В мире уравнений (Никифоровский) 1987 год - Скачать старые книги
Советская нехудожественная литература бесплатно
Описание: История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались еще в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времен и народов. Автор рассматривает развитие этой теории во всей своей простоте и сложности, начиная с древности до трудов Гаусса, Абеля, Галуа.
© Москва «Наука» 1987
Авторство: Никифоровский В.А., Ответственный редактор доктор физико-математических наук А. Т. ГРИГОРЬЯН
Формат: PDF Размер файла: 16.1 MB
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие. 3
Начало 5
Геометрическая алгебра греков 19
«Арифметика» Диофанта 45
Дальнейшие шаги. 58
Великие открытия. 85
К вершинам. 100
Вершины. 133
Послесловие 164
Примечания. 163
Литература 170
Скачать бесплатную книгу времен СССР - В мире уравнений (Никифоровский) 1987 года
СКАЧАТЬ PDF
Предисловие
Уравнения! Можно утверждать наверняка что не найдется ни одного человека, который бы не был знаком 0 ними» Дети сызмала начинают решать «задачи с иксом», Дальше — больше, Правда, для многих знакомство с уравнениями и заканчивается школьными делами» Известный немецкий математик Р. Курант (1888—1972) писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного чело* века» [30, с. 11]. И среди этих знаний было умение решать уравнения.
Несмотря на популярность уравнений, нет доступных широкому кругу читателей исследований, посвященных им. В предлагаемой книге рассказывается о развитии теории уравнений. Открывается она описанием решения элементарными способами в глубокой древности задач, которые приводятся к линейным, квадратным и некоторым видам уравнений более высоких степеней. Затем рассматриваются достижения древних греков, индийских и арабских средневековых математиков, Описывается открытие способов решения уравнений третьей и четвертой степеней итальянскими математиками С. дель Феррол Н. Тартальей^ Д. Кардано и Л. Феррари, совершенствование теории в трудах Ф. Виета, Р. Декарта, И. Ньютона. Последняя глава посвящена доказательству основной теоремы алгебры о корнях уравнений и проблеме разрешимости уравнений в радикалах в работах Ж. Л, Д’Аламбера, Л. Эйлера, Ж. Л. Лагранжа, П. С, Лапласа^ П. Руффини, К. Ф, Гаусса, Н. X. Абелял Э, Галуа,
Основная тема книги — решение уравнений с одним неизвестным. В стороне остались вопросы, связанные с системами линейных уравнений, что составляет предмет линейной алгебры; почти ничего не сказано о неопределенных уравнениях; из приближенных методов решения уравнений изложен только метод Ньютона.
При чтении книги необходимо иметь в виду следующее. Во все времена одними и теми же проблемами занимались многие математики. В книге отражены основные достижения, а вопросы приоритета оставлены на долю историков науки,
это, чтобы никто не надеялся бы свести еще и другие деления, кроме делений, дающихся нашей теорией, например деления на 7, И, 13, 19, . . . частей, к геометрическим построениям и не тратил бы бесполезно свое время» [18, с. 572].
Гаусс доказал, что при любых п корни промежуточных уравнений, кроме последнего, если оно квадратное, действительны. При помощи резольвенты Лагранжа он установил, что все промежуточные уравнения разрешимы в радикалах; это и доказывает разрешимость в радикалах уравнения хп — 1=0.
Работа Гаусса послужила исходным пунктом для исследований Абеля и Галуа.
Доказательству невозможности решения уравнений пятой и более высоких степеней посвятил несколько работ, вышедших в 1798—1813 гг., Паоло Руффини(1765—1822). Он, как и Лагранж, изучал подстановки корней уравнений, исследовал конечные перестановки, ввел термин «группа». Доказательство неразрешимости уравнений степени 5 в радикалах, полученное Руффини, не было общим, потому что он принял без обоснования допущение о том, что корни резольвент выражаются рационально через корни исходных уравнений.
Теорему о неразрешимости в радикалах уравнений пятой и высших степеней строго доказал Н. X. Абель.
Нильс Хенрик Абель родился 5 августа 1802 г. в деревушке Финней на юге Норвегии. Отец его был священником. Нильс с детства отличался слабым здоровьем.
Сначала отец обучал Нильса и его старшего брата сам, а в 1815 г. отправил их в кафедральную школу в Христианию (ныне Осло). Здесь учитель математики Б. М. Хольмбое сумел заинтересовать Абеля и вскоре определил, что его ученик «несомненный математический гений». В школе Абель усиленно изучал самостоятельно книги С. Ф. Лакруа, С. Д. Пуассона, К. Ф. Гаусса, Ж. Л. Лагранжа. Он поставил перед собой задачу найти формулы для решения уравнения пятой степени в общем виде с помощью арифметических действий и извлечения корней. В течение нескольких недель упорного труда они были получены. Работу Абеля читали многие профессора университета и не могли обнаружить погрешностей в рассуждениях юного математика. Лишь когда по совету одного профессора Абель стал применять
формулы к конкретным уравнениям, он убедился в ошибочности их.
В 1821 г. Абель успешно выдержал экзамен в университет и обратился с просьбой о выделении ему стипендии. Необходимость ее диктовалась тем, что в 1820 г. его отец умер и семья располагала крайне скудными средствами. Университет не имел такой возможности, но несколько знающих Абеля профессоров, «дабы сохранить для науки это редкое дарование», стали выплачивать ему стипендию из своего жалованья. Чтобы облегчить участь семьи, Абель перевез к себе младшего брата и вынужден был подрабатывать частными уроками. С этого времени началась у него жизнь, полная бедности и забот о нуждах насущных.
Абель много времени уделял чтению математических книг, интенсивно обдумывал математические проблемы. Первые его работы появились на норвежском языке, поэтому остались неизвестными математикам Европы. Одна из задач, решенных им, привела к тому, что искомая функция вошла в уравнение под знаком интеграла. Тем самым Абель предварил интегральные уравнения, теория которых стала развиваться лишь в конце XIX в.
В 1824 г. Абель вновь обратился к алгебраическим уравнениям и доказал невозможность решения уравнения пятой степени в радикалах. Небольшую брошюру (всего шесть страниц), содержащую доказательство, он отпечатал за свой счет.
Окончив университет, Абель получил возможность поехать за границу, где познакомился с ведущими математиками. Статья Абеля «Доказательство невозможности решения в радикалах общего уравнения выше четвертой степени» опубликована вместе с другими его статьями в первом номере журнала А. Крелле (1780— 1855) за 1826 г. Это доказательство стало известно широким кругам математиков.
Молодому гению не везло. 30 октября 1826 г. на заседании Парижской академии наук О. Коши должен был сделать сообщение о содержании одного из представленных Абелем мемуаров. Безмерно занятый своими идеями и работами, Коши затерял мемуар. Только после смерти Абеля ему за это исследование вместе с К. Г. Якоби (1804—1851) была присуждена большая премия Парижской академии наук.
Как пригодилась бы Абелю этц премия при жизни!
В Париже он жил бедно: одевался скромно, снимал бедную квартиру, покупал еду один раз в день. Когда потерпевший от грабителей прохожий посоветовал Абелю остерегаться их, Абель сказал: «Мне нечего бояться. Что могут отнять у меня грабители?» Все свое время Абель посвящал решению математических проблем.
В 1827 г. после возвращения из Парижа Абелю не нашлось места не только в университете, но даже и в школе. Чтобы не прекращать занятия наукой, он вынужден был просить Коллегию университета оказать помощь. Ему выделили столько же, сколько он получал во время учебы,— 200 талеров в год.
В 1828 г. Абелю предоставили место в университете, его жалование составило 533 талера в год, но жил он все так же бедно, потому что выплачивал накопившиеся долги. В этом же году Абеля избрали в Королевское общество Норвегии.
В марте 1828 г. Абель узнал, что те же проблемы, которыми занимается он, успешно разрабатывает К. Г. Якоби. В соперничестве двух гениев прошел весь год, и это изнурило Абеля. За соревнованием следил Гаусс, получивший многие результаты, установленные Абелем и Якоби, еще когда ни того, ни другого не было на свете. Эти открытия Гаусса опубликованы после его смерти.
Однако в разработке общей теории интегралов от алгебраических функций Абель превзошел Гаусса и Якоби. И именно изложение ее содержалось в затерянном Коши мемуаре.
В декабре 1828 г. молодой ученый отправился на рождественские праздники к знакомым во Фроланд. В пути он простудился, у него обострился туберкулез; 6 апреля 1829 г. Абель скончался.
Всего семь лет продолжались его занятия математикой, но сделал он много. На лекции, посвященной теореме Абеля, Якоби сказал, что Абель умер рано, «как будто хотел сделать только то, чего никто не могг предоставив остальную работу другим».
После смерти Абеля О. Коши разыскал затерявшийся мемуар, в течение недели подготовил сообщение, сделал его на очередном заседании Парижской академии наук, где и было принято решение о присуждении Абелю и Якоби большой премии.
На Королевской площади в Осло воздвигнут памятник Абелю. В математику навечно вошли теоремы, преобразования, уравнения Абеля, абелевы интегралы, функции, группы.
В опубликованной Абелем брошюре с доказательством неразрешимости общего уравнения пятой степени в радикалах допущена та же ошибка, которая содержалась и в доказательстве Руффини. Исчерпывающее доказательство было дано Абелем в мемуаре, опубликованном в журнале А. Крелле, но этот мемуар не снимал вопроса о разрешимости некоторых классов уравнений в радикалах и возможности такой разрешимости уравнений с числовыми коэффициентами. Этот вопрос ученый рассмотрел в «Мемуаре об одном особом классе алгебраически разрешимых уравнений» (1829). Класс таких уравнений впервые найден Лагранжем — это так называемые циклические уравнения.
Исходными положениями для Абеля были исследования Лагранжа и Гаусса. Абель открыл важный класс разрешимых уравнений, определяемых условиями: 1) всякий корень Xi уравнения выражается как рациональная функция фиксированного корня Xi=0i(a:1); 2) рациональные функции 0j обладают свойством
[0fc (#i) 1 = (*1)L
Такие уравнения в настоящее время называются нормальными с абелевой группой Галуа.
10
Создание теории групп выпало на долю прожившего всего 20 лет Э. Галуа.
Эварист Галуа родился 26 октября 1811 г. в г. Бур-ля-Рен в семье мэра города. В 1823 г. родители отправили Эвариста учиться в Королевский коллеж в Париже. Здесь он увлекся математикой и стал самостоятельно изучать сочинения Лежандра, Эйлера, Лагранжа, Гаусса. Один из его учителей писал: «Страсть к математике владеет им; я думаю, что для него было бы лучше, если бы его родители согласились, чтобы он занимался только этой наукой: здесь он теряет свое время и только изводит своих учителей и навлекает на себя наказания» [17, с. 321].
Идеи Лагранжа целиком овладевают Галуа» Ему, как когда-то Абелю, кажется, что он нашел решение уравнения пятой степени. Он предпринимает безуспешную попытку поступить в Политехническую школу?
знаний работ Лежандра и Лагранжа оказалось недостаточно, и Галуа возвращается в коллеж.
В 1829 г. была опубликована его заметка «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях». Тогда же Галуа представил в Парижскую академию наук другую работу; она затерялась у Коши.
Галуа пытается вторично поступить в Политехническую школу, и вновь неудача. К этому вскоре добавилось событие, потрясшее юношу: затравленный политическими противниками отец Галуа покончил с собой. Обрушившиеся на юношу несчастья повлияли на него: он стал нервным и вспыльчивым.
В 1829 г. Галуа поступил в Нормальную школу. Здесь он выполнил исследование по теории алгебраических уравнений и в 1830 г. представил работу на конкурс Парижской академии наук; она также затерялась у Коши.
В жизни Галуа наступило время, заполненное важными событиями. Он примкнул к республиканцам, вступил в «Общество друзей народа» и записался в артиллерию Национальной гвардии. За выступление против руководства Нормальной школы его исключили из нее. На следующий день после банкета национальных гвардейцев 9 мая 1831 г. его арестовали и держали в тюрьме до суда 15 июня, обвинив в подстрекательстве к покушению на жизнь короля. Суд оправдал Галуа.
14 июля 1831 г. в ознаменование 42-й годовщины взятия Бастилии состоялась манифестация республиканцев. Полиция арестовала шестьсот манифестантов, в том числе Галуа. Он сидел в той же тюрьме Сент-Палаш до 16 марта 1832 г. Здесь он узнал, что еще 11 июля Парижская академия наук отвергла посланный им мемуар: Пуассон и Лакруа дали отрицательное заключение. Суд над Галуа состоялся 23 октября 1831 г. Его осудили на 9 месяцев. Галуа продолжал свои исследования и в заключении.
В тюрьме Галуа заболел. 16 марта 1832 г. его поместили в больницу, где он находился еще некоторое время по окончании срока заключения 29 апреля.
Утром 30 мая на дуэли в местечке Жантийи Галуа был смертельно ранен пулей в живот. Один из местных жителей случайно наткнулся на Галуа и отвез его в больницу. Умер Э. Галуа в 10 часов утра 31 мая 1832 г. Причину дуэли никто не знает. Версип разные: политические интриги, любовная история. Перед дуэлью,
29 мая, он написал письма друзьям-республиканцам и Огюсту Шевалье; в этом письме он изложил свои математические идеи. На одной из записок, найденных у него на столе, было: «Это доказательство надо дополнить. Нет времени».
После некролога Э. Галуа, опубликованного О. Шевалье, имя его забыли. Через 14 лет, в 1846 г., Ж. Лиувилль опубликовал рукописи Галуа. Развитие его теории относится к 70-м годам XIX в.
За свою короткую жизнь Галуа написал мало. В русском издании его работы вместе с черновиками занимают всего 120 страниц небольшого формата, но значение их огромно. Кто-то сказал, что Галуа — это Лермонтов в математике.
Фундаментальное достижение Галуа — введение в математику понятия группы, ставшей одним из основных в современной математике. С помощью групп подстановок корней уравнений Галуа сформулировал необходимое и достаточное условие разрешимости алгебраических уравнений.
В «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах» (1846) Галуа определил область рациональности. Для уравнения
Pn ($) = $п + ajZn_1 + . . . + an_jX an = 0
областью рациональности будет совокупность рациональных функций коэффициентов R а2, . . ап).
Галуа показал, что для уравнения Рп (х) = 0 в той же области рациональности можно найти уравнение Q (л) = 0, такое, что корни обоих уравнений будут выражаться друг через друга рационально. Уравнение Q (х)=0 в этом случае называется нормальным. Подставовкикорнеп нормального уравнения образуют гр у nnyG, называемую группой Галуа уравнений Q (х) = 0 и Рп (х) = 0. Галуа доказал, что всякое рациональное соотношение между корнями уравнения и элементами поля R инвариантно относительно подстановок группы G.
Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения в радикалах состоит в разрешимости соответствующей группы Галуа. Более подробно об этом можно прочитать в [20].
Подчеркнем, что главное в творчестве Галуа состояло не в установлении этого результата, а в новом подходе, базой которого служило понятие группы. Оно впоследствии проникло в другие области математики — появились группы Ли в теории дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также группы Галилея в механике и группы Лоренца в теории относительности.
МАТЕМАТИКА - ИСТОРИЯ ПРЕДМЕТА - ДИСЦИПЛИНЫ
Популярная математика - ДЛЯ ШИРОКОГО КРУГА, ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Математика - Уравнения-Тождества-Неравенства, История математики, Популярная математика, Популярная алгебра, Серия научно-популярных изданий АН СССР, Подсерия - История науки и техники, Алгебра - ИСТОРИЯ ПРЕДМЕТА-ДИСЦИПЛИНЫ, Автор - Никифоровский В.А.