ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый вниманию читателей сборник можно рассматривать как своего рода научно-популярное наследие известного венгерского математика Альфреда Реньи (1921—1970). Советскому читателю уже знакомы два из составляющих его произведений — «Диалоги о математике» (М.: Мир, 1969) и «Письма о вероятности» (М.: Мир, 1970). Обе книжки не залежались на прилавках магазинов и давно уже стали библиографической редкостью. Их с удовольствием читали и читают люди разного возраста, различных интересов и с любой математической подготовкой, и каждая категория читателей находит в этих серьезных по существу, но необычных по форме работах много поучительного и даже неожиданного для себя. Кроме того, в настоящий том включены «Дневник. — Записки студента по теории информации», который увидел свет уже после безвременной кончины автора, а также несколько его популярных статей.

Литературная форма каждого из этих произведений различна: диалоги, письма, дневник, статья, но един литературный талант автора, который захватывает читателя: каждая вещь читается одним духом, за один присест. Все три основных произведения посвящены разным темам: «Диалоги» — вопросам методологии математики, «Письма» — первым шагам в развитии науки о случайном и «Дневник» — современному этапу развития науки, основным понятиям теории информации. Соответственно «возрасту» проблемы изменяется и уровень требований, предъявляемых к математическим познаниям читателя. В первом случае читатель, в сущности, может не иметь никаких математических познаний, во втором — уже требуется иметь представление о математике, а в третьем, где используется математическая символика, необходим некоторый навык в чтении формул.

Каждое. из произведений Реньи касается не частных задач той или иной области математики, а ее принципиальных вопросов, ставит и достаточно глубоко освещает проблемы большого методологического значения. Именно этим объясняется успех книг Реньи не только на его родине, но и за ее пределами: в кратчайший срок они были переведены на многие европейские языки. Хочется надеяться, что их выход в свет на русском языке привлечет интерес нашей школьной и студенческой молодежи к методологическим, педагогическим и популяризационным проблемам математики. Это обстоятельство, несомненно, послужит толчком к появлению у нас новой, разнообразной по форме

и содержанию, увлекательно написанной популярной литературы по математике.

Альфред Реньи родился 20 марта 1921 года в Будапеште в семье инженера. Его дед со стороны отца был известным литературным критиком и большим знатоком древнегреческой литературы. Надо думать, именно от него унаследовал внук литературные способности. Отец будущего ученого свободно владел многими европейскими языками.

Окончив в 1944 году университет в Будапеште и защитив первую диссертацию в Сегеде, Реньи поступил в докторантуру к академику Ю. В. Линнику (Ленинградское отделение Математического института им. В. И. Стеклова). Научная атмосфера Ленинграда, семинары Линника, беседы с ним, одаренность и трудолюбие самого Реньи позволили ему менее чем за год закончить докторантуру. Его диссертация была посвящена вопросам теории чисел, которой в ту пору особенно усиленно занимался Линник. Интерес Линника к теории вероятностей, возникший под влиянием работ московской школы, захватил и Реньи. Дружеские отношения ученика и учителя установились на всю их короткую жизнь, полную для обоих напряженной научной и литературной деятельности.

Возвратившись после защиты диссертации в Венгерскую Народную Республику, Реньи приступил к научно-педагогической работе в Дебреценском университете. За три года (1946—1948) он опубликовал 15 работ, преимущественно по теории чисел, а с 1949 года начал активно работать над задачами теории вероятностей и развитием теоретико-вероятностных методов в теории чисел. Этот год оказался знаменательным для Реньи: он был избран членом-корреспондентом Академии наук ВНР, получил профессуру в Дебреценском университете и был награжден орденом Кошута (в серебре).

В 1950 году при активном участии Реньи в Будапеште был создан Институт прикладной математики Венгерской Академии наук (позже он был переименован в Институт математики). Первым и бессменным (на протяжении двадцати лет) директором этого института стал Альфред Реньи. На этом посту он сделал очень многое для развития, и укрепления венгерской школы математики. В частности, он 'начал издание Трудов института, которые стали авторитетным периодическим изданием, много усилий внес в дело развития и укрепления научных связей Венгрии и СССР.

