Skip to main content

Теория групп (Баумгартнер) 1934 год - старые книги

Советская нехудожественная литература

Теория групп (Баумгартнер) 1934

 

Описание: Нижеследующее изложение теории групп предполагает у читателя знакомство лишь с основными понятиями анализа (например, действительное, рациональное, комплексное число) и геометрии (координаты и их преобразования) и не требует никаких специальных математических познаний. Отдельные примеры из областей, выходящих за эти рамки, могут быть в случае надобности опущены. Но зато для успешного усвоения приводимых здесь сведений, может быть в большей мере, чем для другой математической дисциплины, необходима привычка к точному мышлению, известная математическая зрелость.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Настоящая небольшая книжка Л. Баумгартнера не является сколько-либо полным изложением теории групп; ея задачи—Другие — ввести читателя в круг основных понятий и методов этой науки. Поэтому чтение этой книжки должно предшествовать изучению подробных систематических курсов теории групп, из которых читателю можно рекомендовать на английском языке книгу W. Burnside’a, а на русском прекрасную, ставшую классической „Абстрактную теорию групп" проф. О. Ю. Шмидта, изданную недавно ГТТИ вторым изданием.

© ГОСУДАРСТВЕННОЕ ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКВА 1934 ЛЕНИНГРАД

Авторство: Людвиг Баумгартнер, Перевод с немецкого В.И. Контовт, под редакцией С.А. Чунихина

Формат: PDF Размер файла: 5.91 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие автора. 3

Предисловие редактора русского перевода. 4

ПЕРВАЯ ГЛАВА.

Введение понятия группы.

  • 1. Выбор материала исследования 7
  • 2. Примеры из учения о числе. 8
  • 3. Примеры из учения о функции. 9
  • 4. Примеры из алгебры и теории преобразований . 10
  • 5. Примеры из геометрии 16
  • 6. Сравнительный, анализ приведенных примеров 19
  • 7. Определение группы. 22
  • 8. Некоторые непосредственные следствия 23
  • 9. О значении и историческом развитии теории групп. 25
📜 ОТКРЫТЬ ОГЛАВЛЕНИЕ ПОЛНОСТЬЮ

ВТОРАЯ ГЛАВА.

Понятие группы в геометрии.

  • 10. Эквиформная группа. 27
  • 11. Аффинная группа. 29
  • 12. Проективная группа . 30
  • 13. Сводка и обозрение результатов. 31

ТРЕТЬЯ ГЛАВА.

Конечные группы.

  • 14. Порядок группы. Изоморфизм. Абстрактная группа. 33
  • 15. Первоначальное исследование строения групп.

Порядок элемента. Подгруппы. 35

  • 16. Продолжение. • 40
  • 17. Представление группы посредством квадратной схемы. 41
  • 18. Связь абстрактных групп с группами подстановок 42
  • 19. Подстановки. 44
  • 20. Группы подстановок 49
  • 21. Критерии для распознавания групп. 51
  • 22. Представление комплексов и групп в общих исследованиях 53
  • 23. Дальнейшее исследование структуры групп. Разложение групп по модулю. 55
  • 24. Порядок подгрупп и элементов. 57
  • 25. Структура групп 59
  • 26. Перестановочность элементов. Преобразование 61
  • 27. Продолжение: сопряженные элементы 64
  • 28. Продолжение: сопряженные группы. 67
  • 29. Сводка результатов последних параграфов t 69
  • 30. Инвариантные подгруппы 71
  • 31. Примеры инвариантных подгрупп. 73
  • 32. Продолжение исследования об инвариантных подгруппах; дополнительная группа 75
  • 33. Максимальная инвариантная подгруппа. Композиционный ряд 79
  • 34. Пересечение двух подгрупп 81
  • 35. Произведение двух подгрупп 82
  • 36. Пересечение и произведение двух инвариантных подгрупп 84
  • 37. Соотношения между двумя дополнительными группами 86
  • 38. Пересечение и произведение двух максимальных инвариантных подгрупп; изоморфизм дополнительных групп 88
  • 39. Теорема Жордана-Гельдера ©композиционных рядах. 92
  • 40. Современное состояние и задачи дальнейших исследований в теории конечных групп. 96

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА.

Бесконечные группы.

| 41. Примеры бесконечных групп из учения о числе . 98

? 42. Примеры бесконечных групп из геометрии . 99

$ 43. Продолжение .  ЮЗ

  • 44. Примеры бесконечных групп из учения о преобразованиях 106
  • 45. Сравнение свойств конечных и бесконечных групп. 108

Решения задач. 114

Литература 118

Указатель 119

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатную книгу времен СССР - Теория групп (Баумгартнер) 1934 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

Мы таким образом получаем шесть новых окружностей. Отобразив эти последние еще раз от /<, К! и К", получаем 12 новых окружностей и т. д. Все возникающие таким путем окружности соприкасаются, и все их точки соприкосновения лежат на окружности1).

