ВТОРАЯ ГЛАВА.

Понятие группы в геометрии.

• 10. Эквиформная группа. 27
• 11. Аффинная группа. 29
• 12. Проективная группа . 30
• 13. Сводка и обозрение результатов. 31

ТРЕТЬЯ ГЛАВА.

Конечные группы.

• 14. Порядок группы. Изоморфизм. Абстрактная группа. 33
• 15. Первоначальное исследование строения групп.

Порядок элемента. Подгруппы. 35

• 16. Продолжение. • 40
• 17. Представление группы посредством квадратной схемы. 41
• 18. Связь абстрактных групп с группами подстановок 42
• 19. Подстановки. 44
• 20. Группы подстановок 49
• 21. Критерии для распознавания групп. 51
• 22. Представление комплексов и групп в общих исследованиях 53
• 23. Дальнейшее исследование структуры групп. Разложение групп по модулю. 55
• 24. Порядок подгрупп и элементов. 57
• 25. Структура групп 59
• 26. Перестановочность элементов. Преобразование 61
• 27. Продолжение: сопряженные элементы 64
• 28. Продолжение: сопряженные группы. 67
• 29. Сводка результатов последних параграфов _t 69
• 30. Инвариантные подгруппы 71
• 31. Примеры инвариантных подгрупп. 73
• 32. Продолжение исследования об инвариантных подгруппах; дополнительная группа 75
• 33. Максимальная инвариантная подгруппа. Композиционный ряд 79
• 34. Пересечение двух подгрупп 81
• 35. Произведение двух подгрупп 82
• 36. Пересечение и произведение двух инвариантных подгрупп 84
• 37. Соотношения между двумя дополнительными группами 86
• 38. Пересечение и произведение двух максимальных инвариантных подгрупп; изоморфизм дополнительных групп 88
• 39. Теорема Жордана-Гельдера ©композиционных рядах. 92
• 40. Современное состояние и задачи дальнейших исследований в теории конечных групп. 96

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА.

Бесконечные группы.

| 41. Примеры бесконечных групп из учения о числе . 98

? 42. Примеры бесконечных групп из геометрии . 99

$ 43. Продолжение .  ЮЗ

• 44. Примеры бесконечных групп из учения о преобразованиях 106
• 45. Сравнение свойств конечных и бесконечных групп. 108

Решения задач. 114

Литература 118

Указатель 119

Мы таким образом получаем шесть новых окружностей. Отобразив эти последние еще раз от /<, К! и К", получаем 12 новых окружностей и т. д. Все возникающие таким путем окружности соприкасаются, и все их точки соприкосновения лежат на окружности).

На нашем чертеже показана только внутренность этой окружности. Получающиеся при этом криволинейные треугольники мы окрашиваем попеременно в белый и черный цвета. Каждый из них мы обозначаем по вершинам АВГ, притом так, что вершины, переходящие при отражении одна в другую, обозначаются одной буквой.

Белый треугольник, например, расположенный между окружностями К, К\ К", переходит при инверсии от К* в черный, этот последний при инверсии от К" — снова в белый (обозначенный на чертеже через А). Если мы подвергнем этому двойному процессу инверсии — сначала от А", затем от К"— не только один треугольник, но всю фигуру, то она перейдет сама в себя, каждый же белый треугольник — в другой белый. Обозначим этот процесс как элемент А. Он переводит, например, треугольники, обозначенные через Е, А, А~^г , А~² С, соответственно в А, А², Е, Д^-1, В^-1 . Процесс, уничтожающий результат только что произведенного, а именно

^х) Это будет окружность С, проходящая через три точки соприкосновения окружностей К, К', К". Так как эта окружность ортогональна к К, К', К", то при любом отражении она переходит сама в себя, а точки соприкосновения К, К', К" переходят снова в точки окружности С; это значит, что точки касания всех возникающих окружностей лежат на С. Равным образом все возникающие окружности ортогональны к С, так как окружности К, К\ К" ортогональны к С.

инверсию от К", затем от К', мы назовем А~¹. Точно так же процесс инверсии всей фигуры от К” и затем от К назовем элементом В, его обращение — элементом В~¹, процесс инверсии от К и затем от К' назовем элементом С, его обращение — С^-1. Под Е мы опять будем понимать сохранение фигуры в неизменном состоянии, под Л² — дважды последовательно выполненный процесс А, под АВ — процесс А с последующим выполнением процесса Ви т. д. ВА здесь отличается от АВ. Все возможные элементы имеют, однако, общую форму А*В^С^ЧА* В? С¹ . , где а, р, 7, а', [Г, 7', .— любые числа натурального ряда 0,1, 2,3, .

Совокупность этих процессов образует бесконечную группу — композиция любой пары этих процессов дает снова процесс той же формы, совокупность ассоциативна, в ней существует элемент-единица и к любому элементу А^л В$ С^т Д^а В$ (У' . имеется обратный

На чертеже каждый треугольник, как и в предыдущем случае, носит наименование того элемента, посредством. которого он получен инверсией из начального треугольника, расположенного между окружностями К, К’, К". При этом каждый треугольник имеет два наименования, — одно из них с использованием отрицательных степеней.

Аналогично, исходя из п соприкасающихся окружностей, мы можем определить соответственно п элементов А, В, С, . и из них также построить группу.

Таким методом мы получаем обширнейшую группу, порожденную (§ 25) конечным числом элементов. Этого нельзя утверждать о всякой вообще бесконечной группе, ибо среди них существуют и такие, которые не могут быть произведены из конечного числа элементов, например множество рациональных чисел, за исключением нуля, с обычным умножением в качестве операции связывать бесконечного порядка (пример: преобразование х' = 3х±4у, у = 2х±3у имеет порядок 2 для знака минус и порядок оо для знака плюс).

Рассуждения, приведшие нас к теореме 5, и сама эта теорема неприменимы для бесконечных групп. § 17 и 18 основываются в существенном на конечное ги порядка и потому для бесконечных групп не имеют силы или имеют силу только с особыми оговорками и при введении новых понятий. То же самое относится к § 19, 20, 21.

Обозначения, введенные нами в § 22, приложимы также и к бесконечным группам; например, выражение ® = O₁-|-G₂4-G₃+ . означает, что группа ® состоит из элементов О_ъ С?₂, • • Так как всех элементов

бесконечной группы привести нельзя, например в выше- разобранном случае группы комплексных чисел, то эта символическая сумма обозначается путем указания нескольких взятых для образца элементов.

Разложение группы по модулю, развитое для конечных групп в § 23, можно применять и к бесконечным группам. Наоборот, теоремы 21, 22, 23 § 24 здесь естественно непригодны. Но если рассматривать индекс подгруппы как число смежных систем при разложении по этой подгруппе, то это понятие сохраняется и для случая бесконечной группы. Индекс подгруппы бесконечной группы может быть конечным или бесконечным.

Ниже приводим два примера.

1. © есть группа «целых» комплексных чисел вида а-\-Н со сложением в качестве композиции; а и b — любые целые вещественные числа.

т. е. при композиции мы опять получаем число того же типа; далее число 0 играет роль единичного элемента, а элементом, обратным к является —а — Ы.

Проведем (черт. 5) в комплексной числовой плоскости все параллели к обеим осям в расстояниях от них ±1,± 2, 2^3, тогда узлы получившейся решетки дадут наглядный образ нашей группы.

Пусть теперь £ будет подгруппой состоящей только из таких чисел а-\-Ы, в которых как а, так и b — числа четные. Запишем элементы 55 в форме 2а-|- -}-2pZ, где а, р пробегают весь ряд целых чисел. В том что 55—группа, мы убеждаемся тем же путем, как и

в случае ®. На чертеже ей соответствуют точки, обозначенные светлыми кружками. Элемент не принадлежащий 55, есть G₂ = 1. Смежная система 55О₂ содержит элементы 2а -|- 2р/ + 1 =• (2а-|-1) + 2р/ (на чертеже — черные кружки). Элемент ®, не принадлежащий ни ни 55О₂, есть G₃ = i. Смежная система 55G₃ содержит элементы 2а + 2f2Z i = 2а (2р + 1) Z (на чертеже — крестики). Наконец, еще другой, не вошедший ни в один из этих комплексов элемент есть (j₄=l-H.

