ПРЕДШЕСТВЕННИКИ

ВВЕДЕНИЕ

ПУТЬ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

Курс математического анализа обычно строится так: сначала идет дифференциальное исчисление, а за ним следует интегральное. Историческое развитие протекало в обратном порядке. В трудах древних центральное место занимали задачи на вычисление площадей (квадратур), объемов (кубатур), центров тяжести. Для дальнейшего развития этого направления требовалось исчисление определенных интегралов. Оно может развиваться самостоятельно, без помощи или взаимодействия с дифференциальным исчислением или неопределенным интегрированием. Главное внимание математиков XVII в. и было направлено на разработку методов вычисления определенных интегралов.

Первым, кто сказал здесь новое слово после древних, был Иоганн Кеплер (1571—1630). Он установил, что планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам (первый закон Кеплера). При проверке второго закона (постоянство секториальной скорости каждой планеты) ему приходилось вычислять площади эллиптических секторов; для решения задач этого типа он разработал новый метод, радикально, как казалось современникам Кеплера, отличающийся от метода геометрического доказательства Архимеда. Воспользовавшись подходящим случаем (проверкой целесообразности формы австрийской винной бочки), Кеплер опубликовал первый, если можно так выразиться, курс определенных интегралов.

Почти одновременно с Кеплером начал работать над задачами определенного интегрирования Бонавентура Кавальери (1598—1647). Стремясь примирить между собой идеальную строгость доказательств Евклида с необходимостью заменить фигуру (или тело) некоторой моделью, он привлек идею неделимых и получил существенные результаты: ему удалось вычислить определенный интеграл от целой положительной степени аргумента. Одновременно с ним и независимо от него вычисляли различные определенные интегралы Пьер Ферма (1601—1665), Рене Декарт (1596—1650) и др. Ферма заметно продвинул технику составления интегральных сумм. Он же совершал предельные переходы. Ферма, Декарт и Джон Валлис (1616—1703) почти одновременно, около 1638 г., обобщили определенный интеграл от х^п на случай п дробного и отрицательного. В 1647 г. Григорий из Сен-Винцента опубликовал «Геометрический труд», в котором предложил довольно сложные кубатуры. Жиль Персонн, известный под фамилией Роберваля (1602—1675), вычислял определенные интегралы примерно так же, как это делал Кавальери, хотя в трактовке понятия бесконечно малой был ближе к Ферма. Он считал, что, например, бесконечно узкая полоска плоской фигуры имеет два измерения, а не одно, как принимал Кавальери. Роберваль получил, между прочим, объем тела, образованного вращением циклоиды вокруг ее основания.

Существенный прогресс в вычислении определенных интегралов связан с именем Блеза Паскаля (1623—1662). Правда, Паскаль не имел обыкновения выражать полученные результаты в виде формул и тем самым не способствовал выработке интегрального исчисления как суммы технических приемов, но его работы по вычислению различных интегралов прояснили связанные с определенным интегралом понятия. Он заменил «совокупности» Кавальери «суммами». Его бесконечно малые очень просты и наглядны по их образованию. Это обычно полоска (в плоской фигуре) или объем (в теле), одно измерение которого взято так, что при дальнейшем разбиении фигуры (тела) это измерение неограниченно приближается к нулю. И, наконец, он внес полную ясность в отношение между данным геометрическим образом (плоской фигурой, телом и др.) и той фигурой (телом), которой данный образ заменен при вычислении. А именно, Паскаль установил,

что две величины равны, если разность между ними может быть сделана меньше, чем любая наперед заданная величина, как бы она ни была мала. При таком положении вещей вопрос о переходе к пределу возникал сам собой.

У древних переход к пределу производился неоднократно (площадь круга и т. п.), но определения предела не было. Теперь развитие понятия интегральной суммы непосредственно привело к этому необходимому элементу вычисления. Вполне правильно совершал переход к пределу еще Ферма, но у него процесс перехода не рассматривался как самостоятельный этап вычисления. Переход к пределу в эти годы (середина XVII в.) выполнялся в разных формах — алгебраической и при вычислении определенных интегралов. Отыскание предела в алгебраической задаче имеется у А. Таке (1612—1680). Он получил сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, имея формулу для суммы конечного числа членов и неограниченно увеличивая это число. Переход к пределу при вычислении квадратуры кривой имелся уже у Ферма, как говорилось выше, а в более совершенной форме он выполнялся Валлисом. К 70-м годам XVII в. вычисление квадратур, кубатур, центров тяжести уже давно перестало быть новостью, как считали в начале века, когда появились первые кубатуры Кеплера. Тем не менее интегрального исчисления не было. Его и не могло быть, так как каждый новый тип задач вызывал новую интегральную сумму с новым пределом. Отыскание этого предела требовало каждый раз изобретения нового приема. Исчисление могло появиться только после установления взаимной обратности операций интегрирования и дифференцирования, что было установлено позже.