На нашем чертеже показана только внутренность этой окружности. Получающиеся при этом криволинейные треугольники мы окрашиваем попеременно в белый и черный цвета. Каждый из них мы обозначаем по вершинам АВГ, притом так, что вершины, переходящие при отражении одна в другую, обозначаются одной буквой.

Белый треугольник, например, расположенный между окружностями К, К\ К", переходит при инверсии от К* в черный, этот последний при инверсии от К" — снова в белый (обозначенный на чертеже через А). Если мы подвергнем этому двойному процессу инверсии — сначала от А", затем от К"— не только один треугольник, но всю фигуру, то она перейдет сама в себя, каждый же белый треугольник — в другой белый. Обозначим этот процесс как элемент А. Он переводит, например, треугольники, обозначенные через Е, А, А~г , А~2 С, соответственно в А, А2, Е, Д-1, В-1 . Процесс, уничтожающий результат только что произведенного, а именно

х) Это будет окружность С, проходящая через три точки соприкосновения окружностей К, К', К". Так как эта окружность ортогональна к К, К', К", то при любом отражении она переходит сама в себя, а точки соприкосновения К, К', К" переходят снова в точки окружности С; это значит, что точки касания всех возникающих окружностей лежат на С. Равным образом все возникающие окружности ортогональны к С, так как окружности К, К\ К" ортогональны к С.

инверсию от К", затем от К', мы назовем А~1. Точно так же процесс инверсии всей фигуры от К” и затем от К назовем элементом В, его обращение — элементом В~1, процесс инверсии от К и затем от К' назовем элементом С, его обращение — С-1. Под Е мы опять будем понимать сохранение фигуры в неизменном состоянии, под Л2 — дважды последовательно выполненный процесс А, под АВ — процесс А с последующим выполнением процесса Ви т. д. ВА здесь отличается от АВ. Все возможные элементы имеют, однако, общую форму А*В^СЧА* В? С1 . , где а, р, 7, а', [Г, 7', .— любые числа натурального ряда 0,1, 2,3, .

Совокупность этих процессов образует бесконечную группу — композиция любой пары этих процессов дает снова процесс той же формы, совокупность ассоциативна, в ней существует элемент-единица и к любому элементу Ал В$ Ст Да В$ (У' . имеется обратный

На чертеже каждый треугольник, как и в предыдущем случае, носит наименование того элемента, посредством. которого он получен инверсией из начального треугольника, расположенного между окружностями К, К’, К". При этом каждый треугольник имеет два наименования, — одно из них с использованием отрицательных степеней.

Аналогично, исходя из п соприкасающихся окружностей, мы можем определить соответственно п элементов А, В, С, . и из них также построить группу.

Таким методом мы получаем обширнейшую группу, порожденную (§ 25) конечным числом элементов. Этого нельзя утверждать о всякой вообще бесконечной группе, ибо среди них существуют и такие, которые не могут быть произведены из конечного числа элементов, например множество рациональных чисел, за исключением нуля, с обычным умножением в качестве операции связывать бесконечного порядка (пример: преобразование х' = 3х±4у, у = 2х±3у имеет порядок 2 для знака минус и порядок оо для знака плюс).

Рассуждения, приведшие нас к теореме 5, и сама эта теорема неприменимы для бесконечных групп. § 17 и 18 основываются в существенном на конечное ги порядка и потому для бесконечных групп не имеют силы или имеют силу только с особыми оговорками и при введении новых понятий. То же самое относится к § 19, 20, 21.

Обозначения, введенные нами в § 22, приложимы также и к бесконечным группам; например, выражение ® = O1-|-G24-G3+ . означает, что группа ® состоит из элементов Оъ С?2, • • Так как всех элементов

бесконечной группы привести нельзя, например в выше- разобранном случае группы комплексных чисел, то эта символическая сумма обозначается путем указания нескольких взятых для образца элементов.

Разложение группы по модулю, развитое для конечных групп в § 23, можно применять и к бесконечным группам. Наоборот, теоремы 21, 22, 23 § 24 здесь естественно непригодны. Но если рассматривать индекс подгруппы как число смежных систем при разложении по этой подгруппе, то это понятие сохраняется и для случая бесконечной группы. Индекс подгруппы бесконечной группы может быть конечным или бесконечным.

Ниже приводим два примера.

1. © есть группа «целых» комплексных чисел вида а-\-Н со сложением в качестве композиции; а и b — любые целые вещественные числа.

т. е. при композиции мы опять получаем число того же типа; далее число 0 играет роль единичного элемента, а элементом, обратным к является —а — Ы.

Проведем (черт. 5) в комплексной числовой плоскости все параллели к обеим осям в расстояниях от них ±1,± 2, 2^3, тогда узлы получившейся решетки дадут наглядный образ нашей группы.