С 1952 года Реньи заведовал кафедрой теории вероятностей Будапештского университета имени Этвеша. В ту пору раскрылся и педагогический талант ученого: он обновляет курс теории вероятностей, используя опыт советской школы; организует работу специальных семинаров и читает спецкурсы; объединяет вокруг себя талантливых учеников и товарищей по работе. Результаты не замедлили сказаться — именно с этого времени заявила о себе и стала быстро набирать силу венгерская школа теории вероятностей.

В 1954 году увидел свет написанный Реньи учебник по теории вероятностей (впоследствии он был переработан автором для немецкого, французского и английского изданий). В этом учебнике уже заметное внимание было уделено понятию информации,

которая занимала ученого до конца его дней. В том же году за выдающиеся научные, педагогические и организационные заслуги Реньи был награжден орденом Кошута (в золоте).

Огромную по размаху научную, педагогическую и организационную работу Реньи сочетал с популяризацией научных знаний. Он выступал с докладами о математике перед школьниками, читал лекции по телевидению, писал популярные статьи в газетах и журналах.

Как рассказывал сам Реньи, дискуссии с коллегами о принципиальных вопросах математики привели его к мысли изложить эти беседы в виде диалогов. Такая форма позволила автору не только изложить собственные взгляды на предмет, но и противопоставить им иные точки зрения и привести доводы «за» и «против». Первоначально опубликованные в специальных журналах, эти диалоги затем были собраны вместе и в 1965 году изданы в виде небольшой книжки, которая тут же была переведена в ГДР, Румынии, Советском Союзе, США, Португалки и ряде других стран.

Вслед за этой книгой, принесшей Реньи широкую известность как популяризатору и ученому, занимающемуся философскими проблемами математики, он начал работать над другой популярной книгой — «Письмами о вероятности». Замыслами о ней Реньи поделился со мной в октябре 1966 года, когда я был гостем венгерских математиков в Будапеште. Как-то перед одной из своих лекций по телевидению, посвященной элементам теории вероятностей, он, рассказывая мне о том, что собирается публично выступить с демонстрацией игральных костей различных времен и народов, упомянул о замысле задуманной им книги. Надо полагать, идея написания такой книги и ее форма были навеяны его поездкой во Францию по случаю 300-летия со дня смерти Б. Паскаля, когда он побывал не только в Париже, но и в Клермон-Ферране, неподалеку от которого Паскаль проводил свои опыты.

В ноябре 1969 года я послал Реньи только что вышедшие в русском переводе «Диалоги о математике». В самом конце декабря в ответном письме он сообщил, что занят работой над новой популярной книгой — «Записками студента по теории информации», и выразил пожелание получить еще несколько экземпляров советского издания «Диалогов». Я поспешил выполнить его просьбу, но ответа уже не получил. Вскоре пришло официальное сообщение от венгерского Математического общества имени Бойяи о том, что 1 февраля 1970 года А. Реньи скончался. До последних дней он сохранял бодрость духа, усиленно работая над новой книгой, с которой теперь имеет возможность ознакомиться советский читатель, хотя она и осталась несколько не завершенной.

Преждевременный уход Реньи из жизни — тяжелая утрата не только для венгерской математической школы, но и для математики в целом. В его лице наука потеряла одного из блистательных своих представителей, а все мы — обаятельного, интересного, неизменно доброжелательного, страстно увлеченного своим делом человека.

Альфред Реньи умер в расцвете сил, не достигнув пятидесяти лет. Не долог был его жизненный путь, но он отмечен

печатью большого таланта и удивительного умения систематически, напряженно и плодотворно работать. Список его работ (в том числе переизданий и переводов на другие языки) насчитывает почти 350 наименований. После него остались многочисленные ученики, которые продолжают начатые им работы, превосходный Институт математики и научные труды, в том числе книги. Все это еще долгие годы будет оказывать влияние на подрастающие поколения математиков.