ПУТЬ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

Понятие производной тесно связано с задачей о проведении касательной к кривой и с тем кругом задач, которые объединяются под общим названием анализа функций. Построением касательных занимались еще древние. Что касается анализа, то было известно, что в «Конических сечениях» Аполлония рассматривались максимумы и минимумы, но содержание книги Аполлония стало доступ-

Брук Тейлор

Имя Тейлора навсегда останется в математике, потому что ряд Тейлора не устареет никогда.

Брук Тейлор родился 18 августа 1685 г. в деревне Эдмонтон в графстве Миддлсекс, в восьми милях от Лондона. Его дед пользовался вниманием со стороны Кромвеля, отец был шталмейстером. Мальчик получил прекрасное воспитание, общее (включая математику), а также художественное и музыкальное. Отец Тейлора, суровый пуританин, часто бывал недоволен поведением сына, недостаточно, по его мнению, соблюдавшего требования религии. Однако стоило юному музыканту начать играть, как досада отца таяла и мир восстанавливался. Сохранилась картина, на которой запечатлено семейное торжество: 13-летний Брук получает из рук старших корону, украшенную эмблемой гармонии.

В 1701 г., когда Тейлору исполнилось пятнадцать лет, он поступил в Кембриджский университет, в колледж Сент-Джон. Как раз в это время Ньютон окончательно расстался с Кембриджем, но, конечно, оставался кумиром молодых математиков. К ним присоединился с самого своего появления в Кембридже и молодой Тейлор. Кейль, Тейлор, Пембертон и другие образовали группу, о которой Иоганн Бернулли говорил, что после смерти Лейбница ему пришлось выдержать натиск всей английской армии.

В 1708 г. Тейлор опубликовал работу о центре колебаний. Это доставило ему немало хлопот из-за того, что Иоганн Бернулли обвинил его в плагиате.

К 1712 г. в активе Тейлора числились два мемуара — «О центре колебаний» и «О подъеме воды между двумя плоскостями». Задача о центре колебаний к тому времени была уже далеко не новой. Ее впервые предложил Мерсенн Декарту, Гюйгенсу и другим физикам еще в 1645 г. или в начале 1646 г. Но выход замечательного труда Гюйгенса «Маятниковые часы» и беспрерывные нападки аббата Ка- телана на Гюйгенса привлекли к этой задаче внимание Якова Бернулли, что вызвало интерес и других математиков. Тейлор работал над задачей, пользовавшейся большим вниманием среди специалистов. Задача о капиллярных силах, рассмотренная во второй работе, поставлена самим Тейлором. Лаплас, давший полную теорию капиллярного эффекта, считал работу Тейлора довольно значительной.

Статьи Тейлора были признаны настолько ценными, что в 1712 г. его избрали членом Королевского общества. Если вспомнить, что в эти годы председателем Общества был Ньютон, то следует заключить, что 27-летний Тейлор пользовался уже репутацией серьезного ученого.

В 1713 г. появляется работа Тейлора о колеблющейся струне. Проблема струны была самой популярной среди всех акустических проблем того времени.

В 1636 г. Марен Мерсенн издал «Всеобщую гармонию», в которой дал чисто экспериментальное исследование законов колебания струны. Тейлор поставил задачу как математик. В основание анализа движения струны он положил две гипотезы: 1) все точки струны проходят одновременно через положение равновесия (эта гипотеза не всегда справедлива) и 2) сила, действующая на частицу струны, пропорциональна удалению частицы от положения равновесия. Результатом исследования Тейлора послужила формула периода колебаний, которая охватывала все результаты Мерсенна.

Хотя известная дискуссия о колебаниях струны (Эйлер, Д. Бернулли, Даламбер, Лагранж) далеко продвинула математическую сторону задачи, основы, заложенные Тейлором, а именно: дифференциальное уравнение колебаний струны (в частных производных), начальные и граничные условия — все сохранилось и послужило первым кирпичом в здании математической физики. Правда, надо отметить, что Тейлор представлял колебания струны в форме

(м sin 2л 4тг -|- N cos 2л-^-) s^:n 2л , \ JL J. 1 Ы

т. е. в виде одного колебания, а не суммы колебаний (последнее принадлежит Д. Бернулли).

В 1714 г. Тейлор представил Обществу рукопись своей книги «Метода приращений прямая и обратная». Эта кни- ка — главный труд жизни Тейлора. Не без влияния этого события Тейлора в том же году избирают секретарем Общества. Это были годы острых схваток между сторонниками Ньютона и Лейбница в прискорбной борьбе за приоритет в изобретении анализа бесконечно малых. Тейлор, став секретарем Общества, выдвинулся в число первых фигур этого спора. Английский биограф ставит Тейлора

непосредственно после Ньютона и Котеса в ряду английских участников спора.

1715 год — вершина творческой биографии Тейлора: из печати вышла «Метода приращений». Книга разделена на две части. В первой излагается теория конечных разностей и, в частности, содержится вывод знаменитого ряда (Предложение 7, стр. 21—23). По соседству, в Предложении 11 (стр. 38—39), выведена формула разложения интеграла И. Бернулли

(* , г² ds г⁸ d²s

\ sdr = rs — j-» —Н , _{о 0} -т-5- —

J 1-2 dr ¹ 1-2-3 dr²

Вывод Тейлора лучше, чем вывод И. Бернулли, но Тейлора можно упрекнуть в том, что он не называет имени первооткрывателя. И. Бернулли был не из тех людей, которые равнодушно проходят мимо мелких уколов такого рода, и в мае 1721 г. в «Acta eruditorum» он высказал свое неудовольствие.

Вторая часть «Методы приращений» содержит приложения теории к решению различных задач. Здесь Тейлор поместил, наряду с новыми результатами, некоторые старые: рассмотрены, например, вопросы интерполяции (на основе интерполяционных формул Ньютона), изопериметрические задачи, уравнение цепной линии, задача о колебаниях струны, решение знаменитой задачи о центре колебаний, которая вызвала длительную дискуссию о приоритете, и некоторые другие.

Займемся теперь выводом формулы разложения. Ряд Тейлора привлекал к себе внимание математиков на протяжении столетий и вполне естественно, что было предложено много различных способов для вывода формулы разложения. Авторский вывод Тейлора, основанный на теории конечных разностей, в настоящее время нигде не излагается, поэтому интересно с ним познакомиться. Чтобы избавить читателя от ненужных затруднений, в выводе использованы привычные обозначения, введенные Эйлером.

Тейлор применяет такие термины: инкремент (приращение) и декремент (убавление = отрицательное приращение). Обозначения автора следующие: если, например, переменная — х, то ее приращение — х, приращение приращения или второе приращение переменной — х, третье приращение — х, дальше число точек

обозначается соответствующим числом, например х. Тей- 4

лор распространяет свою систему и в сторону отрицательных индексов, так, х — _х^ х — та переменная, которой ин- кремент есть х и т. д. Уместно заметить, что Лейбниц, автор идеи системы индексов, уже думал о применении отрицательных индексов, например о представлении интегрирования как отрицательного дифференцирования и т. д. Но его размышления, относящиеся к 1695 г., остались без приложения погребенными в безбрежной переписке Лейбница и, разумеется, неизвестными Тейлору. Таким образом, Тейлор — первый автор, выступивший в печати с отрицательными индексами. Эйлер вместо его неудобных пунктированных букв ввел значок конечного приращения Д, который остался в математике и по сей день.

В обозначениях Эйлера вывод Тейлора принимает следующий вид («Дифференциальное исчисление», § 44 и сл.). Пусть независимая переменная будет х и ее функция — у; если х дать приращение Да:, то у функции появится приращение Ду; при новом приращении Да: у независимой переменной будет значение х 4- 2 Да:, у функции у -|- &у -|- Д(у 4- Ду) = у 4- 2Ду 4- Д ²z/; при третьем приращении будет х 4- 3 Да: и у 4~ 2 Ду 4- Д²у 4- +Д(у 4-2Ду 4- Д²у) и т. д. Приходим к следующей таблице:

х

х 4- &х

х 4- 2Да:

х 4- ЗДа: х 4- 4Да: х 4- 5Да?

У

У + Ду

у 4- 2Ду 4- Д²у

у 4- ЗДу + ЗД²у + Д³у

у 4- 4Ду 4- 6Д²у 4- 4Д³у 4- Д⁴у

у 4- 5Ду 4- 10Д²у 4- ЮД³у 4- 5Д⁴у 4- Д⁶у

Изменение функции следует правилу разложения бинома.

Поэтому если положить х 4* пкх, то у примет вид

У + пЬу + ^л(" ¹¹ + ”^(?l 4" ²⁾ Ь?у 4-

Пусть теперь п неограниченно возрастает. Тогда вместо п — 1, п — 2,. п — к можно поставить и; кроме того,

положим п • &х = (о, т. е. Дя = Тогда

„I Ат/ । (о² А²т/ । (о³ А⁸?/ ₍

У' ° ~Кх + Г2 Ах^{3 +} ЬЗГЗ Ах^{3 +} ’ ' ‘

Наконец, перейдя к пределу, получаем формулу разложения в том виде, который ей придал Эйлер и который сохранился до наших дней.

В 1716 г. Тейлор предпринял поездку в Париж. Приняли его в Париже как нельзя лучше, и Тейлор остался очень доволен. Внимание со стороны ученых, знаки уважения, интересные знакомства — все это произвело на Тейлора самое отрадное впечатление. Но губительный внутренний процесс изменения интересов не приостановился. Роковая «болезнь века» — переход от естественных наук к теологии и мистике, болезнь, отнявшая у науки Паскаля, Барроу,Ньютона и др., завладела и Тейлором. В 1717 г. вышли четыре последних работы Тейлора: «О численном решении уравнений», «Об одной задаче Лейбница», «О параболическом движении снаряда» и «О тепловом расширении жидкости в термометре». Можно упомянуть еще две очень удачные книги «О перспективе», изданные в 1715 и 1719 гг. Книги имели большой успех, несмотря на желчную критику Иоганна Бернулли. Между тем в 1718 г. Тейлор уходит с поста секретаря Королевского общества, чтобы освободить время для философской работы. Он возвращается к увлечениям молодости — занимается музыкой и живописью. В 1721 г. Тейлор женился, что вызвало разрыв с отцом. Счастье, купленное такой дорогой ценой, оказалось непрочным. В 1723 г. Тейлор теряет жену и ребенка. В 1725 г. он снова женится — уже при полном одобрении отца. Но счастье и на этот раз не пришло к Тейлору: в 1730 г. жена умерла от родов. Правда, осталась девочка (ее сын, сэр Вильям Юнг, много сделал для освещения биографии деда и издал его философские сочинения), но Тейлор был неутешен в своем горе. Его здоровье резко ухудшилось и больше не восстанавливалось. 29 декабря 1731 г. он скончался и был погребен в Лондоне.

Бессмертный памятник Тейлору — его ряд. Однако фундаментальное значение этого вклада в математику было осознано не сразу. Правда, уже в 1717 г. Николь поместил в «Мемуарах Парижской академии наук» разъяснения, имеющие целью облегчить чтение «Методы приращений» Тейлора. В 1742 г. вышел знаменитый «Трактат

о флюксиях» Маклорена. В нем Маклорен вывел новым способом (с помощью неопределенных коэффициентов) ряд, носящий его имя, и указал, что этот ряд имеется в «Методе приращений» Тейлора. Поскольку Маклорен показал на большом числе функций, что применение его ряда неизмеримо упрощает задачу разложения функции, этот ряд, а значит, и ряд Тейлора, стал пользоваться большей известностью. В 1748 и 1755 гг. вышли «Введение» и «Дифференциальное исчисление» Эйлера. В этих двух сочинениях рядам отведено важное место. Книги, ставшие классическими с самого своего появления, еще больше укрепили сознание важности ряда Тейлора. В известной дискуссии 50-х годов, имевшей своим предметом колебания струны, Даламбер не соглашался с Эйлером, между прочим, и в понимании природы произвольной функции. В то время как Эйлер понимал термин «произвольный» буквально, Даламбер считал, что речь может идти только о таких функциях, которые разлагаются в ряд Тейлора. Это заявление крупнейшего авторитета помогло лучше понять, что, кроме практической пользы, ряд Тейлора имеет и большое теоретическое значение. Еще больше выросло значение ряда Тейлора, когда в 1772 г. Лагранж положил его в основу всего дифференциального исчисления. Вопросы обоснования дифференциального исчисления, судя по всему, долго занимали Лагранжа. Ему хотелось построить дифференциальное исчисление без помощи новых и расплывчатых, по его мнению, понятий бесконечно малой и предела. В то время, когда он был президентом Берлинской академии наук, Академия объявила конкурсную тему на точное и ясное изложение понятия бесконечно малой. Желая построить дифференциальное исчисление на чисто алгебраической основе, Лагранж в «Теории аналитических функций» (1797) кладет в основание дифференциального исчисления ряд Тейлора. Он считает, что теория разложения функций в ряды «содержит истинные принципы дифференциального исчисления, освобожденные от бесконечно малых и от пределов. И я доказываю теорему Тейлора ^х, которую можно рассматривать как фундаментальный принцип этого исчисления»,— таковы подлинные слова Лагранжа. После выхода Лагранжевой «Теории анали-

¹ Термпп «Теорема Тейлора»свел Кондорсе в 1784 г., а в 1786 г.

С. Люилье впервые употребил выражение «ряд Тейлора».

тических функций» значение ряда Тейлора было уже понято достаточно глубоко. Однако самый ряд понимался еще чисто формально. Только в 1797 г. Лагранж дал выражение для остаточного члена ряда. Разложение же в ряд считалось возможным для всякой функции a priori. Наконец, полную ясность в вопрос внес Коши. В 1823 г. Коши рассмотрел сходимость ряда к данной функции (в этой же работе дан и остаточный член в форме Коши), а в 1829 г. («Лекции по дифференциальному исчислению») установил различие между сходимостью ряда вообще и сходимостью его к данной функции. Таким образом, полная разработка теории ряда Тейлора заняла больше ста лет.

Алексис Клод Клеро

Время от времени природа одаривает человечество особым счастьем, имя которому «вундеркинд». Вундеркиндами были Моцарт, который в шесть лет покорил Европу, своими концертами; Иоганн II Бернулли, которому на тринадцатом году разрешили слушать лекции в Базельском университете; Эммануил Ласкер, в двенадцать лет бывший грозой и кумиром шахматного Берлина; вундеркиндом был и Клеро.