Пусть теперь £ будет подгруппой состоящей только из таких чисел а-\-Ы, в которых как а, так и b — числа четные. Запишем элементы 55 в форме 2а-|- -}-2pZ, где а, р пробегают весь ряд целых чисел. В том что 55—группа, мы убеждаемся тем же путем, как и

в случае ®. На чертеже ей соответствуют точки, обозначенные светлыми кружками. Элемент не принадлежащий 55, есть G2 = 1. Смежная система 55О2 содержит элементы 2а -|- 2р/ + 1 =• (2а-|-1) + 2р/ (на чертеже — черные кружки). Элемент ®, не принадлежащий ни ни 55О2, есть G3 = i. Смежная система 55G3 содержит элементы 2а + 2f2Z i = 2а (2р + 1) Z (на чертеже — крестики). Наконец, еще другой, не вошедший ни в один из этих комплексов элемент есть (j4=l-H.

Смежная система 55О4 содержит элементы 2а +

-|- 2р/ 4-14-/= (2а 4-1)4- (2^4-1) i (на чертеже — квадратики). Этим самым группа ® исчерпывается; таким образом ее разложение ® по подгруппе S3 есть:

® = &4-£а24-£О3+£$4 1

Индекс равен 4.

2. Группа © та же, что и в предыдущем примере. 55' — подгруппа, состоящая из целых вещественных чисел а (на черт. 6 — светлые кружки). Элемент G2 = г дает смежную систему &G2 из элементов вида Элемент G3 =—i дает смежную систему 5o'G3, состоящую из элементов а — /; при О4 = 2/ получаем систему

1) Вместе с тем 5) представляет собой интересный пример подгруппы, изоморфной со своей собственной группой. Сопоставление элементов а -|- р/ группы ® и 2а 4* %" группы удовлетворяет действительно требованию изоморфизма. Мы можем также убедиться в этом непосредственно, если будем, рассматривать геометрический образ 55 как образ начерченный в двойном масштабе.

55'G4 из элементов а 4-2/ и т. д. до бесконечности.

не исчерпывается никаким конечным числом смежных систем.

Разложение в этом случае имеет вид:

® = & + &G2 4- &G3 + $'G4 + . (2)

Индекс здесь равен °о, Нр всегда разложение бесконечной группы по подгруппе можно представить в таком виде: полная система вычетов не всегда является счетным множеством и потому не всегда может быть расположена в ряд вида Gx = Е, G2, G3,. Примером может служить та же группа ®, если ее рассматривать как подгруппу всех «дробно-рациональных» и «иррациональных» комплексных чисел, компонируемых опять посредством сложения. Но и в этом случае можно еще говорить о разложении и сохранить понятие индекса (но уже несчетного). Введенные в § 26—38 понятия перестановочности, сопряженных элементов и групп, инвариантной и максимальной инвариантной подгруппы, дополнительной группы, пересечения и произведения двух групп приложимы и к бесконечным группам, точно так же как и полученные в связи с этими понятиями теоремы, поскольку они не предполагают (как в § 35) конечности группы. Понятие композиционного ряда и теорема Жордана-Гёльдера (§ 39), естественно, существуют лишь для некоторых бесконечных групп х).

Остановимся еще вкратце на важнейших из этих понятий. Разобранные в последних примерах подгруппы 5) и 55' группы ® дают нам образцы, поскольку ®— абелева группа, бесконечных инвариантных подгрупп, не являющихся, однако, максимальными. Действительно, между этими подгруппами и группой ® можно, например, представить себе подгруппу, состоящую из таких комплексных чисел a -J- bi, в которых а — любое число, b —

х) См., например, О. Schmidt, .Mathem. Zeitschrift*, В. 29, 1928.

непременно четное (на черт. 5 светлые и черные кружки). Оба разложения (1) и (2) дают такие примеры дополнительных групп. Первая изоморфна четверной группе, вторая изоморфна группе & (особый случай, встречающийся также и в конечных группах).

Задача 48. 03 есть группа таких движений круга К в его плоскости (за исключением вращений вокруг своего центра), при которых его центр катится по некоторой данной окружности. 9£—группа всех вращений круга К вокруг своего центра. Тогда 9\93 = 039^ есть группа, содержащая в себе 03 и 9^ как подгруппы. Найти сопряженные подгруппы, убедиться в инвариантности подгрупп и определить дополнительные подгруппы. Если вместо непрерывных движений и вращений допустить движения толчками и вращения на точно определенные углы конечной величины —, соответственно —, то мы получим аналогичные конечные группы порядков тп.

Обобщить этот процесс.

Баумгартнер. Теория групп.

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

★ВСЕ➙ Перевод с иностранного, Общая алгебра (абстрактная, высшая), Теория групп, Автор - Людвиг Баумгартнер, Математика - Перевод с иностранного

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНОЕ ИЗ АКАДЕМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА (НАУКА)

БОЛЬШЕ НЕТ

НАУКА МАТЕМАТИКА СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика