ВВЕДЕНИЕ

Но читатель может не знать, что векторы в современном смысле слова появились в математике только в 40-х годах прошлого столетия, а первый трактат по собственно векторному исчислению появился только в 80-х годах XIX в. (его автором был знаменитый американский физик, один из соз дателей статистической механики Дж. У. Гиббс). Между тем теоретическая механика — как раз та наука, где фигурируют силы, скорости и ускорения — приняла вполне законченную форму еще в конце XVIII в., если не раньше. Знаменитый трактат Ж. Л. Лагранжа по аналитической механике, который часто называют поэмой за его исключительное изящество и законченность, не знает никаких векторов. Естественно возникает вопрос, нельзя ли обойтись без векторов?

Обойтись без них, конечно, можно. Но именно потому, что мы говорим об этом в самом начале книжки, которая соби рается рассказывать о векторах, алгебрах и пространствах, можно догадываться, что есть какие-то основания, по которым поступать так не следует. Основания эти прежде всего заключены в понятии векторное исчисление.

Вдумаемся в то, что такое исчисление. Каждый умеет складывать, вычитать, умножать и делить числа. Оперирование с числами есть пример исчисления—это исчисление арифметическое. В векторном исчислении мы оперируем с отрез ками, т. е. с геометрическими объектами. Оперируем с ними прямо, а не обходным путем, через координаты (т. е. через числа). Вот эта-то возможность прямого оперирования с гео метрическими объектами и есть сильная сторона векторного исчисления.

Еще Г. В. Лейбниц высказывал пожелание о создании геометрического исчисления. Объектами оперирования в та ком исчислении должны быть геометрические объекты: точ ки, прямые, плоскости, отрезки, площадки: параллелограммы или треугольники и т. п. Но если мы начнем именно с того, что займемся этими объектами и спросим, что же имен но с ними можно делать, то, очевидно, мы окажемся в затруднении.

Возьмем, допустим, точки. Какие операции можно производить над точками и что при этом можно получать? Прав да, напрашивается мысль, что через любые две точки можно провести прямую и что, может быть, действие над двумя точками будет заключаться в порождении прямой, через них проходящей. Мы увидим потом, что, действительно, немец кий математик Г. Грасман определил таким образом «произведение» двух точек: произведение двух точек есть прямая (мы, впрочем, довольно приближенно излагаем его мысль). А вот как немецкий математик А. Ф. Мёбиус определил опе рацию сложения двух точек: если представить себе, что наши точки — не просто точки, а точки, в которых находятся еди ничные массы, то сумма двух точек А и В есть точка, деля щая отрезок АВ пополам, но уже не простая, а содержащая массу, равную сумме двух единичных. Значит, приходится, кроме «простых» точек, вводить еще и «кратные», что ко нечно, усложняет дело. Таким образом, уже отсюда можно заключить, что построить исчисление, оперирующее с гео метрическими объектами, весьма не просто. Для такого по строения понадобятся некоторые предварительные рассмотрения.

Векторы

ПЕРЕНОСЫ НА ПЛОСКОСТИ. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Начнем с очевидного утверждения: окружающие нас пред меты мы можем перемещать с места на место, причем та кая смена положения в пространстве никак не сказывается на самом предмете. Например, можно передвинуть книгу с края стола на середину или взять стоящий у стены стул и перенести его к столу, стоящему у противоположной стены ком наты. При этом, конечно, изменилось отношение книги к кра ям стола и стула к стенам комнаты; но мы склонны считать это отношение чем-то внешним по сравнению с такими внут ренними свойствами, как форма и размеры, а эти последите как раз и остались прежними.

Впрочем, наше утверждение, несмотря на всю его очевидность, является с физической точки зрения лишь приближенным. Действительные перемещения реальных тел всегда сопровождаются деформациями. Кроме того, для тел на по верхности Земли вовсе не безразлично, где они находятся: сила тяжести, влияние эффектов вращения Земли вокруг оси, величина напряженности магнитного поля Земли различны, например, для полюса и экватора. Но и эти деформации, и влияние положения на земной поверхности на свой ства тела очень малы, поэтому в физике, особенно в меха нике, начинают с того, что совершенно от них отвлекаются и описывают движение тел, абсолютно не меняющихся при пе ремещении в пространстве. Такие тела называются абсолют но твердыми. Ясно, что это — идеализация, но столь же очевидно, что такая идеализация является, во-первых, хорошим приближением к действительности, а, во-вторых, там, где та кого приближения уже недостаточно, мы можем получить действительное движение посредством внесения поправок в описание движения тела абсолютно твердого. Собственно, только такой подход и дает нам возможность разобраться в действительном движении. Особенно подходит идеализация, рассматривающая тела как абсолютно твердые, для случая тела, свободно движущегося в мировом пространстве па большом расстоянии от других тел, скажем, где-то на пол пути между соседними галактиками.