Алексис Клод Клеро родился 15 мая 1713 г. в семье преподавателя математики Жана Батиста Клеро, члена- ассоциё Берлинской академии наук. Алексис Клод был вторым в громадной семье, насчитывавшей впоследствии 21 ребенка. То, что глава семьи был математиком, наложило оригинальный отпечаток на развитие ребенка. Отец знакомил его с алфавитом по буквам на чертежах Евклидовых «Начал». Друзья Клеро сомневались в успехе его метода обучения. Но мальчик хорошо усвоил уроки и к четырем годам уже свободно читал и писал. Каким путем он овладел основами арифметики, осталось незамеченным. Во всяком случае, уроки ему не давались, однако он очень рано пристрастился к чтению книг по математике. В девять лет ему в руки попала книга Гинэ «Приложение алгебры к геометрии». Мальчику при чтении помогал отец. Алексис не удовлетворился первым чтением и прочел книгу второй раз, а затем и третий, так, что усвоил ее содержание полностью. Это он доказал тем, что для многих задач, помещенных в книге, дал решения, более простые и изящные,

АЛЕКСИС КЛОД КЛЕРО (1713—17С5)

чем решения Гинэ. Книга Гинэ содержала не только аналитическую геометрию, но и основы анализа. Таким образом, маленькому Клеро не было еще и десяти лет, когда он овладел элементами высшей математики.

После книги Гинэ Клеро изучил книги Лопиталя — сначала «Аналитический трактат конических сечений», затем «Анализ бесконечно малых». Эти книги он тоже читал по нескольку раз, пока не убеждался, что полностью их усвоил.

В это время семья Клеро сменила квартиру. Алексису и его младшему брату отвели отдельную комнату. Мальчики поступили так же, как на их месте сделали бы все мальчики: пользуясь свободой, они распорядились временем по своему усмотрению, и в то время, как родители были уверены, что их сыновья спят, они бодрствовали. Они не читали увлекательных повестей и не писали стихов, а занимались математикой, более того — собственными исследованиями. Алексису хотелось закончить работу в глубокой тайне, чтобы показать отцу в готовом виде. Но, как это

всегда бывает, отец однажды «накрыл» ребят и сурово отчитал их за самовольство. Когда же он ознакомился с работой старшего, то предоставил ему возможность завершить ее. У него были знакомства среди академиков. Некоторые из них поближе узнали молодого Клеро. В итоге 12-летний Алексис выступил с докладом в Академии наук. Темой сообщения были четыре изобретенные им кривые четвертого порядка, например, такая:

(*² + г/²)² -= С,

и исследование их свойств.

По окончании сообщения юный ученый был подвергнут довольно обстоятельному допросу по предмету доклада с целью установить, действительно ли он автор этого замечательного труда. Ответы Клеро не оставили на этот счет никаких сомнений. Аудитория была поражена, а присутствовавший на заседании член Академии аббат Рейно не мог сдержать слез радости и умиления при виде мальчика, достойного занять место среди лучших ученых Франции. Работа была напечатана в «Известиях Берлинской академии». Она следует непосредственно за статьей отца Клеро и снабжена сертификатом Парижской академии, удостоверяющим, что Алексис Клод Клеро — действительный автор, несмотря на свои двенадцать лет.

Вслед за этой работой Клеро приступает к следующей — к исследованию кривых двоякой кривизны. В этой работе он вводит третью координату, что, правда, уже не было новостью. Он разъясняет, что уравнение с тремя переменными описывает некоторую поверхность.

Юношеская горячность и радость творчества заставляли Клеро работать с таким неистовством, что у него начались головные боли и другие признаки переутомления. Пришлось несколько замедлить темп работы. Исследование под названием «Изыскания о кривых двоякой кривизны» было закончено и доложено в Академии наук в 1729 г., а два года спустя вышло из печати. Перед тем как дать разрешение на печатание книги, министр поручил одному ученому написать отзыв. Ученый без колебаний рекомендовал книгу к печати, а кроме того, подчеркивал, что она заслуживает «не только печатания, но удивления, как чудо воображения, понимания и способностей».

Кажется, не будет лишним упомянуть здесь, что младший брат Алексиса шел по его следам. В шестнадцать лет 202

От тоже опубликовал работу «О квадратурах круговых и гиперболических», но вскоре умер от оспы.

В 1731 г. Клеро напечатал еще две работы: «Новый способ находить центр тяжести» и «Кривые, которые получаются при рассечении криволинейной поверхности плоскостью данного положения».

Академия наук, естественно, не могла оставить вне своих стен такого математика. Затруднение заключалось в молодости Клеро. По уставу Академии не мог баллотироваться кандидат моложе двадцати лет, Клеро же было восемнадцать. Пришлось обратиться к королю. Последний разрешил выборы, и 14 июля 1731 г. Алексис Клод Клеро стал академиком. За все время существования Парижской (затем Французской) академии наук это был единственный случай нарушения параграфа устава Академии о возрасте кандидата.

Клеро вошел в Академию наук в то время, когда еще не установились самые основы физики. Декартова или Ньютонова физика призвана объяснить мир? Вот кардинальный вопрос эпохи и, конечно, Академия не могла обойти его стороной. Физика Декарта имела сильных защитников, но имя Ньютона делалось все более известным на континенте. Новому академику надо было примкнуть к тому или другому лагерю. Главой молодой школы был Мопертюи, будущий президент Берлинской академии наук. Самому Мопертюи было в то время немногим более тридцати лет, а другим членам его кружка и того меньше. Естественно, что юный Клеро примкнул к этому кружку — молодому, задорному, язвительному. «Enfants perdus» — называли их степенные академики-картезианцы. Молодые академики — Мопертюи, Клеро, Кондамин встречались за обедами, где царили веселье, шутки, где они безжалостно издевались над картезианцами. Современник так описывает эти обеды. «Один обстреливает картезианцев эпиграммами, другой — доказательствами. Этот копирует с натуры мины, жесты, ответы на доводы противников, тот осыпает насмешками попытки защитников Декартовой физики наложить на нее заплаты, ибо, по мне-; нию всего кружка, картезианская система порочна в самом основании. Эта маленькая компания одушевлялась веселым и едким нравом своего шефа. Вот так, забавляясь, насаждал Мопертюи ньютонианство в Академии».

Клеро связывала с Мопертюи прочная и многолетняя дружба. В 1729 г. Мопертюи ездил в Базель слушать лекции Иоганна Бернулли. Там, между прочим, он подружился с сыном Бернулли, Иоганном II, в доме которого в 1759 г., в Базеле же, скончался. В 1732 г. Мопертюи решил снова поучиться у Бернулли и предложил Клеро разде- лить с ним компанию. Тот согласился. В сентябре 1734 г. они выехали в Базель. Прослушав курс, они не вернулись в Париж, а, удалившись в уединенное селение, усиленно занялись научной работой.

В этом же 1734 г. вышла одна из тех работ Клеро, которые у немцев называются словом epochemachende —эпохальный. В «Мемуарах Парижской академии наук» Клеро поместил статью «Решение многих задач, где требуется найти кривые, свойство которых состоит в некотором отношении между ее элементами, определяемом данным уравнением». В этой статье идет речь об особых решениях дифференциальных уравнений первого порядка. Нельзя сказать, что Клеро был первым, кто имел дело с особыми решениями. На особое решение, можно сказать, наткнулся Брук Тейлор, продифференцировав одно уравнение первого порядка. Самый термин идет от Тейлора, который назвал найденное им решение «некоторым особым решением». Тейлор подметил в особом решении лишь одну странность— именно, невозможность получить его из общего решения, что и оттенил в данном им названии: singularis — особенное, странное, своеобразное, чудное.

Клеро приводит несколько примеров дифференциальных уравнений, имеющих особое решение.

Вот один из примеров Клеро:

dy²— (х + 1) dydx ydx² — О,

в котором легко узнать «уравнение Клеро», если переписать его в более привычной форме,

у'² — (х+ 1)/ + у = 0.

Клеро дифференцирует предложенное уравнение и получает из него два

2у'~ х — 1 = 0 и у" = 0,

которые Клеро совершенно правильно трактует как огибающую и огибаемое семейство прямых.

Следует подчеркнуть, что статья, в которой рассматриваются особые решения, вышла в свет, когда ее автору был 21 год.

Вскоре был утвержден проект об организации экспедиции Мопертюи для измерения длины дуги меридиана за Полярным кругом. 23-летний Клеро как способнейший математик и личный друг руководителя, конечно, тоже вошел в ее состав. Измерения проводились вдоль реки Торнео (нынешняя Турн-эльв; вдоль нее идет государственная граница между Швецией и Финляндией), один участок которой, в районе пересечения с Полярным кругом, точно совпадает с меридианом.

Вернувшись в Париж, Клеро продолжал, как всегда, много и плодотворно заниматься математикой. В 1739— 1740 гг. вышли его статьи, содержащие новые и принципиального значения материалы. Клеро вводит понятие полного дифференциала

Pdy -|- Qdx

и определяет условия (он не различал обозначения обыкновенных и частных производных)

dP _ dQ

dx dy

Напоминаем, что Эйлер записал бы эти частные производные в виде

fdP\ _ fdQ\

\dx J \dy J

и только у Лежандра встречается впервые

дР _ dQ

дх ду '

В этот же период Клеро открывает интегрирующий множитель. Интегрирующий множитель применял еще Иоганн Бернулли, но Клеро «переоткрыл» его заново. Впрочем, действительно подробное изучение интегрирующего множителя находим впервые в «Интегральном исчислении» Эйлера. В 1743 г. вышла книга Клеро о фигуре Земли. Мотивы, которыми руководствовался Клеро, выпуская этот труд, понятны. Вопрос о том, вытянута ли Земля вдоль оси вращения или сплющена, имел огромное научное и общественно-философское значение. Он не толь

ко разрешал узконаучный вопрос, по и радикально решал спор между физикой Декарта и физикой Ньютона. Ясно,что окончание этого спора имело неизмеримо большое значение для общественного сознания. По вопросу «фигуры Земли», как говорили тогда, выходило множество книг, самой популярной из которых была, конечно, принадлежащая перу Мопертюи. Клеро, как непосредственный участник экспедиции, имел все основания выступить с книгой на такую жгучую тему. Экспедиция была завершена в 1737 г., но лишь в 1743 г. Клеро выпускает книгу. Он имел время глубоко продумать предмет и создать такую книгу, значение которой не иссякло до наших дней.

«Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики», имеет множество подробностей, интересных и с чисто математической стороны.

Вот, например, в части I гл. IV § 16 рассматривается криволинейный интеграл. Криволинейный интеграл впервые появился именно в «Теории фигуры Земли». Вот что говорится в указанном параграфе: «Но так как равновесие жидкости требует, чтобы вес ON (ON — часть произвольно выбранного канала криволинейной формы в толще жидкой вращающейся массы. — <7/. Ф.) не зависел от вида кривой.» Здесь, таким образом, не только говорится о подсчете величины (веса) вдоль криволинейного участка канала, но еще высказано требование, чтобы величина эта не зависела от пути интегрирования. Клеро продолжает: «.необходимо, чтобы Pdy + Qdx можно было проинтегрировать независимо от у, иными словами: необходимо, чтобы Pdy 4- Qdx было полным дифференциалом». Клеро формулирует условие того, чтобы величина криволинейного интеграла не зависела от пути: подынтегральное выражение должно быть полным дифференциалом. Но что такое полный дифференциал? Само понятие и его наименование Клеро предложил в 1739—1740 гг. Он не уверен, что читатель «Теории фигуры Земли» знаком с его работами прошлых лет, и дает пояснение: «Под полным дифференциалом я понимаю величину, интеграл которой есть функция от х и у. Так, ydx -}-xdy. ^yd*+-⁽!=L суть пол- 2 у a²-j-zi/

ные дифференциалы, потому что их интегралы ху и ]Лг² ху. Но y³dx -}- x^zdy или y²dx -)• x^dy не являются полными дифференциалами, потому что никакие функции от х и у не могли бы быть их интегралами».

В приведенном отрывке, все содержание которого полностью принадлежит Клеро, имеется все существенное из теории криволинейного интеграла: идея этой величины, вычисление вдоль произвольного криволинейного участка, требование независимости^ от пути интегрирования и условие, при котором это требование выполняется. Далее, это требование использует понятие полного дифференциала; само понятие предложено Клеро и он же формулирует условие, при соблюдении которого определенное выражение оказывается полным дифференциалом.

Мы не можем здесь рассматривать книгу о теории фигуры Земли со стороны ее основного содержания. Ограничимся мнениями двух ученых, суждениям которых можно, кажется, довериться.

Эйлер в письме к Хр. Гольдбаху выразился так: «„Теория фигуры Земли" г-на Клеро есть действительно произведение несравненное. ему удается совершенно ясно и отчетливо изложить предметы самые возвышенные». Лаплас же оценил книгу в следующих словах: «Важность результатов и изящество, с которыми они представлены, ставят это произведение в ряд прекраснейших работ в области математики».

Умер Клеро в 1765 г.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Несколько очерков, написанных нами, дают лишь общее представление о том мощном творческом потоке, который вызвал к жизни бурное развитие математики и обусловил поистине сказочный переход от косных понятий XVI в. к совершенно новому математическому мышлению XIX в. Этот знаменательный переход почти точно укладывается в два столетия — XVII и XVIII. Семнадцатый век несет на себе немало родимых пятен средневековья. Математика в то время не только не распалась на отдельные отрасли, но сама еще не вполне отделилась от философии. Философы XVII в. были математиками — Гассенди, Гоббс, Декарт, Лейбниц. Почти все математики были философами — Кавальери, Торричелли, Паскаль, Роберваль и др. Ньютон не считал себя философом, однако его влияпие на философию XVII и XVIII вв. огромно (достаточно сказать, что он положил конец господству философии Декарта).

Философы искали универсальный метод. Широкие обобщения математики и автоматичность, с которой она получает ответы, пользуясь своими алгоритмами, подсказывали философам, в каком направлении искать «универсальный метод». Декарт иллюстрирует свой метод «Геометрией», Лейбниц надеется построить алгоритм философии по аналогии с алгоритмом дифференциального исчисления.

XVII столетию свойствен большой интерес к работам древних греков и прежде всего к Архимедову стилю изложения. Строгость его доказательств была принята за образец. Поэтому первые оригинальные работы Кеплера трактовались как совершенно неприемлемые, и лишь в дальнейшем необыкновенно богатые результаты, полученные с помощью новых инфинитезимальных методов, ослабили (но не уничтожили) оппозицию.

В начале XVII в. еще не было академий или каких- либо иных обществ, объединяющих ученых, в частности математиков. Ученые творили в одиночестве. Самое большее, на что ученый мог рассчитывать, это дружеская критика другого ученого, с которым он переписывался. Но и в этом смысле не всегда все было определенно и просто, о чем свидетельствует установившийся тогда обычай объявлять и в то же время засекречивать открытие путем опубликования шифрованной анаграммы.

Естественная склонность ученых к обмену открытиями и прочей профессиональной информацией находила выражение в переписке и в создании дружеских «надомных» кружков — ведь научные журналы, как и академии, появились только во второй половине XVII в.

Лишь после того как эти «предтечи» успешно выполнили выпавшую на их долго историческую задачу, и возник настоящий математический анализ. Последние пятнадцать лет XVII в. характеризуются бурным развитием исчислений Лейбница. Начался период стремительного завоевания все новых областей; каждая статья Лейбница, Якова или Иоганна Бернулли содержала решение новой задачи из дифференциального исчисления, интегрального исчисления, вариационного исчисления и т. д. Лейбница и братьев Бернулли иногда сравнивают с колонистами, работающими на ни кем до них не тронутых землях. Действительно, в упоении необыкновенными успехами и открывшимися возможностями изобретатели нового исчисления не очень озабочивались его обоснованием.

Вызванный новым исчислением скепсис был не совсем беспричинным. И теория флюксий, и дифференциальное исчисление в XVII в. не блистали порядком в своих основах. Не было, например, твердо установлено, что такое «момент» (Ньютон) или «бесконечно малая» (Лейбниц). Воспитанные на Аристотелевой формальной логике, их современники добивались однозначных ответов на вопрос: эти «вещи» — нули или не нули? И, конечно, не могли добиться точных ответов от авторов. Таким образом, анализ (если для краткости так назвать все новое исчисление) перешел в XVIII столетие в блеске и громе побед, но при более чем скромных обоснованиях. Новый век продолжил эпоху завоеваний, причем триумф «новой» математики отражался и в других науках — в небесной механике, в теоретической механике и т. д. Еще не пришло время для безупречного обоснования анализа. Кое-что для этого, правда, делалось: в то время как общие и малоубедительные рассуждения Лейбница и Эйлера не придали ясности вопросу о производной, Даламбер обратил внимание на Ньютоновы «первые и последние отношения». Он заменил их понятием предела и подготовил таким образом почву для теории пределов Коши. Другой пример большой подготовительной работы — дискуссия о природе функции (Д. Бернулли, Эйлер, Даламбер). Она внесла много ясности и обогатила плодотворными идеями этот вопрос, но не разрешила задачу полностью. XIX столетию, как известно, пришлось еще немало над ней потрудиться (Фурье, Лобачевский, Дирихле, Риман). Сходимость рядов — пример весьма беззаботного отношения XVIII в. к серьезному вопросу. Сам Тейлор даже не ставил задачи о сходимости своего ряда. Маклорен пытался включить в исследование каждого ряда также и рассмотрение его сходимости. Вопрос о сходимости как первом качестве ряда оставался настолько чуждым духу XVIII в., что даже Эйлер не считал нужным ни рассматривать его, ни прислушиваться к прямым упрекам и напоминаниям (Н. Бернулли, Маклорен). Только Лагранж возвысился над духом XVIII в. Он ввел остаточный член ряда, положил ряд Тейлора в основание анализа, пытаясь обойти стороной и вопрос о бесконечно малых и вопрос о производных, для чего определил производную как коэффициент при члене ряда Тейлора («Лекции по теории и исчислению функций», 1797—1801).

В то время кцк завоевания математики расширялись на протяжении всего XVIII в., проблема обоснования почти не продвигалась вперед. Это но мешало тому, что величественные результаты, полученные с помощью математики в механике и особенно в небесной механике, способствовали укреплению механистического мировоззрения. Пафос науки XVIII в. выразил Лаплас в словах, ставших знаменитыми: «Ум, который знал бы все действующие в данный момент силы природы, а также относительное положение всех составляющих ее частиц и ко-, торый был бы достаточно обширен, чтобы все эти данные подвергнуть математическому анализу, смог бы охватить единой формулой движение как величайших тел вселенной, так и ее легчайших атомов. Он одинаково ясно видел бы и будущее и прошлое».

Выше говорилось, что в XIX в господствовало совсем другое, чем в XVI в., математическое мышление. Прежде всего, изменились границы деятельности математиков. Как правило, математик уже не работает во всех областях своей науки. В XVIII в. крупный математик был математиком вообще, он работал и в области классической математики, и в анализе, и в геометрии. ПроДа- ламбера, Лагранжа или Лапласа нельзя сказать, что кто-нибудь из них аналитик, или геометр, или алгебраист. Не то в XIX в. Математика настолько расширилась, что лишь исключительно выдающиеся таланты могли уделять внимание многим областям математики (Гаусс, Риман, Чебышев), обычно же математик сосредоточивал внимание на сравнительно ограниченном круге вопросов. На грани XVIII и XIX вв. стоит Гаусс. Сохраняя многое от XVIII в., например латинский язык, универсальность интересов, стремление приложить свои открытия к астрономии и т. д., Гаусс был математиком уже новой формации. Почти одновременно с ним начал свою деятельность Коши, начисто изгнавший из математической практики обращение к интуиции. Все это поставило в порядок дня вопрос о строгости математического доказательства и более общий — об истинных основаниях математики. Под знаком этих «проклятых вопросов» и развивалась математика XIX в. после того, как она благополучно пережила время своего отрочества (XVII в.) и юности (XVIII в.), которым и посвящена эта книга.