Смежная система 55О₄ содержит элементы 2а +

-|- 2р/ 4-14-/= (2а 4-1)4- (2^4-1) i (на чертеже — квадратики). Этим самым группа ® исчерпывается; таким образом ее разложение ® по подгруппе S3 есть:

® = &4-£а₂4-£О₃+£$4 ¹)«

Индекс равен 4.

2. Группа © та же, что и в предыдущем примере. 55' — подгруппа, состоящая из целых вещественных чисел а (на черт. 6 — светлые кружки). Элемент G₂ = г дает смежную систему &G₂ из элементов вида Элемент G₃ =—i дает смежную систему 5o'G₃, состоящую из элементов а — /; при О₄ = 2/ получаем систему

¹) Вместе с тем 5) представляет собой интересный пример подгруппы, изоморфной со своей собственной группой. Сопоставление элементов а -|- р/ группы ® и 2а 4* %" группы удовлетворяет действительно требованию изоморфизма. Мы можем также убедиться в этом непосредственно, если будем, рассматривать геометрический образ 55 как образ начерченный в двойном масштабе.

55'G₄ из элементов а 4-2/ и т. д. до бесконечности.

не исчерпывается никаким конечным числом смежных систем.

Разложение в этом случае имеет вид:

® = & + &G₂ 4- &G₃ + $'G₄ + . (2)

Индекс здесь равен °о, Нр всегда разложение бесконечной группы по подгруппе можно представить в таком виде: полная система вычетов не всегда является счетным множеством и потому не всегда может быть расположена в ряд вида G_x = Е, G₂, G₃,. Примером может служить та же группа ®, если ее рассматривать как подгруппу всех «дробно-рациональных» и «иррациональных» комплексных чисел, компонируемых опять посредством сложения. Но и в этом случае можно еще говорить о разложении и сохранить понятие индекса (но уже несчетного). Введенные в § 26—38 понятия перестановочности, сопряженных элементов и групп, инвариантной и максимальной инвариантной подгруппы, дополнительной группы, пересечения и произведения двух групп приложимы и к бесконечным группам, точно так же как и полученные в связи с этими понятиями теоремы, поскольку они не предполагают (как в § 35) конечности группы. Понятие композиционного ряда и теорема Жордана-Гёльдера (§ 39), естественно, существуют лишь для некоторых бесконечных групп ^х).

Остановимся еще вкратце на важнейших из этих понятий. Разобранные в последних примерах подгруппы 5) и 55' группы ® дают нам образцы, поскольку ®— абелева группа, бесконечных инвариантных подгрупп, не являющихся, однако, максимальными. Действительно, между этими подгруппами и группой ® можно, например, представить себе подгруппу, состоящую из таких комплексных чисел a -J- bi, в которых а — любое число, b —

^х) См., например, О. Schmidt, .Mathem. Zeitschrift*, В. 29, 1928.

непременно четное (на черт. 5 светлые и черные кружки). Оба разложения (1) и (2) дают такие примеры дополнительных групп. Первая изоморфна четверной группе, вторая изоморфна группе & (особый случай, встречающийся также и в конечных группах).

Задача 48. 03 есть группа таких движений круга К в его плоскости (за исключением вращений вокруг своего центра), при которых его центр катится по некоторой данной окружности. 9£—группа всех вращений круга К вокруг своего центра. Тогда 9\93 = 039^ есть группа, содержащая в себе 03 и 9^ как подгруппы. Найти сопряженные подгруппы, убедиться в инвариантности подгрупп и определить дополнительные подгруппы. Если вместо непрерывных движений и вращений допустить движения толчками и вращения на точно определенные углы конечной величины —, соответственно —, то мы получим аналогичные конечные группы порядков тп.

Обобщить этот процесс.

Баумгартнер. Теория групп.