Почти двадцать пять столетий математика существует не как сборник практических рецептов, а как дедуктивная наука, в которой огромное число содержательных результатов выводится логическим путем из ничтожно малого числа исходных предложений — аксиом. Естественно, что и в самой математике, и в философии с древнейших времен не могли не возникать и не обсуждаться определенные вопросы:

Что такое математика и каков предмет ее исследований?

Каково отношение математики к действительности?

Как возникают математические понятия?

Каким образом математическое абстрагирование естественнонаучной или инженерной проблемы позволяет проникать в суть явлений глубже и точнее, чем непосредственное наблюдение и экспериментальное изучение?

Какое значение имеет разработка специфического научного языка для развития как самой математики, так и ее применений к проблемам реальной жизни?

Все эти, а также многие другие вопросы продолжают волновать ученых и сегодня. Как и два с половиной тысячелетия назад, представители различных философских направлений отвечают на них по-разному.

Будучи убежденным материалистом, прекрасно разбираясь в естественных науках и превосходно владея современной математикой, Альфред Реньи в своих «Диалогах» на многие из перечисленных вопросов дает определенные и вполне обоснованные ответы. Воздействие этого произведения на читателя приобретает особую силу благодаря своеобразной форме изложения, к сожалению почти забытой современными авторами. Реньи не поучает читателя, не стремится вложить в него уже готовые собственные мысли, а как бы беседует с ним: заранее предугадывая возможные сомнения и возражения, он вкладывает их в уста собеседников. В результате читатель сам становится как бы участником диалога — предмет изложения перестает быть для него чем-то навязываемым извне и обсуждаемые проблемы воспринимаются уже как собственные.

Оказалось, что форма диалога, так удачно использовавшаяся древними, в частности Платоном, а позднее Галилеем и многими другими учеными, писателями и философами, превосходно подошла к обсуждаемым проблемам. Благодаря литературному дарованию автора, а также прекрасному знанию литературы, философии и истории произведение получилось по-настоящему увлекательным.

В каждом из диалогов имена собеседников, кроме синьоры Никколини, хорошо знакомы нам из истории науки. Однако

здесь не следует искать исторической точности. История служит лишь канвой, фоном, на котором естественно развивается изложение. Этот исторический фон держит читателя в постоянном напряжении, и неважно, что к тому времени, когда Рим напал на маленькие Сиракузы, царь Герои уже почил в бозе. Несомненно, что и беседы Архимеда с Героном, о которой мы читаем во втором диалоге, не было, но она вполне могла состояться, поскольку ее содержание, идеи и положения о сущности прикладной математики, а также роли математики в человеческом познании, высказываемые Архимедом, близки духу его творчества.

Сейчас важнее, чем когда-либо, выяснить особенности прикладной математики. К сожалению, даже весьма серьезные математики порой интересуются лишь абстрактно-теоретическими вопросами, свысока взирая на математика-прикладника. Они полагают, что прикладными вопросами занимаются лишь те, кто не может внести свою лепту в теорию. Это не только ошибочная, но и вредная точка зрения. В наше время прогресс науки неотделим от достижений талантливых математиков-прикладников.

Математик-прикладник обязан вникнуть в существо реальной задачи, суметь выбрать адекватный математический аппарат, а если такового не существует, то разработать его, построить разумную математическую модель изучаемого процесса, вывести из нее необходимые следствия, найти их прикладное истолкование и оценить соответствие модели реальному процессу. Подлинный прикладник не может ограничиваться каким-либо одним методом исследования и втискивать реальную проблему в известный ему набор математических средств. Для каждой проблемы он должен находить те математические средства, которые в наибольшей степени соответствуют ее природе. И прав Реньи, когда устами Архимеда говорит, что тот сделал шаг вперед по сравнению с чистыми геометрами, указав на нематематические следствия из теорем о параболе.

Проблемы, затрагиваемые в «Диалоге», приобретают сегодня особо актуальное значение: учащиеся средних школ и студенты вузов должны видеть в математических методах, понятиях и результатах не просто логически стройную систему знаний, но и возможности их использования для проникновения в тайны природы, управления техническими и экономическими процессами, лучшего использования природных ресурсов и более полного извлечения информации, содержащейся в опытных данных. Очень важно — и это должно быть одной из основных идей математического образования, — чтобы возможно большее число молодых математиков было способно сделать тот «шаг вперед», о котором говорит Архимед в книге Реньи.

