ПРЕДИСЛОВИЕ

Читателю, искушенному в решении геометрических задач, известно, насколько трудным бывает доказательство тех или иных тождеств и неравенств, связанных с геометрическими фигурами. При решении подобных задач возникают причудливые сочетания алгебраических, тригонометрических и геометрических методов. Такими, например, являются соотношения где a, 13, т — углы треугольника. Сложность этих и аналогичных им соотношений заключается в отсутствии стандартных методов их решения.

Настоящая брошюра посвящена изучению широкого класса тождеств и неравенств, элементами которых являются те или иные величины треугольника. Все эти соотношения получены друг из друга единым методом, благодаря чему нахождение многих из них представляет собой простое упражнение.

Сам метод довольно прост: составляется кубическое уравнение, корнями которого могут быть какие-либо три интересующие нас величины треугольника (стороны, высоты, синусы углов и т. п.). После этого с помощью формул Виета получаются тождества, в которых симметрические многочлены

от элементов треугольника выражаются через его полупериметр, радиус описанной и радиус вписанной окружностей (обозначаемых в дальнейшем через р, R и г соответственно). Находя полную систему соотношений между величинами р, R, г, из тождеств получаем большой набор соответствующих неравенств.

Естественно, что многие из приведенных в этой брошюре соотношений не являются новыми, — их можно найти в различных книгах и задачниках по элементарной математике. В то же время некоторые из представленных здесь тождеств и неравенств либо получены совсем недавно, либо опубликованы в научных статьях последних лет. Авторы не ставили себе цель осветить историю рассматриваемой темы, богатую именами и событиями. Читателя, интересующегося подобными вопросами, мы отсылаем к книге О. Боттема и др. «Геометрические неравенства» (О. Bottema et al. «Geometric inequalities», Groningen, 1968).

Нам хочется поблагодарить В. А. Залгаллера и Ю. М. Рябухина за полезные советы при написании брошюры и особенно С. Е. Рукшина, многочисленные замечания которого способствовали улучшению ее содержания.