Итак, допустим, что мы имеем дело с абсолютно тверды

ми телами и рассмотрим более внимательно перемещение этих тел. Начнем с более простого случая, а именно с движения плоских фигур в плоскости. В качестве наглядного примера можно взять, скажем, книгу и рассмотреть ее пере мещения в плоскости стола, отвлекаясь при этом от толщины книги, т. е. считая ее прямоугольником (что также является идеализацией).

С движением фигур в плоскости читатель встречался в шестом классе на уроках геометрии, когда доказывались при знаки равенства треугольников. При доказательстве теорем о признаках равенства треугольников совмещают один тре угольник с другим; это означает, что треугольникам разрешается перемещаться в плоскости без изменения их размеров и формы; если сторона АВ равнялась стороне А'В' до пере мещения, то это равенство сохранится и тогда, когда тре угольник А'В'С' совместится с треугольником АВС (рис. 1).

Рис. 1

Итак, присмотримся к движению плоской фигуры. Можно начать с нескольких экспериментов. При этом в качестве мо дели плоскости можно принять уже не плоскость стола, а лист бумаги, прикрепленный кнопками к поверхности сто ла; далее, вырежем из бумаги какую-нибудь фигуру, напри мер, треугольник (или прямоугольник) и наложим эту фи гуру на нашу «плоскость». Первое, что нам нужно уметь — фиксировать положение фигуры в плоскости. В самом деле, перемещение — есть перемена места. Значит, надо начать с того, как место задается. Иными словами, надо указать, как говорят физики, систему отсчета. У нас это, конечно, просто: естественной системой отсчета являются края листа бумаги (или края стола). Но геометр рассматривает плоскость как неограниченно распространяющуюся во все стороны, где нет никаких естественных ориентиров. Поэтому приходится вво дить некое подобие нашего края: две пересекающиеся под прямым углом прямые. Мы получаем обычную систему декартовых координат на плоскости, с которой читатель, не сомненно, знаком.

Как теперь фиксировать положение нашей фигуры относительно координатной системы? Предположим, мы знаем координаты одной из точек треугольника, т. е. нам известны расстояния от этой точки до координатных прямых, взятые с соответствующими знаками. Закрепим наш бумажный тре угольник в одной точке, приколов его булавкой в этой точке к листу бумаги, изображающему плоскость. При этом положение треугольника еще не определено до конца, так как его можно вращать вокруг булавки. Но если воткнуть в него еще одну булавку, вращение станет невозможно и положе ние треугольника будет фиксировано. Ясно, что совершенно все равно, где эти точки брать: указанием их положения по ложение треугольника фиксируется однозначно.

Итак, положение треугольника (и, очевидно, любой фи гуры, ибо говоря о треугольнике, мы не использовали здесь никаких свойств, специфичных для треугольника, и все ска занное поэтому справедливо для любой фигуры) определяет ся положением двух ее точек А, В (см. рис. 1) относительно некоторой системы отсчета, например, относительно двух прямых, пересекающихся под прямым углом. При перемещении фигуры положение этих точек изменится, и если мы знаем, в какие точки А' и В' перешли соответственно точки А и В, то мы знаем перемещение. При этом мы отвлекаемся от промежуточных положений фигуры, а рассматриваем толь ко начальное и конечное положения фигуры последовательно. Такая упорядоченная пара положений называется конечным перемещением. В геометрии мы интересуемся конечными перемещениями.

Кроме того, в геометрии поступают обычно так: вместо того, чтобы ограничиться рассмотрением конечных перемещений одной фигуры, представляют себе, что фигура увлекает за собой всю плоскость, в которой она расположена, так что плоскость как бы перемещается сама в себе. В упомянутой выше модели плоскости это будет выглядеть так: вместо того чтобы вырезать треугольник, мы нарисуем его на листе бумаги и наложим этот лист на первый, изображающий пло скость; теперь второй лист будет двигаться по первому. Что бы фиксировать его положение, по-прежнему надо закрепить его в двух точках; но теперь, очевидно, эти точки не обязательно должны лежать внутри фигуры, они могут находить ся и вне ее.

На последнем варианте мы и остановимся. Мы будем рас сматривать конечные перемещения как движения плоскости в самой себе (математики говорят: движение есть преобразование плоскости); такое движение определяется указанием, в какие две точки А' и В' перешли две произвольные точки А и В, т. е. тем, как перемещается отрезок АВ.