В диалоге о приложениях математики Архимед высказывает важные и созвучные нашему времени мысли о месте и роли прикладной математики в познании природы и развитии самой науки. Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец. Наряду с математикой ему необходимо и глубокое знание предмета прикладного исследования. В его задачу входит создание математической модели изучаемого явления на базе имеющихся наблюдений и опытных данных, он обязан найти, а в ряде случаев

и изобрести новые методы математического исследования. Последние годы дают нам многочисленные примеры того, как вопросы практики, порой весьма узкие и недостаточно четко сформулированные, способствовали созданию новых областей математических исследований и глубокому преобразованию наших взглядов на содержание и возможности математики.

В первом диалоге собеседником Сократа — непременного участника всех диалогов древнего философа Платона — является Гиппократ. Из курса элементарной геометрии читатель, наверное, помнит о гиппократовых луночках. Идя навстречу желанию Гиппократа углубить свои знания, Сократ постепенно открывает ему предмет математических исследований, пути образования математических понятий, истоки которых находятся в непосредственном восприятии окружающего нас мира. Собеседники затрагивают много острых вопросов, которые возникают как в среде учащихся, так и у тех, кто использует в своей работе математические методы. Например, они обсуждают, почему математическое абстрагирование — казалось бы, уход от рассмотрения непосредственного предмета исследования — позволяет больше и глубже узнать о некоторых сторонах изучаемого объекта.

Особенно актуален в наше время вопрос, который Сократ задает себе: «Уж не думаешь ли ты, Сократ, что метод, применяемый математиками при изучении чисел и геометрических фигур, пригоден только для нужд математики? Почему бы тебе не попытаться убедить людей в том, что о чем бы они ни размышляли — о насущных ли проблемах повседневной жизни или о государственном устройстве, — методы мышления остаются по существу такими же, какие применяют в своей области математики?»

В настоящее время, когда происходит бурный процесс математизации наших знаний, этот вопрос приобретает особый интерес. Современная организация производства и торговли, биология и медицина, экономика и военное дело уже не могут оставаться на позициях полуинтуитивных представлений, неполно определенных понятий и нечетко сформулированных вопросов. Когда перед конструктором стоит задача создать автомат для управления технологическим процессом, для ее решения недостаточно одних общих идей и представлений. Машина не понимает, что значит фраза «варить сталь до готовности». Необходимы точные указания условий прекращения процесса. Точно так же для автомата, который должен контролировать температуру, недостаточно одного указания о прекращении нагревания в случае аварийной ситуации.

С требованиями точных количественных методов описания самых разнообразных процессов приходится сталкиваться буквально во всех областях человеческой деятельности. Крайне важно приучать молодежь к тому, чтобы она не только познавала формальные математические сведения, но и овладевала умением применять их к изучению явлений природы и процессов, с которыми сталкивается на практике. Математика в сознании учащихся должна быть не просто системой знаний, оторванной от жизненных задач общества, а полнокровным методом исследований, неразрывно связанным с задачами практики, мощным орудием познания окружающего нас мира.

Третий диалог дополняет первые два. В нем автор останавли* вается на таких важных идеях, как необходимость разработки математических методов движения, построение математической теории случайных явлений, невозможность исследования законов природы в отрыве от математики и ее специфического языка. Мысль Галилея о том, что великая книга природы написана на математическом языке и потому прочесть ее может только тот, кто знаком с ее знаками, за столетия, прошедшие со времени Возрождения, нашла множество блестящих подтверждений. Сейчас же нам важно подчеркнуть, что по мере возникновения новых задач познания природы само содержание математики не может оставаться неизменным. Оно, подобно живому организму, развивалось и развивается: на математическом древе появляются новые ветви, вырастают новые корни. Об этом в третьем диалоге рассказывает Галилей на примере начал теории вероятностей.

