ПРЕДИСЛОВИЕ

Целые функции — самые простые и самые распространенные функции. В курсе математики средней школы рассматриваются либо целые функции (степень с натуральным показателем, многочлен, показательная функция, синус и косинус), либо функции дробные (мероморфные), т. е. частные двух целых функций (дробно-рациональные, тангенс, котангенс), либо, наконец, обратные по отношению к целым и дробным (корень с натуральным показателем, логарифмы, обратные тригонометрические функции).

Целые функции обладают многими замечательными свойствами. Но общая их теория, которой посвящены специальные книги, требует для понимания знания университетского курса теории аналитических функций. Настоящая книжка не предполагает у читателя подобных знаний. По сути дела, для чтения основного текста нужны только знакомство с комплексными числами и алгебраическими операциями над ними и знание основ математического анализа (дифференцирование и интегрирование, понятие сходящегося ряда).

Конечно, эта книжка не дает и не может дать развернутой теории целых функций — это дело специальных монографий. Мы включили в нее главным образом те сведения, которые помогают лучше и глубже понять факты, относящиеся к школьному курсу. Здесь 4

выясняются сходство и различие между алгебраическим и трансцендентным (с точки зрения анализа, но не теории чисел). Выражаясь описательно, трансцендентные целые функции — и по способу задания, и по быстроте роста — это «многочлены бесконечно высокой степени».

Например, «малая теорема Пикара», утверждающая, что уравнение вида f(x) = A, где f(x)—трансцендентная целая функция и А — данное комплексное число, имеет, вообще говоря, бесконечное множество корней, рассматривается как аналог основной теоремы алгебры, в силу которой число корней уравнения Р(х) = А, где Р(х)—многочлен, равно степени многочлена. Малая теорема Пикара (точнее, некоторое видоизменение ее, доказанное в § 1 Приложения) позволяет установить, что уравнение 2^х = Ах имеет бесконечное множество корней, если А =/= 0, а уравнение вида sin х = Ах — бесконечное множество корней для всех А без исключения. Указывается, как находить асимптотические выражения этих корней.

Далее рассматриваются некоторые алгебраические соотношения между целыми функциями (простейший пример: sin² х cos² х = 1), периодичность и алгебраические теоремы сложения (пример: a^x'a^K2=a^Xl+Xi).

Книжка завершается теоремой Вейерштрасса о том, что целые функции, обладающие теоремой сложения, — это многочлены (алгебраические либо тригонометрические) .

Для удобства читателей книжка разделена на две части.

Основной текст, состоящий из первых пяти глав, мы старались сделать наиболее доступным, исключив из него доказательства сравнительно трудных теорем. В основу этой части положены две лекции, читанные автором весной 1962 г. на курсах усовершенствования учителей при Московском университете.

Часть, выделенная в качестве Приложения, содержит доказательство малой теоремы Пикара для целых функций конечного порядка, разложение целой периодической функции в тригонометрический ряд и теорему Вейерштрасса (в ослабленном виде) о целых функциях с алгебраической теоремой сложения.

В первой главе некоторые основные предложения общей теории аналитических функций сформулированы, но оставлены без доказательства. Тем, кто захочет получить систематические сведения в этой области, рекомендуем книги: В. Л. Гончаров, Теория функций комплексного переменного, Москва, Учпедгиз, 1955; Б. А. Ф у к с и Б. В. Ш а б а т, Функции комплексного переменного и некоторые их приложения, изд. 3, Москва, «Наука», 1964 или наш «Краткий курс теории аналитических функций», Москва, Физматгиз, 1961, к которому приложен и список литературы для дальнейшего чтения. К этому списку следует присоединить ещё содержательную книгу М. А. Евграфова «Асимптотические оценки и целые функции», изд. 2, переработанное, Москва, Физматгиз, 1962.

Автор