди коллекций, относящихся к различным эпохам истории Египта), не использовалась никакая теория геометрических построений, хотя циркуль очень рано приобрел современный вид.

В древние времена были, конечно, известны и другие способы построения окружности без применения циркуля. Нередко такие задачи о построении окружности, диктуемые чисто практическими потребностями или художественными целями, приводили к открытиям, имевшим научное значение. Начиная от Геродота и до наших дней, историки отмечали, что задачи измерения земельных участков и изготовления предметов обихода явились одним из источников геометрии. То же обстоятельство, что орнаментика, т. е. чисто художественная деятельность, не вызывающаяся непосредственной практической потребностью, явилась важным началом геометрии, было по-настоящему осознано только в наши дни.

Проиллюстрируем сказанное только двумя примерами.

В старейшем математическом труде древности, так называемом папирусе Рин да, написанном египетским писцом Ахмесом, приводится значение числа it, точность которого превосходит многие приближенные значения позднейших времен:

it ^(-£Y = 3,1604.

Следует полагать, что это значение не могло быть получено теоретическим путем, а было найдено как-то практически.

Второй пример относится ко времени, когда в орнаментике только начала появляться окружность: на золотых пластинках эпохи Микенской культуры (второе тысячелетие до н. э.> мы встречаем изображение окружности, вокруг которой расположены еще шесть окружностей, равных ей и касающихся друг друга.

• 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРУГА И ОКРУЖНОСТИ

1. Обычное определение круга в том виде, в каком его дал Евклид, гласит: круг есть плоская фигура, ограниченная линией, обладающей тем свойством, что все отрезки, соединяющие некоторую точку, расположенную внутри фигуры с точками этой линии, равны друг другу. (Эту линию называют окружностью.) Таким образом, в основу здесь положено равенство радиусов, т. е. отрезков, соединяющих центр с точками окружности. Достоин удивления тот факт, что определенное название этим важным отрезкам было дано значительно позже; ни Евклид, ни многие математики более позднего времени не употребляли для них никакого специального термина. Изучая круг, не следует смешивать два понятия: собственно круг и окружность, которая является его границей. Так, можно говорить о площади Круга или о пересечении прямой с окружностью.

В некоторых языках, например в немецком, во всех случаях, где это не может привести к явному недоразумению, пользуются одним словом (Kreis), объединяющим оба эти понятия, не указывая точно, идет ли в тексте речь об окружности или о круге. Подобно тому, как в русском языке под словом «многоугольник» понимают одновременно и замкнутую ломаную, и ограниченную этой ломаной часть площади.

Дадим еще некоторые определения, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Что называют дугою окружности, понятно без всякого объяснения. Хордой называют отрезок прямой, соединяющий две точки окружности; сегментом — часть круга, отсекаемую от него хордой; сектором — часть круга, ограниченную двумя радиусами и дугой окружности.

2. Способ построения окружности непосредственно вытекает из ее определения: если вращать на плоскости отрезок вокруг одного из его концов, то другой конец опишет окружность. Практически это можно осуществить при помощи туго натянутой бечевки (так поступают, например, при разбивке клумб) или стержня с соответствующими приспособлениями (рис. 1), или, наконец, с помощью циркуля.

3. Окружность как замкнутая фигура. Первое свойство окружности, которое мы собираемся выделить, хотя оно и совершенно очевидно, — это ее замкнутость. Именно на этом ее свойстве основано определение круга: окружность делит плоскость на две части, причем внутренняя есть крут. Для того чтобы соединить линией какую-нибудь внутреннюю точку круга с точкой вне его, нужно по меньшей мере один раз пересечь окружность. Мы будем считать этот факт очевидным и примем его без доказательства, хотя для математика это утверждение отнюдь не является само собой разумеющимся. Мне приходит на память смешная шутка, в которой рассказывается об одном пьянице, обошедшем вокруг полую колонну и с огорчением констатировавшем: «замурован». Он определенно знал, что окружность — это замкнутая кривая, однако отличить внутреннюю часть от внешней уже не смог.

4. Окружность как выпуклая фигура. Для того чтобы установить, является ли данная линия окружностью или нет, конечно, недостаточно проверить, замкнута ли она. Нужно еще потребовать, например, чтобы эта линия была выпуклой. Так как в обиходе про дугу окружности говорят, что она выпукла, если смотреть на нес извне, и эту же дугу называют вогнутой, если рассматривать ее изнутри, то мы прежде всего установим, что следует здесь понимать под словом «выпуклая». Ранее мы говорили о хорде окружности. Хордой произвольной замкнутой линии мы будем называть отрезок прямой, начальная и конечная точки которого лежат на этой линии. Замкнутую линию мы будем называть выпуклой, если все точки любой ее хорды являются либо внутренними, либо граничными точками ограниченной линией фигуры, и ни одна точка не лежит вне линии. То что окружность — выпуклая линия, мы опять-таки будем считать очевидным, однако тут же заметим, что окружность отнюдь не единственная такая линия. Эллипс — также выпуклая линия. Линия, описываемая Луной при движении вокруг Солнца, — также выпуклая, хотя па

многих рисунках она неправильно изображается волнообразной.

Упражнение 1. Всегда ли сектор является выпуклой фигурой (т. е. ограничен выпуклой линией)?

5. Окружность как линия постоянной ширины. Вырежем из дерева круглую пластинку постоянной толщины и поместим ее меж двух планок, закрепленных параллельно друг другу на расстоянии, равном удвоенному радиусу пластинки, как это показано на рис. 2. Тогда, как бы мы ни перемещали или поворачивали эту пластинку, она все время будет касаться обеих планок: окружность, как говорят, имеет постоянную ширину.