Вряд ли нужно доказывать, что в науке особенно важны точность и ясность выражений. Научный язык не должен создавать дополнительных трудностей при восприятии сообщаемой информации. Без этого требования не может быть науки как системы знаний, не может быть уверенности в том, что определенное утверждение или предположение не было искажено в процессе рассуждений. Научное изложение должно быть кратким и вполне определенным. Именно поэтому наука вынуждена разрабатывать свой собственный язык, способный максимально точно передавать свойственные ей особенности. Математическая символика как раз и является таким языком, своего рода стенографической записью абстрактной мысли. Она не оставляет места для неточности выражений и расплывчатых толкований. Но этого мало — математическая символика позволяет автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения выводов, сжимать запись информации, делать ее обозримой и удобной для последующей обработки. Она дает большие возможности и для общения с автоматом. Именно математике как языку науки и посвящен третий диалог.

Уже само название «Письма о вероятности» указывает на своеобразный литературный жанр: все, что хочет сообщить автор читателю, он излагает в виде писем своего героя. В данном случае этим героем является великий Блэз Паскаль, чье имя вошло в историю математики, физики, литературы и философии. Иная литературная форма, но все то же ее совершенство, а тема —• возникновение теории вероятностей.

К XVI веку в естествознании трудами ряда ученых, и в первую очередь Галилео Галилея, были заложены основы детерминистско-механистического понимания закономерностей окружающего нас мира. Позднее эту точку зрения развивали Ренэ Декарт и его последователи. Пожалуй, наиболее яркое выражение этих идей строгого детерминизма мы находим в известном труде Пьера Лапласа «Опыт философии теории вероятностей». На второй странице этого труда содержится такое утверждение: «Все явления, даже те, которые по своей незначительности как будто не зависят от великих законов природы, являются следствиями

столь же неизбежными этих законов, как обращение солнца». И далее: «Таким образом, мы должны рассматривать настоящее состояние вселенной как следствие ее предыдущего состояния и как причину последующего.

Ум, которому были бы известны для какого-либо определенного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движение величайших тел вселенной наравне с движением легчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы перед его взором».

Такое сведение качественно различных закономерностей мира к вполне детерминистическому взаимодействию обедняет истинную картину мира, и отрицание случайного, к которому сводилась такая концепция, не приводит к действительному исключению случайного из арсенала необходимых средств познания окружающих нас явлений. Случайное остается случайным и продолжает играть свою роль, даже если великие исследователи отрицают за ним действительное его существование. И сам Лаплас был вынужден разрабатывать теорию вероятностей как метод количественного изучения случайных явлений. Со времен Лапласа, а тем более Паскаля роль случайного в естествознании и в практической жизни резко возросла. Недаром современная физика считает, что все законы, которым подчиняются физические явления, носят статистический характер.

То, что случайные явления в реальном мире представляют собой не исключение, а правило, было замечено еще в древности. Об этом прекрасно говорит Реньи. Попытки математически подойти к изучению случайных явлений делались задолго до Паскаля и Ферма. Во всяком случае, факты устойчивости относительных частот случайных событий, связанных с демографическими явлениями и вопросами снабжения продовольствием больших масс людей, были ивзестны еще в Древнем Китае и Древнем Риме. Изучать случайные явления с помощью точных методов пытались Кардано и Галилей. Однако начала теории вероятностей как особой науки положила только переписка Паскаля и Ферма. К тому времени процесс научного познания уже победил; научное мышление уверенно одолевало схоластику теологов, и свободный полет творческой мысли неизбежно приводил к одному из основных вопросов познания: каковы типы закономерностей, господствующих в Природе? Нет ли наряду с механистическим детерминизмом детерминизма более общего, позволяющего с помощью количественного анализа охватывать явления природы шире и глубже?

На эти вопросы теперь даны определенные и положительные ответы: закономерности теории вероятностей дают нам детерминизм более широкого типа, который в качестве предельного случая включает детерминизм жесткий, в реальных явлениях наблюдаемый лишь приближенно.

Начиная с Паскаля, Ферма и Гюйгенса в научный обиход вошли первые понятия теории вероятностей — математической науки о случайных событиях и их вероятностях.